北京版七年级下册数学课件：5.2 二元一次方程组和它的解 （129张ppt）

(共129张PPT)
二元一次方程组和它的解
初一年级 数学
问题1：列方程解应用题：
“绿色生活”就是以园艺为媒介，引领人们尊重自然、保护自然、低碳、环保的生产生活理念.长城脚下的世界园艺博览会，吸引了众多游人的目光.墩墩和同学相约去世园会游览，鉴于安全问题，需要家长陪同，一行共7人，家长需购买平日普通票，每张票价为120元，学生可以购买平日优惠票，每张票价为80元，买票共花720元，问是否能保证每名学生都能有一名家长看护？
一、引入新知
问题1：列方程解应用题：
“绿色生活”就是以园艺为媒介，引领人们尊重自然、保护自然、低碳、环保的生产生活理念.长城脚下的世界园艺博览会，吸引了众多游人的目光.墩墩和同学相约去世园会游览，鉴于安全问题，需要家长陪同，一行共7人，家长需购买平日普通票，每张票价为120元，学生可以购买平日优惠票，每张票价为80元，买票共花720元，问是否能保证每名学生都能有一名家长看护？
一、引入新知
问题1：列方程解应用题：
“绿色生活”就是以园艺为媒介，引领人们尊重自然、保护自然、低碳、环保的生产生活理念.长城脚下的世界园艺博览会，吸引了众多游人的目光.墩墩和同学相约去世园会游览，鉴于安全问题，需要家长陪同，一行共7人，家长需购买平日普通票，每张票价为120元，学生可以购买平日优惠票，每张票价为80元，买票共花720元，问是否能保证每名学生都能有一名家长看护？
一、引入新知
分析
等量关系1：
家长人数+学生人数=7
一、引入新知
问题1：列方程解应用题：
“绿色生活”就是以园艺为媒介，引领人们尊重自然、保护自然、低碳、环保的生产生活理念.长城脚下的世界园艺博览会，吸引了众多游人的目光.墩墩和同学相约去世园会游览，鉴于安全问题，需要家长陪同，一行共7人，家长需购买平日普通票，每张票价为120元，学生可以购买平日优惠票，每张票价为80元，买票共花720元，问是否能保证每名学生都能有一名家长看护？
一、引入新知
家长每张票价 家长人数+学生每张票价 学生人数=720
分析
等量关系2：
一、引入新知
家长每张票价 家长人数+学生每张票价 学生人数=720
分析
等量关系1：
等量关系2：
家长人数+学生人数=7
一、引入新知
两个等量关系：
设家长有 人，则学生有 人，

一、引入新知
方法一：列一元一次方程
设家长有 人，则学生有 人，
等量关系1：家长人数+学生人数=7

一、引入新知
方法一：列一元一次方程

一、引入新知
方法一：列一元一次方程
等量关系1： +学生人数=7
设家长有 人，则学生有 人，

一、引入新知
方法一：列一元一次方程
设家长有 人，则学生有 人，

一、引入新知
方法一：列一元一次方程
家长每张票价 家长人数+学生每张票价 学生人数=720
等量关系2：
设家长有 人，则学生有 人，

一、引入新知
方法一：列一元一次方程
设家长有 人，则学生有 人，
解:

一、引入新知
方法一：列一元一次方程
设家长有 人，则学生有 人，
解:

一、引入新知
方法一：列一元一次方程
设家长有 人，则学生有 人，
解:
答：家长有4人，学生有3人，家长人数大于学
生人数，能保证每名学生都能有一名家长看护.
、
一、引入新知
方法二：设两个未知数列方程
设家长有 人，学生有 人，
、
一、引入新知
方法二：设两个未知数列方程
由等量关系1得： ①
设家长有 人，学生有 人，
由等量关系2得： ②
、
一、引入新知
方法二：设两个未知数列方程
由等量关系1得： ①
设家长有 人，学生有 人，
由等量关系2得： ②
、
一、引入新知
方法二：设两个未知数列方程
由等量关系1得： ①
设家长有 人，学生有 人，
两个关系式中的 、 表示的意义一样.

设出两个未知数，就要找出两个相等的关系，

列出两个方程来表示问题中的全部含义.
一、引入新知
注意：
在上面的问题中，家长人数和同学人数必须同时满足

①、②两个方程．把①、②两个二元一次方程放在一起写为

的形式，这样就组成了一个方程组.

①
②
二、探究新知
问题2：什么叫方程组？
类比学习
二、探究新知
一般地，把几个方程合在一起，使其中的未知数同

时满足每一个方程的一组方程叫做方程组.
二、探究新知
类比学习
问题2：什么叫方程组？
问题3：什么叫二元一次方程组？
类比学习
二、探究新知
一般地，方程组中含有两个未知数，含有每个未知

数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方

程组叫做二元一次方程组.

问题3：什么叫二元一次方程组？
类比学习
二、探究新知
（1）方程组中含有两个未知数；
二、探究新知
（3）要用大括号“ ”联立.
（2）未知数代表相同的数值，同时满足两个方程；
二元一次方程组特征：
含有每个未知数的项的次数都是1，两个方程都是

一次方程，可以是一元一次方程也可以是二元一次方程，

一般情况下两个二元一次方程最为常见.
二、探究新知
说明：
也是二元一次方程组.
例如：
形如
二、探究新知
（其中 不同时为零）.
二元一次方程组一般形式为
二、探究新知
二元一次方程与二元一次方程组定义的相同点和不同点：
相同点 不同点
二元一次方程 含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1 一个方程
二元一次方程组 两个方程
类比学习
二、探究新知
追问：什么是三元一次方程组？
类比学习
二、探究新知
追问：什么是三元一次方程组？
含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数

都是1，并且一共有三个方程，这样的方程组叫做三元一

次方程组.
类比学习
二、探究新知
经典例题
例: 下列方程组是否为二元一次方程组,请说明理由.


经典例题
例: 下列方程组是否为二元一次方程组,请说明理由.
不是


经典例题
例: 下列方程组是否为二元一次方程组,请说明理由.
不是
是


经典例题
例: 下列方程组是否为二元一次方程组,请说明理由.
不是
是
不是


经典例题
例: 下列方程组是否为二元一次方程组,请说明理由.
不是
是
不是
是


经典例题
例: 下列方程组是否为二元一次方程组,请说明理由.
特征：（1）含有两个未知数；
（2）每个未知数的项的次数都是1.
不是
是
不是
是


二、探究新知
问题4：什么是二元一次方程组的解？
二、探究新知
问题4：什么是二元一次方程组的解？
①
②
问题4：什么是二元一次方程组的解？
分析： 表示家长的人数， 表示学生人数，求正整数解.
二、探究新知
①
②
二、探究新知
问题4：什么是二元一次方程组的解？
按 从小到大的顺序.
①
②
二、探究新知
方法一：先赋值，后变形，再求解.

二元一次方程
一元一次方程
赋值代入
解
等式基本性质
变形转化
消元转化


二、探究新知
问题4：什么是二元一次方程组的解？
当 时， ，解得
方法一：先赋值，后变形，再求解.
①
②
二、探究新知
问题4：什么是二元一次方程组的解？
当 时， ，解得
当 时， ，解得
方法一：先赋值，后变形，再求解.
①
②
二、探究新知
问题4：什么是二元一次方程组的解？
当 时， ，解得
当 时， ，解得
①
当 时， ，解得
当 时， ，解得
方法一：先赋值，后变形，再求解.
二、探究新知
问题4：什么是二元一次方程组的解？
方法一：先赋值，后变形，再求解.
①
方程①的所有正整数解为：
问题4：什么是二元一次方程组的解？
二、探究新知
①
方法二：先变形，后赋值，再求解.
问题4：什么是二元一次方程组的解？
将方程①变形为 ，然后按 从小到大顺序再

赋值计算.
二、探究新知
①
方法二：先变形，后赋值，再求解.
二、探究新知
方法二：先变形，后赋值，再求解.

二元一次方程
等式基本性质
变形转化

一元一次方程
赋值代入
消元转化
解

二、探究新知
二元一次方程

代入消元
转化
一元一次方程

的式子表示
，
二、探究新知
方法一：先赋值，后变形，再求解.
①
②
的式子表示
，
二、探究新知
当 时， ，得 ，解得
方法一：先赋值，后变形，再求解.
①
②
的式子表示
，
二、探究新知
当 时， ，得 ，解得
方法一：先赋值，后变形，再求解.
当 时， ，得 ，解得
①
②
的式子表示
，
二、探究新知
①
②
用含 的式子表示 ,
的式子表示
，
二、探究新知
①
②
用含 的式子表示 ,
的式子表示
，
移项得
，利用等式基本性质1，
二、探究新知
解析：
①
②
用含 的式子表示 ,
的式子表示
，
移项得
，利用等式基本性质1，
系数化为1得
，利用等式基本性质2，
二、探究新知
解析：
①
②
用含 的式子表示 ,
的式子表示
，
移项得
，利用等式基本性质1，
系数化为1得
，利用等式基本性质2，
约分得
或
二、探究新知
解析：
①
②
当 时， 为分数，所以不符合题意，舍去；
二、探究新知
当 时， 为分数，所以不符合题意，舍去；
当 时， 为正整数，

二、探究新知
方程②的正整数解；
是
二、探究新知
当 时， 为分数，所以不符合题意，舍去；
二、探究新知
当 时， 为分数，所以不符合题意，舍去；
当 时， 为正整数， 是
方程②的正整数解；
当 时， 为分数，所以不符合题意，舍去；
二、探究新知
当 时， 为分数，所以不符合题意，舍去；
当 时， 为整数，不符合题意，舍去.
二、探究新知
所以方程②的正整数解为
二、探究新知
②
另法：
二、探究新知
②
将方程两边同时除以40，得
方程②的正整数解为：
观察两个方程的正整数解.
方程①的所有正整数解为：
二、探究新知
方程②的正整数解为：
观察两个方程的正整数解.
方程①的所有正整数解为：
二、探究新知
解个数不同
方程②的正整数解为：
观察两个方程的正整数解.
方程①的所有正整数解为：
二、探究新知
解个数不同
有一个解相同


既是方程①也是方程②解，我们称这个解

为两个方程的公共解.这个公共解就是方程①和方程②组成

的方程组的解．



二、探究新知
既是方程①也是方程②解，我们称这个解

为两个方程的公共解.这个公共解就是方程①和方程②组成

的方程组的解．


所以问题1中，家长的人数为4人，学生人数为3人，能保证每名学生能有一名家长看护.
二、探究新知
二元一次方程组的解：使二元一次方程组中的两个方程

左右两边的值都相等的两个未知数的值（即两个方程的

公共解），叫做二元一次方程组的解.
记作：
二、探究新知
注意：

（1）二元一次方程组的解必须同时满足两个方程；

（2）是成对出现的，用大括号联立，表示“且”；

（3）一般情况下，二元一次方程组有唯一解.

二、探究新知
二、探究新知
类比学习
追问1：二元一次方程的解和二元一次方程组的解的相同点和不同点是什么？
类比学习
追问1：二元一次方程的解和二元一次方程组的相同点和不同点是什么？
相同点 不同点
二元一次方程 是一对未知数的值，形式相同. 满足一个二元一次方程，有无数个解.
二元一次方程组 同时满足两个方程，有唯一解.
二、探究新知
回顾：
二元一次方程的解的检验方法：
检验时要把所求的一对未知数的值代入原方程里

的每个未知数，看一看方程左右两边的值是不是相等.
类比学习
二、探究新知
检验时要把所求的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看一看方程左右两边的值是不是相等.
类比学习
二、探究新知
二元一次方程组的解的检验方法：
例：
判断 是不是方程组 的解.
经典例题
例：
判断 是不是方程组 的解.
解析：把 分别代入方程组中的两个二元一次方程

中，若能使两个方程都成立，则是该方程组的解，若有一个

不成立，则不是该方程组的解.

经典例题
解：
把 代入方程 的左右两边，
左边= ，右边=1.
左边=右边，
是方程 的解.
经典例题
把 代入方程 的左右两边，
左边= ，右边=-9.
左边=右边，
是方程 的解.
经典例题
所以 是方程组 的解.
经典例题
所以 是方程组 的解.
经典例题
数
式
方程
例：
已知 是关于x，y的方程组 的解，

求 的值.
经典例题
例：
已知 是关于x，y的方程组 的解，

求 的值.
经典例题
解析：
关于x，y的方程组，x，y是方程组的两个未知数；
两个未知数需要同时满足两个方程；
要想求出 的值，只需求出 的值.

例：
已知 是关于x，y的方程组 的解，

求 的值.
是关于x，y的方程组 的解，
把 分别代入两个方程，
经典例题
解：
得
经典例题
得
解得：
经典例题
得
解得：
经典例题
例：写出以 为解的二元一次方程组.
经典例题
例：写出以 为解的二元一次方程组.
经典例题
解析：
例：写出以 为解的二元一次方程组.
经典例题
解析：
例：写出以 为解的二元一次方程组.
经典例题
解析：
例：写出以 为解的二元一次方程组.
经典例题
解析：
例：写出以 为解的二元一次方程组.
经典例题
解析：
例：写出以 为解的二元一次方程组.
解析：
经典例题
例：写出以 为解的二元一次方程组.

构造关于
一次二项式
解析：
经典例题
例：写出以 为解的二元一次方程组.

构造关于
一次二项式
解析：
经典例题
例：写出以 为解的二元一次方程组.

构造关于
一次二项式
解析：
经典例题
例：写出以 为解的二元一次方程组.

构造关于
一次二项式
解析：
经典例题
解

例：写出以 为解的二元一次方程组.

构造关于
一次二项式
代值计算得
二元一次方程
解析：

经典例题
解

是以 为解的二元一次方程组.
解：
经典例题
例：写出以 为解的二元一次方程组.
是以 为解的二元一次方程组.
解：
经典例题
例：写出以 为解的二元一次方程组.
例：写出以 为解的二元一次方程组.
解：
例：写出以 为解的二元一次方程组.
解：
方法小结：
二元一次方程组的解
一次二项式
代入
二元一次方程
数
式
方程
转化
构造
计算
方法小结：
二元一次方程组的解
一次二项式
代入
二元一次方程
数
式
方程
转化
构造
计算
三、课堂小结
实际问题
三、课堂小结
三、课堂小结
实际问题
建立
二元一次方程组模型
三、课堂小结
实际问题
建立
两个二元一次方程正整数解
探究
二元一次方程组模型
三、课堂小结
实际问题
建立
两个二元一次方程正整数解
探究
归纳
二元一次方程组的解
二元一次方程组模型
三、课堂小结
实际问题
建立
两个二元一次方程正整数解
探究
归纳
二元一次方程组的解
代入检验
二元一次方程组模型
三、课堂小结
数
式
方程
实际问题
建立
两个二元一次方程正整数解
探究
归纳
二元一次方程组的解
代入检验
二元一次方程组模型
三、课堂小结
数
式
方程
实际问题
建立
两个二元一次方程正整数解
探究
归纳
二元一次方程组的解
逆向构造
代入检验
二元一次方程组模型
实际问题
建立
两个二元一次方程正整数解
探究
归纳
二元一次方程组的解
逆向构造
代入检验
三、课堂小结
二元一次方程组模型
赋予
数
式
方程
（1）二元一次方程组定义
一般地,方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1 ,并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
注意：
①方程组中含有两个未知数；
②未知数代表相同的数值，同时满足两个方程；
③要用大括号“ ”联立.
1.知识梳理：
（2）二元一次方程组的解的定义
使二元一次方程组中的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值（即两个方程的公共解）叫做二元一次

方程组的解.记作：

1.知识梳理：
（3）二元一次方程与二元一次方程组有关概念的区别与联系：
相同点 不同点
二元一次方程 含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1；解都是一对未知数的值，形式相同. 一个二元一次方程；有无数个解，满足一个二元一次方程.
二元一次方程组 两个方程；有唯一解.
1.知识梳理：
2.解题方法：
二元一次方程

一元一次方程
赋值代入
消元转化
等式基本性质
变形转化

二元一次方程
等式基本性质
变形转化
一元一次方程
赋值代入
消元转化
解


解


方法一：先赋值，后变形，再求解.
方法二：先变形，后赋值，再求解.
2.解题方法：
数
式
方程
二元一次方程

代入消元
转化
一元一次方程

3.数学思想方法：
运用了方程思想、建模思想、转化、化归思想、函数思想.
类比二元一次方程及其解，从具体到抽象，从特殊到一般.
4.研究方法：
_______是方程 的解.
1.在① ② ③ 这三对数值中，
_______是方程 的解，
_______是方程 的解，
四、课后作业
那么 、 的值是多少？
2.如果 是方程组 的解，

四、课后作业
（1） 的3倍比 大7；
3.根据下列关系，列出二元一次方程，并写出它的4个解：
（2）小明用10元买了 张60分的邮票和 张80分的邮票.
四、课后作业
4.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字和是13，
请写出满足条件的所有的两位数.
四、课后作业
同学们再见！