18.2.1矩形的判定 学案
一、学习目标：
1.理解并掌握矩形的判定方法．
2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力
3.能积极参加数学学习活动，能体验数学活动充满着探索，从中获得成功的体验，充满对数学学习的好奇心和求知欲。
二、学习重难点：
重点：探索四边形是矩形的判定方法。
难点：矩形的判定灵活运用.
三、学习过程：
预习反馈
阅读教材P54～55，完成下列问题．
1．如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
图1 图2
2．如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
3．如图，∵在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形．
典例讲解
例 (教材P54例2)如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝50°.求∠OAB的度数．
【思路点拨】 先证明?ABCD是矩形，再根据矩形的四个内角均为90°，即可求出∠OAB的度数．
【解答】 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD.
又∵OA＝OD，
∴AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形．
∴∠DAB＝90°.
又∠OAD＝50°，
∴∠OAB＝40°.
【方法归纳】 判定矩形的基本思路：
①若已知一个直角，则可以证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角；
②若对角线相等，则可以证该四边形是平行四边形；
③若已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角或对角线相等．
例2 如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.
(1)求证：D是BC的中点；
(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
证明：(1)∵AF∥BC，
∴∠AFC＝∠FCB.
又∵∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，
∴△AEF≌△DEC(AAS)．
∴AF＝DC.
又∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点．
(2)四边形AFBD是矩形．
∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.
∴四边形AFBD是矩形．
巩固训练
1．在?ABCD中，增加一个条件四边形ABCD就成为矩形，这个条件是(B)
A．AB＝CD B．∠A＋∠C＝180°
C．BD＝2AB D．AC⊥BD
2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(D)
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F，G，H分别是各边的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积是12．
4．如图，在?ABCD中，E是DC边的中点，且EA＝EB.求证：?ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.
∴∠D＋∠C＝180°.
∵E是DC边的中点，∴DE＝EC.在△ADE和△BCE中，
∴△ADE≌△BCE(SSS)．∴∠D＝∠C.
∵∠D＋∠C＝180°，∴∠D＝∠C＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
5．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
(1)求证：AD＝CN；
(2)若∠BAN＝90°，求证：四边形ADCN是矩形．
证明：(1)∵CN∥AB，
∴∠DAM＝∠NCM.
在△AMD和△CMN中，
∴△AMD≌△CMN(ASA)．∴AD＝CN.
(2)∵AD∥CN，AD＝CN，
∴四边形ADCN是平行四边形．
又∵∠BAN＝90°，即∠DAN＝90°，
∴四边形ADCN是矩形．
课堂小结
矩形的判定方法：
1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2．对角线相等的平行四边形是矩形．
3．有三个角是直角的四边形是平行四边形．
18.2.1矩形的性质 学案
一、学习目标：
1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
3.渗透运动联系、从量变到质变的观点．
二、学习重难点：
重点：矩形的性质.
难点：矩形的性质的灵活应用.
三、学习过程：
预习反馈
阅读教材P52～53，完成下列问题．
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
2．矩形的性质：矩形的对边平行且相等；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线互相平分且相等．
如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB平行且等于CD，AD平行且等于BC，
∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
AO＝OC＝AC，BO＝DO＝BD，AC＝BD．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如上图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，则CD＝AB．
典例讲解
例1 (教材P53例1)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，求矩形对角线的长．
【思路点拨】 因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个性质和已知条件，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．
【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分．
∴OA＝OB.
又∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形．∴OA＝AB＝4.
∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.
【方法归纳】应用矩形性质计算的一般思路：
①根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个全等的直角三角形，用勾股定理求线段的长度是常用的思路；
②根据矩形对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关系得到全等三角形，矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质相关的计算和证明中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角度的等量关系．
例2 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果ED＝5 cm，求HF的长．
【思路点拨】由中位线定理可知DE＝AC，即可求出AC的长度，又因为HF是Rt△AHC斜边上的中线，即可求出HF的长度．
【解答】 由题意，得DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC.
∵HF是Rt△AHC的斜边AC上的中线，
∴HF＝AC.
∴HF＝DE＝5 cm.
巩固训练
1．在下面性质中，矩形不一定具有的是( )
A．对角线相等 B．四个角都相等
C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直
2．直角三角形中，斜边长为12，则斜边上的中线长是( )
A．6 B．4 C．8 D．12
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长为( )
A．7 cm B．8 cm
C．9 cm D．12 cm
4．如图，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD于E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠ABD为( )
A．60° B．62.5° C．65° D．67.5°
5．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝2，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
6．如图，已知四边形ABCD是矩形(AD＞AB)，点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE，垂足为点F，求证：DF＝AB.
课堂小结
1．矩形的定义及性质．
2．矩形是特殊的平行四边形，矩形的四个角都是直角，对角线互相平分且相等．
