18.2.2菱形的判定 学案
一、学习目标：
1．理解并掌握菱形的定义及其他两个判定方法．
2．会用这些判定方法进行有关的论证和计算．
二、学习重难点：
重点：菱形的判定定理的探究.
难点：菱形的判定定理的探究和应用.
三、学习过程：
阅读教材P57～58，完成下列问题．
1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
如上图，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
如上图，∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
3．四条边都相等的四边形是菱形．
如上图，在四边形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是菱形．
典例讲解
例 教材P57例4)如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝8，DB＝6.求证：四边形ABCD是菱形．
【思路点拨】在△AOB中，根据勾股定理的逆定理可以得出∠AOB＝90°，再结合四边形ABCD是平行四边形即可得证．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3.
又AB＝5，则32＋42＝52，即OA2＋OB2＝AB2.
∴∠AOB＝90°，即AC⊥BD.
∴四边形ABCD是菱形．
【方法归纳】 判定菱形的基本思路：
①若已知一组邻边相等，则需要证该四边形是平行四边形或四条边都相等；
②若对角线互相垂直，则需要证明该四边形是平行四边形；
③若已知四边形是平行四边形，则需要证明一组邻边相等或对角线互相垂直．
例2 在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．
证明：∵AB∥DM，
∴∠BAM＝∠AMD.
由折叠性质，得∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM.
∴∠DAM＝∠AMD.
∴DA＝DM＝AB＝BM.
∴四边形ABMD是菱形．
巩固训练
1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件可以是(A)
A．AD＝CD B．AB＝AC
C．∠ABC＝90° D．AC＝BD
2．如图，在?ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则?ABCD的周长为(C)
A．4 B．6 C．8 D．12
3．如图，小明在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求，连接AC，BC，BD，AD，根据他的作图方法可知，四边形ADBC一定是菱形．
4．林祺为班级设计了一个班徽，图中有一个菱形，为了检验这个菱形是否准确，请你用带有刻度的直尺为工具，帮林祺设计一个检验的方案：用直尺量一下四条边是否相等即可．
5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝6，AC＝8，则四边形周长为20，面积为24．
6．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
7．如图，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，已知AB＝AC＝4，∠ABC＝60°.
(1)求证：?ABCD是菱形；
(2)求BD的长．
解：(1)证明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AB＝BC.
∴?ABCD是菱形．
(2)在菱形ABCD中，AC⊥BD，OB＝OD，
∵AB＝AC＝4，△ABC是等边三角形，
∴BO＝2，BD＝2OB＝4.
课堂小结
菱形常用的判定方法：
1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
3．有四条边相等的四边形是菱形．
18.2.2菱形的性质 学案
一、学习目标：
1．理解并掌握菱形的定义及性质定理；会用这些定理进行有关的论证和计算．
2．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．
二、学习重难点：
重点：菱形的性质
难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用
三、学习过程：
预习反馈
阅读教材P55～56，完成下列问题．
1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
2．菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴．
如图2，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
AC⊥BD，AO＝OC＝AC，
BO＝DO＝BD，
AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC．
菱形的面积等于底乘以高；菱形的面积等于两对角线乘积的一半．如图，S菱形ABCD＝BC·AE＝AC·BD
典例讲解
例 (教材P56例3)如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位)．
【思路点拨】 本题要求两条小路的长和花坛的面积，可以在Rt△ABO中，应用直角三角形的性质和勾股定理求出OA，OB的长．
【解答】 ∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝×60°＝30°.
在Rt△OAB中，
AO＝AB＝×20＝10.
BO＝＝＝10.
∴花坛的两条小路长AC＝2AO＝20(m)．
BD＝2BO＝20≈34.64(m)．
花坛的面积S菱形ABCD＝4×S△OAB＝AC·BD＝200≈346.4(m2)．
【方法归纳】 (1)菱形的一条对角线将菱形分成两个全等的等腰三角形；
(2)菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的小直角三角形；
(3)应用菱形性质计算的一般思路：
①菱形对边平行、对角相等、四边相等，所以在做题时，可利用等量代换来转换为其他边的长；
②菱形的对角线互相垂直，故常借助对角线垂直和勾股定理来求线段的长．
例2 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF.AE和AF有什么样的数量关系？说明理由．
解：AE＝AF.
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝CD.
又∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴BE＝BC，DF＝CD.
∴BE＝DF.
∴△ABE≌△ADF(SAS)．
∴AE＝AF.
巩固训练
1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(D)
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2．如图，在菱形ABCD中，下列结论错误的是(D)
A．BO＝DO
B．∠DAC＝∠BAC
C．AC⊥BD
D．AO＝DO
3．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是(D)
A．12 B．16 C．20 D．24
4．已知菱形ABCD的面积为24 cm2，若对角线AC＝6 cm，则这个菱形的边长为5cm.
5．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是菱形．若点A的坐标是(3，4)，则点C的坐标是(8，4)．
6．如图，已知四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，AB＝6.
(1)求∠ABC的度数；
(2)求AC的长．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∠ACD＝30°，
∴∠BCD＝2∠ACD＝60°.
∴∠ABC＝180°－60°＝120°.
(2)连接BD交AC于点O，则∠AOB＝90°，AO＝CO.
∵∠ACD＝∠BAC＝30°，
∴在Rt△AOB中，OB＝AB＝3.
∴OA＝＝3.
∴AC＝6.
7．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB.
(1)求∠ABC的度数；
(2)如果AC＝4，求DE的长．
解：(1)∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴AD＝DB.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC.
∴AD＝DB＝AB.
∴△ABD为等边三角形．
∴∠DAB＝60°.
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝180°－∠DAB＝180°－60°＝120°，
即∠ABC＝120°.
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AO＝AC＝×4＝2.
由(1)可知，DE和AO都是等边△ABD的高，
∴DE＝AO＝2.
课堂小结
1．菱形的定义．
2．菱形的性质．
3．菱形与平行四边形、矩形的关系．
