高考微点6 导 数
一、导数的计算、几何意义及定积分
[微要点]
1．几个常用的基本初等函数的导数公式
(1)(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x.
(2)(ln x)′＝(x>0)，
(logax)′＝(x>0，a>0，且a≠1)．
(3)( ex)′＝ex，(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)．
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
3．定积分的性质
(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)．
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx.
(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a4．注意三个易误点
(1)注意公式不要用混，如(ax)′＝axln a，而不是(ax)′＝xax－1.
(2)求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
(3)定积分f(x)dx不是一个函数式，而是一个数值(极限值)，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即f(x)dx＝f(t)dt＝f(u)du.
[微练习]
1．设f(x)＝(其中e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为( )
A. B．2
C．1 D．
解析：选A 根据定积分的运算法则，可知f(x)dx可以分为两段，即f(x)dx＝x2dx＋dx＝x3＋ln x＝＋1＝.
2．已知函数f(x＋1)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．x－y＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－2＝0 D．x＋y＝0
解析：选A 设x＋1＝t，则x＝t－1，所以f(t)＝＝2－，故f(x)＝2－，f(1)＝1，又f′(x)＝，故切线的斜率k＝1，切线方程为y＝x，故选A.
3．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A.e2 B．2e2
C．e2 D．
解析：选D 由题意可得y′＝ex，则所求切线的斜率k＝e2，所求切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2 x－e2，
令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝1.
∴S＝×1×|－e2|＝.
4．设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________.
解析：因为y′＝，
所以y′＝－1，由条件知＝－1，
所以a＝－1.
答案：－1
[微要点]
1．利用导数研究函数单调性的相关结论
(1)在区间上f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在该区间上的单调性．
(2)如果恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)在这个区间上是常数函数．
2．注意两个易误点
(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，不能正确的依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论而致误．
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，易忽略“＝”，而造成漏解．
[微练习]
1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝sin 2 x B．f(x)＝x ex
C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln x
解析：选B 对于A，易得f(x)＝sin 2x的单调递增区间是(k∈Z)；对于B，f′(x)＝ex (x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)＝x ex在(0，＋∞)上为增函数；对于C，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0，得x>或x<－，∴函数f(x)在和上单调递增；对于D，f′(x)＝－1＋＝－，令f′(x)>0，得02．已知函数f(x)＝x3＋ax，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 当a≥0时，f′(x)＝3x2＋a≥0，f(x)在R上单调递增，所以“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．选A.
3．已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－.
由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－，
则f′(x)＝，
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
故当x∈(0,5)时，f′(x)<0，
故f(x)在(0,5)上为减函数；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(5，＋∞)上为增函数．
故f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0,5)
[微要点]
1．函数的极大值与极小值
在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．
在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．
2．注意三个易误点
(1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)＝x3，x＝0就不是极值点，但f′(0)＝0.
(2)极值点不是一个点，而是一个数x0，当x＝x0时，函数取得极值．
(3)求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论．
[微练习]
1．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选D f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，
解得a＝5.
2．函数f(x)＝x＋2cos x在区间上取得最大值时，x的值为( )
A．0 B．
C. D．
解析：选B 令f′(x)＝1－2sin x＝0，得x＝，则f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f为最大值．故选B.
3．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为( )
A．－1 B．－2e－3
C．5 e－3 D．1
解析：选A f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1.因为x＝－2是函数f(x)的极值点，所以f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0，则a＝－1，此时f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1.令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1.当x＜－2或x＞1时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0.所以f(x)的极小值为f(1)＝－1.
4．已知函数f(x)＝excos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)因为f(x)＝excos x－x，
所以f′(x)＝ex (cos x－sin x)－1，所以f′(0)＝0.
又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)设h(x)＝f′(x)＝ex (cos x－sin x)－1，
则h′(x)＝ex (cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x.
当x∈时，h′(x)＜0，
所以h(x)在区间上单调递减，
所以对任意x∈，有h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜0，
所以函数f(x)在区间上单调递减．
因此函数f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，最小值为f＝－.
1．若函数f(x)＝sin α－cos x，则f′(α)＝( )
A．sin α B．cos α
C．sin α＋cos α D．2sin α
解析：选A 因为f′(x)＝sin x，故f′(α)＝sin α.
2．关于函数f(x)＝ex－2，下列结论中正确的是( )
A．函数f(x)没有零点
B．函数f(x)没有极值点
C．函数f(x)有极大值点
D．函数f(x)有极小值点
解析：选B 因为f′(x)＝ex＞0，所以函数无极值点．
3．若曲线f(x)＝ax2＋x＋ln x在点(1，f(1))处的切线与y＝x－1平行，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选C 由题意得f′(x)＝2ax＋＋，所以f′(1)＝2a＋，因为曲线f(x)＝ax2＋ x＋ln x在点(1，f(1))处的切线与y＝x－1平行，所以2a＋＝，解得a＝1，故选C.
4．若f(x)＝则f(x)dx＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 法一：因为f(x)＝
所以f(x)dx＝ (x3＋sin x)dx＋2dx＝＋2x＝2.
法二：(运用积分的几何意义)，－1≤x≤1，y＝x3＋sin x是奇函数，图象关于原点对称， (x3＋sin x)dx＝0，而2dx表示长、宽分别为2,1的矩形面积，从而可得答案为2，故选C.
5．已知函数f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是( )
解析：选A 因为f(x)＝x2＋sin＝x2＋cos x，所以f′(x)＝x－sin x．它是一个奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B、D；令h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝－cos x，当－＜x＜时，cos x＞，所以h′(x)＜0，故函数y＝f′(x)在区间上单调递减．故选A.
6．已知函数f(x)＝x3＋ax＋1在区间(－∞，－1)上为增函数，在区间(－1,1)上为减函数，则f(1)的值为( )
A. B．1
C. D．－1
解析：选C f′(x)＝x2＋a，由题意得函数f(x)在x＝－1处取得极大值，故f′(－1)＝0，即(－1)2＋a＝0，解得a＝－1，故f(x)＝x3－x＋1，故f(1)＝×13－1＋1＝.
7．函数f(x)＝(x－3) ex在[0,4]上的最大值和最小值分别为( )
A．e2,3 B．e4，－3
C．e4，－e2 D．－3，－e2
解析：选C 函数f(x)＝(x－3)ex的导函数为f′(x)＝(x－2)ex.令f′(x)＞0，得2＜x≤4，令f′(x)＜0，得0≤x＜2，可知，函数f(x)在[0,2)上是减函数，在(2,4]上是增函数，因为f(0)＝－3，f(4)＝e4，所以f(x)min＝f(2)＝－e2，f(x) max＝f(4)＝e4.
8．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－]∪[，＋∞)
B．[－， ]
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－，)
解析：选B 由题意，f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在R上恒成立，故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.故选B.
9.设函数f(x)在定义域R上可导，其导函数为f′(x)，若函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析：选D 由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当x＝－2时，f′(x)＝0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＝2时，f′(x)＝0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可得函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
10．已知定义域为R的奇函数f(x)，当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0恒成立．若a＝3f(3)，b＝f(1)，c＝－2f(－2)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>c>b B．c>b>a
C．c>a>b D．a>b>c
解析：选A 设函数F(x)＝xf(x)，则F(x)为偶函数，且x∈(－∞，0)时，F′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0，所以F(x)单调递减，所以x∈(0，＋∞)时，F(x)单调递增．由条件知a＝F(3)，b＝F(1)，c＝F(－2)＝F(2)，因为F(1)c>b.
11．已知函数f(x)＝aex－x2－(2a＋1)x，若函数f(x)在区间(0，ln 2)上有最值，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(－2，－1) D．(－∞，0)∪(0,1)
解析：选A f′(x)＝a(ex－2)－2x－1.∵x∈(0，ln 2)，∴ex－2<0，－2x－1<0.当a≥0时，f′(x)<0在(0，ln 2)上恒成立，即函数f(x)在(0，ln 2)上单调递减，函数y＝f(x)在区间(0，ln 2)上无最值．当a<0时，设g(x)＝a(ex－2)－2x－1，则g′(x)＝aex－2<0，∴g(x)在(0，ln 2)上为减函数．又∵g(0)＝－a－1，g(ln 2)＝－2ln 2－1<0，若函数f(x)在区间(0，ln 2)上有最值，则函数g(x)有零点，即g(x)＝0有解，∴g(0)＝－a－1>0，解得a<－1.故选A.
12．已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)A．(－∞，1) B．(－1,1)
C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)
解析：选D 因为g(x)＝x2f(x)，所以g′(x)＝x2·f′(x)＋2xf(x)＝x[xf′(x)＋2f(x)]，由题意知，当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0，所以g′(x)>0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(x)为偶函数，则g(x)也是偶函数，所以g(x)＝g(|x|)．由g(x)13．已知函数f(x)＝ax3＋bx2(a，b∈R)在x＝1处有极大值3，则2a＋b＝________.
解析：由题可得f′(x)＝3ax2＋2bx，f′(1)＝3a＋2b＝0.因为f(1)＝a＋b＝3，所以a＝－6，b＝9，所以2a＋b＝－3.
答案：－3
14．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________．
解析：∵y′＝，∴k＝，
∴切线方程为y＝(x－1)，
∴三角形面积为S＝×1×＝＝log2e.
答案：log2e
15．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．
解析：由题意知f′(x)＝－x＋4－＝－，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点分别为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，
∴1∈(t，t＋1)或3∈(t，t＋1)?或?0＜t＜1或2＜t＜3.
答案：(0,1)∪(2,3)
16．已知函数f(x)＝ex＋mln x(m∈R，e为自然对数的底数)，若对任意正数x1，x2，当x1>x2时，都有f(x1)－f(x2)>x1－x2成立，则实数m的取值范围是________．
解析：依题意得，对于任意的正数x1，x2，当x1>x2时，都有f(x1)－x1>f(x2)－x2，因此函数g(x)＝f(x)－x在区间(0，＋∞)上是增函数，于是当x>0时，g′(x)＝f′(x)－1＝ex＋－1≥0，即x(ex－1)≥－m恒成立．记h(x)＝x(ex－1)，x>0，则有h′(x)＝(x＋1)·ex－1>(0＋1)e0－1＝0，x>0，即h(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，h(x)的值域是(0，＋∞)，因此－m≤0，m≥0.故所求实数m的取值范围是[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
17．已知函数f(x)＝x－2ln x－＋1，g(x)＝ex (2ln x－x)．
(1)若函数f(x)在定义域上是增函数，求a的取值范围；
(2)求g(x)的最大值．
解：(1)由题意得x＞0，f′(x)＝1－＋.
由函数f(x)在定义域上是增函数，得f′(x)≥0，即a≥2x－x2＝－(x－1)2＋1(x＞0)．
因为－(x－1)2＋1≤1(当x＝1时，取等号)，
所以a的取值范围是[1，＋∞)．
(2)g′(x)＝ex，
由(1)得a＝2时，f(x)＝x－2ln x－＋1，
且f(x)在定义域上是增函数，又f(1)＝0，
所以，当x∈(0,1)时，f(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.
所以，当x∈(0,1)时，g′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0.
故当x＝1时，g(x)取得极大值也是最大值－e.
18．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解：(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.
又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，
得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.
(2)f′(x)＝1－，
①当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．
②当a＞0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a．当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．
19．已知函数f(x)＝ln x(x>0)．
(1)求证：f(x)≥1－；
(2)设g(x)＝x2f(x)，且关于x的方程x2f(x)＝m有两个不等的实根x1，x2(x1解：(1)证明：令h(x)＝f(x)－1＋＝ln x－1＋(x>0)，则h′(x)＝－＝.
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，
所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以h(x)≥h(1)＝0，即f(x)≥1－.
(2)由g(x)＝x2f(x)＝x2ln x(x>0)，
得g′(x)＝x(2ln x＋1)，令g′(x)＝0，得x＝.
当x∈时，g′(x)<0；
当x∈时，g′(x)>0，
所以g(x)在上单调递减，
在上单调递增，
所以g(x)min＝g＝－，
且x→0，时g(x)→0，g(1)＝0.
画出函数g(x)的图象如图所示，要使关于x的方程x2f(x)＝m有两个不等的实根x1，x2(x1则实数m的取值范围为.
20．已知f(x)＝＋nln x(m，n为常数)，曲线在x＝1处的切线的方程为x＋y－2＝0.
(1)求f(x)的解析式并写出定义域；
(2)若对?x∈，?t∈，f(x)≥t3－t2－2at＋2恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)由f(x)＝＋nln x，
可得f′(x)＝－＋.
由已知条件可得f′(1)＝－＋n＝－1.
把x＝1代入x＋y－2＝0，得y＝1，
∴f(1)＝＝1，∴m＝2，∴n＝－.
∴f(x)＝－ln x，x∈(0，＋∞)．
(2)由(1)得f′(x)＝－－<0，
∴f(x)在上单调递减，
∴f(x)在上的最小值为f(1)＝1，
故只需t3－t2－2at＋2≤1，即2a≥t2－t＋对任意的t∈恒成立．
令m(t)＝t2－t＋，则m′(t)＝2t－1－＝，易得m(t)在上单调递减，在[1,2]上单调递增．
而m＝，m(2)＝，∴2a≥m(t)max＝m(2)，
∴a≥，即a的取值范围为.
高考微点6 导 数
一、导数的计算、几何意义及定积分
[微要点]
1．几个常用的基本初等函数的导数公式
(1)(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x.
(2)(ln x)′＝(x>0)，
(logax)′＝(x>0，a>0，且a≠1)．
(3)( ex)′＝ex，(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)．
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
3．定积分的性质
(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)．
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx.
(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a4．注意三个易误点
(1)注意公式不要用混，如(ax)′＝axln a，而不是(ax)′＝xax－1.
(2)求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
(3)定积分f(x)dx不是一个函数式，而是一个数值(极限值)，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即f(x)dx＝f(t)dt＝f(u)du.
[微练习]
1．设f(x)＝(其中e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为( )
A. B．2
C．1 D．
2．已知函数f(x＋1)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．x－y＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－2＝0 D．x＋y＝0
3．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A.e2 B．2e2
C．e2 D．
4．设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________.
[微要点]
1．利用导数研究函数单调性的相关结论
(1)在区间上f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在该区间上的单调性．
(2)如果恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)在这个区间上是常数函数．
2．注意两个易误点
(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，不能正确的依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论而致误．
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，易忽略“＝”，而造成漏解．
[微练习]
1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝sin 2 x B．f(x)＝x ex
C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln x
2．已知函数f(x)＝x3＋ax，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[微要点]
1．函数的极大值与极小值
在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．
在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．
2．注意三个易误点
(1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)＝x3，x＝0就不是极值点，但f′(0)＝0.
(2)极值点不是一个点，而是一个数x0，当x＝x0时，函数取得极值．
(3)求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论．
[微练习]
1．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
2．函数f(x)＝x＋2cos x在区间上取得最大值时，x的值为( )
A．0 B．
C. D．
3．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为( )
A．－1 B．－2e－3
C．5 e－3 D．1
4．已知函数f(x)＝excos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
1．若函数f(x)＝sin α－cos x，则f′(α)＝( )
A．sin α B．cos α
C．sin α＋cos α D．2sin α
2．关于函数f(x)＝ex－2，下列结论中正确的是( )
A．函数f(x)没有零点
B．函数f(x)没有极值点
C．函数f(x)有极大值点
D．函数f(x)有极小值点
3．若曲线f(x)＝ax2＋x＋ln x在点(1，f(1))处的切线与y＝x－1平行，则a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
4．若f(x)＝则f(x)dx＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
5．已知函数f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是( )
6．已知函数f(x)＝x3＋ax＋1在区间(－∞，－1)上为增函数，在区间(－1,1)上为减函数，则f(1)的值为( )
A. B．1
C. D．－1
7．函数f(x)＝(x－3) ex在[0,4]上的最大值和最小值分别为( )
A．e2,3 B．e4，－3
C．e4，－e2 D．－3，－e2
8．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－]∪[，＋∞)
B．[－， ]
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－，)
9.设函数f(x)在定义域R上可导，其导函数为f′(x)，若函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
10．已知定义域为R的奇函数f(x)，当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0恒成立．若a＝3f(3)，b＝f(1)，c＝－2f(－2)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>c>b B．c>b>a
C．c>a>b D．a>b>c
11．已知函数f(x)＝aex－x2－(2a＋1)x，若函数f(x)在区间(0，ln 2)上有最值，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(－2，－1) D．(－∞，0)∪(0,1)
12．已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)A．(－∞，1) B．(－1,1)
C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)
13．已知函数f(x)＝ax3＋bx2(a，b∈R)在x＝1处有极大值3，则2a＋b＝________.
14．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________．
15．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．
16．已知函数f(x)＝ex＋mln x(m∈R，e为自然对数的底数)，若对任意正数x1，x2，当x1>x2时，都有f(x1)－f(x2)>x1－x2成立，则实数m的取值范围是________．
17．已知函数f(x)＝x－2ln x－＋1，g(x)＝ex (2ln x－x)．
(1)若函数f(x)在定义域上是增函数，求a的取值范围；
(2)求g(x)的最大值．
18．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
19．已知函数f(x)＝ln x(x>0)．
(1)求证：f(x)≥1－；
(2)设g(x)＝x2f(x)，且关于x的方程x2f(x)＝m有两个不等的实根x1，x2(x1
20．已知f(x)＝＋nln x(m，n为常数)，曲线在x＝1处的切线的方程为x＋y－2＝0.
(1)求f(x)的解析式并写出定义域；
(2)若对?x∈，?t∈，f(x)≥t3－t2－2at＋2恒成立，求实数a的取值范围．
