高考微点12 等差数列和等比数列
[微要点]
1．谨记两类数列的基本公式
等差数列 通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d. 中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N *，n≥2)． 前n项和公式：Sn＝＝na1＋d
等比数列 通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. 中项公式：a＝an－1·an＋1(n∈N *，n≥2)． 前n项和公式：Sn＝
2．注意两个易误点
(1)注意区分等差、等比数列定义中同一个常数与常数的区别．
(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．
[微练习]
1．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选C 因为d＝＝2，Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝64，解得n＝8.
2．公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
解析：选A ∵S3＋3S2＝0，
∴＋＝0，∴a1(q2＋4q＋4)＝0，
∵数列{an}为等比数列，∴a1≠0，解得q＝－2.故选A.
3．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝( )
A．2n B．2n－1
C．3n D．3n－1
解析：选A 设{an}的公比为q，由a＝a10>0，可知q>1，由2(an＋an＋2)＝5an＋1，得2＝5，解得q＝2.
所以由aq8＝a1q9，得a1＝2，所以an＝2n.
4．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn＝( )
A．n(3n－1) B．
C．n(n＋1) D．
解析：选C 依题意得an＋1＝an＋a1，即an＋1－an＝a1＝2，所以数列{an}是以2为首项、2为公差的等差数列，an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝＝n(n＋1)，选C.
[微要点]
1．等差数列的性质
(1)an＝am＋(n－m)d，an＋m＝an＋md＝am＋nd(m，n∈N *)．
(2)若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an.
(3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列．
(4)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝.
(5)若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.
2.等比数列的性质
(1)an＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.
(3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列．
(4)若数列{an}的项数为2n，S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.
[微练习]
1．已知－9，a1，a2，－1成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1成等比数列，则b2(a1＋a2)等于( )
A．30 B．－30
C．±30 D．15
解析：选A 依题意a1＋a2＝－9＋(－1)＝－10，
∵b＝(－9)×(－1)＝9，
又b2与－9，－1符号相同，
即b2＝－3，∴b2(a1＋a2)＝30.
2．在等差数列{an}中，已知S4＝1，S8＝4，设S＝a17＋a18＋a19＋a20，则S的值为( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选B 由S4＝1，S8＝4，得S8－S4＝3，所以S12－S8＝5，所以S16－S12＝7，所以S＝S20－S16＝9.故选B.
3．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比q为( )
A. B．
C．2 D．2
解析：选C 由奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a1·a3·a5·a7·a9＝a＝2，a2·a4·a6·a8·a10＝a＝64，则q5＝＝32，则q＝2，故选C.
4．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋…＋a100＝80，a101＋a102＋…＋a200＝120，则a201＋a202＋…＋a300的值为( )
A．140 B．150
C．160 D．180
解析：选C 设a201＋a202＋…＋a300＝t，
则
由等差数列的性质可知120－80＝t－120，于是t＝160，
故a201＋a202＋…＋a300＝160.
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，则满足Sn＞0的最大自然数n的值为( )
A．6 B．7
C．12 D．13
解析：选C ∵a1＞0，a6a7＜0，∴a6＞0，a7＜0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12＞0，a1＋a13＝2a7＜0，∴S12＞0，S13＜0，∴满足Sn＞0的最大自然数n的值为12.
1．在等比数列{an}中，已知a1＝1，a4＝8，则a5＝( )
A．16 B．16或－16
C．32 D．32或－32
解析：选A 因为a4＝a1q3，则q＝2，所以a5＝a4q＝16.
2．若在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋3，则an＝( )
A．3 B．3n＋3
C．3n D．3n＋6
解析：选C 由an＋1＝an＋3可知数列{an}为等差数列，且首项为3，公差为3，所以an＝a1＋(n－1)d＝3n.
3．设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N *)，则S6＝( )
A．44 B．45
C.(46－1) D．(45－1)
解析：选B 因为a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N*)，可得an＝3Sn－1(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an(n≥2)；而a1＝1，a2＝3S1＝3，可得＝3，所以{an}从第二项起是公比为4的等比数列．所以an＝3·4n－2(n≥2)，a1＝1，所以S6＝1＋3＋12＋…＋3·44＝1＋＝1＋45－1＝45.选B.
4．在14与中间插入n个数，组成各项之和为的等比数列，则此数列的项数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选A 设该数列的公比为q(q≠1)，则＝14qn＋1，＝＝，得q＝－，n＝3，故此数列共有5项．
5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )
A．6斤 B．9斤
C．9.5斤 D．12斤
解析：选A 依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．故选A.
6.已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1＋b，则＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：选A ∵等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1＋b，
∴a1＝S1＝a＋b，a2＝S2－S1＝3a＋b－a－b＝2a，
a3＝S3－S2＝9a＋b－3a－b＝6a，
∵等比数列{an}中，a＝a1a3，
∴(2a)2＝(a＋b)×6a，解得＝－3.
7．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，公差为d，若－＝100，则d的值为( )
A. B．
C．10 D．20
解析：选B 因为＝＝a1＋d，
所以－＝a1＋d－＝1 000d＝100，所以d＝.
8．已知数列{an}是单调递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前2 019项之和S2 019＝( )
A．22 018 B．22 017－1
C．22 018－1 D．22 019－1
解析：选D 由题意，{an}是单调递增的等比数列，则公比q>1，首项a1>0.
由得
解得(负值舍去)，故q＝2.
所以数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，
则S2 019＝22 019－1.故选D.
9．设数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若S1≤13，S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为( )
A．3 B．4
C．－7 D．－5
解析：选B ∵S4≥10，S5≤15，∴a1＋a2＋a3＋a4≥10，a1＋a2＋a3＋a4＋a5≤15，∴a5≤5，∴a1＋4d≤5 ①.
又∵S5＝5a3≤15，∴a3≤3，∴a1＋2d≤3 ②.
①＋②，得2(a1＋3d)≤8，∴a1＋3d＝a4≤4.即a4的最大值为4.故选B.
10．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an，Sn＝a－a＋a－a＋…＋a－a等于( )
A.(2n－1) B．(1－24n)
C.(4n－1) D．(1－2n)
解析：选B 因为a1＝1，an＋1＝2an，所以＝2，所以数列{an}是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以an＝2 n－1.又a＝(2n－1)2＝4 n－1，不妨设bn＝(－1) n－1·a＝(－1) n－1·4 n－1＝(－4) n－1，则数列{bn}是以1为首项，以－4为公比的等比数列，那么Sn＝b1＋b2＋…＋b2n＝＝(1－24n)．故选B.
11．已知数列{an}，{bn}满足bn＝an＋an＋1，则“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为等差数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若数列{an}为等差数列，设公差为d，则当n≥2时，bn－bn－1＝an＋an＋1－an－1－an＝an＋1－an＋an－an－1＝2d，为常数，则数列{bn}为等差数列，即充分性成立．若数列{bn}为等差数列，设公差为b，则n≥2时，bn－bn－1＝an＋an＋1－an－1－an＝an＋1－an－1＝b为常数，则无法推出an－an－1为常数，即无法判断数列{an}为等差数列，即必要性不成立．综上，“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为等差数列”的充分不必要条件．
12．已知数列{an}为等差数列，若a＋a≤25恒成立，则a1＋3a7的取值范围是( )
A．[－10，10 ] B．[－5，5 ]
C．[－10,10] D．[－5,5]
解析：选A a＋a＝(a1＋a10)2－2a1a10≥(a1＋a10)2－2·2＝(a1＋a10)2，当且仅当a1＝a10时取等号．又∵a＋a≤25，∴(a1＋a10)2≤25，∴(a1＋a10)2≤50，解得a1＋a10∈[－5，5]．∴a1＋3a7＝a1＋a7＋2a7＝2(a4＋a7)＝2(a1＋a10)∈[－10，10 ]．故选A.
13．已知Sn为等差数列{an}的前n项和．若S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.
解析：设数列{an}的公差为d，由题意得所以所以a5＝a1＋4d＝－1.
答案：－1
14．已知(1,3)，(3，－1)是等差数列{an}图象上的两点，若5是p，q的等差中项，则ap＋aq的值为________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，由于(1,3)，(3，－1)是等差数列{an}图象上的两点，所以a1＝3，a3＝－1.由a3＝a1＋2d＝3＋2d＝－1，得d＝－2.所以等差数列的通项公式为an＝－2n＋5，因为5是p，q的等差中项，即有p＋q＝2×5，所以ap＋aq＝2a5＝2(－2×5＋5)＝－10.
答案：－10
15．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________.
解析：因为＋＝，＋＝，
由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，
所以＋＋＋＝＝×＝－.
答案：－
16．已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.对任意的m∈N *，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm，则数列{bm}的前m项和Sm＝________.
解析：设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn.由T5＝105，a10＝2a5，
得
解得a1＝7，d＝7，
因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N *)．
对任意的m∈N *，若an＝7n≤72m，则n≤72m－1.
因此bm＝72m－1，所以数列{bm}是首项为7，
公比为49的等比数列，
故Sm＝＝＝.
答案：
高考微点12 等差数列和等比数列
[微要点]
1．谨记两类数列的基本公式
等差数列 通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d. 中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N *，n≥2)． 前n项和公式：Sn＝＝na1＋d
等比数列 通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. 中项公式：a＝an－1·an＋1(n∈N *，n≥2)． 前n项和公式：Sn＝
2．注意两个易误点
(1)注意区分等差、等比数列定义中同一个常数与常数的区别．
(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．
[微练习]
1．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝( )
A．6 B．7
C．8 D．9
2．公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
3．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝( )
A．2n B．2n－1
C．3n D．3n－1
4．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn＝( )
A．n(3n－1) B．
C．n(n＋1) D．
[微要点]
1．等差数列的性质
(1)an＝am＋(n－m)d，an＋m＝an＋md＝am＋nd(m，n∈N *)．
(2)若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an.
(3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列．
(4)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝.
(5)若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.
2.等比数列的性质
(1)an＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.
(3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列．
(4)若数列{an}的项数为2n，S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.
[微练习]
1．已知－9，a1，a2，－1成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1成等比数列，则b2(a1＋a2)等于( )
A．30 B．－30
C．±30 D．15
2．在等差数列{an}中，已知S4＝1，S8＝4，设S＝a17＋a18＋a19＋a20，则S的值为( )
A．8 B．9
C．10 D．11
3．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比q为( )
A. B．
C．2 D．2
4．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋…＋a100＝80，a101＋a102＋…＋a200＝120，则a201＋a202＋…＋a300的值为( )
A．140 B．150
C．160 D．180
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，则满足Sn＞0的最大自然数n的值为( )
A．6 B．7
C．12 D．13
1．在等比数列{an}中，已知a1＝1，a4＝8，则a5＝( )
A．16 B．16或－16
C．32 D．32或－32
2．若在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋3，则an＝( )
A．3 B．3n＋3
C．3n D．3n＋6
3．设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N *)，则S6＝( )
A．44 B．45
C.(46－1) D．(45－1)
4．在14与中间插入n个数，组成各项之和为的等比数列，则此数列的项数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )
A．6斤 B．9斤
C．9.5斤 D．12斤
6.已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1＋b，则＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
7．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，公差为d，若－＝100，则d的值为( )
A. B．
C．10 D．20
8．已知数列{an}是单调递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前2 019项之和S2 019＝( )
A．22 018 B．22 017－1
C．22 018－1 D．22 019－1
9．设数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若S1≤13，S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为( )
A．3 B．4
C．－7 D．－5
10．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an，Sn＝a－a＋a－a＋…＋a－a等于( )
A.(2n－1) B．(1－24n)
C.(4n－1) D．(1－2n)
11．已知数列{an}，{bn}满足bn＝an＋an＋1，则“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为等差数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知数列{an}为等差数列，若a＋a≤25恒成立，则a1＋3a7的取值范围是( )
A．[－10，10 ] B．[－5，5 ]
C．[－10,10] D．[－5,5]
13．已知Sn为等差数列{an}的前n项和．若S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.
14．已知(1,3)，(3，－1)是等差数列{an}图象上的两点，若5是p，q的等差中项，则ap＋aq的值为________．
15．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________.
16．已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.对任意的m∈N *，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm，则数列{bm}的前m项和Sm＝________.
