高考微点5 函数与方程
[微要点]
建立函数模型解应用问题的步骤如下:
审题 弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型
建模 将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型
求模 求解数学模型,得出数学结论
还原 将利用数学知识和方法得出的结论,还原到实际问题中
[微练习]
1.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)=已知某家庭今年前四个月的煤气费如表所示.
月份 一月份 二月份 三月份 四月份
用气量/m3 4 5 25 35
煤气费/元 4 4 14 19
若五月份该家庭使用了22 m3的煤气,则其煤气费为( )
A.12.5元 B.12元
C.11.5元 D.11元
解析:选A 由题意得C=4.将(25,14),(35,19)代入f(x)=4+B(x-A),得解得∴f(x)=故当x=22时,f(22)=12.5.故选A.
2.某工厂产生的废气经过过滤后排放,在过滤过程中,污染物的数量p(单位:毫克/升)不断减少,已知p与时间t(单位:小时)满足p(t)=p02,其中p0为t=0时的污染物数量.又测得当t∈[0,30]时,污染物数量的变化率是-10ln 2,则p(60)=( )
A.150毫克/升 B.300毫克/升
C.150ln 2毫克/升 D.300ln 2毫克/升
解析:选C 因为当t∈[0,30]时,污染物数量的变化率是-10ln 2,所以-10ln 2=,所以p0=600ln 2,因为p(t)=p02,所以p(60)=600ln 2×2-2=150ln 2(毫克/升).
[微要点]
1.零点存在性定理
2.已知函数有零点(方程有根),求参数值(范围)的方法
直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数范围
分离参数法 先将参数分离,化为a=g(x)的形式,进而转化成求函数最值问题加以解决
数形结合法 将函数解析式(方程)适当变形,转化为图象易得的函数与一个含参的函数的差,在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象,结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质及图象求解
[微练习]
1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( )
A.,0 B.-2,0
C. D.0
解析:选D 当x≤1时,令f(x)=2x-1=0,得x=0;当x>1时,令f(x)=1+log2x=0,得x=,又x>1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点为0,故选D.
2.在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为( )
A. B.
C. D.
解析:选C 因为f=e+4×-3=e-2<0,f=e+4×-3=e-1>0,f·f<0,所以f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为.
3.已知函数f(x)=(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(0,1) D.(-∞,1]
解析:选A 画出函数f(x)的大致图象如图所示.因为函数f(x)在R上有两个零点,所以f(x)在(-∞,0]和(0,+∞)上各有一个零点.当x≤0时,f(x)有一个零点,需0≤1-a<1,即0
0时,f(x)有一个零点,需-a<0,即a>0.综上0
1.下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是( )
A.y=log2x B.y=2x-1
C.y=x2-2 D.y=-x3
解析:选B y=log2x在(-1,0]上没有意义,故A不满足题意;y=x2-2在(-1,0)上单调递减,故C不满足题意;y=-x3在(-1,1)上单调递减,故D不满足题意;∵y=2x-1在(-1,1)上单调递增,f(-1)<0,f(1)>0,∴在(-1,1)内存在零点,故选B.
2.某种动物的繁殖数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的关系式为y=alog2(x+1),若这种动物第一年有100只,则到第7年它们发展到( )
A.300只 B.400只
C.500只 D.600只
解析:选A 由题意,得100=alog2(1+1),解得a=100,所以y=100log2(x+1),当x=7时,y=100×log2(7+1)=300,故到第7年它们发展到300只.
3.(2019·唐山模拟)奇函数f(x),偶函数g(x)的图象分别如图(1),(2)所示,函数f(g(x)),g(f(x))的零点个数分别为m,n,则m+n=( )
A.3 B.7
C.10 D.14
解析:选C 由题中函数图象知f(±1)=0,f(0)=0,g=0,g(0)=0,g(±2)=1,g(±1)=-1,所以f(g(±2))=f(1)=0,f(g(±1))=f(-1)=0,f=f(0)=0,f(g(0))=f(0)=0,所以f(g(x))有7个零点,即m=7.又g(f(0))=g(0)=0,g(f(±1))=g(0)=0,所以g(f(x))有3个零点,即n=3.所以m+n=10,选C.
4.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=则关于x的函数f(x)=f(x)-a(0
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:选D ∵函数f(x)为定义在R上的奇函数,
且当x≥0时,f(x)=
∴当x∈[0,1)时,f(x)∈(-1,0],
当x∈[1,3]时,f(x)=x-2∈[-1,1],
当x∈(3,+∞)时,f(x)=-x+4∈(-∞,1),
又∵f(x)为定义域上的奇函数,由奇函数的对称性画出f(x)在R上的图象如图所示,
结合图象知y=f(x)与y=a共有5个交点,所以f(x)有5个零点.
5.“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a(a为常数),广告效应为D=a-A.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为________(用常数a表示).
解析:由题意得D=a-A=-2+,且A≥0,∴当=,即A=时,D最大,为.
答案:
6.若函数f(x)=mx2-2x+1有且仅有一个正的零点,则实数m的取值范围是________.
解析:当m=0时,x=为函数的零点;当m≠0时,当Δ=0,即m=1时,x=1是函数唯一的零点,若Δ≠0,显然x=0不是函数的零点,这样函数有且仅有一个正零点等价于方程mx2-2x+1=0有一个正根和一个负根,故<0,即m<0.综上所述,实数m的取值范围是(-∞,0]∪{1}.
答案:(-∞,0]∪{1}
7.已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是________.
解析:由题意知g(x)=因为g(x)有三个不同的零点,所以2-x=0在x>a时有一个解,由x=2得a<2;由x2+3x+2=0得x=-1或x=-2,则由x≤a得a≥-1.综上,a的取值范围为[-1,2).
答案:[-1,2)
8.已知函数f(x)为偶函数且f(x)=f(x-4),又在区间[0,2]上f(x)=函数g(x)=|x|+a,若f(x)=f(x)-g(x)恰有2个零点,则a=________.
解析:由题意可知f(x)是周期为4的偶函数,画出函数f(x)与g(x)的大致图象,如图,由图可知若f(x)=f(x)-g(x)恰有2个零点,则有g(1)=f(1),解得a=2.
答案:2
高考微点5 函数与方程
[微要点]
建立函数模型解应用问题的步骤如下:
审题 弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型
建模 将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型
求模 求解数学模型,得出数学结论
还原 将利用数学知识和方法得出的结论,还原到实际问题中
[微练习]
1.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)=已知某家庭今年前四个月的煤气费如表所示.
月份 一月份 二月份 三月份 四月份
用气量/m3 4 5 25 35
煤气费/元 4 4 14 19
若五月份该家庭使用了22 m3的煤气,则其煤气费为( )
A.12.5元 B.12元
C.11.5元 D.11元
2.某工厂产生的废气经过过滤后排放,在过滤过程中,污染物的数量p(单位:毫克/升)不断减少,已知p与时间t(单位:小时)满足p(t)=p02,其中p0为t=0时的污染物数量.又测得当t∈[0,30]时,污染物数量的变化率是-10ln 2,则p(60)=( )
A.150毫克/升 B.300毫克/升
C.150ln 2毫克/升 D.300ln 2毫克/升
[微要点]
1.零点存在性定理
2.已知函数有零点(方程有根),求参数值(范围)的方法
直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数范围
分离参数法 先将参数分离,化为a=g(x)的形式,进而转化成求函数最值问题加以解决
数形结合法 将函数解析式(方程)适当变形,转化为图象易得的函数与一个含参的函数的差,在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象,结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质及图象求解
[微练习]
1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( )
A.,0 B.-2,0
C. D.0
2.在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为( )
A. B.
C. D.
3.已知函数f(x)=(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(0,1) D.(-∞,1]
1.下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是( )
A.y=log2x B.y=2x-1
C.y=x2-2 D.y=-x3
2.某种动物的繁殖数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的关系式为y=alog2(x+1),若这种动物第一年有100只,则到第7年它们发展到( )
A.300只 B.400只
C.500只 D.600只
3.(2019·唐山模拟)奇函数f(x),偶函数g(x)的图象分别如图(1),(2)所示,函数f(g(x)),g(f(x))的零点个数分别为m,n,则m+n=( )
A.3 B.7
C.10 D.14
4.定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=则关于x的函数f(x)=f(x)-a(0
A.2 B.3
C.4 D.5
5.“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a(a为常数),广告效应为D=a-A.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为________(用常数a表示).
6.若函数f(x)=mx2-2x+1有且仅有一个正的零点,则实数m的取值范围是________.
7.已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是________.
8.已知函数f(x)为偶函数且f(x)=f(x-4),又在区间[0,2]上f(x)=函数g(x)=|x|+a,若f(x)=f(x)-g(x)恰有2个零点,则a=________.