北师大版七年级数学下册 第四章 三角形中角度计算相关的模型 讲义含答案

三角形中与角度计算相关的模型
两个定理：
1、平面内，三角形的三个内角和为180°。
2、平面内，三角形的一个外角等于其不相邻的两个外角和。
由上述两个定理可导出本文如下说要讲述的相关模型：8字模型、飞镖模型、两内角角平分线模型、两外角角平分线模型、内外角角平分线模型、共顶点的角平分线与高线夹角模型。下面一一推导证明。

模型一：8字模型

条件：AD、BC相交于点O。
结论：∠A+∠B=∠C+∠D。(上面两角之和等于下面两角之和)
证明： 在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°
在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，
由对顶角相等：∠BOA=∠COD
故有∠A+∠B=∠C+∠D
应用：如下左图所示，五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°








模型二：飞镖模型
条件：四边形ABDC如上左图所示。
结论：∠D=∠A+∠B+∠C。(凹四边形凹外角等于三个内角和)
证明： 如上右图，连接AD并延长到E，则：
∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C。本质为两个三角形外角和定理证明。
应用：如下左图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260° (下右图中两个飞镖)。


模型三：两内角角平分线模型

条件：△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I。
结论：
证明： ∵BI是∠ABC平分线，∴
∵CI是∠ACB平分线，∴

由A→B→I→C→A的飞镖模型可知：
∠I=∠A+∠2+∠3=∠A++=∠A+=.
应用：如上图，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I。
(1) 若∠A=60° ，则∠I=120°
(2) 若∠I=110°，则∠A=40°
(3) 若∠A=α，则∠I=。



模型四：两外角角平分线模型

条件：△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O。
结论：
证明： ∵BO是∠EBC平分线，∴
∵CO是∠FCB平分线，∴
由△BCO中内角和定理可知：
∠O=180°-∠2 -∠5
=180°--=180°--
=
=
=
应用：如上图，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的外角角平分线，且相交于点O。
(1)若∠A=60° ，则∠O=60°
(2)若∠O=70°，则∠A=40°
(3)若∠A=α，则∠O=。

模型五：内外角角平分线模型

条件：△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P。
结论：
证明： ∵BP是∠ABC平分线，∴
∵CP是∠ACE平分线，∴
由△ABC外角定理可知：
∠ACE=∠ABC+∠A
即：2∠1=2∠3+∠A ……①
对①式两边同时除以2，得：
∠1=∠3+ ……②
又在△BPC中由外角定理可知：
∠1=∠3+∠P ……③
比较②③式子可知：
。

应用：如上图，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的外角角平分线，且相交于点P。
(1)若∠A=60° ，则∠O=30°
(2)若∠O=70°，则∠A=140°
(3)若∠A=α，则∠O=




模型六：共顶点角平分线与高线夹角模型

条件：△ABC中，AH是高、AD是∠BAC的角平分线。
结论： (共顶点的高线与角平分线夹角等于两底角之差的一半)
证明： ∵AD是∠ABC平分线，∴
在△AHD中：
∠HAD=90°-∠1=90°-(∠C+∠DAC)
=90°-(∠C+)
=90° - [∠C+]
=

应用：如上图，△ABC中，AH是高、AD是∠BAC的角平分线。
(1) 若∠C=30°，∠B=60°，则∠HAD=15°。
(2) 若∠HAD=15°，∠C=25°，则∠B=55°。
(3) 若∠B=α，∠C=β，则∠HAD=。














三角形中角度模型汇总
名称 图形 结论
八 字模 型 ∠A+∠B=∠C+∠D
飞 镖模 型 ∠D=∠A+∠B+∠C
两内角角平分线模型
两外角角平分线模型
内外角角平分线模型
共顶点角平分线和中线模型
【课后演练】
1、如下图，∠A=30°，∠B=45°，∠C=50°，则∠D=______°

2、如图，∠B=45°，∠A=30°，∠C=25°，则∠ADC=______°

3、如图，∠A+∠B+∠C+∠D=______°

4、如图，△ABC的内角角平分线相交于点O，若∠O=110° ，则∠A=_____°

5、如图，△ABC的内角角平分线交于点P，△ABC的外角角平分线交于点Q，∠P=130°，则∠A=_____°，∠Q=_____°。

6、在△ABC中，∠A=n°，∠ABC和∠ACD的平分线交于A1，得∠A1=_____°，∠A1BC和∠A1CD的角平分线交于A2，得A2=_____°，∠A2020BC和∠A2020CD的角平分线交于A2021，则∠A2020=________°


7、已知△ABC中，∠A=30°
(1) 如图，∠ABC、∠ACB角平分线交于O，则∠BOC=_______；

(2) 如图，∠ABC、∠ACB三等分线交于点O1和O2，∠BO2C=________；

(3) 如图，∠ABC、∠ACB的n等分线交于点O1、O2....、On-1，请求出∠BOn-1C的度数(用n的代数式表示)

【答案】
1、25°
2、100°
3、230°
4、40°
5、80°、50°
6、、、
7、(1)105°
(2)80°
(3)