高考微点7 任意角的三角函数及诱导公式
[微要点]
1．任意角的三角函数的定义
设角α终边上任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.
2．三角函数值在各象限的符号
上述符号可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
3．注意两个易误点
(1)已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．
(2)已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况(点所在象限不同)进行分析．
[微练习]
1．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ<0，又sin θ>cos θ，所以sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D 因为点A的纵坐标yA＝，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点的横坐标xA＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.
3．已知在直角坐标系中，α为第二象限角，P(－，y)为其终边上一点，且sin α＝y，则y的值为( )
A. B．－
C. D．或
解析：选C 由题意知|OP|＝，则sin α＝＝y，则y＝0(舍去)或＝2，得y＝±，又α为第二象限角，所以y>0，则y＝，故选C.
[微要点]
1．同角三角函数的基本关系
(1)sin2α＋cos2α＝1.
(2)tan α＝.
2．注意一个易误点
利用平方关系解决问题时，易忽视开方运算结果的符号，而造成多解应根据角的范围进行确定．
[微练习]
1．若sin α＝，且α为锐角，则tan α的值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 因为sin α＝，且α为锐角，所以cos α＝＝＝，所以tan α＝＝＝.
2．已知sin αcos α＝，则cos α－sin α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B 由已知<α<，得sin α>cos α，即cos α－sin α<0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，所以cos α－sin α＝－.
3．化简：＝________.
解析：＝＝＝cos α.
答案：cos α
[微要点]
1．应用诱导公式的一般思路
(1)化大角为小角；
(2)角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
2．常见的互余和互补的角
(1)常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．
(2)常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．
[微练习]
1．计算：cos 300°＝( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选C cos 300°＝cos(360°－60°)＝cos 60°＝.
2．已知a＝tan，b＝cos，c＝sin，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．a>c>b
解析：选B 由已知，a＝tan＝－tan ＝－，b＝cos＝cos ＝，c＝sin＝－sin ＝－，因而b>a>c.
3．已知sin θ＝，θ∈，则sin(π－θ)sin的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B ∵θ∈，∴cos θ＝＝＝.∴sin(π－θ)sin＝－sin θcos θ＝－×＝－.
1．已知sin α＝，α∈，则cos(－α)＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D ∵α∈，∴cos α<0，∴cos(－α)＝cos α＝－＝－.
2．已知f(x)＝sin x＋cos x，则下列结论成立的是( )
A．f(x＋π)＝sin x＋cos x
B．f(π－x)＝sin x＋cos x
C．f＝sin x＋cos x
D．f＝sin x＋cos x
解析：选D f(x＋π)＝sin(x＋π)＋cos(x＋π)＝－sin x－cos x，f(π－x)＝sin(π－x)＋cos(π－x)＝sin x－cos x，f＝sin＋cos＝cos x－sin x，f＝sin＋cos＝cos x＋sin x.
3．若sin αcos α>0，cos αtan α<0，则α的终边落在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C 由sin αcos α>0，得α的终边落在第一或第三象限，由cos αtan α＝cos α·＝sin α<0，得α的终边落在第三或第四象限，所以α的终边落在第三象限．故选C.
4．化简的结果是( )
A．cos 100° B．cos 80°
C．sin 80° D．cos 10°
解析：选B ＝＝＝＝cos 80°.故答案为B.
5．在平面直角坐标系中，点M(3，m)在角α的终边上，点N(2m，4)在角α＋的终边上，则m＝( )
A．－6或1 B．－1或6
C．6 D．1
解析：选A 由题意得，tan α＝，tan＝＝，∴＝，∴m＝－6或1，故选A.
6．已知α，β∈，且满足sin αcos β－2cos αsin β＝0，则tan(2π＋α)＋tan的最小值为( )
A．2 B．
C．1 D．2
解析：选D 因为sin αcos β－2cos αsin β＝0，α，β∈，则tan α>0，tan β>0，tan α＝2tan β，所以tan(2π＋α)＋tan＝tan α＋＝2tan β＋≥2，
当且仅当tan β＝时等号成立．
7．若60°角的终边上有一点P(4，a)，则a的值等于______．
解析：因为角60°的终边上有一点P(4，a)，所以tan 60°＝＝，所以a＝4.
答案：4
8．已知tan θ＝2，则＝________.
解析：＝＝＝2.
答案：2
高考微点7 任意角的三角函数及诱导公式
[微要点]
1．任意角的三角函数的定义
设角α终边上任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.
2．三角函数值在各象限的符号
上述符号可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
3．注意两个易误点
(1)已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．
(2)已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况(点所在象限不同)进行分析．
[微练习]
1．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α的值为( )
A. B．－
C. D．－
3．已知在直角坐标系中，α为第二象限角，P(－，y)为其终边上一点，且sin α＝y，则y的值为( )
A. B．－
C. D．或
[微要点]
1．同角三角函数的基本关系
(1)sin2α＋cos2α＝1.
(2)tan α＝.
2．注意一个易误点
利用平方关系解决问题时，易忽视开方运算结果的符号，而造成多解应根据角的范围进行确定．
[微练习]
1．若sin α＝，且α为锐角，则tan α的值等于( )
A. B．－
C. D．－
2．已知sin αcos α＝，则cos α－sin α＝( )
A. B．－
C. D．－
3．化简：＝________.
[微要点]
1．应用诱导公式的一般思路
(1)化大角为小角；
(2)角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
2．常见的互余和互补的角
(1)常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．
(2)常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．
[微练习]
1．计算：cos 300°＝( )
A．－ B．－
C. D．
2．已知a＝tan，b＝cos，c＝sin，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．a>c>b
3．已知sin θ＝，θ∈，则sin(π－θ)sin的值为( )
A. B．－
C. D．－
1．已知sin α＝，α∈，则cos(－α)＝( )
A. B．－
C. D．－
2．已知f(x)＝sin x＋cos x，则下列结论成立的是( )
A．f(x＋π)＝sin x＋cos x
B．f(π－x)＝sin x＋cos x
C．f＝sin x＋cos x
D．f＝sin x＋cos x
3．若sin αcos α>0，cos αtan α<0，则α的终边落在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．化简的结果是( )
A．cos 100° B．cos 80°
C．sin 80° D．cos 10°
5．在平面直角坐标系中，点M(3，m)在角α的终边上，点N(2m，4)在角α＋的终边上，则m＝( )
A．－6或1 B．－1或6
C．6 D．1
6．已知α，β∈，且满足sin αcos β－2cos αsin β＝0，则tan(2π＋α)＋tan的最小值为( )
A．2 B．
C．1 D．2
7．若60°角的终边上有一点P(4，a)，则a的值等于______．
8．已知tan θ＝2，则＝________.
