北京版七年级下册数学课件：5.1 二元一次方程和它的解 （121张ppt）

(共121张PPT)
二元一次方程和它的解
初一年级 数学
一、引入新知：
问题1：在新年联欢会上同学们组织了猜谜活动,并采取积分方法记分,每

答对1题要得分,每答错1题要扣分.在猜谜活动中,王强答对了7道题,答错

了3道题,共获得50分；李翔答对了8道题,答错了1道题,共获得62分.

问答对1道题得多少分，答错1道题扣多少分.

一、引入新知：
问题1：在新年联欢会上同学们组织了猜谜活动,并采取积分方法记分,每

答对1题要得分,每答错1题要扣分.在猜谜活动中,王强答对了7道题,答错

了3道题,共获得50分；李翔答对了8道题,答错了1道题,共获得62分.

问答对1道题得多少分，答错1道题扣多少分.

一、引入新知：
问题1：在新年联欢会上同学们组织了猜谜活动,并采取积分方法记分,每

答对1题要得分,每答错1题要扣分.在猜谜活动中,王强答对了7道题,答错

了3道题,共获得50分；李翔答对了8道题,答错了1道题,共获得62分.

问答对1道题得多少分，答错1道题扣多少分.

答对题得的分-答错题扣的分=最后得分
一、引入新知：
问题1：在新年联欢会上同学们组织了猜谜活动,并采取积分方法记分,每

答对1题要得分,每答错1题要扣分.在猜谜活动中,王强答对了7道题,答错

了3道题,共获得50分；李翔答对了8道题,答错了1道题,共获得62分.

问答对1道题得多少分，答错1道题扣多少分.

答对题数×答对1道题得的分
答错题数×答错1道题扣的分


答对题得的分-答错题扣的分=最后得分
一、引入新知：
问题1：在新年联欢会上同学们组织了猜谜活动,并采取积分方法记分,每

答对1题要得分,每答错1题要扣分.在猜谜活动中,王强答对了7道题,答错

了3道题,共获得50分；李翔答对了8道题,答错了1道题,共获得62分.

问答对1道题得多少分，答错1道题扣多少分.



已知：
答对题数 答错题数 总分
王强 7 3 50
李翔 8 1 62
等量关系：
答对题数×答对1道题得的分-答错题数×答错1道题扣的分=总得分

已知：
答对题数 答错题数 总分
王强 7 3 50
李翔 8 1 62
等量关系1：
王强：答对题数×答对1道题得的分-答错题数×答错1道题扣的分=总得分

等量关系2：
李翔：答对题数×答对1道题得的分-答错题数×答错1道题扣的分=总得分

已知：
答对题数 答错题数 总分
王强 7 3 50
李翔 8 1 62
已知：
答对题数 答错题数 总分
王强 7 3 50
李翔 8 1 62
将李翔答题情况扩大三倍.

8 × 3=24， 136÷(24 ? 7)=8，
62 × 3=186， 8 × 8=64，
186 ?50=136， (64?62) ÷1=2 .
同学甲：算术方法
已知：
答对题数 答错题数 总分
王强 7 3 50
李翔 24 3 186
将李翔答题情况扩大三倍.

8 × 3=24， 136÷(24 ? 7)=8，
62 × 3=186， 8 × 8=64，
186 ?50=136， (64?62) ÷1=2 .
同学甲：算术方法
将李翔答题情况扩大三倍.

8 × 3=24， 136÷(24 ? 7)=8，
62 × 3=186， 8 × 8=64，
186 ?50=136， (64?62) ÷1=2 .
已知：
答对题数 答错题数 总分
王强 7 3 50
李翔 8 1 62
同学甲：算术方法
将李翔答题情况扩大三倍.

8 × 3=24， 136÷(24 ? 7)=8，
62 × 3=186， 8 × 8=64，
186 ?50=136， (64?62) ÷1=2 .
已知：
答对题数 答错题数 总分
王强 7 3 50
李翔 8 1 62
同学甲：算术方法
答：答对1道题得8分，答错1道题扣2分.
同学乙：列一元一次方程
解：设答对1道题得 分，则答错1道题扣 ？ 分 ,


答对题数
对1题得分数
答错题数
总分
错1题扣分数
王强
李翔
7
3
50
8
1
62
？
？
王强：答对题数×答对1道题得的分-答错题数×答错1道题扣的分=总得分

李翔：答对题数×答对1道题得的分-答错题数×答错1道题扣的分=总得分

同学乙：列一元一次方程
解：设答对一题得 分，则答错一题扣 ？ 分,


答对题数
对1题得分数
答错题数
总分
错1题扣分数
王强
李翔
7
3
50
8
1
62
？
？
李翔：答对题数×答对1道题得的分-答错题数×答错1道题扣的分=总得分

同学乙：列一元一次方程
解：设答对一题得 分，则答错一题扣 分,


答对题数
对1题得分数
答错题数
总分
错1题扣分数
王强
李翔
7
3
50
8
1
62
李翔：答对题数×答对1道题得的分-答错题数×答错1道题扣的分=总得分

同学乙：列一元一次方程
解：设答对一题得 分，则答错一题扣 分,


答对题数
对1题得分数
答错题数
总分
错1题扣分数
王强
李翔
7
3
50
8
1
62
王强：答对题数×答对1道题得的分-答错题数×答错1道题扣的分=总得分

同学乙：列一元一次方程
解：设答对1道题得 分，则答错1题扣 分,


答对题数
对1题得分数
答错题数
总分
错1题扣分数
王强
李翔
7
3
50
8
1
62
同学乙：列一元一次方程
解：设答对1道题得 分，则答错1道题扣 或 分,


答对题数
对1题得分数
答错题数
总分
错1题扣分数
王强
李翔
7
3
50
8
1
62
或
设两个未知数呢？

设答对1道题得 分，答错1道题扣 分，


答对题数
对1题得分数
答错题数
总分
错1题扣分数
王强
李翔
7
3
50
8
1
62
王强：答对题数×答对1道题得的分-答错题数×答错1道题扣的分=总得分

李翔：答对题数×答对1道题得的分-答错题数×答错1道题扣的分=总得分

设两个未知数呢？

王强：答对题数×答对1道题得的分-答错题数×答错1道题扣的分=总得分

李翔：答对题数×答对1道题得的分-答错题数×答错1道题扣的分=总得分


答对题数
对1题得分数
答错题数
总分
错1题扣分数
王强
李翔
7
3
50
8
1
62
设答对1道题得 分，答错1道题扣 分，

设两个未知数呢？

注意：设出两个未知数，就要找出两个相等的关系，列出两个方程来表示
问题中的全部含义.

答对题数
对1题得分数
答错题数
总分
错1题扣分数
王强
李翔
7
3
50
8
1
62
设答对1道题得 分，答错1道题扣 分，

问题2：观察上面的两个方程，与一元一次方程有什么相同或不同之处？

类比一元一次方程的概念：
二、类比学习
问题2：观察上面的两个方程，与一元一次方程有什么相同或不同之处？

类比一元一次方程的概念：
二、类比学习
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.

例如:

问题2：观察上面的两个方程，与一元一次方程有什么相同或不同之处？

类比一元一次方程的概念：
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.

二、类比学习
类比一元一次方程的概念：
二、类比学习
同学观点：

相同：所含未知数的次数都是1；
不同：含有的未知数的个数不同，一元一次方程只含有一个未知数，
而二元一次方程则含有两个未知数.
类比一元一次方程的概念：
二、类比学习
追问1：你能给这两个方程起个名字吗？

类比一元一次方程的概念：
二、类比学习
追问1：你能给这两个方程起个名字吗？

追问2：为什么叫二元一次方程呢？
类比一元一次方程的概念：
二、类比学习
追问1：你能给这两个方程起个名字吗？

追问2：为什么叫二元一次方程呢？
追问3：你能给二元一次方程下定义吗？
类比一元一次方程的概念：
二、类比学习
追问3：你能给二元一次方程下定义吗？
同学观点：含有两个未知数,并且含未知数的次数都是1，就是二元一次方程.
类比一元一次方程的概念：
二、类比学习
追问3：你能给二元一次方程下定义吗？
同学观点：含有两个未知数,并且含未知数的次数都是1，就是二元一次方程.
类比一元一次方程的概念：
二、类比学习
追问3：你能给二元一次方程下定义吗？
同学观点：含有两个未知数,并且含未知数的次数都是1，就是二元一次方程.
反例:

类比一元一次方程的概念：
二、类比学习
二元一次方程定义：含有两个未知数,并且含未知数的项的次数都是1，我们

把这样的方程叫做二元一次方程.
类比一元一次方程的概念：
二、类比学习
二元一次方程定义：含有两个未知数,并且含未知数的项的次数都是1，我们

把这样的方程叫做二元一次方程.
一元一次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程

叫做一元一次方程.
类比一元一次方程的概念：
二、类比学习
二元一次方程特征：

（1）含有两个未知数；

（2）含未知数的项的次数都是1；

（3）整式方程.

类比一元一次方程的概念：
二、类比学习
一元一次方程与二元一次方程的相同点和不同点：
未知数个数 未知数的项的次数
一元一次方程 1个 1次
二元一次方程 2个 1次
类比一元一次方程的概念：
二、类比学习

一元一次方程的一般形式：

（ ， 是已知数，且 ）.

类比一元一次方程的概念：
二、类比学习

一元一次方程的一般形式：

二元一次方程的一般形式：



（其中 是已知数，且 ）.


（ ， 是已知数，且 ）.

追问4：如果含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2，
那么它叫什么方程呢？
二、类比学习
追问4：如果含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2，
那么它叫什么方程呢？
一元二次方程
二、类比学习
追问4：如果含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2，
那么它叫什么方程呢？
追问5：你能不能给三元一次方程下定义呢？
一元二次方程
二、类比学习
追问4：如果含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2，
那么它叫什么方程呢？
追问5：你能不能给三元一次方程下定义呢？
一元二次方程
含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1.
二、类比学习
一元一次方程
二元一次方程
三元一次方程
一元二次方程





…

二、类比学习
一元一次方程
二元一次方程
三元一次方程
一元二次方程
一元三次方程
…







…

二、类比学习
例：判断下列方程中哪些是二元一次方程？
经典例题：
例：判断下列方程中哪些是二元一次方程？
不是
经典例题：
例：判断下列方程中哪些是二元一次方程？
是
不是
经典例题：
例：判断下列方程中哪些是二元一次方程？
是
不是
不是
经典例题：
例：判断下列方程中哪些是二元一次方程？
是
不是
不是
经典例题：
不是
例：判断下列方程中哪些是二元一次方程？
是
不是
不是
不是
经典例题：
不是
例：判断下列方程中哪些是二元一次方程？
是
不是
不是
经典例题：
不是
注意：（1）含有两个未知数；
（2）含未知数的项的次数都是1.
不是
例： 方程 是关于 的二元一次方程, 求 的值.

关于
经典例题：
例： 方程 是关于 的二元一次方程, 求 的值.






是未知数，

未知数的项的系数不能为0，

含未知数的项的次数都为1.


解析：
关于
经典例题：
例： 方程 是关于 的二元一次方程, 求 的值.

∵ 方程 是关于 的二元一次方程.
解：
经典例题：
例： 方程 是关于 的二元一次方程, 求 的值.

∵ 方程 是关于 的二元一次方程.
解：
经典例题：
例： 方程 是关于 的二元一次方程, 求 的值.

∵ 方程 是关于 的二元一次方程.
解：
经典例题：
又
例： 方程 是关于 的二元一次方程, 求 的值.

∵ 方程 是关于 的二元一次方程.
解：
经典例题：
又
例： 方程 是关于 的二元一次方程, 求 的值.

∵ 方程 是关于 的二元一次方程.
解：
经典例题：
又
二元一次方程的解？
二、类比学习
类比方程解的概念：
一般地，能够使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.
二、类比学习
类比方程解的概念：
一般地，能够使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.
例如：当 时，方程 左右两边的值相等，


二、类比学习
记作
我们就把 叫做方程 的一个解，
注意：

(1)用大括号联立;

(2)二元一次方程有两个未知数，所以二元一次方程的解是一对未知数的值；

(3)两个数之间是“且”的关系，要同时成立.

二、类比学习
二、类比学习
二元一次方程的一个解：
使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做这个二元

一次方程的一个解.
记作
类比方程解的概念：
一般地，能够使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.
类比一元一次方程的解：
问题3： 请你写出方程 的一个解.
二、类比学习
类比一元一次方程的解：
问题3： 请你写出方程 的一个解.
二、类比学习
类比一元一次方程的解：
问题3： 请你写出方程 的一个解.
判断 是不是方程 的一个解？
二、类比学习
类比一元一次方程的解：
问题3： 请你写出方程 的一个解.
判断 是不是方程 的一个解？
∵方程左边 右边
二、类比学习
∴左边=右边
类比一元一次方程的解：
问题3： 请你写出方程 的一个解.
判断 是不是方程 的一个解？
∵方程左边 右边
二、类比学习
∴ 是方程 的一个解.
∴左边=右边.
类比一元一次方程的解：
问题3： 请你写出方程 的一个解.
二、类比学习
类比一元一次方程的解：
问题3： 请你写出方程 的一个解.
判断 是不是方程 的一个解？
二、类比学习
类比一元一次方程的解：
问题3： 请你写出方程 的一个解.
∵方程左边 右边
二、类比学习
∴ 是方程 的一个解.
∴左边=右边.

判断 是不是方程 的一个解？
追问1：二元一次方程有多少个解呢？
思考如何求方程 的解.
追问1：二元一次方程有多少个解呢？
思考如何求方程 的解.
... 0 1 ...
... 5 ...
追问1：二元一次方程有多少个解呢？
思考如何求方程 的解.
... 0 1 ...
... 5 4 ...
追问1：二元一次方程有多少个解呢？
思考如何求方程 的解.
... 0 1 2 ...
... 5 4 ...
追问1：二元一次方程有多少个解呢？
思考如何求方程 的解.
... 0 1 2 ...
... 5 4 3 ...
追问1：二元一次方程有多少个解呢？
思考如何求方程 的解.
... 0 1 2 ...
... 5 4 3 0 ...
追问1：二元一次方程有多少个解呢？
思考如何求方程 的解.
... 0 1 2 5 ...
... 5 4 3 0 ...
追问1：二元一次方程有多少个解呢？
思考如何求方程 的解.
... 0 1 2 5 ...
... 5 4 3 0 ...
追问1：二元一次方程有多少个解呢？
思考如何求方程 的解.
... 0 1 2 5 6 ...
... 5 4 3 0 ...
追问1：二元一次方程有多少个解呢？
思考如何求方程 的解.
... 0 1 2 5 6 ...
... 5 4 3 0 ...
解：
（1）当 时，得到方程 ，
追问1：二元一次方程有多少个解呢？
思考如何求方程 的解.
... 0 1 2 5 6 ...
... 5 4 3 0 ...
解：
（1）当 时，得到方程 ，解这个方程得到 ；
追问1：二元一次方程有多少个解呢？
... 0 1 2 3 5 6 ...
... 5 4 3 0 ...
2
（2）当 时，得到方程 ，解这个方程得到 ；
解：
（1）当 时，得到方程 ，解这个方程得到 ；
思考如何求方程 的解.
追问1：二元一次方程有多少个解呢？
... 0 1 2 3 4 5 6 ...
... 5 4 3 1 0 ...
2
（2）当 时，得到方程 ，解这个方程得到 ；
解：
（1）当 时，得到方程 ，解这个方程得到 ；
（3）当 时，得到方程 ，解这个方程得到 ；
思考如何求方程 的解.
追问1：二元一次方程有多少个解呢？
... 0 1 2 3 4 5 6 ...
... 5 4 3 1 0 ...
2
7
（2）当 时，得到方程 ，解这个方程得到 ；
解：
（1）当 时，得到方程 ，解这个方程得到 ；
（3）当 时，得到方程 ，解这个方程得到 ；
思考如何求方程 的解.
追问1：二元一次方程有多少个解呢？
... 0 1 2 3 4 5 6 ...
... 5 4 3 1 0 ...
2
7
解：
（4）当 时，得到方程 ，解这个方程得到 .
.
思考如何求方程 的解.
方法小结：

只要我们给出 (或 )的一个值，把它代入方程中，就可以将方程转化

为含有另一个未知数 (或 )的一元一次方程，从而求出相应的 (或 )

的一个值，这一对 ， 的值就是这个二元一次方程的一个解.
方法小结：

只要我们给出 (或 )的一个值，把它代入方程中，就可以将方程转化

为含有另一个未知数 (或 )的一元一次方程，从而求出相应的 (或 )

的一个值，这一对 ， 的值就是这个二元一次方程的一个解.
二元一次方程
代入x(或y)
一个确定的值
消元转化
关于y (或x)的
一元一次方程
等式基本性质
变形转化
求出y(或x)
方法小结：

只要我们给出 (或 )的一个值，把它代入方程中，就可以将方程转化

为含有另一个未知数 (或 )的一元一次方程，从而求出相应的 (或 )

的一个值，这一对 ， 的值就是这个二元一次方程的一个解.
二元一次方程
代入x(或y)
一个确定的值
消元转化
关于y (或x)的
一元一次方程
等式基本性质
变形转化
求出y(或x)
未知
已知
简单
复杂
知识小结：



一般地，一个二元一次方程有无数多个解，即二元一次方程的解具


有不确定性. 二元一次方程中的未知数是互相联系、相互制约的关系.
追问2：请你判断 是不是方程 的一个解.
解：∵方程左边 ,右边 ,
追问2：请你判断 是不是方程 的一个解.
解：∵方程左边 ,右边 ,
∴ 不是方程 的一个解.
∴左边 右边.
∴
追问2：请你判断 是不是方程 的一个解.
注意：不是任何一个数对都是二元一次方程的一个解.
解：∵方程左边 ,右边 ,
∴ 不是方程 的一个解.
∴左边 右边.
∴
追问2：请你判断 是不是方程 的一个解.
注意：不是任何一个数对都是二元一次方程的一个解.
解：∵方程左边 ,右边 ,
∴ 不是方程 的一个解.
∴左边 右边.
∴
数

等量代换
代入


式
运算
求值
方程
追问2：请你判断 是不是方程 的一个解.
追问3：写出方程 所有的正整数解.
解： ∵ 均为正整数，
∴
∴ 为小于5的正整数，
是方程所有的正整数解.
追问3：写出方程 所有的正整数解.
解： ∵ 均为正整数，
注意：在 的值的选取上，不是随意代入一个正整数，应按从小到大或从大到小的顺序选取，以免重漏.
∴
∴ 为小于5的正整数，
是方程所有的正整数解.
追问3：写出方程 所有的正整数解.
小结：
一元一次方程与二元一次方程解的相同点和不同点：
类比一元一次方程的解
未知数个数 未知数的项的次数 方程解的个数
一元一次方程 1个 1次 唯一1个
二元一次方程 2个 1次 无数个
例
已知: ,用含 y的代数式表示 x .
经典例题：
例
解：由
已知: ,用含 的代数式表示 .
移项，得
(等式基本性质1)
经典例题：
得
例
解：由
已知: ,用含 的代数式表示 .
移项，得
系数化为1 ，得
(等式基本性质1)
(等式基本性质2)
经典例题：
得
例
解：方法二:由
已知: ,用含 的代数式表示 .
两边同时除以2,得
(等式基本性质2)
经典例题：
得
例
解：方法二:由
已知: ,用含 的代数式表示 .
两边同时除以2,得
移项，得
(等式基本性质2)
(等式基本性质1)
经典例题：
得
例
解：由
已知: ,用含 的代数式表示 .
移项，得
系数化为1 ，得
(等式基本性质1)
(等式基本性质2)
经典例题：
得
当 时，代入得
方法小结：
“用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，再赋值”的方法.

利用求代数式的值的方法解决.

二元一次方程
等式基本性质
变形转化

赋值代入
消元转化
解

一元一次方程
方法小结：
方法一：“先给出的一个值，转化为一元一次方程，从而求出相应的的值；
方法二：“用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，再赋值”的方法.利用求代数式的值的方法解决.

二元一次方程

一元一次方程
赋值代入
消元转化
解

变形转化
等式基本性质

二元一次方程
等式基本性质
变形转化

一元一次方程
赋值代入
消元转化
解

方法一：先赋值，后变形，再求解；

方法二：先变形，后赋值，再求解.

两种方法的区别与联系：
方法小结：
方法一：先赋值，后变形，再求解；

方法二：先变形，后赋值，再求解.

二元一次方程

代入消元
转化
一元一次方程

两种方法的区别与联系：
方法小结：
思考：
怎样确定二元一次方程 （其中 ， ， 是已知数，且

， ）的一个解.
思考：
怎样确定二元一次方程 （其中 ， ， 是已知数，且

， ）的一个解.
引导：把其中一个未知数当作已知数
解： 或
思考：
怎样确定二元一次方程 （其中 ， ， 是已知数，且

， ）的一个解.
引导：把其中一个未知数当作已知数
解： 或
或
思考：
怎样确定二元一次方程 （其中 ， ， 是已知数，且

， ）的一个解.
从具体到抽象，从特殊到一般.
引导：把其中一个未知数当作已知数
解： 或
或
三、课堂小结：
（1）二元一次方程
含有两个未知数,并且含未知数的项的次数都是1,我们把这样的方程
叫做二元一次方程.


（2）二元一次方程的解
使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做这个二元
一次方程的一个解，二元一次方程的解具有不确定性.
1.知识梳理
（3）一元一次方程和二元一次方程及其解的区别与联系：

未知数个数 未知数的项的次数 方程解的个数
一元一次方程 1个 1次 唯一1个
二元一次方程 2个 1次 无数个
三、课堂小结：
1.知识梳理

二元一次方程

一元一次方程
赋值代入
消元转化
解

等式基本性质
变形转化

二元一次方程
等式基本性质
变形转化

一元一次方程
赋值代入
消元转化
解

二元一次方程

代入消元
转化
一元一次方程

三、课堂小结：
2.解题方法
运用了方程思想、建模思想、转化、化归思想、函数思想.

类比方法，从具体到抽象，从特殊到一般.
三、课堂小结：
3.数学思想方法
4.研究方法
1.把下列二元一次方程改写成用含有一个未知数的代数式表示另一个

未知数的形式：

（1）

（2）

（3）
四、课后作业：
2. 填写下表，使表中的每一对 ， 的值都是方程 的一个解：
四、课后作业：
3. 是不是方程 和 的公共解？



是不是方程 和 的公共解？请你检验一下.



4.求满足方程 的非负整数解.
四、课后作业：
一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程．因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解．

——笛卡尔
?