高考微点9 三角函数的图象与性质
[微要点]
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
周期性 y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为T＝
奇偶性 φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数
单调性 根据y＝sin t和t＝ωx＋φ的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得单调递减区间
对称性 利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x. 利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，求得其对称轴
2．注意两个易误点
(1)研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k∈Z”这一条件．
(2)正切函数的单调增区间是，k∈Z，不能说它在整个定义域内是增函数．
[微练习]
1．下列函数在上恒为正且是增函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝－sin x D．y＝－cos x
解析：选D 作出各自的图象(图略)知，y＝sin x，y＝cos x在上递减，不符合．而y＝－sin x的图象虽满足在上递增但其值为负，所以只有D符合．
2．下列函数同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在上是减函数”的是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝sin
解析：选D 易知函数y＝sin的最小正周期为4π，故排除A；当x＝时，y＝sin＝0，故排除B；当x∈时，2x＋∈，函数y＝cos在上单调递增，故排除C；对于函数y＝sin，可知其最小正周期T＝＝π，将x＝代入得，y＝sin＝1，是最大值，可知该函数的图象关于直线x＝对称，令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，可知函数y＝sin在上是减函数，故选D.
3．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数．若f(x)的最小正周期是π，
且当x∈时，f(x)＝sin x，则f＝________.
解析：由题意得f＝f＝f＝f＝sin＝.
答案：
4．函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．
解析：由f(x)＝sin＝－sin，欲求函数f(x)的单调递减区间，只需求y＝sin的单调递增区间即可．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
5．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
解析：∵f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，
∴当0≤ωx≤，
即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，
即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．
由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，
在上单调递减知，＝，∴ω＝.
答案：
[微要点]
1．由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
2．注意两个易误点
(1)要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．
(2)由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|.
[微练习]
1．要得到函数f(x)＝cos的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象( )
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
解析：选A 由函数的图象平移的定义可知选项A正确．
2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f(1)的值为( )
A．－ B．－1
C．1 D．
解析：选B 根据题中所给图象可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×＝2，A＝2，ω＝＝π，f＝2sin＝－2, 又0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝2sin，所以f(1)＝2sin＝－1，故选B.
3．将函数y＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝－
解析：选D 将函数y＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得函数y＝sin的图象，再向左平移个单位长度，得函数y＝sin＝sin的图象，令2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，令k＝－1，则x＝－.故选D.
4．将函数f(x)＝cos x－sin x(x∈R)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则a的最小值是________．
解析：选B f(x)＝cos x－sin x＝2＝2cos，将f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后得到y＝2cos的图象，则由题意知＋a＝＋kπ，k∈Z，所以a＝＋kπ，k∈Z，又因为a>0，所以a的最小值为.
答案：
5．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，A，B分别是函数f(x)的图象上相邻的最高点和最低点．若|AB|＝2，则f(1)＝________.
解析：设f(x)的最小正周期为T，则有 ＝2，解得T＝4，所以ω＝＝＝，所以f(x)＝sin，所以f(1)＝sin＝sin ＝.
答案：
1．下列四个函数中，最小正周期为π，且在区间上为减函数的是( )
A．y＝sin 2x B．y＝2|cos x|
C．y＝cos D．y＝tan(－x)
解析：选D 对于A，y＝sin 2x的最小正周期为π，在区间上先减后增；对于B，y＝2|cos x|的最小正周期为π，在区间上为增函数；对于C，y＝cos 的最小正周期为4π，在区间上为减函数；对于D，y＝tan(－x)的最小正周期为π，在区间上为减函数．
2．函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为( )
A．3，－1 B．3，－2
C．2，－1 D．2，－2
解析：选D y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x＝－sin2x－2sin x＋1，令t＝sin x，则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以最大值为2，最小值为－2.
3．若直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tan x相交，则相交的相邻两点间的距离是( )
A. B．2π
C．π D．与a值有关
解析：选C 利用图象(图略)，直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tan x相交，知相交两点间的距离就是此正切曲线的最小正周期，因此可得相交的相邻两点间的距离是π.
4．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )
A. B．
C．2 D．3
解析：选B 因为ω>0，－≤x≤，所以－≤ωx≤.由已知条件知－≤－，所以ω≥.故选B.
5．要得到函数y＝cos x的图象，只需将函数y＝sin的图象上所有的点的( )
A．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
解析：选C 将函数y＝sin的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象向左平移个单位长度得到y＝sin，即y＝cos x的图象．故选C.
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ≤π)．若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )
A．f(x)在区间[－2π，0]上单调递增
B．f(x)在区间[－3π，－π]上单调递增
C．f(x)在区间[3π，5π]上单调递减
D．f(x)在区间[4π，6π]上单调递减
解析：选A ∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝，∵当x＝时，f(x)取得最大值，∴×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ(k∈Z)，∵－π<φ≤π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.验证易得，函数f(x)在区间[－2π，0]上单调递增，在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均不单调，在区间[4π，6π]上单调递增．
7.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：选C 由题意，函数的周期为T＝60，
∴ω＝＝，设函数解析式为y＝sin(易知秒针是顺时针走动)，∵初始位置为P0，∴t＝0时，y＝，∴sin φ＝，∴φ可取，
∴函数解析式为y＝sin.
8. 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．f(x)的图象关于直线x＝－对称
B．f(x)的图象关于点对称
C．若方程f(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(－2，－]
D．将函数y＝2sin的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象
解析：选C 根据题中所给的图象，可知A＝2，T＝4×＝π，∴ω＝2.又f＝2sin＝2，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∵|φ|<，∴φ＝，故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin，∴2×＋＝－π，从而f(x)的图象关于点对称，而不是关于直线x＝－对称，故A不正确；2×＋＝－，∴f(x)的图象关于直线x＝－对称，而不是关于点对称，故B不正确；当x∈时，2x＋∈，结合正弦函数图象的性质，可知若方程f(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(－2，－]，故C正确；根据图象平移变换的法则，可知应将y＝2sin的图象向左平移个单位长度得到f(x)的图象，故D不正确．
9．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，若f(0)＝－f且f(x)在上有且仅有三个零点，则ω＝( )
A. B．2
C. D．或6
解析：选D f(0)＝sin＝－，
令ωx1－＝0得，x1＝，而＝＝，故x1＝.
又f(0)＝－f，
如图，若f(x)在上有且仅有3个零点，
则＝T＋×2或＝，即T＝或T＝，则ω＝或6，故选D.
10．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)在区间上单调且最大值不大于，则φ的取值范围是( )
A. B．
C. D．
解析：选D 因为函数f(x)＝2sin(2x＋φ)在区间上单调且最大值不大于，又φ－<2x＋φ≤＋φ， 所以＋φ≤，且φ－≥－，解得－≤φ≤0，故选D.
11．已知函数f(x)＝cossin x，则函数f(x)的图象( )
A．最小正周期为T＝2π
B．关于点对称
C．在区间上为减函数
D．关于直线x＝对称
解析：选D ∵函数f(x)＝cossin x＝·sin x＝sin 2x－·＝(sin 2x＋cos 2x)－＝sin－，∴函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，故A不正确；令x＝，得f(x)＝sin－＝－＝，为函数f(x)的最大值，故函数f(x)的图象关于直线x＝对称，f(x)的图象不关于点对称，故B不正确，D正确；当x∈时，2x＋∈，f(x)＝sin－为增函数，故C不正确．故选D.
12.水车是古代劳动人民进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).则下列叙述错误的是( )
A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6
解析：选C 由点A(3，－3)可得R＝6.由旋转一周用时60秒可得T＝＝60，则ω＝.由点A(3，－3)可得∠AOx＝，则φ＝－，故A叙述正确．当t∈[35,55]时，t－∈，∴当t－＝时，得点P(0，－6)，此时，点P到x轴的距离最大且为6，故B叙述正确．∵f(t)＝6sin，∴当t＝20时，水车旋转了三分之一周期，则∠AOP＝，∴可求得|PA|＝6，故D叙述正确．故选C.
13．已知函数f(x)＝tan(x＋φ)的图象的一个对称中心为，且|φ|<，则φ＝________.
解析：由题意得＋φ＝(k∈Z)，故φ＝－(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝或－.
答案：或－
14．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ＝________.
解析：由图象知A＝1，T＝4＝π，
故ω＝2，再由2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜，
故φ＝－.
答案：－
15．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos 2x|，③y＝cos，④y＝tan 2x中，最小正周期为π的所有函数的序号为________．
解析：①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；②函数y＝cos 2x的最小正周期为π，由图象(图略)知y＝|cos 2x|的最小正周期为；③y＝cos的最小正周期T＝＝π；④y＝tan 2x的最小正周期T＝.因此①③的最小正周期为π.
答案：①③
16．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，若f≤f(x)≤f对任意x∈R恒成立，则当ω取最小值时，φ值为________．
解析：若f≤f(x)≤f对任意x∈R恒成立，
则f(x) max＝f，f(x)min＝f，当ω取最小值时，最小正周期T最大，Tmax＝2×＝π，所以ωmin＝＝＝2，而f(x)＝sin(2x＋φ)在x＝时取得最大值，故2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－.
答案：－
高考微点9 三角函数的图象与性质
[微要点]
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
周期性 y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为T＝
奇偶性 φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数
单调性 根据y＝sin t和t＝ωx＋φ的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得单调递减区间
对称性 利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x. 利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，求得其对称轴
2．注意两个易误点
(1)研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k∈Z”这一条件．
(2)正切函数的单调增区间是，k∈Z，不能说它在整个定义域内是增函数．
[微练习]
1．下列函数在上恒为正且是增函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝－sin x D．y＝－cos x
2．下列函数同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在上是减函数”的是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝sin
3．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数．若f(x)的最小正周期是π，
且当x∈时，f(x)＝sin x，则f＝________.
4．函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．
5．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
[微要点]
1．由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
2．注意两个易误点
(1)要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．
(2)由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|.
[微练习]
1．要得到函数f(x)＝cos的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象( )
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f(1)的值为( )
A．－ B．－1
C．1 D．
3．将函数y＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝－
4．将函数f(x)＝cos x－sin x(x∈R)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则a的最小值是________．
5．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，A，B分别是函数f(x)的图象上相邻的最高点和最低点．若|AB|＝2，则f(1)＝________.
1．下列四个函数中，最小正周期为π，且在区间上为减函数的是( )
A．y＝sin 2x B．y＝2|cos x|
C．y＝cos D．y＝tan(－x)
2．函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为( )
A．3，－1 B．3，－2
C．2，－1 D．2，－2
3．若直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tan x相交，则相交的相邻两点间的距离是( )
A. B．2π
C．π D．与a值有关
4．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )
A. B．
C．2 D．3
5．要得到函数y＝cos x的图象，只需将函数y＝sin的图象上所有的点的( )
A．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ≤π)．若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )
A．f(x)在区间[－2π，0]上单调递增
B．f(x)在区间[－3π，－π]上单调递增
C．f(x)在区间[3π，5π]上单调递减
D．f(x)在区间[4π，6π]上单调递减
7.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
8. 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．f(x)的图象关于直线x＝－对称
B．f(x)的图象关于点对称
C．若方程f(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(－2，－]
D．将函数y＝2sin的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象
9．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，若f(0)＝－f且f(x)在上有且仅有三个零点，则ω＝( )
A. B．2
C. D．或6
10．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)在区间上单调且最大值不大于，则φ的取值范围是( )
A. B．
C. D．
11．已知函数f(x)＝cossin x，则函数f(x)的图象( )
A．最小正周期为T＝2π
B．关于点对称
C．在区间上为减函数
D．关于直线x＝对称
12.水车是古代劳动人民进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).则下列叙述错误的是( )
A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6
13．已知函数f(x)＝tan(x＋φ)的图象的一个对称中心为，且|φ|<，则φ＝________.
14．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ＝________.
15．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos 2x|，③y＝cos，④y＝tan 2x中，最小正周期为π的所有函数的序号为________．
16．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，若f≤f(x)≤f对任意x∈R恒成立，则当ω取最小值时，φ值为________．
