高考微点8 三角恒等变换
1．三角函数公式
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β.
tan(α±β)＝.
(2)二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
(3)辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)
2．三角函数公式的常用变式
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)．
(2)降幂公式：sin2α＝；cos2α＝；
sin αcos α＝sin 2α.
(3)升幂公式：1＋cos α＝2cos2；1－cos α＝2sin2；1＋sin α＝2；1－sin α＝2.
[微练习]
1．计算：sin 45°cos 375°＋cos 225°sin 15°＝( )
A. B．－
C．－ D．
解析：选A sin 45°cos 375°＋cos 225°sin 15°＝sin 45°·cos 15°－cos 45°sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝.
2．已知sin＝，－<α<0，则cos的值为( )
A. B．
C．－ D．1
解析：选C 由题意得cos α＝，sin α＝－，
∴cos＝cos α＋sin α＝－.
3．若sin＝，则2cos2－1＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 2cos2－1＝cos＝cos＝sin＝.
4．已知3cos 2α＝4sin，α∈，则sin 2α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D 由题意知3(cos2α－sin2α)＝2(cos α－sin α)，由于α∈，因而cos α≠sin α，则3(cos α＋sin α)＝2，故9(1＋sin 2α)＝8，sin 2α＝－.
1．2sin 165°cos 15°＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 2sin 165°cos 15°＝2sin(180°－15°)cos 15°＝2sin 15°·cos 15°＝sin 30°＝.故选A.
2．已知角α的终边上的一点的坐标为，则＝( )
A．－ B．
C．－7 D．7
解析：选A 根据三角函数的定义可知sin α＝，cos α＝，又sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－，所以＝－.故选A.
3．已知tan＝，且α为第二象限角，若β＝，则sin(α－2β)cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选D ∵tan＝＝，
∴tan α＝－，又α为第二象限角，∴cos α＝－，
∴sin(α－2β)cos 2β－cos(α－2β)sin 2β
＝sin(α－4β)＝sin＝－cos α＝.
4．已知α，β，γ∈，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，那么β－α＝( )
A. B．－
C. D．±
解析：选C 已知两式化为sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，平方之后相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝sin2γ＋cos2γ，即2－2sin β·sin α－2cos αcos β＝1，cos(β－α)＝，由于α，β，γ∈，∴sin γ＝sin β－sin α>0，因而β>α，则β－α＝，故选C.
5．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选D ∵α∈，∴2α∈(0，π)．∵cos α＝，
∴cos 2α＝2cos2α－1＝－，∴sin 2α＝＝，而α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝＝，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝×＋×＝.
6．已知α＋β＝，且(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，则tan α＝( )
A．－ B．
C．－ D．3
解析：选D 由(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，得tan αtan β＋3(tan α＋tan β)＝tan α－2， ①
又tan(α＋β)＝＝，
即(tan α＋tan β)＝1－tan αtan β， ②
由①②得tan α＝3，故选D.
7．已知sin 2α＝，则cos2＝________.
解析：cos2＝＝＝.
答案：
8．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．
解析：tan β＝tan(α＋β－α)＝＝＝3.
答案：3
9．求值：＝________.
解析：原式＝＝＝2.
答案：2
10．已知tan(3π－x)＝2，则＝________.
解析：由诱导公式得tan(3π－x)＝－tan x＝2，
即tan x＝－2，
故＝＝＝－3.
答案：－3
高考微点8 三角恒等变换
1．三角函数公式
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β.
tan(α±β)＝.
(2)二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
(3)辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)
2．三角函数公式的常用变式
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)．
(2)降幂公式：sin2α＝；cos2α＝；
sin αcos α＝sin 2α.
(3)升幂公式：1＋cos α＝2cos2；1－cos α＝2sin2；1＋sin α＝2；1－sin α＝2.
[微练习]
1．计算：sin 45°cos 375°＋cos 225°sin 15°＝( )
A. B．－
C．－ D．
2．已知sin＝，－<α<0，则cos的值为( )
A. B．
C．－ D．1
3．若sin＝，则2cos2－1＝( )
A. B．－
C. D．－
4．已知3cos 2α＝4sin，α∈，则sin 2α＝( )
A. B．－
C. D．－
1．2sin 165°cos 15°＝( )
A. B．－
C. D．－
2．已知角α的终边上的一点的坐标为，则＝( )
A．－ B．
C．－7 D．7
3．已知tan＝，且α为第二象限角，若β＝，则sin(α－2β)cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝( )
A．－ B．
C．－ D．
4．已知α，β，γ∈，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，那么β－α＝( )
A. B．－
C. D．±
5．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)＝( )
A．－ B．
C．－ D．
6．已知α＋β＝，且(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，则tan α＝( )
A．－ B．
C．－ D．3
7．已知sin 2α＝，则cos2＝________.
8．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．
9．求值：＝________.
10．已知tan(3π－x)＝2，则＝________.
