19.2.1正比例函数-------第一课时：.正比例函数的概念
学习目标:
1.能够让学生写出正比例函数的概念
2.会列实际问题中的函数关系式，并会判断.
教学重难点
重点：正比例函数的概念
难点：利用成正比确定函数解析式.
教学过程
一．情境引入
请写出下列问题中的函数关系式：
1.圆的周长l随半径r的大小变化而变化；
2.一只海鸥每天飞行的路程为200 km,那么它的行程y(单位： km)与飞行时间x(单位：天)的函数关系为：
3.每个练习本的厚度为0.5 cm,一些练习本摞在一起的总厚度为h(单位：cm)随这些练习本的本数n的变化而变化.
学生独立完成之后再小组交流，得出：（1）L=2πr (2) y=200x (3) h=0.5n
二．新知探究，合作交流（以自学研讨或小组讨论交流的方式进行）
1.阅读教材P86-----P87练习之前内容，这里大家看到的所有的函数解析式有什么共同特征？
引导交流讨论后学生回答：都是常数与自变量的积的形式.
归纳：一般地,形如y=kx(k≠0,k是常),叫做正比例函数.其中k叫做比例系数.
思考：正比例函数y＝kx中k为什么不能等于0？
学生讨论回答：如果k为0，那么就不是正比例函数了，而是常数.
若函数y＝(m－3)x|m|－2是正比例函数,则m的值为
分析：y＝(m－3)x|m|－2是正比例函数，根据正比例函数的概念则有m－3≠0，|m|--2=1
m≠3 且 m=3 或 m=--3，由此我们得出m=-3
例2.有下列函数：①y＝2x；②y＝－x；③y＝；④y＝；⑤y＝－x2；⑥y＝－x－1,其中是正比例函数的是( )
分析：满足正比例函数概念y=kx(k≠0,k是常)的有①②⑥
三．巩固练习
1.下列函数中,是正比例函数的是( )
A.y=-8x B.y= C.y=5x2+6 D.y=-0.5x-1
2.若函数y=(2m+1)x2+(1-2m)x(m为常数)是正比例函数,则m的值为( )
A.m> B.m= C.m< D.m=-3.已知函数y=(2m-1)x+1-3m,m为何值时,这个函数是正比例函数?
四．总结拓展
1.课堂小结：学生讨论交流回答
（1）正比例函数的概念
（2）正比例函数的应用
2.拓展延伸
已知y与x＋3成正比例,且当x＝2时,y＝－5.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当x＝3时,求y的值；
(3)当y＝时,求x的值.
3.作业布置：教材P98，习题第1题
五．课堂效果测评
1.下列函数解析式中,不是正比例函数的是( )
A.xy=-2 B.y+8x=0 C.3x=4y D.y=-x
2.函数y=(2-k)x是正比例函数,则k的取值范围是 .
3.我国是一个严重缺水的国家,大家应倍加珍惜水资源,节约用水.据测试,拧不紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水,每滴水约0.05mL.小明同学在洗手后,没有把水龙头拧紧,当小明离开xh后水龙头滴了ymL水.则y关于x的函数解析式为 .
4.某商店进一批货,每件50元,售出时每件加价8元,如果售出x件应得货款为y元,那么y与x的函数解析式是 ,售出10件时,所得货款为 元.
六．评价与反思（引导学生自己总结）
1.你今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？在学生回答的基础上，教师点评并板书
2.教学反思
本节课从实际问题中提出正比例函数，让学生自主的分析函数的概念和规律，激发学生的学习兴趣，提高了学生的归纳能力.
19.2.2一次函数--------第一课时：.一次函数的概念
学习目标:
1.结合具体情境理解一次函数的意义,能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式.
2.能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系.
3.初步体会用待定系数法求一次函数解析式的方法.
教学重难点
重点：次函数的概念及其解析式.
难点： 一次函数与正比例函数关系及从实际中建立一次函数的模型.
教学过程
情镜引入
某登山队大本营所在地的气温为5 ℃,海拔每升高1 km气温下降6 ℃.登山队员由大本营向上登高x km时,他们所在位置的气温是y ℃.试用函数解析式表示y与x的关系.
教师引导学生分析:从大本营向上当海拔每升高1 km时,气温就减少6 ℃,那么海拔增加x km时,气温减少6x ℃.因此y与x的函数关系式为y=5-6x(x≥0).
当然,这个函数也可表示为:
y=-6x+5(x≥0).
当登山队员由大本营向上登高0.5 km时,他们所在位置气温就是x=0.5时函数y=-6x+5的值,即y=-6×0.5+5=2(℃).
这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同?它的图象又具备什么特征?我们这节课将学习这些问题. （同时展示本节课的教学目标）
二．新知探究，合作交流
1.探索一次函数的概念
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km, 设列车的平均速度为300 km/h.
(1) 列车从始发站北京南站到终点站上海虹桥站,约需 小时.(结果保留一位小数)?
(2)列车从北京南站出发,离终点站的距离y(单位:km)是运行时间t(h)的函数吗?它们之间的数量关系是: .(注意:实际问题要给出自变量的范围)?
(3)由(2)中的关系式求出当t=2.5时,y= ;当y=1200时,t= .(保留一位小数)?
(4)列车从北京南站出发2.5 h后,是否已经过了距始发站1100 km的南京南站? ?
学生思考,小组交流.
学生回答:(1)4.4 (2)y=1318-300 t ( 0≤t≤4.4 ) (3)568 0.4 (4)没有经过
学生讨论:以上函数解析式有什么共同特点?
学生观察思考,讨论总结其特征:这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.
归纳总结:确实如此,如果我们用b来表示这个常数的话,这些函数形式就可以写成:y=kx+b(k≠0).
得出一次函数的定义:
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数.
引导学生思考:k的值能为0吗?b的值能为0吗?当b=0 时,y=kx+b是什么函数?
学生思考后回答:当b=0时,y=kx+b,即y=kx.所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
例1.下列函数中是一次函数的有哪些?并说出k和b的值.
(1)y=-x;(2)y=+2;(3)y=5x2-3;(4)m=2.5n-0.3;(5)y=3x+3(1-x);(6)l=r-.
分析:根据一次函数y=kx+b的特征去判断,注意(1)是正比例函数,当然也是一次函数;(5)化简得y=3,不符合k≠0的要求,故不是一次函数.
解:是一次函数的有(1),其中k=-,b=0;有(4),其中k=2.5,b=-0.3;有(6),其中k=,b=-.
归纳总结:(1)一次函数成立的条件:①自变量的指数为1;②一次项系数k≠0.
(2)一次函数与正比例函数的关系:正比例函数一定是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数.一次函数y=kx+b中,当b=0时,一次函数就变成了正比例函数,所以正比例函数是特殊的一次函数.
例2已知y+b与x+a(a,b是常数)成正比例.
(1)试说明y是x的一次函数;
(2)如果x=3时y=5, x=2时y=2, 求y与x的函数关系式.
分析:(1)根据正比例函数的定义,把y+b与x+a分别看作一个整体,分别作为一个变量,可得y+b=k(x+a),所以y=kx+ka-b.根据一次函数的定义可知y是x的一次函数;
(2)设y与x的一次函数解析式为y=mx+n,分别把x=3,y=5和x=2,y=2代入解析式中,得到关于m,n的方程组,解方程组即可.
三．巩固练习
已知关于x的函数y=(k+2)x+k2-4,
(1)当k满足什么条件时,它是正比例函数?
(2)当k满足什么条件时,它是一次函数?
四．总结拓展
1.课堂小结：学生讨论交流回答
（1）正比例函数与一次函数的区别与联系.
（2）.用待定系数法求一次函数解析式的方法.
2.拓展延伸
已知y=(m+1)x2-|m|+n+4.
(1)当m,n取何值时,y是x的一次函数?
(2)当m,n取何值时,y是x的正比例函数?
3.作业布置：教材P91，习题第3题
五．课堂效果测评
1.下列说法中不正确的是 ( )
A.正比例函数一定是一次函数
B.一次函数不一定是正比例函数
C.不是一次函数就不是正比例函数
D.正比例函数不是一次函数
2.已知方程3x-2y=1,把它化成y=kx+b的形式是 ;这时k= ,b= ;当x=-2时,y= ,当y=0时,x= .?
3.关于x的一次函数y=(m-2)xn-1+n中,m,n应满足的条件分别是 .?
六．评价与反思（引导学生自己总结）
1.你今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？在学生回答的基础上，教师点评并板书
2.教学反思
本节课主要学习了一次函数的概念和一次函数的一般形式，教学过程之中充分调动了学生的学习积极性，让学生参与到学习活动中，在活动的过程中，理解并掌握知识.
19.2.2一次函数------第二课时：一次函数的图像及性质
学习目标:
让学生理解函数y=kx+b(k≠0)与函数y=kx(k≠0)图象之间的关系,会利用两个合适的点画出一次函数的图象,掌握k的正负对图象变化趋势和一次函数的性质.
教学重难点
重点：一次函数的图象和性质..
难点： 一次函数性质的理解.
教学过程
情镜引入
问题1：正比例函数与一次函数有何关系?
让学生回忆并回答:一次函数y=kx+b(k≠0),当b=0时,一次函数则为正比例函数y=kx,因此,正比例函数是当常数项b=0时的一次函数,是特殊的一次函数.
问题2： 正比例函数的图象是什么图形?如何简便地画出正比例函数的图象?为什么?
让学生回忆思考并回答:正比例函数的图象是一条经过原点的直线. 根据两点确定一条直线,只要确定直线上的两个点即可画出正比例函数的图象.
问题3：正比例函数有何性质?这些性质是由什么确定的?
让学生思考并回答:
当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限,从左向右上升,即y随x的增大而增大;
当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降,即y随x的增大而减小.
二，新知探究，合作交流
1.一次函数的图象：回想一下用描点法画函数图象的步骤，试一试你能画出一次函数的图象吗？
例1.画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象.
想一想:画函数图象的一般步骤是什么?
学生回答:列表、描点、连线是画函数图象的一般步骤.
函数y=-6x与y=-6x+5中,自变量x可以是任意实数.列表表示几组对应值如下:
x -2 -1 0 1 2
y=-6x 12 6 0 -6 -12
y=-6x+5 17 11 5 -1 -7
画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象如图所示.
问:你能画出函数y=-6x-5的图象吗?
学生接着在前面的基础上完成作图.
教师根据学生画图层层追问,归纳一次函数的图象和性质.
学生观察思考、交流讨论,得出结论:它们的图象都是一条直线.
问：比较上面三个函数的图象有什么相同点与不同点?为什么?
学生观察思考,讨论交流后,总结结论并填表:
（1）这三个函数的图象形状都是 ,函数y=-6x的图象经过(0,0);
（2） 函数y=-6x+5的图象与y轴交于点 ,即它可以看作是由直线y=-6x向 平移 个单位长度而得到的;?
（3）函数y=-6x-5的图象与y轴交于点 ,即它可以看作是由直线y=-6x向 平移 个单位长度而得到的. ?
结合上述结论,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是什么形状?它与直线y=kx(k≠0)有何关系?
学生思考并回答,教师归纳总结:
(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也是一条直线,我们称它为直线y=kx+b.
(2)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由直线y=kx平移|b|个单位长度得到的.
当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移.
2.一次函数的性质
探究:分别画出下列函数的图象.
(1)y=x+1; (2)y=2x-1; (3)y=-x+1; (4)y=-2x-1.
解析:根据一次函数图象的画法,分别确定直线上的两个点,经过这两个点即可画出函数的图象.
经过点(0,1),(-1,0) 画出直线y=x+1;经过点(0,-1),(1,1)画出直线y=2x-1;
经过点(0,1),(1,0)画出直线y=-x+1;经过点(0,-1),(-1,1)画出直线y=-2x-1.
学生活动:根据两点确定一条直线,画出函数的图象.观察函数图象思考并解决问题:
(1)直线y=x+1经过 象限;y随x的增大而 ,函数的图象从左到右 ;?
(2)直线y=2x-1经过 象限;y随x的增大而 ,函数的图象从左到右 ;?
(3)直线y=-x+1经过 象限;y随x的增大而 ,函数的图象从左到右 ;?
(4)直线y=-2x-1经过 象限;y随x的增大而 ,函数的图象从左到右 .?
由它们联想:一次函数y=kx+b(k≠0)中,k的正负对函数图象有什么影响?
学生思考,讨论交流,教师总结规律:
当k>0时,直线y=kx+b从左向右上升;当k<0时,直线y=kx+b从左向右下降.
教师归纳:一次函数y=kx+b(k≠0)具有如下性质:
当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.
例2．已知一次函数y=(2m-1)x-(n+3).
(1)当m为何值时,y的值随x的增大而增大;
(2)当n为何值时,此一次函数也是正比例函数;
(3)若m=1,n=2,写出函数解析式,求函数图象与x轴和y轴的交点坐标;画出图象,根据图象求x取什么值时,y>0?
解析:(1)y的值随x的增大而增大时,2m-1>0;(2)一次函数为正比例函数时,n+3=0;(3)若m=1,n=2时,可确定一次函数解析式,再求函数图象与x轴、y轴的交点;再根据图象判断y>0时,x的取值范围.
学生回答:(1)∵y的值随x的增大而增大,∴2m-1>0,解得m >.
(2)由题意知n+3=0,解得n=-3.
(3)若m=1,n=2,则一次函数的解析式为y=x-5,令y=0,得x=5,令x=0,得y=-5,故函数图象与x轴、y轴的交点分别为(5,0),(0,-5),其函数图象如图所示.
由图象知当x>5时,y>0.
三．巩固练习
已知一次函数y=(2m-1)x-(n+3).
(1)当m为何值时,y的值随x的增大而增大;
(2)当n为何值时,此一次函数也是正比例函数;
(3)若m=1,n=2,写出函数解析式,求函数图象与x轴和y轴的交点坐标;画出图象,根据图象求x取什么值时,y>0?
四．总结拓展
1.课堂小结：学生讨论交流回答
(1)由k,b的符号可确定直线y=kx+b的位置.反过来,由直线y=kx+b的位置也可以确定k,b的符号.不画图象,由k,b的符号直接判定直线的位置,k的符号决定直线的倾斜方向,b的符号决定直线与y轴交点的位置.(2)|k|的大小决定直线的倾斜程度,即|k|越大,直线与x轴相交成的锐角越大;|k|越小,直线与x轴相交成的锐角越小.b决定直线与y轴交点的位置,b>0,直线与y轴的交点在y轴的正半轴上;b<0,直线与y轴的交点在y轴的负半轴上.
2.拓展延伸
若一次函数y=(1-2m)x+3的图象经过A(x1,y1),B(x2,y2)两点.当x1y2,则m的取值范围是什么?
3.作业布置：教材P99，习题第4,5题
五．课堂效果测评
1.下列一次函数中y随x值的增大而减小的是 ( )
A.y=2x+1 B.y=3-4x
C.y=x+2 D.y=(5-2)x
2.关于一次函数y=2x-1的图象,下列说法正确的是 ( )
A.图象经过第一、二、三象限 B.图象经过第一、三、四象限
C.图象经过第一、二、四象限 D.图象经过第二、三、四象限
3..y=3x与y=3x-3的图象在同一坐标系中的位置关系是 ( )
A.相交 B.互相垂直 C.平行 D.无法确定
4.将直线y=x+3向 平移 个单位长度可得到直线y=x-2.?
5.直线y1=(2m-1)x+1与直线y2=(m+4)x-3m平行,则m= .?
6.直线y=2x-3与坐标轴所围成的三角形的面积是 .?
六．评价与反思（引导学生自己总结）
1.你今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？在学生回答的基础上，教师点评并板书
2.教学反思
本节课主要学习了一次函数的一般形式，本节课学习它的图象，并让学生观察图象，自己探索，总结出一次函数的性质以及一次函数中可k值对函数图像的影响.
19.2.2一次函数--------第三课时：用待定系数法求一次函数的解析式.
学习目标:
1.学会用待定系数法确定一次函数的解析式.
2.了解两个条件确定一个一次函数的解析式,一个条件确定一个正比例函数的解析式.
3.掌握一次函数的简单应用.
教学重难点
重点：运用待定系数法求一次函数解析式.
难点： 能利用一次函数图象解决有关的实际问题.
教学过程
一、情镜引入
思考：正比例函数y=kx(k≠0)解析式中,如果确定了k的值,正比例函数的解析式就确定了,那么必须知道什么样的条件?
学生思考讨论交流后总结方法，学生回答：只需知道正比例函数的一对对应值或正比例函数图象上的一个点坐标代入解析式求出k的值.，本节课就是解决这一问题.（同时展示本节课的教学目标）
二、新知探究，合作交流
1.提问:当x=0时,y=6;当x=4时,y=7.2.你将如何求出上述问题中的函数关系式?
学生独立完成后,交流展示:
解:设y与x的函数关系式为y=kx+b.
所以 解得k=0.3 b=6
因此这个一次函数的解析式为y=0.3x+6.
方法总结:先设一次函数解析式,然后把两对对应值分别代入一次函数解析式,得到两个关于k,b的方程,构成方程组,解方程组求出k,b的值即可确定一次函数的解析式,这就是我们本节课要学习的求一次函数解析式的方法——待定系数法.
2.用待定系数法求一次函数的解析式
提问:用待定系数法确定函数解析式的一般步骤是怎样的?
学生归纳:(1)设出函数解析式的一般形式为y=kx+b.
(2)把自变量x与函数y的对应值(可能是以函数图象上点的坐标的形式给出)代入函数解析式中,得到关于待定系数的方程或方程组.
(3)解方程或方程组,求出待定系数的值.
(4)写出所求函数的解析式.
例1.已知一次函数y=kx+b,当x=5时,y=4,当x=-2时,y=-3,求这个一次函数的解析式.
分析： 由于一次函数y=kx+b有k和b两个待定系数,因此用待定系数法,把x = 5时,y = 4和x=-2时,y=-3分别代入函数解析式,得到两个关于k和b的二元一次方程组成的二元 一 次方程组.解方程组后就能确定一次函数的解析式.
解:由题意可知 解得∴这个一次函数的解析式为y=x-1.
例2.黄金1号”玉米种子的价格为5元∕kg,如果一次购买2 kg以上的种子,超过2 kg部分的种子价格打8折.
(1)填写下表:
购买量∕kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
付款金额∕元 …
(2)写出付款金额关于购买量的函数解析式,并画出函数图象.
探究:(1)付款金额与什么有关?种子价格是固定的吗?它与什么有关?种子的价格是如何确定的?
(2)函数的图象是一条直线吗?为什么?
学生独立思考,交流讨论,总结:
(1)付款金额与种子价格相关.问题中种子价格不是固定不变的,它与购买量有关. 设购买种子数量为x kg,当0≤x≤2时,种子价格为5元/kg;当x>2时,其中有2 kg种子按5元/kg计价,其余的(x-2)kg即超出2 kg的部分种子按4元/kg(即8折)计价.因此,写函数解析式与画函数图象时,应对0≤x≤2和x>2分段讨论.
(2)在画实际问题中的一次函数图象时,要考虑自变量的取值范围,画出的图象往往不再是一条直线.
学生完成解题过程,教师点评:
解:(1)
购买量∕kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
付款金额∕元 2.5 5 7.5 10 12 14 16 18 …
(2)设购买种子数量为x kg,付款金额为y元.
当0≤x≤2时,y=5x;当x>2时,y=4(x-2)+10=4x+2.
函数图象如图所示.
进一步引导学生根据函数图象思考:
(1)一次购买1.5 kg种子,需付款多少元?
(2)一次购买3 kg种子,需付款多少元?
三．巩固练习
1.已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9),求这个一次函数的解析式.
2.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则它的函数关系式为 .?
3.已知y是x的一次函数,当x=3时,y=1;当x=-2时,y=-4.求这个一次函数的解析式.
四．总结拓展
1.课堂小结：学生讨论交流回答下面的四个问题
（1）.求一次函数解析式的一般步骤有:①设出一次函数解析式y=kx+b(k≠0),②将两个点的坐标代入,得二元一次方程组,③解方程组求出k和b的值,④写出答案.
（2）.一次函数解析式的确定通常有下列几种情况:
①利用待定系数法,根据两对x和y的值,列出方程组确定k,b的值,进而求出一次函数的解析式.
②根据图象上两点坐标求出一次函数的解析式.
2.拓展延伸
一条平行于直线y=-3x的直线交x轴于点(2,0),则该直线与y轴的交点是 .?
3.作业布置 教材P99页习题7,8,9题.
五．课堂效果测评
1.一次函数的图象经过点A(-2,-1),且与直线y=2x-3平行,则此函数的解析式为 ( )
A.y=x+1 B.y=2x+3
C.y=2x-1 D.y=-2x-5
2.A(1,4),B(2,m),C(6,-1)在同一条直线上,则m的值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(2,4)和点B(-2,-8),这个一次函数的解析式为 .?
4.已知一次函数y=kx+b,当x=-4时y=9,当x=6时y=-1,则此函数的解析式为 .?
5.已知y是x的一次函数,当x=3时,y=1;当x=-2时,y=-4.求这个一次函数的解析式.
6.A(1,4),B(2,m),C(6,-1)在同一条直线上,则m的值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.已知一条直线经过点A(0,6),且平行于直线y=-2x+1.
(1)求这条直线的函数解析式;
(2)若这条直线经过点B(m,2),求m的值.
六．评价与反思（引导学生自己总结）
1.你今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？在学生回答的基础上，教师点评并板书
2.教学反思
本节课主要学习了待定系数法及一次函数的应用，由前面的学习知道两点确定一条直线，以已知两点怎样确定这条直线即怎么样求出它的解析式.
19.2.3一次函数与方程，不等式-------第一课时：一次函数与一元一次方程
学习目标:
1.使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系.
2.使学生能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集,并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集.
教学重难点
重点： 1.理解一次方程、一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系.
2.掌握用图象求解方程、不等式的方法.
难点：根据一次函数的图象求解方程和不等式.
教学过程
一情镜引入
思考1：(1)解方程2x-4=0.
(2)当自变量x为何值时,函数y=2x-4的值为0?
(3)从上述两个问题中,你能发现一次函数与一元一次方程的关系吗?
(4)画出函数y=2x-4的图象,并确定它与x轴的交点坐标.
学生按要求探究,并总结结论.
从数的角度看:一元一次方程2x-4=0的解是一次函数y=2x-4的y为0时x的值.
从形的角度看:一元一次方程2x-4=0的解是一次函数y=2x-4图象与x轴交点的横坐标.
思考2 (1)解不等式:2x-4>0
(2)当自变量x为何值时,函数y=2x-4的值大于0?
(3)观察函数y=2x-4 的图象,回答问题:
当x 时,y=2x-4 >0,当x 时,y=2x-4 < 0.?
学生按要求探究,讨论交流并总结.
从数的角度看:一元一次不等式2x-4>0的解集是一次函数y=2x-4的y值大于0时x的取值范围.
从形的角度看:解一元一次不等式2x-4>0(或2x-4<0)可以看作:求一次函数y=2x-4图象在x轴的上方(或下方)时点的横坐标的取值范围.
从以上过程可以看出,一次函数与方程、不等式有着密切的关系,这就是我们这节课要学习的内容——一次函数与方程、不等式.
二，新知探究，合作交流
1.一次函数与方程的关系
探究:下面3个方程有什么共同点和不同点?你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗?
(1)2x+1=3, (2)2x+1=1, (3)2x+1=-1.
学生独立思考后,画出一次函数y=2x+1的图象,发现:
三个方程等号的左边都是2x+1,结果不同.从图象上可以看出y=2x+1上纵坐标分别取3, 1, -1的点的横坐标1,0 ,-1就是方程的解.再通过计算发现三个方程的解是函数图象上纵坐标为3,1,-1的对应点的横坐标的值.
思考:解方程ax+b=0(a≠0)与求自变量x为何值时,一次函数y=ax+b的值为0有什么关系?
学生讨论回答：任何以x为未知数的一元一次方程都可以化成ax+b=0(a≠0)的形式.因此,解方程ax+b=0(a≠0)相当于在一次函数y=ax+b中取y=0时,求x的值.或在函数y=ax+b图象上找出与x轴的交点,该交点横坐标的值就是该方程的解.
例1. 根据下列图象,你能说出哪些一元一次方程的解?并直接写出相应方程的解.
分析：根据图象可知:5x=0的解为x=0; x+2=0的解为x=-2; x-1=0的解为x=1.
2.探究一次函数与不等式的关系
探究:下面3个不等式有什么共同点和不同点?你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗?
(1)2x+1>3,(2)2x+1<5,(3)2x+1<-1.
小组内共同解了三个一元一次不等式,画出一次函数y=2x+1的图象,思考发现:
不等号的左边都是2x+1,而不等号的右边是不同的数.解这3个不等式相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为大于3,小于5,小于-1时,求自变量x的取值范围.
从图象可以看出在直线y=2x+1上取纵坐标分别满足大于3,小于0,小于-1的点,看点的横坐标满足什么条件.分别是x>1, x<2, x<-1.
讨论:由上面的几个问题你能否说出一次函数与一元一次不等式之间有何关系?
学生尝试回答,师生共同总结：任何关于x的一元一次不等式都可以化成ax+b>0或ax+b<0的形式.因此,解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求x的取值范围.或者在函数y=ax+b图象上找出纵坐标大于0或小于0的部分,看这些点的横坐标满足什么条件.
例2. :如图所示的是函数y=-x+3的图象,根据图象回答下列问题:
(1)求方程-x+3=0的解;
(2)求不等式-x+3<0的解集;
(3)当x取何值时,y≥0.
解:(1)由图象可知:当x=2时,y=0,即方程-x+3=0的解为x=2. (2)由图象可知:当x>2时,y<0,即不等式-x+3<0的解集为x>2. (3)由图象可知:当x≤2时,y≥0.
三．巩固练习
.已知直线y1=kx+2与y2=3x-2,相交于点(1,a)?
(1)求直线y1的解析式;
(2)求直线y1与x轴、y轴的交点坐标;
(3)当x为何值时,kx+2>3x-2?kx+2<3x-2?
四．总结拓展
1.课堂小结：一次函数与方程、不等式的关系:
从数的角度看 从形的角度看
求方程ax+b=0(a, b是常数,a≠0)的解 x为何值时y=ax+b的值为0 求直线y= ax+b与x轴交点的横坐标
求不等式ax+b>0(a≠0)的解集 x为何值时,y=ax+b的值大于0 直线y=ax+b在x轴上方时所对应的x的取值范围
2.拓展延伸
利用图象解不等式:
(1)2x-5>-x+1;(2)2x-5<-x+1.
3.作业布置 教材P98页练习题；教材P99页习题第13题.
五．课堂效果测评
1.直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是 ( )
A.x>1 B.x≥1
C.x<1 D.x≤1
2.直线y=3x+6与x轴的交点的横坐标x的值是方程2x+a=0的解,则a的值是 .?
3.若方程组的解为则直线y=-x+a与y=x-b的交点坐标为 .?
4.已知关于x的方程mx+n=0的解是x=-2,则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是 .?
5.已知一次函数y=kx+b的图象经过两点A(0,1) , B(2,0),则当x 时,y≤0.?
六．评价与反思（引导学生自己总结）
1.你今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？在学生回答的基础上，教师点评并板书
2.教学反思
本节内容的本质是通过研究一次函数与方程、不等式的关系解决与一次函数相关的实际问题. 把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的
19.2.3一次函数与方程，不等式-------第二课时：一次函数与二元一次方程（组）
学习目标:
让学生理解二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标,并能通过图象法来求二元一次方程组的解.
教学重难点
重点：二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的对应关系的理解.
难点：对应关系的理解及对实际问题的探究..
教学过程
一情镜引入，新知探究，合作交流
1.一次函数与二元一次方程的关系.
(1)对于方程3x+5y=8如何用x表示y是不是任意的二元一次方程都能转化成一次函数呢?
(2)在平面直角坐标系中画出一次函数y=- y=-3|5x+ 8|5的图象.
(3) 在一次函数y=-3|5x+ 8|5 的图象上任取一点(x,y),则x,y一定是方程 3x+5y=8的解吗?为什么?
学生独立完成后同桌交流,教师再引导学生归纳总结:
方程3x+5y=8的解点(s,t)在一次函数y=-3|5x+ 8|5的图象上
2.一次函数与二元一次方程组的关系.
观察在同一直角坐标系中的y=2x-1与y=-3|5x+ 8|5的图象,两条直线的交点坐标是 .?方程组 的解是 .?
小组讨论,完成填空后,进行验证.
教师说明:(1)任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合;(2)求方程组的解就是求两个函数值相等时,自变量的值和函数值;(3)根据方程组的解的意义和函数的观点,就是当x取什么数值时,两个一次函数的y值相等?它反映在图象上,就是求直线y=2x-1与直线y=-3|5x+ 8|5的交点坐标.
教师引导归纳:
通过问题解决,由特殊过渡到一般,从数和形两个角度认识了一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系.
例1：1号探测气球从海拔5 m处出发,以1 m/min的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15 m处出发,以0.5 m/min的速度上升.两个气球都上升了1 h.
(1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y(单位:m)关于上升时间x(单位:min)的函数关系;
(2)在某个时刻两个气球能否位于同一高度?如果能,这时气球上升了多长时间?位于什么高度?
解:(1)两个气球所在位置的海拔高度y(m)与上升时间x(min)的函数关系分别是:
1号气球:y=x+5;2号气球:y=0.5x+15.自变量x的范围是0≤x≤60.
(2)由题意得 解得
当上升20 min时,两个气球都位于海拔25 m的高度.
分析:在同一直角坐标系中,画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象,观察这两条直线有交点吗? 学生画图后发现,这两条直线的交点为(20,25),说明当上升20 min时,两个气球都位于海拔25 m的高度.也就是说交点坐标也就是方程组的解.
三．巩固练习
3、在同一坐标系下，函数的图象如图所示：请根据图象回答：
（1）方程组的解为＿＿＿＿＿.
（2）方程的解为＿＿＿＿＿.
四．总结拓展
1.课堂小结：一次函数与二元方程一次方程组的关系
求二元一次方程组的解 解二元一次方程组就相当于求自变量为多少时,两个函数值相等,以及这个函数值是多少 解二元一次方程组相当于求两条直线交点的坐标
2.拓展延伸
在如图所示的坐标系下，
（1）画出函数的图象，并利用图象解答下列问题：
（2）求方程组；
3.作业布置 教材P999页习题8,12题
五．课堂效果测评
1、若有意义，则函数的图象不经过第 象限.
2、一次函数的图象如图所示，则由图象可知，方程的解为＿＿＿.
4、一次函数的图象如图所示，由图象可知，当x＿＿＿时，y值为正数，当x＿＿时，y为负数.
5、已知方程组的解为，那么一次函数与一次函数的交点为（2,4）.
6、一次函数与一次函数两图象有一个公共点，则这个公共点的坐标为＿＿＿＿.
7、一次函数的图象过点（0，－2）和（3,0）两点，则方程的解为＿
六．评价与反思（引导学生自己总结）
1.你今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？在学生回答的基础上，教师点评并板书
2.教学反思
本节内容是通过研究一次函数与二元一次方程组的关系，通过学习探究，加强知识之间的联系，学会融会贯通.
19.2.1正比例函数-----第二课时：正比例函数图像的及性质
学习目标:
1.会画正比例函数的图象
2.掌握正比例函数的图象和性质.
3.会用正比例函数的知识解决简单的实际问题.
教学重难点
重点：正比例函数的图象和性质.
难点：正比例函数的图象和性质的应用.
教学过程
情镜引入
前面我们学习了正比例函数的概念，为了进一步研究正比例函数，今天我们将学习正比例函数的图象和性质.（同时展示本节课的教学目标）
二．新知探究，合作交流（以自学研讨或小组讨论交流的方式进行）
1.阅读教材P87—P89页内容，并动手画一画，正比例函数的一个共同特征是什么？
学生画图之后回答：正比例函数的图象都经过原点，都是一条直线.
归纳：（1）正比例函数的图像都是一条直线，它一定经过原点.
（2）正比例函数y＝kx(k≠0),当k>0时,直线y＝kx经过第一、三象限,从左向右上升,y随x的增大而增大；当k<0时,直线y＝kx经过第二、四象限,从左向右下降,y随x的增大而减小.
2.思考：画正比例函数的图像时可以用两点法来确定这条直线，一般过那两个点呢？
学生讨论回答：过（0,0）和（1，k）这两个点
例1. y＝5x和y＝x的图象经过第 象限,y＝－6x和y＝－1.5x的图象经过第 象限.
分析：y＝5x和y＝x中，k值为5和 ，都大于0，所以函数图象经过一三象限，
y＝－6x和y＝－1.5x中，k值为－6和－1.5，都小于0，所以函数图象经过二四象限.
2.函数y=2x,y=-3x,y=-x的共同特点是( )
A.图象位于同样的象限 B.y随x的增大而减小
C.y随x的增大而增大 D.图象都过原点
分析：y=2x,y=-3x,y=-x 三者都满足y=kx(k≠0),因此，这三个正比例函数的图象都是都经过原点的一条直线.所以，答案是D
三．巩固练习
1.函数y=(1-k)x中,如果y随着x增大而减小,那么常数k的取值范围是( )
A.k<1 B.k>1 C.k≤1 D.k≥1
2.点A(5,y1)和B(2,y2)都在直线y＝－x上,则y1与y2的关系是( )
A.y1≥y2 B.y1＝y2 C.y1y2
3.已知正比例函数y=kx(k≠0),点(2,-3)在函数图象上,则y随x的增大而 (增大或减小)
四．总结拓展
1.课堂小结：学生讨论交流回答
（1）正比例函数的图象和性质
（2）正比例函数的图象和性质
2.拓展延伸
（1）.在正比例函数y=(m-8)x中,如果y随自变量x的增大而减小,那么正比例函数y=(8-m)x的图象在第 象限.
（2）.已知y与(x-1)成正比例,当x=4时,y=-12.
(1)写出y与x之间的函数解析式.
(2)当x=-2时,求函数值y.
(3)当y=20时,求自变量x的值.
3.作业布置：教材P98，习题第1题
五．课堂效果测评
1.下列函数解析式中,不是正比例函数的是 ( )
A.xy=-2 B.y+8x=0 C.3x=4y D.y=-x
2.函数y=(1-k)x中,如果y随着x增大而减小,那么常数k的取值范围是 ( )
A.k<1 B.k>1
C.k≤1 D.k≥1
3.我国是一个严重缺水的国家,大家应倍加珍惜水资源,节约用水.据测试,拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水,每滴水约0.05 mL.小红同学在洗手后,没有把水龙头拧紧,当小红离开x h后水龙头滴了y mL水.则y关于x的函数解析式为 .?
4.直线y=x经过(0, ),( ,2),且过第 象限,y随x的增大而 . ?
5.已知函数y=(k+3)x|k|-4是正比例函数,且 y随x的增大而减小,那么k= .?
6.已知某种小汽车的耗油量是每100 km耗油15升.所使用的93汽油今日涨价到5元/升.
(1)写出汽车行驶途中所耗油费 y(元)与行程 x(km)之间的函数关系式;
(2)在平面直角坐标系内描出大致的函数图象;
(3)计算娄底到长沙220 km所需油费是多少?
六．评价与反思（引导学生自己总结）
1.你今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？在学生回答的基础上，教师点评并板书
2.教学反思
本节课教师带领学生画出正比例函数的图象，又通过对函数图象的观察，总结，得出比例系数与函数图像间的关系.
