高考微点11 平面向量
[微要点]
1．两个定理
(1)向量共线定理
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
(2)平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．掌握平面向量运算的三个常用结论
(1)在△ABC中，点D是BC的中点，则＝(＋)．
(2)点O为△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0.
(3)在四边形ABCD中，点E为AD的中点，点F为BC的中点，则＋＝2.
3．注意两个易误点
(1)在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．
(2)在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．
[微练习]
1.如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0 B．
C． D．
解析：选B 由平面向量平行的性质知＝，所以＋＋＝＋＋＝.
2．已知向量a，b是两个不共线的向量，若向量m＝4a＋b与n＝a－λb共线，则实数λ的值为( )
A．－4 B．－
C. D．4
解析：选B 因为向量a，b是两个不共线的向量，所以若向量m＝4a＋b与n＝a－λb共线，则4×(－λ)＝1×1，解得λ＝－，故选B.
3．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则＝( )
A.＋ B．＋
C.＋ D．＋
解析：选C 如图，∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
4.如图，已知点D是△ABC所在平面内的一点，且＝－2，设＝λ＋μ，则λ－μ＝( )
A．－6 B．6
C．－3 D．3
解析：选C 因为＝－2，所以C是BD的中点，所以＝＋＝＋＝＋－＝2－，又＝λ＋μ，所以λ＝－1，μ＝2，所以λ－μ＝－3.故选C.
[微要点]
1．平面向量数量积的性质及坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
名称 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
数量积 a·b＝| a || b |cos θ a·b＝x 1 x 2＋y 1 y 2
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x 1 x 2＋y 1 y 2＝0
2．掌握两个结论
向量a与b的夹角为锐角?cos〈a，b〉>0，且a与b不共线；
向量a与b的夹角为钝角?cos〈a，b〉<0，且a与b不共线．
3．注意三个易误点
(1)a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.
(2)在运用向量夹角时，注意其取值范围为[0，π]．
(3)在用|a|＝求向量的模时，一定要把求出的a2再进行开方．
[微练习]
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则向量a与b的夹角为( )
A. B．
C. D．
解析：选C 由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2，得1×4cos〈a，b〉＝2，故cos〈a，b〉＝.又〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝.
2．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量 在方向上的投影为( )
A. B．
C．－ D．－
解析：选A 由题意知＝(2,1)，＝(5,5)，则在方向上的投影为||·cos〈，〉＝＝.
3．已知向量与的夹角为60°，且||＝2，||＝4.若＝＋λ，且⊥，则实数λ的值为( )
A. B．－
C．0 D．－
解析：选C 由⊥，得·＝0，即(＋λ)·(－)＝0，∴－||2＋(1－λ)··＋λ||2＝0，即－22＋(1－λ)×2×4×cos 60°＋λ·42＝0，解得λ＝0.故选C.
4．已知平面向量a与b的夹角等于，如果|a|＝2，|b|＝3，那么|2a－3b|＝________.
解析：|2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×22－12×2×3×cos＋9×32＝61，所以|2a－3b|＝.
答案：
5．在△ABC中，已知向量＝(2,2)，||＝2，·＝－4，则△ABC的面积为________．
解析：∵＝(2,2)，∴||＝＝2，
·＝||·||cos A＝2×2×cos A＝－4，
即cos A＝－，∵0
∴S△ABC＝||·||·sin A＝2.
答案：2
1．已知在△ABC中，D是BC的中点，那么下列各式中正确的是( )
A．＋＝ B．＝＋
C．－＝ D．2＋＝
解析：选D A错，应为＋＝2；B错，应为＋＝＋＝；C错，应为＝＋；D正确，2＋＝＋＝.
2．若＝(－1,3)，＝(1,7)，则＝( )
A．(0,5) B．(1,2)
C．(0,10) D．(2,4)
解析：选B ∵＝(－1,3)，＝(1,7)，∴＝(－)＝(2,4)＝(1,2)．故选B.
3．已知向量a＝(－1,3)，b＝(1，t)，若(a－2b)⊥a，则|b|＝( )
A. B．
C．2 D．4
解析：选B 因为a＝(－1,3)，b＝(1，t)，
所以a－2b＝(－3,3－2t)．
因为(a－2b)⊥a，所以(a－2b)·a＝0，
即(－1)×(－3)＋3(3－2t)＝0，即t＝2，所以b＝(1,2)，
所以|b|＝＝.
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝( )
A. B．
C．1 D．2
解析：选B 由题意得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝.
5．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则λ＝( )
A．－1 B．－2
C．－2或1 D．－1或2
解析：选D 法一：由于A，B，C三点共线，则＝μ，可得即λ2－λ－2＝0，解得λ＝－1或λ＝2.故选D.
法二：由A，B，C三点共线，可得＝，即λ(λ－1)－2×1＝0，解得λ＝－1或λ＝2.故选D.
6．在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且AP＝AB，BQ＝BC.若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B．－a＋b
C.a－b D．－a－b
解析：选A ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A.
7．已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋b|＝，a·(b－a)＝－4，则a与b的夹角是( )
A. B．
C. D．
解析：选A 因为a·(b－a)＝a·b－|a|2＝－4，a2＝|a|2＝1，所以a·b＝－3，因为|a＋b|＝，即a2＋2a·b＋b2＝7，所以b2＝12，即|b|＝2，所以cos〈a，b〉＝＝－，因为0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角是，故选A.
8．已知P是△ABC所在平面内一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：选D 由·＝· 得 ·(－)＝0，即·＝0，故PB⊥AC.同理可证PA⊥BC，PC⊥AB，由此可知P为△ABC的垂心．
9．已知△ABC的外接圆的圆心为O，满足：＝m＋n，4m＋3n＝2，且||＝4，||＝6，则·＝( )
A．36 B．24
C．24 D．12
解析：选A ·＝m2＋n·，因为O为△ABC的外心，
所以2＝m2＋n||·||·cos∠BCA，所以24＝48m＋24n·cos∠BCA，
因为4m＋3n＝2，所以24＝12(2－3n)＋24n·cos∠BCA，又n≠0，即cos∠BCA＝，所以·＝||·||cos∠BCA＝4×6×＝36.
10.如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为边BC上一点，＝3，F为AE的中点，则＝( )
A. － B．－
C．－＋ D．－＋
解析：选C 如图，取AB的中点G，连接DG，CG，则DG∥BC，所以＝＝－＝－，所以＝＋＝＋＝＋＝＋，于是＝－＝－＝－＝－＋，故选C.
11.如图所示，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·＝( )
A．13 B．7
C．5 D．3
解析：选C 连接AP，BP，则＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝·－·＋·－||2＝－·＋·－||2＝·－||2＝1×6－1＝5.
12．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…，P10，记mi＝· (i＝1,2，…，10)，则m1＋m2＋…＋m10的值为( )
A．180 B．60
C．45 D．15
解析：选A 由题意可知，∠B2AC3＝30°，∠AC3B3＝60°，∴⊥，即·＝0.则mi＝·＝·(＋)＝·＝2×6×＝18，∴m1＋m2＋…＋m10＝18×10＝180.
13．已知向量|a|＝1，|b|＝，且b·(2a＋b)＝1，则向量a，b的夹角的余弦值为_____．
解析：∵b·(2a＋b)＝1，∴2a·b＋b2＝1.∵|b|＝，∴a·b＝－.∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
答案：－
14．已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则·(＋)＝________.
解析：如图，设BC的中点为D，则AD⊥BC，∴|AP|cos∠PAD＝AD，＋＝2.∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AD＝，∴·(＋)＝·2＝2×||×||×cos∠PAD＝2||2＝2×()2＝6.
答案：6
15．已知菱形ABCD边长为2，∠B＝，点P满足＝λ，λ∈R，若·＝－3，则λ的值为________．
解析：法一：由题意可得·＝2×2cos ＝2，
·＝(＋)·(－)
＝(＋)·[(－)－]
＝(＋)·[(λ－1)·－]
＝(1－λ)2－·＋(1－λ)·－2
＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4
＝－6λ＝－3，
∴λ＝.
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，
D(－1，)．
令P(x,0)，由·＝(－3，)·(x－1，－)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.
∵＝λ，∴λ＝.
答案：
16．在△ABC中，满足⊥，M是BC的中点，若O是线段AM上任意一点，且||＝||＝，则·(＋)的最小值为________．
解析：∵||＝||＝，∴||＝1.设||＝x，则||＝1－x，而＋＝2，∴·(＋)＝2·＝2||·||cos π＝－2x(1－x)＝2x2－2x＝22－，当且仅当x＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.
答案：－
高考微点11 平面向量
[微要点]
1．两个定理
(1)向量共线定理
向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
(2)平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．掌握平面向量运算的三个常用结论
(1)在△ABC中，点D是BC的中点，则＝(＋)．
(2)点O为△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0.
(3)在四边形ABCD中，点E为AD的中点，点F为BC的中点，则＋＝2.
3．注意两个易误点
(1)在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．
(2)在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．
[微练习]
1.如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0 B．
C． D．
2．已知向量a，b是两个不共线的向量，若向量m＝4a＋b与n＝a－λb共线，则实数λ的值为( )
A．－4 B．－
C. D．4
3．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则＝( )
A.＋ B．＋
C.＋ D．＋
4.如图，已知点D是△ABC所在平面内的一点，且＝－2，设＝λ＋μ，则λ－μ＝( )
A．－6 B．6
C．－3 D．3
[微要点]
1．平面向量数量积的性质及坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
名称 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
数量积 a·b＝| a || b |cos θ a·b＝x 1 x 2＋y 1 y 2
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x 1 x 2＋y 1 y 2＝0
2．掌握两个结论
向量a与b的夹角为锐角?cos〈a，b〉>0，且a与b不共线；
向量a与b的夹角为钝角?cos〈a，b〉<0，且a与b不共线．
3．注意三个易误点
(1)a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.
(2)在运用向量夹角时，注意其取值范围为[0，π]．
(3)在用|a|＝求向量的模时，一定要把求出的a2再进行开方．
[微练习]
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则向量a与b的夹角为( )
A. B．
C. D．
2．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量 在方向上的投影为( )
A. B．
C．－ D．－
3．已知向量与的夹角为60°，且||＝2，||＝4.若＝＋λ，且⊥，则实数λ的值为( )
A. B．－
C．0 D．－
4．已知平面向量a与b的夹角等于，如果|a|＝2，|b|＝3，那么|2a－3b|＝________.
5．在△ABC中，已知向量＝(2,2)，||＝2，·＝－4，则△ABC的面积为________．
1．已知在△ABC中，D是BC的中点，那么下列各式中正确的是( )
A．＋＝ B．＝＋
C．－＝ D．2＋＝
2．若＝(－1,3)，＝(1,7)，则＝( )
A．(0,5) B．(1,2)
C．(0,10) D．(2,4)
3．已知向量a＝(－1,3)，b＝(1，t)，若(a－2b)⊥a，则|b|＝( )
A. B．
C．2 D．4
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝( )
A. B．
C．1 D．2
5．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则λ＝( )
A．－1 B．－2
C．－2或1 D．－1或2
6．在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且AP＝AB，BQ＝BC.若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B．－a＋b
C.a－b D．－a－b
7．已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋b|＝，a·(b－a)＝－4，则a与b的夹角是( )
A. B．
C. D．
8．已知P是△ABC所在平面内一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
9．已知△ABC的外接圆的圆心为O，满足：＝m＋n，4m＋3n＝2，且||＝4，||＝6，则·＝( )
A．36 B．24
C．24 D．12
10.如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为边BC上一点，＝3，F为AE的中点，则＝( )
A. － B．－
C．－＋ D．－＋
11.如图所示，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·＝( )
A．13 B．7
C．5 D．3
12．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…，P10，记mi＝· (i＝1,2，…，10)，则m1＋m2＋…＋m10的值为( )
A．180 B．60
C．45 D．15
13．已知向量|a|＝1，|b|＝，且b·(2a＋b)＝1，则向量a，b的夹角的余弦值为_____．
14．已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则·(＋)＝________.
15．已知菱形ABCD边长为2，∠B＝，点P满足＝λ，λ∈R，若·＝－3，则λ的值为________．
16．在△ABC中，满足⊥，M是BC的中点，若O是线段AM上任意一点，且||＝||＝，则·(＋)的最小值为________．
