高考微点4 基本初等函数
[微要点]
1．二次函数在给定区间上的最值
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(不妨设a>0)在区间[m，n]上的最大或最小值如下：
(1)当－∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时
f(x)的最小值在对称轴处取得，其最小值是f＝；若－≤，f(x)的最大值为f(n)；若－≥，f(x)的最大值为f(m)．
(2)当－ [m，n]，即给定的区间在对称轴的一侧时
f(x)在[m，n]上是单调函数．若－
2．注意一个易误点
易忽视二次函数表达式f(x)＝ax2＋bx＋c中的系数a≠0.
[微练习]
1．若二次函数y＝2x2＋bx＋c关于y轴对称，且过点(0,3)，则函数的解析式为( )
A．y＝2x2＋x＋3 B．y＝2x2＋3
C．y＝2x2＋x－3 D．y＝2x2－3
解析：选B 由题可知函数y＝f(x)为偶函数，则b＝0.又过点(0,3)，则c＝3，故解析式为y＝2x2＋3.故选B.
2．定义运算：x?y＝例如：3?4＝3，(－2)?4＝4，则函数f(x)＝x2?(2x－x2)的最大值为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选D 由题意可得f(x)＝x2?(2x－x2)＝当0≤x≤2时，f(x)∈[0,4]；当x＞2或x＜0时，f(x)∈(－∞，0)．综上可得函数f(x)的最大值为4，故选D.
3．函数f(x)＝－2x2＋6x(－2≤x≤2)的值域是( )
A．[－20,4] B．(－20,4)
C. D．
解析：选C 由函数f(x)＝－2x2＋6x，可知二次函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝，当－2≤x<时，函数f(x)单调递增，当≤x≤2时，函数f(x)单调递减，∴f(x) max＝f＝－2×＋6×＝，f(x)min＝min{f(－2)，f(2)}，又f(－2)＝－8－12＝－20，f(2)＝－8＋12＝4，∴函数f(x)的值域为，故选C.
4．设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈R，f(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：当m＝0时，f(x)＝－1<0，符合题意．当m≠0时，
由f(x)<0恒成立，得即
解得－4答案：(－4,0]
[微要点]
1．指数幂
(1)分数指数幂与根式互化：
a＝；a＝，其中a>0，m，n∈N*.
(2)幂的运算性质
asat＝as＋t，＝as－t，(as)t＝ast，(ab)t＝atbt，其中a>0，b>0，s，t∈Q.
2．对数式
(1)换底公式
logaN＝(a>0，a≠1，N>0，b>0，b≠1)．
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(M·N)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM；
④logambn＝logab.
3．注意三个易误点
(1)根式化简中易混淆与()n而出错．
(2)易忽视指数式、对数式中的底数a>0且a≠1.
(3)对数的运算性质中真数应大于零．
[微练习]
1．已知a>0，则下列运算正确的是( )
A．a·a＝a B．a·a＝0
C.2＝a D．a÷a＝a
答案：D
2．计算：2log410－log225＋8－(π－3)0＝________.
解析：2log410－log225＋8－(π－3)0＝2×log210－log25＋(23) －1＝log2＋22－1＝1＋4－1＝4.
答案：4
3．已知＋＝2，则a＝________.
解析：＋＝2?loga2＋loga3＝2，即loga6＝2?a2＝6，a＞0?a＝.
答案：
[微要点]
指数函数与对数函数、幂函数活学巧记口诀
(1)指数增减要看清，抓着底数不放松．反正底数大于零，不等于1已表明．底数若是大于1，图象从下向上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(0,1)点．
(2)对数增减有思路，函数图象看底数．底数只能大于0，等于1来也不行．底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减．图象都过(1,0)点．
(3)幂函数，啥模样，幂指坐在肩膀上；图象要过点(1,1)，单调先记一象限；正幂递增负幂减，奇偶性质定左边 (其意思为“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都要过点(1,1)．当n>0时，第一象限图象是上坡递增；当n<0时，第一象限图象是下坡递减，即“正幂递增负幂减”．通过函数的奇偶性来确定y轴左边图象的增减特征，即“奇偶性质定左边”．如，偶函数y＝x在[0，＋∞)递增，那么在(－∞，0)递减；奇函数y＝x在(0，＋∞)递减，那么在(－∞，0)也递减)．
[微练习]
1．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
解析：选B 由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3.当n＝1时，f(x)＝x－2＝，在(0，＋∞)上是减函数；当n＝－3时，f(x)＝x18，在(0，＋∞)上是增函数．故n＝1符合题意，应选B.
2．若函数y＝(loga)x在R上为增函数，则实数a的取值范围是( )
A. B．
C. D．(1，＋∞)
解析：选A 因为y＝(loga) x在R上为增函数，所以loga>1，解得03．若xlog52≥－1，则函数f(x)＝4 x－2x+1－3的最小值为( )
A．－4 B．－3
C．－1 D．0
解析：选A ∵xlog52≥－1，∴2 x≥，则f(x)＝4x－2 x+1－3＝(2x)2－2×2 x－3＝(2 x－1)2－4.当2 x＝1时，f(x)取得最小值－4.
4．若a＞b＞0,0＜c＜1，则( )
A．logac＜logbc B．logca＜logcb
C．ac＜bc D．ca＞cb
解析：选B 法一：因为0＜c＜1，所以y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，又0＜b＜a，所以logca＜logcb，故选B.
法二：取a＝4，b＝2，c＝，则log4＝－＞log2，排除A；4＝2＞2，排除C；
4＜2，排除D；故选B.
1．函数y＝log(2x－1)的定义域是( )
A.∪(1，＋∞) B.∪(1，＋∞)
C. D．
解析：选A 由题意得即解得x>且x≠1.
2．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝( )
A. B．1
C. D．2
解析：选C 由幂函数的定义知k＝1，又f＝，所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.
3．当0
解析：选C y＝a－x等价于y＝x，因为01，故y＝a－x为增函数，y＝logax为减函数，结合图象知，选C.
4．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象过点P(－1,11)，且其对称轴是x＝1，则a＋b的值是( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析：选A 因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象的对称轴是x＝1，所以－＝1 ①，又f(－1)＝a－b＋5＝11，所以a－b＝6 ②，联立①②，解得a＝2，b＝－4，所以a＋b＝－2，故选A.
5．设函数f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( )
A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定
解析：选A 因为f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，所以0f(2)．
6．已知a为正实数，函数f(x)＝x2－2x＋a，且对任意的x∈[0，a]，都有f(x)∈[－a，a]，则实数a的取值范围为( )
A．(1,2) B．[1,2]
C．(0，＋∞) D．(0,2]
解析：选D 当0＜a＜1时，f(0)＝a，f(a)≥－a，即a2－2a＋a≥－a，因此0＜a＜1；当a≥1时，f(0)＝a，f(1)≥－a，f(a)≤a，即1－2＋a≥－a，a2－2a＋a≤a，因此1≤a≤2.综上，实数a的取值范围为(0,2]．
7．已知f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2，则f(x)在区间上的最大值为( )
A．4 B．2
C．6 D．8
解析：选B ∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2，f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，∴当x∈[0,1]时， f(x)是增函数；当x∈时，f(x)是减函数．故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝2.
8．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( )
A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．
解析：选D 方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．
①当0②当a>1时，如图②，而y＝2a>1不符合要求．
∴09．已知函数f(x)＝x＋a的图象经过第二、三、四象限，g(a)＝f(a)－f(a＋1)，则g(a)的取值范围为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1,2) D．(－∞，2)
解析：选A ∵函数f(x)＝ x＋a的图象经过第二、三、四象限，∴a<－1.则g(a)＝f(a)－f(a＋1)＝a＋a－a＋1－a＝a ＝·a.∵a<－1，∴a >3，则·a >2，故g(a)的取值范围是(2，＋∞)．
10．已知f(x)＝则关于m的不等式fA. B．(0,2)
C.∪ D．(－2,0)∪(0,2)
解析：选C 因为函数f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x>0时，－x<0，f(－x)＝－ln x－x＝f(x)，同理，当x<0时，也有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝－ln 2－2＝ln －2，所以由偶函数的性质知f 2，且m≠0，解得011．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，对任意的x1∈[－1,2]，存在x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是( )
A. B．
C．[3，＋∞) D．(0,3]
解析：选A 当x∈[－1,2]时，函数f(x)＝x2－2x的值域为A＝[－1,3]，g(x)＝ax＋2(a＞0)的值域为B＝[2－a，2＋2a]，由题意知B?A，则又a＞0，所以0＜a≤.故选A.
12．已知函数f(x)＝ax (a>0且a≠1)的反函数的图象经过点.若函数g(x)的定义域为R，当x∈[－2,2]时，有g(x)＝f(x)，且函数g(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )
A．g(π)C．g(π)解析：选B 因为函数f(x)的反函数的图象经过点，所以函数f(x)的图象经过点，所以a＝?a＝.函数f(x)＝x在R上单调递减．函数g(x＋2)为偶函数，所以函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，又x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)且f(x)单调递减，所以x∈[2,6]时，g(x)单调递增，根据对称性，可知距离对称轴x＝2越远的自变量，对应的函数值越大，所以g()13．已知函数f(x)＝loga(x－1)＋2，则其图象恒过定点________．
解析：由loga1＝0，令x－1＝1，得x＝2，此时y＝2.所以函数f(x)的图象恒过定点(2,2)．
答案：(2,2)
14．已知f(x)＝xm(m－2)，m∈Z为奇函数且在(0，＋∞)上为减函数，则f＝________.
解析：因为f(x)＝xm(m－2)是奇函数，所以m(m∈Z)为奇数．又f(x)＝xm(m－2)是(0，＋∞)上的减函数，则由幂函数的性质可知m(m－2)<0，解得0答案：2 018
15．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．
解析：令ax＝t，则y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3.
当0又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
则ymax＝2－2＝14，解得a＝.
综上知a＝3或a＝.
答案：3或
16．已知函数f(x)＝x4＋e|x|，则满足不等式2f(ln t)－f≤f(2)的实数t的取值范围为________．
解析：因为f(x)＝x4＋e|x|，所以f(－x)＝f(x)，因为2f(ln t)－f≤f(2)，所以2f(ln t)－f(－ln t)＝2f(ln t)－f(ln t)≤f(2)，即f(ln t)≤f(2)，因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以|ln t|≤2，解得e－2≤t≤e2.
答案：[e－2，e2]
高考微点4 基本初等函数
[微要点]
1．二次函数在给定区间上的最值
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(不妨设a>0)在区间[m，n]上的最大或最小值如下：
(1)当－∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时
f(x)的最小值在对称轴处取得，其最小值是f＝；若－≤，f(x)的最大值为f(n)；若－≥，f(x)的最大值为f(m)．
(2)当－ [m，n]，即给定的区间在对称轴的一侧时
f(x)在[m，n]上是单调函数．若－
2．注意一个易误点
易忽视二次函数表达式f(x)＝ax2＋bx＋c中的系数a≠0.
[微练习]
1．若二次函数y＝2x2＋bx＋c关于y轴对称，且过点(0,3)，则函数的解析式为( )
A．y＝2x2＋x＋3 B．y＝2x2＋3
C．y＝2x2＋x－3 D．y＝2x2－3
2．定义运算：x?y＝例如：3?4＝3，(－2)?4＝4，则函数f(x)＝x2?(2x－x2)的最大值为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
3．函数f(x)＝－2x2＋6x(－2≤x≤2)的值域是( )
A．[－20,4] B．(－20,4)
C. D．
4．设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈R，f(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
[微要点]
1．指数幂
(1)分数指数幂与根式互化：
a＝；a＝，其中a>0，m，n∈N*.
(2)幂的运算性质
asat＝as＋t，＝as－t，(as)t＝ast，(ab)t＝atbt，其中a>0，b>0，s，t∈Q.
2．对数式
(1)换底公式
logaN＝(a>0，a≠1，N>0，b>0，b≠1)．
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(M·N)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM；
④logambn＝logab.
3．注意三个易误点
(1)根式化简中易混淆与()n而出错．
(2)易忽视指数式、对数式中的底数a>0且a≠1.
(3)对数的运算性质中真数应大于零．
[微练习]
1．已知a>0，则下列运算正确的是( )
A．a·a＝a B．a·a＝0
C.2＝a D．a÷a＝a
2．计算：2log410－log225＋8－(π－3)0＝________.
3．已知＋＝2，则a＝________.
[微要点]
指数函数与对数函数、幂函数活学巧记口诀
(1)指数增减要看清，抓着底数不放松．反正底数大于零，不等于1已表明．底数若是大于1，图象从下向上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(0,1)点．
(2)对数增减有思路，函数图象看底数．底数只能大于0，等于1来也不行．底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减．图象都过(1,0)点．
(3)幂函数，啥模样，幂指坐在肩膀上；图象要过点(1,1)，单调先记一象限；正幂递增负幂减，奇偶性质定左边 (其意思为“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都要过点(1,1)．当n>0时，第一象限图象是上坡递增；当n<0时，第一象限图象是下坡递减，即“正幂递增负幂减”．通过函数的奇偶性来确定y轴左边图象的增减特征，即“奇偶性质定左边”．如，偶函数y＝x在[0，＋∞)递增，那么在(－∞，0)递减；奇函数y＝x在(0，＋∞)递减，那么在(－∞，0)也递减)．
[微练习]
1．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
2．若函数y＝(loga)x在R上为增函数，则实数a的取值范围是( )
A. B．
C. D．(1，＋∞)
3．若xlog52≥－1，则函数f(x)＝4 x－2x+1－3的最小值为( )
A．－4 B．－3
C．－1 D．0
4．若a＞b＞0,0＜c＜1，则( )
A．logac＜logbc B．logca＜logcb
C．ac＜bc D．ca＞cb
1．函数y＝log(2x－1)的定义域是( )
A.∪(1，＋∞) B.∪(1，＋∞)
C. D．
2．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝( )
A. B．1
C. D．2
3．当0
4．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象过点P(－1,11)，且其对称轴是x＝1，则a＋b的值是( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
5．设函数f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( )
A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定
6．已知a为正实数，函数f(x)＝x2－2x＋a，且对任意的x∈[0，a]，都有f(x)∈[－a，a]，则实数a的取值范围为( )
A．(1,2) B．[1,2]
C．(0，＋∞) D．(0,2]
7．已知f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2，则f(x)在区间上的最大值为( )
A．4 B．2
C．6 D．8
8．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( )
A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．
9．已知函数f(x)＝x＋a的图象经过第二、三、四象限，g(a)＝f(a)－f(a＋1)，则g(a)的取值范围为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1,2) D．(－∞，2)
10．已知f(x)＝则关于m的不等式fA. B．(0,2)
C.∪ D．(－2,0)∪(0,2)
11．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，对任意的x1∈[－1,2]，存在x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是( )
A. B．
C．[3，＋∞) D．(0,3]
12．已知函数f(x)＝ax (a>0且a≠1)的反函数的图象经过点.若函数g(x)的定义域为R，当x∈[－2,2]时，有g(x)＝f(x)，且函数g(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )
A．g(π)C．g(π)
13．已知函数f(x)＝loga(x－1)＋2，则其图象恒过定点________．
14．已知f(x)＝xm(m－2)，m∈Z为奇函数且在(0，＋∞)上为减函数，则f＝________.
15．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．
16．已知函数f(x)＝x4＋e|x|，则满足不等式2f(ln t)－f≤f(2)的实数t的取值范围为________．
