高考微点13 数列的通项公式与求和
[微要点]
1．掌握数列通项公式的几种常用方法
(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．
(2)利用Sn，an的关系式，即an＝
(3)若an＋1－an＝f(n)，则用累加法．
(4)若＝f(n)，则用累乘法．
(5)若an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)，则用构造法．设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，求得λ＝，进而用等比数列求通项公式．
2．注意一个易误点
在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．
[微练习]
1．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N *)，则是这个数列的( )
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
解析：选B 由an＋1＝可得＝＋，即数列是以＝1为首项，为公差的等差数列，故＝1＋(n－1)×＝n＋，即an＝，由＝，解得n＝7.
2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则通项公式an＝( )
A．2·3n－1－1 B．2·3 n－1
C．3n－2 D．2·3n－5
解析：选A 因为an＋1＋1＝3(an＋1)，所以数列{an＋1}是等比数列，首项为a1＋1＝2，公比为3.所以an＋1＝2×3 n－1，故an＝2·3 n－1－1.
3．已知数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝n，则an＝________.
解析：由题意可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，
相加可得an－a1＝2＋3＋…＋n，所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝.
答案：
[微要点]
1．掌握数列求和的常用方法
(1)公式法：适合求等差数列或等比数列的前n项和．对等比数列利用公式法求和时，一定注意公比q是否取1.
(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．
(3)裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂项后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为的数列的前n项和．
(4)分组求和法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并．
(5)并项求和法：当一个数列为摆动数列，形如(－1)nan的形式，通常分奇、偶，观察相邻两项是否构成新数列．
2．注意两个易误点
(1)裂项求和时忽视系数致误，将通项直接裂开而没有注意系数变化，或乘以系数而不是系数的倒数；
(2)错位相减求和时项数出错致误．两式相减后需要进行等比数列求和，项数一定要看清，建议利用公式Sn＝求和，避免项数出错．
[微练习]
1．已知数列an＝则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100＝( )
A．4 800 B．4 900
C．5 000 D．5 100
解析：选C 由题意得a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100＝0＋2＋2＋4＋4＋…＋98＋98＋100＝2(2＋4＋6＋…＋98)＋100＝2×＋100＝5 000.
2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝3，S5＝25，若的前n项和为，则n的值为( )
A．504 B．1 008
C．1 009 D．2 017
解析：选C 设等差数列{an}的公差为d，
则由题意可得a2＝a1＋d＝3，S5＝5a1＋d＝25，
解得a1＝1，d＝2，
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1，
∴＝
＝，
∴＋＋…＋
＝
＝.
令＝，
则1－＝，
∴2n＋1＝2 019，
∴n＝1 009.
3．已知等差数列{an}满足：an＋1>an(n∈N*)，a1＝1，该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列，an＋2log2bn＝－1.
(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
解：(1)设d为等差数列{an}的公差，则d>0，由a1＝1，a2＝1＋d，a3＝1＋2d分别加上1,1,3后成等比数列，
得(2＋d)2＝2(4＋2d)，
解得d＝2(负值舍去)，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
又因为an＋2log2bn＝－1，
所以log2bn＝－n，则bn＝.
(2)由(1)知an·bn＝(2n－1)·，
则Tn＝＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋…＋，②
①－②，得
Tn＝＋2×－.
∴Tn＝＋2×－，
∴Tn＝1＋2－－
＝3－.
1．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，那么S100的值为( )
A．2 500 B．2 600
C．2 700 D．2 800
解析：选B 当n为奇数时，an＋2－an＝0?an＝1，当n为偶数时，an＋2－an＝2?an＝n，故an＝于是S100＝50＋＝2 600.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，Sn＝10，则n＝( )
A．90 B．119
C．120 D．121
解析：选C ∵an＝＝－，
∴Sn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝10，∴n＋1＝121，n＝120.
3．在数列{an}中，a2＝8，a5＝2，且2an＋1－an＋2＝an(n∈N *)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|的值是( )
A．－10 B．10
C．50 D．70
解析：选C 由2an＋1－an＋2＝an，得2an＋1＝an＋2＋an，所以数列{an}是等差数列．设公差为d，由a2＝a1＋d＝8，a5＝a1＋4d＝2，得a1＝10，d＝－2，所以an＝－2n＋12，Sn＝＝－n2＋11n.当1≤n≤6时，an≥0；当n≥7时，an<0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝2S6－S10＝50.故选C.
4．设{an}是正项数列，其前n项和Sn满足4Sn＝(an－1)·(an＋3)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝( )
A．2n＋1 B．2n－1
C．2n－1 D．2n＋1
解析：选D 由4Sn＝(an－1)(an＋3)，
得4Sn－1＝(an－1－1)·(an－1＋3)，n≥2，
两式相减得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
又{an}是正项数列，
∴an－an－1－2＝0(n≥2)，
则数列{an}是公差为2的等差数列，a1＝3，
∴an＝2n＋1.
5．“五一”期间，北京十家重点公园将进行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，第一个30分钟内有4人进去并出来1人，第二个30分钟内进去8人并出来2人，第三个30分钟内进去16人并出来3人，第四个30分钟内进去32人并出来4人……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是( )
A.211－47 B．212－57
C．213－68 D．214－80
解析：选B 设每30分钟进入公园的人数构成数列{an}，则数列{an}满足a1＝2，a2＝22－1，a3＝23－2，a4＝24－3，…，a11＝211－10，所以该数列的前11项和为S11＝(21－0)＋(22－1)＋(23－2)＋(24－3)＋…＋(211－10)＝－＝212－57.
6．已知数列{an}的前n项和为Sn＝3＋2n，则数列{an}的通项公式为________．
解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－2n－1＝2n－1.
因为当n＝1时，不符合an＝2n－1，
所以数列{an}的通项公式为an＝
答案：an＝
7．若数列{an}满足an＝(n∈N*)，则该数列落入区间内的项数为________．
解析：由<<，得<1＋<，即<<，4答案：7
8．数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列的前10项和为________．
解析：由题意得an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝，所以＝2，Sn＝2＝，S10＝.
答案：
9．在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝1，b1＝2，bn>0(n∈N*)，且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3＋2成等比数列．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式．
(2)设cn＝3bn－2，求数列{cn}的前n项和Sn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.
因为b1，a2，b2成等差数列，所以2a2＝b1＋b2.
又因为a2，b2，a3＋2成等比数列，所以b＝a2·(a3＋2)．
将上面两式联立有
解得或(舍去)．
所以an＝3n－2，bn＝2·3n－1.
(2)由(1)知bn＝2·3n－1，所以cn＝3bn－2＝2·3n－2，
所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝2(31＋32＋…＋3n)－2n＝3n＋1－2n－3.
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N *)．
(1)求m的值；
(2)若数列{bn}满足＝log2bn(n∈N*)，求数列{(an＋6)·bn}的前n项和．
解：(1)由已知，得am＝Sm－Sm－1＝4，
且am＋1＋am＋2＝Sm＋2－Sm＝14，
设等差数列{an}的公差为d，
则有2am＋3d＝14，
∴d＝2.
由Sm＝0，得ma1＋×2＝0，
即a1＝1－m，
∴am＝a1＋(m－1)×2＝m－1＝4，
∴m＝5.
(2)由(1)知a1＝－4，d＝2，∴an＝2n－6，
∴n－3＝log2bn，即bn＝2n－3，
∴(an＋6)·bn＝2n×2n－3＝n×2n－2.
设数列{(an＋6)·bn}的前n项和为Tn，
则Tn＝1×2－1＋2×20＋…＋(n－1)×2n－3＋n×2n－2，①
2Tn＝1×20＋2×21＋…＋(n－1)×2n－2＋n×2n－1，②
①－②，得－Tn＝2－1＋20＋…＋2n－2－n×2n－1
＝－n×2n－1
＝2n－1－－n×2n－1，
∴Tn＝(n－1)×2n－1＋(n∈N*)
高考微点13 数列的通项公式与求和
[微要点]
1．掌握数列通项公式的几种常用方法
(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．
(2)利用Sn，an的关系式，即an＝
(3)若an＋1－an＝f(n)，则用累加法．
(4)若＝f(n)，则用累乘法．
(5)若an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)，则用构造法．设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，求得λ＝，进而用等比数列求通项公式．
2．注意一个易误点
在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．
[微练习]
1．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N *)，则是这个数列的( )
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则通项公式an＝( )
A．2·3n－1－1 B．2·3 n－1
C．3n－2 D．2·3n－5
3．已知数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝n，则an＝________.
[微要点]
1．掌握数列求和的常用方法
(1)公式法：适合求等差数列或等比数列的前n项和．对等比数列利用公式法求和时，一定注意公比q是否取1.
(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．
(3)裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂项后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为的数列的前n项和．
(4)分组求和法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并．
(5)并项求和法：当一个数列为摆动数列，形如(－1)nan的形式，通常分奇、偶，观察相邻两项是否构成新数列．
2．注意两个易误点
(1)裂项求和时忽视系数致误，将通项直接裂开而没有注意系数变化，或乘以系数而不是系数的倒数；
(2)错位相减求和时项数出错致误．两式相减后需要进行等比数列求和，项数一定要看清，建议利用公式Sn＝求和，避免项数出错．
[微练习]
1．已知数列an＝则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100＝( )
A．4 800 B．4 900
C．5 000 D．5 100
2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝3，S5＝25，若的前n项和为，则n的值为( )
A．504 B．1 008
C．1 009 D．2 017
3．已知等差数列{an}满足：an＋1>an(n∈N*)，a1＝1，该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列，an＋2log2bn＝－1.
(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
1．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，那么S100的值为( )
A．2 500 B．2 600
C．2 700 D．2 800
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，Sn＝10，则n＝( )
A．90 B．119
C．120 D．121
3．在数列{an}中，a2＝8，a5＝2，且2an＋1－an＋2＝an(n∈N *)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|的值是( )
A．－10 B．10
C．50 D．70
4．设{an}是正项数列，其前n项和Sn满足4Sn＝(an－1)·(an＋3)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝( )
A．2n＋1 B．2n－1
C．2n－1 D．2n＋1
5．“五一”期间，北京十家重点公园将进行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，第一个30分钟内有4人进去并出来1人，第二个30分钟内进去8人并出来2人，第三个30分钟内进去16人并出来3人，第四个30分钟内进去32人并出来4人……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是( )
A.211－47 B．212－57
C．213－68 D．214－80
6．已知数列{an}的前n项和为Sn＝3＋2n，则数列{an}的通项公式为________．
7．若数列{an}满足an＝(n∈N*)，则该数列落入区间内的项数为________．
8．数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列的前10项和为________．
9．在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝1，b1＝2，bn>0(n∈N*)，且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3＋2成等比数列．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式．
(2)设cn＝3bn－2，求数列{cn}的前n项和Sn.
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N *)．
(1)求m的值；
(2)若数列{bn}满足＝log2bn(n∈N*)，求数列{(an＋6)·bn}的前n项和．
