高考微点14 不等式
[微要点]
1．掌握两类不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法．
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．
(2)简单分式不等式的解法．
①>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)．
②≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
2．注意两个易误点
(1)对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．
(2)当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是?，要注意区别．
[微练习]
1．关于x的一元二次不等式x2＋ax＋b>0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则不等式ax2＋bx－2<0的解集为( )
A．(－3,1) B.∪(2，＋∞)
C. D．(－1,2)
解析：选C 由关于x的一元二次不等式x2＋ax＋b>0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，可知方程x2＋ax＋b＝0的两实数根分别为－3,1，
则解得
所以不等式ax2＋bx－2<0可化为2x2－3x－2<0，即(2x＋1)(x－2)<0，
解得－
2．不等式≤x－2的解集是( )
A．(－∞，0]∪(2,4] B．[0,2)∪[4，＋∞)
C．[2,4) D．(－∞，2)∪(4，＋∞)
解析：选B 将原不等式移项通分得≤0，于是原不等式等价于或解得x≥4或0≤x<2.故选B.
3．若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，－6]
C．[－6,2] D．(－∞，－6]∪[2，＋∞)
解析：选D 由关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，得关于x的一元二次方程x2－ax－a＋3＝0有实数根，即Δ＝a2＋4(a－3)≥0，解得a≥2或a≤－6.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．故选D.
4．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意的实数x，都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是________．
解析：由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)图象的对称轴为直线x＝1，则有＝1，故a＝2.由f(x)的图象(图略)可知f(x)在[－1,1]上为增函数，∴当x∈[－1,1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，令b2－b－2>0，解得b<－1或b>2.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
[微要点]
1．线性目标函数z＝ax＋by最值的确定方法
(1)将目标函数z＝ax＋by化成直线的斜截式方程(z看成常数)．
(2)根据的几何意义，确定的最值．
(3)得出z的最值．
2．常见的非线性目标函数表示的几何意义
(1)z＝：点(x，y)与原点的距离．
(2)z＝：点(x，y)与点(a，b)的距离．
(3)z＝：过点(x，y)与原点的直线的斜率．
(4)z＝：过点(x，y)与点(a，b)的直线的斜率．
3．注意两个易错点
(1)画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先把二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)．
(2)线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．
[微练习]
1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为( )
A．－7 B．－4
C．1 D．2
解析：选A 法一：将z＝y－2x化为y＝2x＋z，作出可行域和直线y＝2x(如图所示)，当直线y＝2x＋z向右下方平移时，直线y＝2x＋z在y轴上的截距z减小，数形结合知当直线y＝2x＋z经过点B(5,3)时，z取得最小值3－10＝－7.故选A.
法二：易知平面区域的三个顶点坐标分别为(1,3)，(2,0)，(5,3)，分别代入z＝y－2x得z的值分别为1，－4，－7，故z的最小值为－7.故选A.
2．若x，y满足约束条件当且仅当x＝y＝3时，z＝ax－y取得最小值，则实数a的取值范围是( )
A. B．
C. D．
解析：选C 作出题中约束条件表示的可行域，如图中△ABC(含边界)所示，作直线l：z＝ax－y，当l向上平移时，z减小，由题意，z仅在点A(3,3)处取得最小值，a是直线l的斜率，又kAC＝－，kAB＝，所以－
3．已知点P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，则|OP|的最小值等于________．
解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可解得点A(1,1)，当点P与点A重合时，|OP|最小，最小值为|OA|＝.
答案：
[微要点]
1．掌握基本不等式的常用变形
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)a＋b≥2(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)a＋≥2(a>0)，当且仅当a＝1时取等号；
a＋≤－2(a<0)，当且仅当a＝－1时取等号．
(5)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
2．注意两个易误点
(1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．
(2)多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．
[微练习]
1．“x>0”是“x＋≥2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 当x>0时，x＋≥2＝2.因为x，同号，所以x＋≥2，则x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2”成立的充要条件．
2．已知x>1，y>1且lg x＋lg y＝6，则lg x·lg y的最大值是( )
A．6 B．9
C．12 D．36
解析：选B 因为x>1，y>1，所以lg x>0，lg y>0，所以lg x·lg y≤2＝9，当且仅当lg x＝lg y，即x＝y＝1 000时取等号．
3．设x，y∈(0，＋∞)，且xy－(x＋y)＝1，则( )
A．x＋y≥2(＋1) B．xy≤＋1
C．x＋y≤(＋1)2 D．xy≥2(＋1)
解析：选A xy＝1＋(x＋y)≤2，所以(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，则有x＋y≥2(＋1)．故选A.
1．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|log2(x2－x)>1}，则A∩B＝( )
A．(2,3) B．(2,3]
C．(－3，－2) D．[－3，－2]
解析：选B 因为A＝{x|x2－2x－3≤0}＝[－1,3]，B＝{x|log2(x2－x)>1}＝{x|x2－x>2}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，所以A∩B＝(2,3]．
2．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )
A．a>b?ac2>bc2 B．>?a>b
C.?> D．?>
解析：选C 当c＝0时，ac2＝0，bc2＝0，则由a>b不能得到ac2>bc2，故A错误；当c<0时，>?a0?或故D错误，C正确．
3．已知实数x，y满足则使不等式x＋2y≥2成立的点(x，y)组成的平面区域的面积为( )
A．1 B．
C. D．
解析：选A 由题意，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则所求面积为×1×2＝1.
4．关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)
C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析：选C ∵关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－15．设a，b∈R，若p：aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 当a6．已知m>0，n>0,2m＋n＝1，则＋的最小值为( )
A.4 B．2
C. D．16
解析：选C ∵m>0，n>0,2m＋n＝1，则＋＝(2m＋n)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当n＝，m＝时取等号．故选C.
7．设x，y满足约束条件则z＝4x·y的最大值为( )
A．1 024 B．256
C．8 D．4
解析：选B 作出约束条件对应的平面区域如图中阴影部分所示．z＝4 x·y＝22x+1，令u＝2x－y，平移直线y＝2x－u.由图象可知当直线y＝2x－u过点A时，直线y＝2x－u的截距最小，此时u最大，由解得即A(5,2)．将点A的坐标代入目标函数u＝2x－y，得u＝2×5－2＝8，所以目标函数z＝4 x·y＝22x+1的最大值是28＝256.故选B.
8．设点P(x，y)在不等式组表示的平面区域上，则z＝的最小值为( )
A．－1 B．
C．2 D．
解析：选D 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝＝可知其表示平面区域内的点P(x，y)与点A(1,0)的距离，即z＝|PA|，z的最小值为点A到直线2x－y＝0的距离，即＝.故选D.
9．已知正数x，y满足x＋y＝1，则z＝的最小值为( )
A．2(－1) B．4
C. D．8
解析：选C z＝＝xy＋＋＋＝xy＋.∵x＋y＝1，∴(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2＝1，∴x2＋y2＝1－2xy，∴z＝xy＋＝xy＋－2.令t＝xy，则0＜t＝xy≤2＝.由f(t)＝t＋在上单调递减，可知当t＝时，f(t)＝t＋有最小值，故x＝y＝时，z有最小值.故选C.
10．设实数x，y满足不等式组若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．分析知目标函数在x－y＋2＝0与3x－y－6＝0的交点(4,6)处取得最大值12，所以4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以＋＝·＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝，b＝1时取等号，故＋的最小值为4.
11．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按5天计算)生产A，B，C三种产品共15吨(同一时间段内只能生产一种产品)，已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如表：
产品名称 A B C
天
产值(单位：万元) 4 2
则每周最高产值是( )
A．30万元 B．40万元
C．47.5万元 D．52.5万元
解析：选D 设每周生产A产品x吨，生产B产品y吨，则生产C产品(15－x－y)吨，产值为z万元．
目标函数为z＝4x＋y＋2(15－x－y)＝2x＋y＋30，题目中包含的约束条件为
即
作出可行域如图中阴影部分所示．
化目标函数z＝2x＋y＋30为y＝－x＋－20.
由图可知，当直线y＝－x＋－20过B(0,15)时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值为2×0＋×15＋30＝52.5.
12．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2.若对任意的x∈[m，m＋4]，不等式f(x＋m2－2m)≥4f(x)恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，－4]∪[1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
解析：选D 依题意得f(x)＝所以函数f(x)在R上单调递增，且4f(x)＝f(2x)．对任意的x∈[m，m＋4]，不等式f(x＋m2－2m)≥4f(x)恒成立?对任意的x∈[m，m＋4]，不等式f(x＋m2－2m)≥f(2x)恒成立?对任意的x∈[m，m＋4]，不等式x＋m2－2m≥2x恒成立?对任意的x∈[m，m＋4]，不等式m2－2m≥x恒成立?m2－2m≥m＋4，解得m≥4
或m≤－1，故实数m的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．故选D.
13．函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________．
解析：∵x<0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋≥1＋2 ＝1＋2，当且仅当x＝－时取等号，故y的最小值为1＋2.
答案：1＋2
14．设函数f(x)＝则不等式f(x)解析：不等式f(x)即或解得x>2或x≤0，
∴不等式f(x)答案：(－∞，0]∪(2，＋∞)
15．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围为________．
解析：要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，则mx2－mx＋m－6＜0，即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．
法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.
所以m＜，则0＜m＜.
当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数，
所以g(x) max＝g(1)＝m－6＜0.所以m＜6，则m＜0.
综上所述，m的取值范围是.
法二：因为x2－x＋1＝2＋＞0，
又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m＜即可．
因为m≠0，所以m的取值范围是mm＜0或0＜m＜.
答案：(－∞，0)∪
16．若直线ax－y－a＋3＝0将关于x，y的不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则z＝4x－ay的最大值为________．
解析：由ax－y－a＋3＝0，得a(x－1)＋(3－y)＝0，故直线恒过点C(1,3)．关于x，y的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由得B(3,4)．由得A(－1,2)，故C(1,3)是线段AB的中点．若直线ax－y－a＋3＝0将阴影部分分成面积相等的两部分，则直线只需经过点(0,1)．将点(0,1)的坐标代入ax－y－a＋3＝0，得a＝2，则z＝4x－ay＝4x－2y，即y＝2x－.当直线y＝2x－经过点B时，目标函数取得最大值，此时最大值为4×3－2×4＝4.
答案：4
高考微点14 不等式
[微要点]
1．掌握两类不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法．
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．
(2)简单分式不等式的解法．
①>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)．
②≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
2．注意两个易误点
(1)对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．
(2)当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是?，要注意区别．
[微练习]
1．关于x的一元二次不等式x2＋ax＋b>0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则不等式ax2＋bx－2<0的解集为( )
A．(－3,1) B.∪(2，＋∞)
C. D．(－1,2)
2．不等式≤x－2的解集是( )
A．(－∞，0]∪(2,4] B．[0,2)∪[4，＋∞)
C．[2,4) D．(－∞，2)∪(4，＋∞)
3．若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，－6]
C．[－6,2] D．(－∞，－6]∪[2，＋∞)
4．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意的实数x，都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是________．
[微要点]
1．线性目标函数z＝ax＋by最值的确定方法
(1)将目标函数z＝ax＋by化成直线的斜截式方程(z看成常数)．
(2)根据的几何意义，确定的最值．
(3)得出z的最值．
2．常见的非线性目标函数表示的几何意义
(1)z＝：点(x，y)与原点的距离．
(2)z＝：点(x，y)与点(a，b)的距离．
(3)z＝：过点(x，y)与原点的直线的斜率．
(4)z＝：过点(x，y)与点(a，b)的直线的斜率．
3．注意两个易错点
(1)画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先把二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)．
(2)线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．
[微练习]
1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为( )
A．－7 B．－4
C．1 D．2
2．若x，y满足约束条件当且仅当x＝y＝3时，z＝ax－y取得最小值，则实数a的取值范围是( )
A. B．
C. D．
3．已知点P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，则|OP|的最小值等于________．
[微要点]
1．掌握基本不等式的常用变形
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)a＋b≥2(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)a＋≥2(a>0)，当且仅当a＝1时取等号；
a＋≤－2(a<0)，当且仅当a＝－1时取等号．
(5)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
2．注意两个易误点
(1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．
(2)多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．
[微练习]
1．“x>0”是“x＋≥2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知x>1，y>1且lg x＋lg y＝6，则lg x·lg y的最大值是( )
A．6 B．9
C．12 D．36
3．设x，y∈(0，＋∞)，且xy－(x＋y)＝1，则( )
A．x＋y≥2(＋1) B．xy≤＋1
C．x＋y≤(＋1)2 D．xy≥2(＋1)
1．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|log2(x2－x)>1}，则A∩B＝( )
A．(2,3) B．(2,3]
C．(－3，－2) D．[－3，－2]
2．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )
A．a>b?ac2>bc2 B．>?a>b
C.?> D．?>
3．已知实数x，y满足则使不等式x＋2y≥2成立的点(x，y)组成的平面区域的面积为( )
A．1 B．
C. D．
4．关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)
C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
5．设a，b∈R，若p：aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知m>0，n>0,2m＋n＝1，则＋的最小值为( )
A.4 B．2
C. D．16
7．设x，y满足约束条件则z＝4x·y的最大值为( )
A．1 024 B．256
C．8 D．4
8．设点P(x，y)在不等式组表示的平面区域上，则z＝的最小值为( )
A．－1 B．
C．2 D．
9．已知正数x，y满足x＋y＝1，则z＝的最小值为( )
A．2(－1) B．4
C. D．8
10．设实数x，y满足不等式组若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
11．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按5天计算)生产A，B，C三种产品共15吨(同一时间段内只能生产一种产品)，已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如表：
产品名称 A B C
天
产值(单位：万元) 4 2
则每周最高产值是( )
A．30万元 B．40万元
C．47.5万元 D．52.5万元
12．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2.若对任意的x∈[m，m＋4]，不等式f(x＋m2－2m)≥4f(x)恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，－4]∪[1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
13．函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________．
14．设函数f(x)＝则不等式f(x)
15．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围为________．
16．若直线ax－y－a＋3＝0将关于x，y的不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则z＝4x－ay的最大值为________．
