高考微点10 解三角形
1．正、余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝
2．三角形的面积公式
(1)已知三角形一边及该边上的高：
三角形的面积S＝ah(h表示边a上的高)．
(2)已知三角形的两边及其夹角：
三角形的面积S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
3．掌握三角形中的几个常见结论
(1)A＋B＋C＝π.
(2)大边对大角．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4)有关三角形内角的三角函数关系式：
sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，tan(A＋B)＝－tan C，
(5)设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，则
①若a2＋b2＝c2，则C＝；
②若a2＋b2>c2，则C<；
③若a2＋b2.
4．注意两个易误点
(1)由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．
(2)应用三角形面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A 时，注意公式中的角应为两边的夹角．
[微练习]
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，b＝，A＝30°，则B＝( )
A．60° B．60°或120°
C．30°或150° D．120°
解析：选B 由正弦定理＝，即＝，解得sin B＝.又a＝1A＝30°，故B＝60°或120°.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＝2sin B，cos C＝－，则＝( )
A. B．
C. D．
解析：选B 在△ABC中，由sin A＝2sin B及正弦定理，得a＝2b，再由cos C＝－及余弦定理，得＝－，将b＝a代入，得＝－，化简整理得2＝，∴＝.
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A∶B＝1∶2，sin C＝1，则a∶b∶c等于________．
解析：∵sin C＝1，∴C＝，由于A∶B＝1∶2，故A＋B＝3A＝，得A＝，B＝，由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶∶1＝1∶∶2.
答案：1∶∶2
4．在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sin2＝1－sin C.
(1)求角C的大小；
(2)若a＝，c＝，求△ABC的面积．
解：(1)因为2sin2＝1－sin C，所以cos C＝sin C，
所以tan C＝1.
因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C，
又a＝，c＝，C＝，
所以5＝2＋b2－2b·，
所以b2－2b－3＝0，解得b＝3或b＝－1(舍去)，
故S△ABC＝absin C＝××3×＝.
1．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为( )
A. B.
C. D．3
解析：选B 由题意及余弦定理可得
cos A＝＝，
∴sin A＝ ＝，
∴边AC上的高h＝AB·sin A＝.
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝( )
A．1或2 B．2
C. D．1
解析：选B ∵B＝2A，a＝1，b＝，∴由正弦定理＝，得＝＝＝，∴cos A＝.又由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，即1＝3＋c2－3c，解得c＝2或c＝1(经检验不合题意，舍去)，∴c＝2.故选B.
3．在△ABC中，B为锐角，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若＝，sin B＝，S△ABC＝，则b的值为( )
A．5 B．2
C. D．
解析：选D ∵＝，∴＝，∴a＝c.将a＝c代入S△ABC＝acsin B＝，得×c×c×＝，解得c＝2或c＝－2(舍去)．∴a＝×2＝5.又由sin B＝且B为锐角，知cos B＝，则由余弦定理，得b＝ ＝.故选D.
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＝2bcos C”是“△ABC是等腰三角形”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若a＝2bcos C，由正弦定理得sin A＝2sin B·cos C，即sin(B＋C)＝2sin Bcos C，所以sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，即sin Bcos C－cos Bsin C＝0，所以sin(B－C)＝0，即B＝C，所以△ABC是等腰三角形．若△ABC是等腰三角形，当A＝B时，a＝2bcos C不一定成立，所以“a＝2bcos C”是“△ABC是等腰三角形”的充分不必要条件．故选A.
5.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，发现A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测得B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为( )
A．20 海里 B．40 海里
C．20(1＋)海里 D．40海里
解析：选A 连接AB(图略)．由题意可知CD＝40海里，∠ADB＝60°，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝45°.在△ACD中，由正弦定理，得＝，∴AD＝20(海里)．在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴BD＝CD＝×40＝40(海里)．在△ABD中，由余弦定理，
得AB＝＝20(海里)．故选A.
6．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝________.
解析：在△ABC中，根据正弦定理，得＝，∴AC＝＝＝2.
答案：2
7．在△ABC中，已知角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且c＝4，B＝，面积S＝2，则b＝________.
解析：由已知得S＝acsin B＝×a×4×＝2，解得a＝1.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－2×1×4×＝25，所以b＝5.
答案：5
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________．
解析：由cos A＝－，得sin A＝，所以△ABC的面积为bcsin A＝bc×＝3，解得bc＝24，又b－c＝2，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b－c)2＋2bc－2bccos A＝22＋2×24－2×24×＝64，故a＝8.
答案：8
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcos C＝(2a－c)cos B，
(1)求角B的大小．
(2)若b＝，a＋c＝4，求a，c的值．
解：(1)由已知条件及正弦定理，得sin Bcos C＝2sin A·cos B－sin Ccos B，∴sin(B＋C)＝2sin Acos B.
∵B＋C＝π－A，∴sin A＝2sin Acos B.
∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos B＝，∴B＝.
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得7＝(a＋c)2－3ac，
∴3ac＝16－7＝9，∴ac＝3.
由解得或
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin2＋sin Bsin C＝.
(1)求角A.
(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．
解：(1)由已知，化简得＋sin Bsin C＝，
即＋sin Bsin C＝，
整理得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，
即cos(B＋C)＝－，
由于0(2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
而由a＝，b＝2，A＝，
得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，
因为c>0，所以c＝3，
故△ABC的面积为S＝bcsin A＝×2×3×＝.
高考微点10 解三角形
1．正、余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝
2．三角形的面积公式
(1)已知三角形一边及该边上的高：
三角形的面积S＝ah(h表示边a上的高)．
(2)已知三角形的两边及其夹角：
三角形的面积S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
3．掌握三角形中的几个常见结论
(1)A＋B＋C＝π.
(2)大边对大角．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4)有关三角形内角的三角函数关系式：
sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，tan(A＋B)＝－tan C，
(5)设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，则
①若a2＋b2＝c2，则C＝；
②若a2＋b2>c2，则C<；
③若a2＋b2.
4．注意两个易误点
(1)由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．
(2)应用三角形面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A 时，注意公式中的角应为两边的夹角．
[微练习]
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，b＝，A＝30°，则B＝( )
A．60° B．60°或120°
C．30°或150° D．120°
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＝2sin B，cos C＝－，则＝( )
A. B．
C. D．
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A∶B＝1∶2，sin C＝1，则a∶b∶c等于________．
4．在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sin2＝1－sin C.
(1)求角C的大小；
(2)若a＝，c＝，求△ABC的面积．
1．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为( )
A. B.
C. D．3
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝( )
A．1或2 B．2
C. D．1
3．在△ABC中，B为锐角，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若＝，sin B＝，S△ABC＝，则b的值为( )
A．5 B．2
C. D．
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＝2bcos C”是“△ABC是等腰三角形”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，发现A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测得B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为( )
A．20 海里 B．40 海里
C．20(1＋)海里 D．40海里
6．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝________.
7．在△ABC中，已知角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且c＝4，B＝，面积S＝2，则b＝________.
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________．
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcos C＝(2a－c)cos B，
(1)求角B的大小．
(2)若b＝，a＋c＝4，求a，c的值．
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin2＋sin Bsin C＝.
(1)求角A.
(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．
