势能定理的准确表述及中学典型错题示例
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势能定理的准确表述及中学典型错题示例
一、势能定理的准确表述
1、推导
如图所示，两个物体组成一个孤立系统，它们彼此存在相互作用的保守
力，则由动能定理，有
1： 2 221 1 1
1 1
2 2
W mv mv?? ? 2： 2 212 2 2
1 1
2 2
W mv mv?? ?
两式相加，有
2 2 2 2
21 12 1 2 1 2
1 1 1 1( ) ( )
2 2 2 2
W W mv mv mv mv? ?? ? ? ? ?
由能量守恒，可知系统势能增量为
2 2 2 2
p k 1 2 1 2
1 1 1 1( ) ( )
2 2 2 2
E E mv mv mv mv? ?? ? ?? ? ? ? ?
则有 21 12 pW W E? ? ??
2、表述
由上述推导可以看出，势能定理的准确表述是：
物体间的相互作用保守力的总功，等于这些物体组成的系统的势能的变化的相反数，即
pW E? ??总
而不是像高中课本和大部分高中资料表述的那样：重力对物体做的功，等于物体的重力势能的变化的
相反数；电场力对电荷做的功，等于电荷电势能变化的相反数。原则上讲，这些表述犯了两重错误，其一
是势能属于相互作用的物体系统，而不是其中的某个物体，其二是等式的左边是相互作用力的总功，而不
是其中一个力的功。
二、高中物理中势能定理的特例及其适用条件
1、重力势能
如右图所示，设想一个小球 m和地球 M组成一个孤立系统，两者原来均静止，
现让两者在相互的万有引力作用下运动起来，则由动量守恒，有
1 20 mv Mv? ?
由此可知，两物体的位移满足 1 20 mx Mx? ?
则相互作用的万有引力（设物体在地球表面附近，且相对地球运动距离不大，
万有引力可视为恒力）对两物体做的功分别为
m： 1 1W mgx? M： 2 2W mgx?
则系统重力势能的变化量为
p 1 2 1 2( ) ( )E W W mg x x mg h? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
其中 1 2h x x? ? ? ，即两者的相对位移，或者说以地球为参考系时物体的竖直位移。
从上述分析来看，重力对 m的功，并不等于系统重力势能的变化；但是，我们通常研究的对象的质量
m远小于地球的质量 M，由 1 20 mx Mx? ? 可知，地球可视为几乎不动， 1 2 1h x x x? ? ? ? ，则有
p 1 1E mg h mgx W? ? ? ? ? ? ? ?
这就是高中物理教材和大部分资料里面的势能定理——它成立的条件是：m M?? 。
顺便值得说明的是，在上述过程中，由能量守恒，有 p kE mg h E? ? ? ? ? ?? ，其中 kE? 为物体和地
球组成的系统的总动能增量，即
2 2
1 2
1 1( 0) ( 0)
2 2
mg h mv Mv? ? ? ? ?
由 1 20 mv Mv? ? 可知，在m M?? 条件下，地球速度可认为不变，则
2
1 k1
1 0
2
mg h mv E? ? ? ? ? 。
1 2
2、弹簧弹性势能与电势能
（1）弹簧的弹性势能
如右图所示，弹簧连接的两个物体在光滑水平面上运动，则由势能定
理可知
pA BW W W E? ? ? ??总 弹
但若弹簧一个端点连接的物体 A 不动，另一个端点连接的物体 B 运动，则有 0AW ? ，
pBW W E? ? ??总 弹，即弹簧弹力对物体 B做的功，就等于弹簧弹性势能的变化量的相反数；也就是说，
只有弹簧的一端固定不动时，才能说弹簧弹力对某个物体做的功，等于弹簧弹性势能变化的相反数。
顺便值得一提的是，右图中两物体都可以运动的情况，弹簧弹性势能的变化，是与系统的总动能的变
化的绝对值相等，即 k kp = +A B A BW W W E E E? ? ? ?? ? ?总 弹 ，而不是与其中某个物体的动能变化的绝对值
相等。
（2）电势能
如右图所示，两个带电小球放在光滑绝缘水平地面上，它们仅在相互作用的静电力作用下运动，则有
k kp = +A B A BW W W E E E? ? ? ?? ? ?总 电
若固定小球 B不动，则 0BW ? ， pAW W E? ? ??总 电，即静电力对
物体 A做的功，就等于系统电势能的变化量的相反数；也就是说，只有相互作用的带电体中一个固定不动
时，才能说静电力对另一个带电体做的功，等于系统电势能变化的相反数。
（3）其他的势能与上述分析类似，比如分子势能——只有固定一个分子，才能说分子力对另一个分
子的功，等于分子势能变化的相反数。
三、高中物理中常见的典型错题示例
【例 1】（2018·湖北省部分重点中学联考）两小球 A、B置于光滑的水
平面上，A球以一定的速度与静止的 B球发生弹性正碰，如图所示，关于
两球碰撞过程的说法中正确的是
A、在两球碰撞的整个过程中，两球间的相互作用力的冲量的矢量和为零，做功的代数和也为零
B、在两球碰撞的整个过程中，B始终对 A做负功
C、在两球压缩形变阶段，两球间的相互作用力的冲量的矢量和为零，做功的代数和为负，系统的总
动量不变，动能减少
D、当两球的速度相等时，系统的机械能最小
【分析】本题参考答案给的是 AC。
冲量、动量问题，肯定没问题；但是，功和能量问题，命题人显然犯了想当然的错误——命题人以为
自己建立的简化模型如右图 1所示，并把弹簧形变算在了小球之外，即把小球当做质点处理，在压缩形变
阶段，两小球位移不同，所以才有相互作用力总功为负功的判断；
然而实际上的简化模型应该是图 2所示情形，即两个小球都发生了形变（弹簧包含在小球内，且把小
v0
A B
v0
图 1
A B
v0
A B
v1 v1
A
v2
①
②
③ B
图 2
A B
v0
A B
v1 v1
①
②
③
A B
v0
A B
v2
球处理成一个质点加一根弹簧），而相互接触处两小球表面始终具有相同的位移。因此，两小球间的相互
作用力的总功在任何阶段均为零，即 AB BAW W? ? ，也就说，小球 A减少多少机械能，小球 B将增加多少
机械能，相互作用力的功只起到了转移机械能的作用；然而，在两球压缩形变阶段，系统弹性势能增加，
动能减少，这是什么原因呢？这实际上是小球的形变内力做功的结果——以 A球为研究对象，则 A球内的
形变弹力对 A自身的功 AAW 、对 B做的功 ABW 的总和不为零，有 pAA AB AW W E? ? ?? ， kAA AW E? ? ；以 B
球为研究对象，则 B 球内的形变弹力对 B 自身的功 BBW 、对 A 做的功 BAW 的总和不为零，有
pBB BA BW W E? ? ?? ， kBB BW E? ? ；而 AB BAW W? ? ，则有
p p k kp k=AA BB A B A BW W E E E E E E? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ?总 总
可见，本题中 C选项是错误的。
【例 2】（2016·天津理综）如图所示，平行板电容器带有等量异种电荷，与静电计相连，静电计金属
外壳和电容器下极板都接地，在两极板间有一个固定在 P点的点电荷，以 E表
示两板间的电场强度， pE 表示点电荷在 P点的电势能，?表示静电计指针的
偏角。若保持下极板不动，将上极板向下移动一小段距离至图中虚线位置，则
A、?增大，E增大 B、?增大， pE 不变
C、?减小， pE 增大 D、?减小，E不变
【分析】本题参考答案给的是 D。
上极板移动时，极板所带电荷量不变，电荷面密度不变，则电场强度不变，因此由U Ed? 可知两板
间电势差减小，也就是静电计指针偏角?减小。
接着，命题人认为，由 p PO POU Ed? ? ? 可知，P点电势不变，因此，由 p pE q?? 可知，点电荷在 P
点的电势能 pE 不变。
然而，我们知道，电势能 pE 不能说成是点电荷的，而是属于点电荷和两带电极板系统的，它的变化
也不是对应电场力对点电荷做的功，而是对应全部相互作用力的总功！假设上极板带正电，点电荷带负电，
很明显，在移动上极板过程中，下极板对上极板做正功，点电荷也对上极板做正功，系统电势能明显是减
少的；点电荷带正电的情况，系统电势能的变化，则还需要比较点电荷和下极板对上极板做功的大小关系，
进而确定总功是正还是负，总功为正，则系统电势能还是减少，总功为负，则系统电势能增加。
其实，公式 p pE q?? 和 p PO POU Ed? ? ? ，都是基于场源（电容器两极板）本身不动、带电量不变
而建立起来的；一旦场源在变化，则静电场本身即发生了变化，电势的概念将不再有明确含义，基于公式
p pE q?? 分析电势能当然就会出错。也就是说，当场源变化时，就只能用正确的势能定理——相互作用
力的总功等于系统势能变化量的相反数——进行分析。
本题如果移动时的下极板，则按中学课本和资料建立起来的概念和公式，就已经无法自圆其说——由
p PO POU Ed? ? ? 可知， POd 变化必然导致 p? 变化，则由 p pE q?? 可知，点电荷的电势能要变化；然而，
由与点电荷实际上是被固定而静止不动的，因此静电力实际上对点电荷并没有做功（ 0W ? ），那么由
pW E? ?? 可知，点电荷电势能不变。那么，点电荷电势能变还是不变呢？
四、对势能的进一步说明
1、一对相互作用力的总功，与计算功的时候测量位移时选择的参考系无关，具体证明此处从略；因
此，相互作用势能的变化量，只与两物体的相对位置的变化有关，如果规定两物体相距无穷远时系统势能
为零，则系统势能只与两物体的相对位置有关，比如两点电荷的电势能为 p
QqE k
r
? 、两天体间的引力势
能为 p
MmE G
r
? ? 等，其中 r就是两物体的间距。
2、相互作用势能实际上是局域储存于相互作用场中的，比如场的能量分为属于每个物体的各自单独
存在时的场的自能和两个物体场叠在一起后的互能两个部分，其中相互作用势能就是场的能量中的互能部
分。所谓势能属于系统，就是指势能局域储存于两物体相互叠加后的场中的意思。
一、势能定理的准确表述
1、推导
如图所示，两个物体组成一个孤立系统，它们彼此存在相互作用的保守
力，则由动能定理，有
1： 2 221 1 1
1 1
2 2
W mv mv?? ? 2： 2 212 2 2
1 1
2 2
W mv mv?? ?
两式相加，有
2 2 2 2
21 12 1 2 1 2
1 1 1 1( ) ( )
2 2 2 2
W W mv mv mv mv? ?? ? ? ? ?
由能量守恒，可知系统势能增量为
2 2 2 2
p k 1 2 1 2
1 1 1 1( ) ( )
2 2 2 2
E E mv mv mv mv? ?? ? ?? ? ? ? ?
则有 21 12 pW W E? ? ??
2、表述
由上述推导可以看出，势能定理的准确表述是：
物体间的相互作用保守力的总功，等于这些物体组成的系统的势能的变化的相反数，即
pW E? ??总
而不是像高中课本和大部分高中资料表述的那样：重力对物体做的功，等于物体的重力势能的变化的
相反数；电场力对电荷做的功，等于电荷电势能变化的相反数。原则上讲，这些表述犯了两重错误，其一
是势能属于相互作用的物体系统，而不是其中的某个物体，其二是等式的左边是相互作用力的总功，而不
是其中一个力的功。
二、高中物理中势能定理的特例及其适用条件
1、重力势能
如右图所示，设想一个小球 m和地球 M组成一个孤立系统，两者原来均静止，
现让两者在相互的万有引力作用下运动起来，则由动量守恒，有
1 20 mv Mv? ?
由此可知，两物体的位移满足 1 20 mx Mx? ?
则相互作用的万有引力（设物体在地球表面附近，且相对地球运动距离不大，
万有引力可视为恒力）对两物体做的功分别为
m： 1 1W mgx? M： 2 2W mgx?
则系统重力势能的变化量为
p 1 2 1 2( ) ( )E W W mg x x mg h? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
其中 1 2h x x? ? ? ，即两者的相对位移，或者说以地球为参考系时物体的竖直位移。
从上述分析来看，重力对 m的功，并不等于系统重力势能的变化；但是，我们通常研究的对象的质量
m远小于地球的质量 M，由 1 20 mx Mx? ? 可知，地球可视为几乎不动， 1 2 1h x x x? ? ? ? ，则有
p 1 1E mg h mgx W? ? ? ? ? ? ? ?
这就是高中物理教材和大部分资料里面的势能定理——它成立的条件是：m M?? 。
顺便值得说明的是，在上述过程中，由能量守恒，有 p kE mg h E? ? ? ? ? ?? ，其中 kE? 为物体和地
球组成的系统的总动能增量，即
2 2
1 2
1 1( 0) ( 0)
2 2
mg h mv Mv? ? ? ? ?
由 1 20 mv Mv? ? 可知，在m M?? 条件下，地球速度可认为不变，则
2
1 k1
1 0
2
mg h mv E? ? ? ? ? 。
1 2
2、弹簧弹性势能与电势能
（1）弹簧的弹性势能
如右图所示，弹簧连接的两个物体在光滑水平面上运动，则由势能定
理可知
pA BW W W E? ? ? ??总 弹
但若弹簧一个端点连接的物体 A 不动，另一个端点连接的物体 B 运动，则有 0AW ? ，
pBW W E? ? ??总 弹，即弹簧弹力对物体 B做的功，就等于弹簧弹性势能的变化量的相反数；也就是说，
只有弹簧的一端固定不动时，才能说弹簧弹力对某个物体做的功，等于弹簧弹性势能变化的相反数。
顺便值得一提的是，右图中两物体都可以运动的情况，弹簧弹性势能的变化，是与系统的总动能的变
化的绝对值相等，即 k kp = +A B A BW W W E E E? ? ? ?? ? ?总 弹 ，而不是与其中某个物体的动能变化的绝对值
相等。
（2）电势能
如右图所示，两个带电小球放在光滑绝缘水平地面上，它们仅在相互作用的静电力作用下运动，则有
k kp = +A B A BW W W E E E? ? ? ?? ? ?总 电
若固定小球 B不动，则 0BW ? ， pAW W E? ? ??总 电，即静电力对
物体 A做的功，就等于系统电势能的变化量的相反数；也就是说，只有相互作用的带电体中一个固定不动
时，才能说静电力对另一个带电体做的功，等于系统电势能变化的相反数。
（3）其他的势能与上述分析类似，比如分子势能——只有固定一个分子，才能说分子力对另一个分
子的功，等于分子势能变化的相反数。
三、高中物理中常见的典型错题示例
【例 1】（2018·湖北省部分重点中学联考）两小球 A、B置于光滑的水
平面上，A球以一定的速度与静止的 B球发生弹性正碰，如图所示，关于
两球碰撞过程的说法中正确的是
A、在两球碰撞的整个过程中，两球间的相互作用力的冲量的矢量和为零，做功的代数和也为零
B、在两球碰撞的整个过程中，B始终对 A做负功
C、在两球压缩形变阶段，两球间的相互作用力的冲量的矢量和为零，做功的代数和为负，系统的总
动量不变，动能减少
D、当两球的速度相等时，系统的机械能最小
【分析】本题参考答案给的是 AC。
冲量、动量问题，肯定没问题；但是，功和能量问题，命题人显然犯了想当然的错误——命题人以为
自己建立的简化模型如右图 1所示，并把弹簧形变算在了小球之外，即把小球当做质点处理，在压缩形变
阶段，两小球位移不同，所以才有相互作用力总功为负功的判断；
然而实际上的简化模型应该是图 2所示情形，即两个小球都发生了形变（弹簧包含在小球内，且把小
v0
A B
v0
图 1
A B
v0
A B
v1 v1
A
v2
①
②
③ B
图 2
A B
v0
A B
v1 v1
①
②
③
A B
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A B
v2
球处理成一个质点加一根弹簧），而相互接触处两小球表面始终具有相同的位移。因此，两小球间的相互
作用力的总功在任何阶段均为零，即 AB BAW W? ? ，也就说，小球 A减少多少机械能，小球 B将增加多少
机械能，相互作用力的功只起到了转移机械能的作用；然而，在两球压缩形变阶段，系统弹性势能增加，
动能减少，这是什么原因呢？这实际上是小球的形变内力做功的结果——以 A球为研究对象，则 A球内的
形变弹力对 A自身的功 AAW 、对 B做的功 ABW 的总和不为零，有 pAA AB AW W E? ? ?? ， kAA AW E? ? ；以 B
球为研究对象，则 B 球内的形变弹力对 B 自身的功 BBW 、对 A 做的功 BAW 的总和不为零，有
pBB BA BW W E? ? ?? ， kBB BW E? ? ；而 AB BAW W? ? ，则有
p p k kp k=AA BB A B A BW W E E E E E E? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ?总 总
可见，本题中 C选项是错误的。
【例 2】（2016·天津理综）如图所示，平行板电容器带有等量异种电荷，与静电计相连，静电计金属
外壳和电容器下极板都接地，在两极板间有一个固定在 P点的点电荷，以 E表
示两板间的电场强度， pE 表示点电荷在 P点的电势能，?表示静电计指针的
偏角。若保持下极板不动，将上极板向下移动一小段距离至图中虚线位置，则
A、?增大，E增大 B、?增大， pE 不变
C、?减小， pE 增大 D、?减小，E不变
【分析】本题参考答案给的是 D。
上极板移动时，极板所带电荷量不变，电荷面密度不变，则电场强度不变，因此由U Ed? 可知两板
间电势差减小，也就是静电计指针偏角?减小。
接着，命题人认为，由 p PO POU Ed? ? ? 可知，P点电势不变，因此，由 p pE q?? 可知，点电荷在 P
点的电势能 pE 不变。
然而，我们知道，电势能 pE 不能说成是点电荷的，而是属于点电荷和两带电极板系统的，它的变化
也不是对应电场力对点电荷做的功，而是对应全部相互作用力的总功！假设上极板带正电，点电荷带负电，
很明显，在移动上极板过程中，下极板对上极板做正功，点电荷也对上极板做正功，系统电势能明显是减
少的；点电荷带正电的情况，系统电势能的变化，则还需要比较点电荷和下极板对上极板做功的大小关系，
进而确定总功是正还是负，总功为正，则系统电势能还是减少，总功为负，则系统电势能增加。
其实，公式 p pE q?? 和 p PO POU Ed? ? ? ，都是基于场源（电容器两极板）本身不动、带电量不变
而建立起来的；一旦场源在变化，则静电场本身即发生了变化，电势的概念将不再有明确含义，基于公式
p pE q?? 分析电势能当然就会出错。也就是说，当场源变化时，就只能用正确的势能定理——相互作用
力的总功等于系统势能变化量的相反数——进行分析。
本题如果移动时的下极板，则按中学课本和资料建立起来的概念和公式，就已经无法自圆其说——由
p PO POU Ed? ? ? 可知， POd 变化必然导致 p? 变化，则由 p pE q?? 可知，点电荷的电势能要变化；然而，
由与点电荷实际上是被固定而静止不动的，因此静电力实际上对点电荷并没有做功（ 0W ? ），那么由
pW E? ?? 可知，点电荷电势能不变。那么，点电荷电势能变还是不变呢？
四、对势能的进一步说明
1、一对相互作用力的总功，与计算功的时候测量位移时选择的参考系无关，具体证明此处从略；因
此，相互作用势能的变化量，只与两物体的相对位置的变化有关，如果规定两物体相距无穷远时系统势能
为零，则系统势能只与两物体的相对位置有关，比如两点电荷的电势能为 p
QqE k
r
? 、两天体间的引力势
能为 p
MmE G
r
? ? 等，其中 r就是两物体的间距。
2、相互作用势能实际上是局域储存于相互作用场中的，比如场的能量分为属于每个物体的各自单独
存在时的场的自能和两个物体场叠在一起后的互能两个部分，其中相互作用势能就是场的能量中的互能部
分。所谓势能属于系统，就是指势能局域储存于两物体相互叠加后的场中的意思。
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