贵州省黔东南州凯里市第三中学2019-2020高一下学期开学考试数学试卷Word版含答案

数学试卷
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是()
A．(－1,1) B．(0,1)
C. D.
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积S＝2cos C，a＝1，b＝2，则c＝()
A. B.
C. D.
3.在某中学举行的环保知识竞赛中,将三个年级参赛学生的成绩(单位:分)进行整理后分为五组,绘制出如图所示的频率分布直方图,图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组,已知第二小组的频数是40,则成绩在[80,100]内的学生人数是().

A.15 B.18 C.20 D. 25
4．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝ .
A．2 B．2 C. D．1
5.已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为()
A．(－2,4) B．(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
6.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝( )
A．2 B．2
C. D．1
7.已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，且圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
8.在中，角所对的边分别为满足，， ，则的取值范围是( )
A. B. C. D.

2、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率可能是（ ）.
A. B. C. D.
10. 直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程可能是（ ）
A. B. C. D.
11.若圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0上有四个不同的点到直线l：4x＋3y＋c＝0的距离为2，则c的取值可能是()
A. -13 B. 13 C. 15 D. 18
12.在中，角所对边分别为.已知，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则面积是
3、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则PQ的最小值为________.
14.直线和互相平行，则的值为
15.若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为____．
16．在△ABC中，C＝90°，M是BC的中点．若sin∠BAM＝，
则sin∠BAC＝ .




4、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3，2)且在两坐标轴上的截距相等；
(2)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且AB＝5.




18.在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC.




19.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程.





20.已知圆经过点和直线相切，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆交于，两点，求弦的长．





21.如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB，AC和以BC为直径的半圆弧组成，其中AC为2百米，AC⊥BC，A＝.若在半圆弧，线段AC，线段AB上各建一个观赏亭D，E，F，再修两条栈道DE，DF，使DE∥AB，DF∥AC.记∠CBD＝θ.
(1)试用θ表示BD的长；
(2)试确定点E的位置，使两条栈道长度之和最大.






22.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.






答案：
一、选择题
1．A2．B3．A4．B5．C6．B7．D8．B
9．ACD10．ABD11．BC12．BD
二、填空题
13． 14．-1 15．2 16．
三、解答题
17.解(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0，0)和(3，2)，
∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
∵l过点(3，2)，∴＋＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)①过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.
解方程组
求得B点坐标为(1，4)，此时AB＝5，
即x＝1为所求.
②设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为
y＋1＝k(x－1) (k≠－2)，
解方程组
得两直线交点为
则B点坐标为.
∴＋＝52，
解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
综上可知，所求直线方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.

18.解(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，
所以sin∠ADB＝.
由题设知∠ADB<90°，
所以cos∠ADB＝＝.
(2)由题设及(1)知cos∠BDC＝sin∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC
＝25＋8－2×5×2×＝25.
所以BC＝5.


19.解(1)设P(x，y)为l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，
∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，
则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上．
设对称点为M′(a，b)，则

解得M′(，)．
设m与l的交点为N，则由
得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0.
20.（1）因为圆心在直线上，设圆心为，则圆的方程为
，
又圆与相切，所以，
因为圆过点，所以，解得，
所以圆的方程为．
（2）设的中点为，圆心为，连，，
，，
由平面几何知识知，
即弦的长为．

21.解(1)连接DC.
在△ABC中，AC为2百米，AC⊥BC，A＝，
所以∠CBA＝，AB＝4，BC＝2.
因为BC为直径，所以∠BDC＝，
所以BD＝BCcos θ＝2cos θ(百米).
(2)在△BDF中，∠DBF＝θ＋，∠BFD＝，BD＝2cos θ.
所以＝＝，
所以DF＝4cos θsin，
且BF＝4cos2θ，所以DE＝AF＝4－4cos2θ，
所以DE＋DF＝4－4cos2θ＋4cos θsin
＝sin 2θ－cos 2θ＋3
＝2sin＋3.
因为≤θ<，所以≤2θ－<，
所以当2θ－＝，即θ＝时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合.
所以当E与C重合时，两条栈道长度之和最大.

22.解(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在.设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.
由题意得＝1，解得k＝0或k＝－，
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，
所以设圆心C为(a，2a－4)，
所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，因为MA＝2MO，
所以＝2，
化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，
所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上.
由题意，点M(x，y)也在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，
则|2－1|≤CD≤2＋1，
即1≤≤3.
整理得－8≤5a2－12a≤0.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R;
由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围为.