高考微点5 函数与方程
[微要点]
建立函数模型解应用问题的步骤如下：
审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型
建模 将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型
求模 求解数学模型，得出数学结论
还原 将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中
[微练习]
1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝已知某家庭今年前四个月的煤气费如表所示.
月份 一月份 二月份 三月份 四月份
用气量/m3 4 5 25 35
煤气费/元 4 4 14 19
若五月份该家庭使用了22 m3的煤气，则其煤气费为( )
A．12.5元 B．12元
C．11.5元 D．11元
解析：选A 由题意得C＝4.将(25,14)，(35,19)代入f(x)＝4＋B(x－A)，得解得∴f(x)＝故当x＝22时，f(22)＝12.5.故选A.
2．某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝p02，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p(60)＝( )
A．150毫克/升 B．300毫克/升
C．150ln 2毫克/升 D．300ln 2毫克/升
解析：选C 因为当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝，所以p0＝600ln 2，因为p(t)＝p02，所以p(60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)．
[微要点]
1．零点存在性定理
2．已知函数有零点(方程有根)，求参数值(范围)的方法
直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数范围
分离参数法 先将参数分离，化为a＝g(x)的形式，进而转化成求函数最值问题加以解决
数形结合法 将函数解析式(方程)适当变形，转化为图象易得的函数与一个含参的函数的差，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质及图象求解
[微练习]
1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B．－2,0
C. D．0
解析：选D 当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，得x＝0；当x＞1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，得x＝，又x＞1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点为0，故选D.
2．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A. B．
C. D．
解析：选C 因为f＝e＋4×－3＝e－2<0，f＝e＋4×－3＝e－1>0，f·f<0，所以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为.
3．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，1]
解析：选A 画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需0≤1－a<1，即0
0时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上0
1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )
A．y＝log2x B．y＝2x－1
C．y＝x2－2 D．y＝－x3
解析：选B y＝log2x在(－1,0]上没有意义，故A不满足题意；y＝x2－2在(－1,0)上单调递减，故C不满足题意；y＝－x3在(－1,1)上单调递减，故D不满足题意；∵y＝2x－1在(－1,1)上单调递增，f(－1)＜0，f(1)＞0，∴在(－1,1)内存在零点，故选B.
2．某种动物的繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
解析：选A 由题意，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以y＝100log2(x＋1)，当x＝7时，y＝100×log2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．
3．(2019·唐山模拟)奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝( )
A．3 B．7
C．10 D．14
解析：选C 由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，g＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，f＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7.又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点，即n＝3.所以m＋n＝10，选C.
4．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则关于x的函数f(x)＝f(x)－a(0
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选D ∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，
且当x≥0时，f(x)＝
∴当x∈[0,1)时，f(x)∈(－1,0]，
当x∈[1,3]时，f(x)＝x－2∈[－1,1]，
当x∈(3，＋∞)时，f(x)＝－x＋4∈(－∞，1)，
又∵f(x)为定义域上的奇函数，由奇函数的对称性画出f(x)在R上的图象如图所示，
结合图象知y＝f(x)与y＝a共有5个交点，所以f(x)有5个零点．
5．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示)．
解析：由题意得D＝a－A＝－2＋，且A≥0，∴当＝，即A＝时，D最大，为.
答案：
6．若函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正的零点，则实数m的取值范围是________．
解析：当m＝0时，x＝为函数的零点；当m≠0时，当Δ＝0，即m＝1时，x＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正零点等价于方程mx2－2x＋1＝0有一个正根和一个负根，故<0，即m<0.综上所述，实数m的取值范围是(－∞，0]∪{1}．
答案：(－∞，0]∪{1}
7．已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知g(x)＝因为g(x)有三个不同的零点，所以2－x＝0在x>a时有一个解，由x＝2得a<2；由x2＋3x＋2＝0得x＝－1或x＝－2，则由x≤a得a≥－1.综上，a的取值范围为[－1,2)．
答案：[－1,2)
8．已知函数f(x)为偶函数且f(x)＝f(x－4)，又在区间[0,2]上f(x)＝函数g(x)＝|x|＋a，若f(x)＝f(x)－g(x)恰有2个零点，则a＝________.
解析：由题意可知f(x)是周期为4的偶函数，画出函数f(x)与g(x)的大致图象，如图，由图可知若f(x)＝f(x)－g(x)恰有2个零点，则有g(1)＝f(1)，解得a＝2.
答案：2
高考微点5 函数与方程
[微要点]
建立函数模型解应用问题的步骤如下：
审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型
建模 将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型
求模 求解数学模型，得出数学结论
还原 将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中
[微练习]
1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝已知某家庭今年前四个月的煤气费如表所示.
月份 一月份 二月份 三月份 四月份
用气量/m3 4 5 25 35
煤气费/元 4 4 14 19
若五月份该家庭使用了22 m3的煤气，则其煤气费为( )
A．12.5元 B．12元
C．11.5元 D．11元
2．某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝p02，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p(60)＝( )
A．150毫克/升 B．300毫克/升
C．150ln 2毫克/升 D．300ln 2毫克/升
[微要点]
1．零点存在性定理
2．已知函数有零点(方程有根)，求参数值(范围)的方法
直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数范围
分离参数法 先将参数分离，化为a＝g(x)的形式，进而转化成求函数最值问题加以解决
数形结合法 将函数解析式(方程)适当变形，转化为图象易得的函数与一个含参的函数的差，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质及图象求解
[微练习]
1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B．－2,0
C. D．0
2．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A. B．
C. D．
3．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，1]
1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )
A．y＝log2x B．y＝2x－1
C．y＝x2－2 D．y＝－x3
2．某种动物的繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
3．(2019·唐山模拟)奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝( )
A．3 B．7
C．10 D．14
4．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则关于x的函数f(x)＝f(x)－a(0
A．2 B．3
C．4 D．5
5．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示)．
6．若函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正的零点，则实数m的取值范围是________．
7．已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
8．已知函数f(x)为偶函数且f(x)＝f(x－4)，又在区间[0,2]上f(x)＝函数g(x)＝|x|＋a，若f(x)＝f(x)－g(x)恰有2个零点，则a＝________.
