高考数学(理科)重点生专题特训:高考微点11 平面向量 学案(word版含解析)

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名称 高考数学(理科)重点生专题特训:高考微点11 平面向量 学案(word版含解析)
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2020-05-11 14:33:03

文档简介

高考微点11 平面向量

[微要点]
1.两个定理
(1)向量共线定理
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa.
(2)平面向量的基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
2.掌握平面向量运算的三个常用结论
(1)在△ABC中,点D是BC的中点,则=(+).
(2)点O为△ABC的重心的充要条件是++=0.
(3)在四边形ABCD中,点E为AD的中点,点F为BC的中点,则+=2.
3.注意两个易误点
(1)在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个.
(2)在用三角形加法法则时,要保证“首尾相接”,结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量;在用三角形减法法则时,要保证“同起点”,结果向量的方向是指向被减向量.
[微练习]
1.如图,正六边形ABCDEF中,++=(  )
A.0     B.
C. D.
解析:选B 由平面向量平行的性质知=,所以++=++=.
2.已知向量a,b是两个不共线的向量,若向量m=4a+b与n=a-λb共线,则实数λ的值为(  )
A.-4 B.-
C. D.4
解析:选B 因为向量a,b是两个不共线的向量,所以若向量m=4a+b与n=a-λb共线,则4×(-λ)=1×1,解得λ=-,故选B.
3.已知点M是△ABC的边BC的中点,点E在边AC上,且=2,则=(  )
A.+ B.+
C.+ D.+
解析:选C 如图,∵=2,∴=+=+=+(-)=+.
4.如图,已知点D是△ABC所在平面内的一点,且=-2,设=λ+μ,则λ-μ=(  )
A.-6 B.6
C.-3 D.3
解析:选C 因为=-2,所以C是BD的中点,所以=+=+=+-=2-,又=λ+μ,所以λ=-1,μ=2,所以λ-μ=-3.故选C.


[微要点]
1.平面向量数量积的性质及坐标表示
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.
名称 几何表示 坐标表示
模 |a|= |a|=
数量积 a·b=| a || b |cos θ a·b=x 1 x 2+y 1 y 2
夹角 cos θ= cos θ=
a⊥b的充要条件 a·b=0 x 1 x 2+y 1 y 2=0


2.掌握两个结论
向量a与b的夹角为锐角?cos〈a,b〉>0,且a与b不共线;
向量a与b的夹角为钝角?cos〈a,b〉<0,且a与b不共线.
3.注意三个易误点
(1)a·b=0不能推出a=0或b=0,因为a·b=0时,有可能a⊥b.
(2)在运用向量夹角时,注意其取值范围为[0,π].
(3)在用|a|=求向量的模时,一定要把求出的a2再进行开方.
[微练习]
1.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则向量a与b的夹角为(  )
A. B.
C. D.
解析:选C 由a·b=|a||b|cos〈a,b〉=2,得1×4cos〈a,b〉=2,故cos〈a,b〉=.又〈a,b〉∈[0,π],故〈a,b〉=.
2.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量 在方向上的投影为(  )
A. B.
C.- D.-
解析:选A 由题意知=(2,1),=(5,5),则在方向上的投影为||·cos〈,〉==.
3.已知向量与的夹角为60°,且||=2,||=4.若=+λ,且⊥,则实数λ的值为(  )
A. B.-
C.0 D.-


解析:选C 由⊥,得·=0,即(+λ)·(-)=0,∴-||2+(1-λ)··+λ||2=0,即-22+(1-λ)×2×4×cos 60°+λ·42=0,解得λ=0.故选C.
4.已知平面向量a与b的夹角等于,如果|a|=2,|b|=3,那么|2a-3b|=________.
解析:|2a-3b|2=(2a-3b)2=4a2-12a·b+9b2=4×22-12×2×3×cos+9×32=61,所以|2a-3b|=.
答案:
5.在△ABC中,已知向量=(2,2),||=2,·=-4,则△ABC的面积为________.
解析:∵=(2,2),∴||==2,
·=||·||cos A=2×2×cos A=-4,
即cos A=-,∵0∴S△ABC=||·||·sin A=2.
答案:2


1.已知在△ABC中,D是BC的中点,那么下列各式中正确的是(  )
A.+=    B.=+
C.-= D.2+=
解析:选D A错,应为+=2;B错,应为+=+=;C错,应为=+;D正确,2+=+=.
2.若=(-1,3),=(1,7),则=(  )
A.(0,5) B.(1,2)
C.(0,10) D.(2,4)
解析:选B ∵=(-1,3),=(1,7),∴=(-)=(2,4)=(1,2).故选B.
3.已知向量a=(-1,3),b=(1,t),若(a-2b)⊥a,则|b|=(  )
A. B.
C.2 D.4
解析:选B 因为a=(-1,3),b=(1,t),
所以a-2b=(-3,3-2t).
因为(a-2b)⊥a,所以(a-2b)·a=0,
即(-1)×(-3)+3(3-2t)=0,即t=2,所以b=(1,2),
所以|b|==.
4.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ=(  )
A. B.
C.1 D.2
解析:选B 由题意得a+λb=(1+λ,2),由(a+λb)∥c得(1+λ)×4-3×2=0,所以λ=.
5.已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则λ=(  )
A.-1 B.-2
C.-2或1 D.-1或2
解析:选D 法一:由于A,B,C三点共线,则=μ,可得即λ2-λ-2=0,解得λ=-1或λ=2.故选D.
法二:由A,B,C三点共线,可得=,即λ(λ-1)-2×1=0,解得λ=-1或λ=2.故选D.
6.在△ABC中,P,Q分别是边AB,BC上的点,且AP=AB,BQ=BC.若=a,=b,则=(  )
A.a+b B.-a+b
C.a-b D.-a-b
解析:选A =+=+=+(-)=+=a+b,故选A.
7.已知向量a,b满足|a|=1,|a+b|=,a·(b-a)=-4,则a与b的夹角是(  )
A. B.
C. D.
解析:选A 因为a·(b-a)=a·b-|a|2=-4,a2=|a|2=1,所以a·b=-3,因为|a+b|=,即a2+2a·b+b2=7,所以b2=12,即|b|=2,所以cos〈a,b〉==-,因为0≤〈a,b〉≤π,所以a与b的夹角是,故选A.
8.已知P是△ABC所在平面内一点,若·=·=·,则P是△ABC的(  )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
解析:选D 由·=· 得 ·(-)=0,即·=0,故PB⊥AC.同理可证PA⊥BC,PC⊥AB,由此可知P为△ABC的垂心.
9.已知△ABC的外接圆的圆心为O,满足:=m+n,4m+3n=2,且||=4,||=6,则·=(  )
A.36 B.24
C.24 D.12
解析:选A ·=m2+n·,因为O为△ABC的外心,
所以2=m2+n||·||·cos∠BCA,所以24=48m+24n·cos∠BCA,
因为4m+3n=2,所以24=12(2-3n)+24n·cos∠BCA,又n≠0,即cos∠BCA=,所以·=||·||cos∠BCA=4×6×=36.

10.如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为边BC上一点,=3,F为AE的中点,则=(  )
A. - B.-
C.-+ D.-+
解析:选C 如图,取AB的中点G,连接DG,CG,则DG∥BC,所以==-=-,所以=+=+=+=+,于是=-=-=-=-+,故选C.
11.如图所示,AB是圆O的直径,P是上的点,M,N是直径AB上关于点O对称的两点,且AB=6,MN=4,则·=(  )
A.13 B.7
C.5 D.3
解析:选C 连接AP,BP,则=+,=+=-,所以·=(+)·(-)=·-·+·-||2=-·+·-||2=·-||2=1×6-1=5.
12.如图,三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上,边B3C3上有10个不同的点P1,P2,…,P10,记mi=· (i=1,2,…,10),则m1+m2+…+m10的值为(  )

A.180 B.60
C.45 D.15
解析:选A 由题意可知,∠B2AC3=30°,∠AC3B3=60°,∴⊥,即·=0.则mi=·=·(+)=·=2×6×=18,∴m1+m2+…+m10=18×10=180.

13.已知向量|a|=1,|b|=,且b·(2a+b)=1,则向量a,b的夹角的余弦值为_____.
解析:∵b·(2a+b)=1,∴2a·b+b2=1.∵|b|=,∴a·b=-.∴cos〈a,b〉===-.
答案:-
14.已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点,则·(+)=________.
解析:如图,设BC的中点为D,则AD⊥BC,∴|AP|cos∠PAD=AD,+=2.∵△ABC是边长为2的等边三角形,∴AD=,∴·(+)=·2=2×||×||×cos∠PAD=2||2=2×()2=6.
答案:6
15.已知菱形ABCD边长为2,∠B=,点P满足=λ,λ∈R,若·=-3,则λ的值为________.
解析:法一:由题意可得·=2×2cos =2,
·=(+)·(-)
=(+)·[(-)-]
=(+)·[(λ-1)·-]
=(1-λ)2-·+(1-λ)·-2
=(1-λ)·4-2+2(1-λ)-4
=-6λ=-3,
∴λ=.
法二:建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),C(1,),
D(-1,).
令P(x,0),由·=(-3,)·(x-1,-)=-3x+3-3=-3x=-3得x=1.
∵=λ,∴λ=.
答案:
16.在△ABC中,满足⊥,M是BC的中点,若O是线段AM上任意一点,且||=||=,则·(+)的最小值为________.
解析:∵||=||=,∴||=1.设||=x,则||=1-x,而+=2,∴·(+)=2·=2||·||cos π=-2x(1-x)=2x2-2x=22-,当且仅当x=时,·(+)取得最小值,最小值为-.
答案:-

高考微点11 平面向量

[微要点]
1.两个定理
(1)向量共线定理
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa.
(2)平面向量的基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
2.掌握平面向量运算的三个常用结论
(1)在△ABC中,点D是BC的中点,则=(+).
(2)点O为△ABC的重心的充要条件是++=0.
(3)在四边形ABCD中,点E为AD的中点,点F为BC的中点,则+=2.
3.注意两个易误点
(1)在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个.
(2)在用三角形加法法则时,要保证“首尾相接”,结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量;在用三角形减法法则时,要保证“同起点”,结果向量的方向是指向被减向量.
[微练习]
1.如图,正六边形ABCDEF中,++=(  )
A.0     B.
C. D.

2.已知向量a,b是两个不共线的向量,若向量m=4a+b与n=a-λb共线,则实数λ的值为(  )
A.-4 B.-
C. D.4

3.已知点M是△ABC的边BC的中点,点E在边AC上,且=2,则=(  )
A.+ B.+
C.+ D.+

4.如图,已知点D是△ABC所在平面内的一点,且=-2,设=λ+μ,则λ-μ=(  )
A.-6 B.6
C.-3 D.3


[微要点]
1.平面向量数量积的性质及坐标表示
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.
名称 几何表示 坐标表示
模 |a|= |a|=
数量积 a·b=| a || b |cos θ a·b=x 1 x 2+y 1 y 2
夹角 cos θ= cos θ=
a⊥b的充要条件 a·b=0 x 1 x 2+y 1 y 2=0


2.掌握两个结论
向量a与b的夹角为锐角?cos〈a,b〉>0,且a与b不共线;
向量a与b的夹角为钝角?cos〈a,b〉<0,且a与b不共线.
3.注意三个易误点
(1)a·b=0不能推出a=0或b=0,因为a·b=0时,有可能a⊥b.
(2)在运用向量夹角时,注意其取值范围为[0,π].
(3)在用|a|=求向量的模时,一定要把求出的a2再进行开方.
[微练习]
1.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则向量a与b的夹角为(  )
A. B.
C. D.

2.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量 在方向上的投影为(  )
A. B.
C.- D.-

3.已知向量与的夹角为60°,且||=2,||=4.若=+λ,且⊥,则实数λ的值为(  )
A. B.-
C.0 D.-

4.已知平面向量a与b的夹角等于,如果|a|=2,|b|=3,那么|2a-3b|=________.

5.在△ABC中,已知向量=(2,2),||=2,·=-4,则△ABC的面积为________.


1.已知在△ABC中,D是BC的中点,那么下列各式中正确的是(  )
A.+=    B.=+
C.-= D.2+=

2.若=(-1,3),=(1,7),则=(  )
A.(0,5) B.(1,2)
C.(0,10) D.(2,4)

3.已知向量a=(-1,3),b=(1,t),若(a-2b)⊥a,则|b|=(  )
A. B.
C.2 D.4

4.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ=(  )
A. B.
C.1 D.2

5.已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则λ=(  )
A.-1 B.-2
C.-2或1 D.-1或2

6.在△ABC中,P,Q分别是边AB,BC上的点,且AP=AB,BQ=BC.若=a,=b,则=(  )
A.a+b B.-a+b
C.a-b D.-a-b

7.已知向量a,b满足|a|=1,|a+b|=,a·(b-a)=-4,则a与b的夹角是(  )
A. B.
C. D.

8.已知P是△ABC所在平面内一点,若·=·=·,则P是△ABC的(  )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心

9.已知△ABC的外接圆的圆心为O,满足:=m+n,4m+3n=2,且||=4,||=6,则·=(  )
A.36 B.24
C.24 D.12

10.如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为边BC上一点,=3,F为AE的中点,则=(  )
A. - B.-
C.-+ D.-+

11.如图所示,AB是圆O的直径,P是上的点,M,N是直径AB上关于点O对称的两点,且AB=6,MN=4,则·=(  )
A.13 B.7
C.5 D.3

12.如图,三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上,边B3C3上有10个不同的点P1,P2,…,P10,记mi=· (i=1,2,…,10),则m1+m2+…+m10的值为(  )

A.180 B.60
C.45 D.15

13.已知向量|a|=1,|b|=,且b·(2a+b)=1,则向量a,b的夹角的余弦值为_____.

14.已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点,则·(+)=________.

15.已知菱形ABCD边长为2,∠B=,点P满足=λ,λ∈R,若·=-3,则λ的值为________.

16.在△ABC中,满足⊥,M是BC的中点,若O是线段AM上任意一点,且||=||=,则·(+)的最小值为________.


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