专题强化2 电磁感应中的电路、电荷量及图象问题
[课时要求] 1.掌握电磁感应现象中电路问题的分析方法和基本解题思路.2.综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的图象问题．
一、电磁感应中的电路问题
处理电磁感应中的电路问题的一般方法
1．明确哪部分电路或导体产生感应电动势，该部分电路或导体就相当于电源，其他部分是外电路．
2．画等效电路图，分清内、外电路．
3．用法拉第电磁感应定律E＝n或E＝Blv确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向．
4．运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率、电热等公式联立求解．
例1 固定在匀强磁场中的正方形导线框abcd的边长为L，其中ab是一段电阻为R的均匀电阻丝，其余三边均为电阻可以忽略的铜线．匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里．现有一段与ab段的材料、粗细、长度均相同的电阻丝PQ架在导线框上(如图1所示)．若PQ以恒定的速度v从ad滑向bc，当其滑过的距离时，通过aP段的电流多大？方向如何？
图1
答案 方向由 P到a
解析 PQ在磁场中做切割磁感线运动产生感应电动势，由于是闭合回路，故电路中有感应电流，可将电阻丝PQ视为有内阻的电源，电阻丝aP与bP并联，且RaP＝R、RbP＝R，于是可画出如图所示的等效电路图．外电阻为R外＝＝R，
总电阻为R总＝R外＋R＝R＋R＝R，
又电源电动势为E＝BLv，则电路中的电流为：I＝＝，故通过aP段的电流为：IaP＝I＝，方向由P到a.
1．“电源”的确定方法：“切割”磁感线的导体(或磁通量发生变化的线圈)相当于“电源”，该部分导体(或线圈)的电阻相当于“内电阻”．
2．电流的流向：在“电源”内部电流从负极流向正极，在“电源”外部电流从正极流向负极．
例2 (2020·东阳中学高二月考)粗细均匀的电阻丝围成如图2所示的线框，置于正方形有界匀强磁场中，磁感应强度为B，方向垂直线框平面向里，图中ab＝bc＝2cd＝2de＝2ef＝2fa＝2L.现使线框以同样大小的速度v匀速沿四个不同方向平动进入磁场，并且速度方向始终与线框先进入磁场的那条边垂直，则在通过如图所示位置时，下列说法正确的是( )
图2
A．四个图中，图①中a、b两点间的电势差最大
B．四个图中，图②中a、b两点间的电势差最大
C．四个图中，图③中回路电流最大
D．四个图中，图④中回路电流最小
答案 A
解析 设线框的电阻为R.题图①中：a、b两点间的电势差，大小为U1＝E1＝B·2Lv＝BLv，电流为I1＝＝；题图②中：a、b两点间的电势差大小为U2＝E2＝B·2Lv＝BLv，电流为I2＝；题图③中：a、b两点间的电势差大小为U3＝，电流为I3＝；题图④中：a、b两点间的电势差大小为U4＝，电流为I4＝.可见，题图①中a、b两点间的电势差最大，题图③中回路电流最小，故A正确，B、C、D错误．
二、电磁感应中的电荷量问题
闭合回路中磁通量发生变化时，电荷发生定向移动而形成感应电流，在Δt内迁移的电荷量(感应电荷量)q＝I·Δt＝·Δt＝n··Δt＝.
(1)由上式可知，线圈匝数一定时，感应电荷量仅由回路电阻和磁通量的变化量决定，与时间无关．
(2)求解电路中通过的电荷量时，I、E均为平均值．
例3 (2019·诺丁汉大学附中高二第一学期期中)一个阻值为R、匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1、电容为C的电容器连接成如图3(a)所示回路．金属线圈的半径为r1，在线圈中半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图(b)所示．图线与横、纵轴的截距分别为t0和B0.导线的电阻不计．求：
图3
(1)通过电阻R1的电流大小和方向；
(2)0～t1时间内通过电阻R1的电荷量q；
(3)t1时刻电容器所带电荷量Q.
答案 (1) 方向从b到a (2)
(3)
解析 (1)由B－t图象可知，磁感应强度的变化率为：
＝，根据法拉第电磁感应定律，感应电动势
E＝n＝nπr22＝
根据闭合电路的欧姆定律，感应电流I1＝
联立解得：I1＝
根据楞次定律可知通过R1的电流方向为从b到a.
(2)由通过R1的电荷量q＝I1t1，得：q＝
(3)电容器两板间的电压为：U＝I1R1＝
则电容器所带的电荷量为：Q＝CU＝.
三、电磁感应中的图象问题
1．问题类型
(1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图象．
(2)由给定的图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量．
2．图象类型
(1)各物理量随时间t变化的图象，即B－t图象、Φ－t图象、E－t图象和I－t图象．
(2)导体切割磁感线运动时，还涉及感应电动势E和感应电流I随导体位移变化的图象，即E－x图象和I－x图象．
3．解决此类问题需要熟练掌握的规律：安培定则、左手定则、楞次定律、右手定则、法拉第电磁感应定律、欧姆定律等．判断物理量增大，减小，正负等，必要时写出函数关系式，进行分析．
例4 (2019·北京市101中学下学期高二期中)如图4甲所示，矩形线圈abcd位于匀强磁场中，磁场方向垂直线圈所在平面，磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示．以图中箭头所示方向为线圈中感应电流i的正方向，以垂直于线圈所在平面向里为磁感应强度B的正方向，则下列图中能正确表示线圈中感应电流i随时间t变化规律的是( )
图4
答案 C
解析 由法拉第电磁感应定律和欧姆定律得：I＝＝＝·，所以线圈中的感应电流决定于磁感应强度B的变化率，B－t图象的斜率为，故在2～3 s内感应电流的大小是0～1 s内的2倍．再由B－t图象可知，0～1 s时间内，B增大，则Φ增大，则感应电流的磁场与原磁场方向相反(感应电流的磁场方向向外)，由楞次定律知，感应电流方向为逆时针，所以0～1 s内的电流为负值；同理可得，1～2 s电流为零；2～3 s电流为正值，C正确．
本类题目线圈面积不变而磁场发生变化，可根据E＝nS 判断E的大小及变化，其中为B－t图象的斜率，且斜率正、负变化时对应电流的方向发生变化.
例5 (2019·正始中学等六校高二上学期期中联考)如图5，有一等腰直角三角形形状的导线框abc，在外力作用下匀速地经过一个宽为d的有限范围的匀强磁场区域，线圈中产生的感应电流i与沿运动方向的位移x之间的函数图象是下图中的( )
图5
答案 B
解析 根据E＝Bl有v，I＝＝可知，三角形导线框进、出磁场时，有效切割长度l有都变小，则I也变小．再根据楞次定律及安培定则，可知进、出磁场时感应电流的方向相反，设进磁场时感应电流方向为正方向，则出磁场时感应电流方向为负方向，故选B.
提示 线框进、出匀强磁场，可根据E＝Blv判断E的大小变化，再根据楞次定律判断电流方向．特别注意l为切割磁感线的有效长度．
针对训练 (2020·杭州西湖高中高二第一学期期中)如图6所示，两条平行虚线之间存在匀强磁场，虚线间的距离为L，磁场方向垂直纸面向里，abcd是位于纸面内的梯形线圈，ad与bc间的距离也为L，t＝0时刻bc边与磁场区域边界重合．现令线圈以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过磁场区域，取沿abcda方向为感应电流正方向，则在线圈穿越磁场区域的过程中，感应电流I随时间t变化的图线可能是 ( )
图6
答案 B
解析 bc边进入磁场时，根据右手定则判断出其感应电流的方向是沿adcba方向，与电流的正方向相反，是负方向，所以A、C错误；当线圈逐渐向右移动时，切割磁感线的有效长度变大，故感应电流在增大；当bc边穿出磁场区域时，线圈中的感应电流方向变为abcda，是正方向，所以B正确，D错误.
1.(电磁感应中的电路问题)(多选)如图7所示，虚线框内是磁感应强度为B的匀强磁场，用同种导线制成的正方形线框abcd的边长为L(L小于磁场宽度d)，线框平面与磁场方向垂直，线框的ab边与磁场左边界平行．导线框以恒定速度v水平向右运动，当ab边刚进入磁场时，ab两端的电势差大小为U1；当cd边刚进入磁场时，ab两端的电势差大小为U2，则( )
图7
A．U1＝BLv B．U1＝BLv
C．U2＝BLv D．U2＝BLv
答案 BC
解析 ab边进入磁场切割磁感线，产生的感应电动势E＝BLv，ab两端的电势差大小U1＝E＝BLv.当cd边刚进入磁场时，回路中无感应电流，则ab两端的电势差大小为U2＝BLv.
2.(电磁感应中的电荷量问题)(2018·全国卷Ⅰ)如图8，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心．轨道的电阻忽略不计．OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好．空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)．在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则等于( )
图8
A. B. C. D．2
答案 B
解析 在过程Ⅰ中，根据法拉第电磁感应定律，有
E1＝＝
根据闭合电路欧姆定律，有I1＝，q1＝I1Δt1
在过程Ⅱ中，有E2＝＝
I2＝，q2＝I2Δt2，又q1＝q2，
即＝，所以＝.
3.(电磁感应中的电路问题)(2019·余姚中学高二上学期期中)如图9所示，两个垂直纸面的匀强磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B，磁场区域的宽度均为a.一正三角形(高为a)导线框ABC从图示位置沿图示方向匀速穿过两磁场区域，以逆时针方向为电流的正方向，感应电流I与线框移动距离x的关系图象是( )
图9
答案 C
解析 导线框进入左边磁场时，切割磁感线的有效长度l＝2x·tan 30°，与x成正比．根据楞次定律可以判定，导线框进入左边磁场和离开右边磁场时，电路中的感应电流方向均为逆时针方向．导线框在穿越两个磁场过程中，电路中的感应电流方向为顺时针方向．分析导线框进入、出来过程中有效切割长度可知感应电动势的变化，由I＝知，C正确．
4．(电磁感应中的电路、电荷量问题)(2018·广雅中学期末)如图10甲所示，有一个电阻为R、面积为S的矩形导线框abcd，磁场的磁感应强度为B，方向与ad边垂直并与导线框平面成45°角，O、O′分别是ab和cd边的中点，现将导线框右半边ObcO′绕OO′逆时针翻转90°到图乙所示位置．在这一过程中，通过导线框横截面的电荷量是( )
图10
A. B. C. D．0
答案 A
解析 导线框的右半边ObcO′未旋转时整个回路的磁通量Φ1＝BSsin 45°＝BS；导线框的右半边ObcO′逆时针旋转90°后，穿进与穿出的磁感线条数相等，则整个回路的磁通量Φ2＝0，|ΔΦ|＝BS，根据公式可得q＝＝，选项A正确．
1．(2020·杭州西湖高级中学高二月考)如图1所示，由均匀导线制成的半径为R的圆环，以速度v匀速进入一磁感应强度大小为B的有直线边界(图中竖直虚线)的匀强磁场．当圆环运动到图示位置(∠aOb＝90°)时，a、b两点的电势差为( )
图1
A.BRv B.BRv
C.BRv D.BRv
答案 D
解析 设整个圆环的电阻为r，位于题图所示位置时，电路的外电阻是圆环总电阻的，而在磁场内切割磁感线的有效长度是R，其相当于电源，E＝B·R·v，则a、b两点的电势差U＝E＝BRv，选项D正确．
2.(2019·北京四中高二下期中)如图2所示，一个匝数为n的圆形线圈，面积为S，电阻为r.将其两端a、b与阻值为R的电阻相连接，其他部分电阻不计．在线圈中存在垂直线圈平面向里的磁场区域，磁感应强度B随时间t均匀增加，＝k.则a、b两点间的电压为( )
图2
A．nSk B. C. D.
答案 B
解析 根据法拉第电磁感应定律可得：E＝n＝nS＝nkS，则a、b两点间的电压为Uab＝＝，故选B.
3.(2020·诸暨中学高二阶段性考试)如图3所示，竖直平面内有一金属圆环，半径为a，总电阻为R(指剪开拉直时的电阻)，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面．环的最高点A用铰链连接长度为2a、电阻为的导体棒AB，AB由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则这时AB两端的电压大小为( )
图3
A. B. C. D．Bav
答案 A
解析 导体棒AB摆到竖直位置时，AB切割磁感线的瞬时感应电动势E＝B·2a·v＝Bav.外电路电阻大小为R外＝＝，由闭合电路欧姆定律有|UAB|＝·＝Bav，故选A.
4．(2019·嘉兴市桐乡市高二期中)如图4所示，均匀的金属长方形线框从匀强磁场中以速度v匀速向右拉出，它的两边固定有带金属滑轮的导电机构，金属框向右运动时总是与两边良好接触，一理想电压表跨接在PQ两导电机构上，当金属框向右匀速拉出的过程中，已知金属框的长为a，宽为b，磁感应强度为B，则电压表的读数( )
图4
A．恒定不变，为Bbv B．恒定不变，为Bav
C．变大 D．变小
答案 C
解析 当金属框向右匀速拉出的过程中，线框左边切割磁感线产生感应电动势，相当于电源，其余部分是外电路．由公式E＝Blv知，左边产生的感应电动势等于Bbv，保持不变，线框中感应电流也不变，而PQ右侧的电阻增大，由欧姆定律U＝IR知，PQ间的电压增大，则电压表的读数变大．根据闭合电路欧姆定律知，PQ间的电压必定小于Bbv，C项正确，A、B、D错误．
5．如图5所示，空间存在垂直于纸面的匀强磁场，在半径为a的圆形区域内部及外部，磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B.一半径为b(b＞a)、电阻为R的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合．当内、外磁场同时由B均匀地减小到零的过程中，通过导线横环截面的电荷量为( )
图5
A. B.
C. D.
答案 A
解析 设开始时穿过导线环向里的磁通量为正值，Φ1＝Bπa2，则向外的磁通量为负值，Φ2＝－B·π(b2－a2)，总的磁通量为Φ＝B·π|b2－2a2|，末态总的磁通量为Φ′＝0，由法拉第电磁感应定律得平均感应电动势为＝，则通过导线环横截面的电荷量为q＝·Δt＝＝，A项正确．
6．(2019·诺丁汉大学附中高二上学期期中)矩形导线框abcd固定在匀强磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直，规定磁场的正方向为垂直纸面向里，磁感应强度B随时间t变化的规律如图6所示．若规定顺时针方向为感应电流i的正方向，则下列i－t图象中正确的是( )
图6
答案 D
7．(2020·诸暨中学高二阶段性考试)如图7所示，在PQ、QR区域中存在着磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面．一导线框abcdefa位于纸面内，框的邻边都相互垂直，bc边与磁场的边界P重合．导线框与磁场区域的尺寸如图所示．从t＝0时刻开始，线框横穿两个磁场区域．以a→b→c→d→e→f→a为线框中的感应电动势E的正方向，以下四个E－t关系示意图中正确的是( )
图7
答案 C
8．(2020·东阳中学高二月考)如图8甲所示三角形导线框abc放在匀强磁场中，磁感线方向与线圈平面垂直，磁感应强度B随时间变化的图象如图乙所示．t＝0时磁感应强度方向垂直纸面向里，则在0～4 s时间内，线框的ab边所受安培力随时间变化的图象正确的是(力的方向规定向右为正)( )
图8
答案 B
9．(2020·东阳中学高二上学期期中)将一段导线绕成图9甲所示的闭合电路，并固定在水平面(纸面)内，回路的ab边置于垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ中．回路的圆形区域内有垂直纸面的磁场Ⅱ，以向里为磁场Ⅱ的正方向，其磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示．用F表示ab边受到的安培力，以水平向右为F的正方向，能正确反映F随时间t变化的图象是( )
图9
答案 B
10．(2019·金溪第一中学月考)A和B是两个大小相同的环形线圈，将两线圈平行共轴放置，如图10甲所示，当线圈A中的电流I1随时间变化的I1－t图象如图乙所示时，并规定电流方向如图甲中所示方向为正方向，则线圈B中的电流I2随时间t变化的图象是( )
图10
答案 D
解析 开始时，A中的电流为负方向且减小，根据楞次定律可知，在线圈B中产生与A同向的电流(负方向)，因A中电流的变化率减小，则B中产生的感应电流减小；然后A中的电流变为正方向且增大，根据楞次定律可知，B中产生的感应电流方向与A中电流反向(负方向)，且由于A中电流的变化率减小，则B中的感应电流减小，故D正确，A、B、C错误．
11．(多选)(2019·南京市模拟)如图11甲所示，静止在水平面上的等边三角形闭合金属线框，匝数n＝20匝，总电阻R＝2.5 Ω，边长L＝0.3 m，处在两个半径均为r＝0.1 m的圆形匀强磁场中，线框顶点与右侧圆心重合，线框底边与左侧圆直径重合．磁感应强度B1垂直水平面向外，B2垂直水平面向里，B1、B2随时间t的变化如图乙所示，线框一直处于静止状态，计算过程中π取3，下列说法正确的是( )
图11
A．线框有向左运动的趋势
B．t＝0时刻穿过线框的磁通量为0.5 Wb
C．t＝0.4 s时刻线框中感应电动势为1.5 V
D．0～0.6 s内通过线框横截面的电荷量为0.36 C
答案 CD
解析 磁感应强度B1增加，由楞次定律和右手定则可知，线框中的电流为顺时针方向，由左手定则可知，线框所受安培力方向向右，所以线框有向右运动的趋势，A错误；由Φ＝BS可知，t＝0时刻，由磁场B1产生的磁通量Φ1＝B1·πr2＝0.03 Wb，方向向外，由磁场B2产生的磁通量Φ2＝B2·πr2＝0.005 Wb，方向向里，所以穿过整个线框的磁通量Φ＝Φ1－Φ2＝0.025 Wb，B错误；根据法拉第电磁感应定律知，t＝0.4 s时刻线框中感应电动势E＝n·πr2＝20×××3×0.01 V＝1.5 V，C正确；0～0.6 s内，通过线框横截面的电荷量q＝n·＝20× C＝0.36 C，D正确．
12．如图12所示，在垂直纸面向里的磁感应强度为B的有界矩形匀强磁场区域内，有一个由均匀导线制成的单匝矩形线框abcd，线框平面垂直于磁感线．线框以恒定的速度v垂直磁场边界向左运动，运动中线框dc边始终与磁场右边界平行，线框边长ad＝l，cd＝2l，线框导线的总电阻为R，则线框离开磁场的过程中，求：
图12
(1)流过线框横截面的电荷量q；
(2)cd两点间的电势差Ucd.
答案 (1) (2)
解析 (1)线框离开磁场过程中，cd边切割磁感线E＝B·2l·v，回路电流I＝＝，流过线框横截面的电荷量q＝IΔt＝·＝；
(2)线框向左离开磁场，cd边相当于电源，c点为电源正极，外电阻R外＝R，Ucd＝E＝.
13.如图13所示，导线全部为裸导线，半径为r、两端开有小口的圆内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一根长度大于2r的导线MN以速度v在圆环上无摩擦地自左端匀速滑到右端且始终与圆环接触良好，电路中固定电阻阻值为R，其余部分电阻均忽略不计，试求MN从圆环左端滑到右端的过程中：
图13
(1)电阻R上的最大感应电流；
(2)电阻R上的平均感应电流；
(3)通过电阻R的电荷量．
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)MN自左向右滑动时，切割磁感线的有效长度不断变化，当MN经过圆心时，有效切割长度最长，此时感应电动势和感应电流达到最大值，所以Imax＝＝.
(2)＝＝＝，＝＝.(由于MN向右滑动中感应电动势和感应电流大小不断变化，且不是简单线性变化，故不能通过＝BL求解平均值．)
(3)流过电阻R的电荷量等于平均感应电流与时间的乘积，所以q＝Δt＝＝.
(共58张PPT)
专题强化2 电磁感应中的电路、
电荷量及图象问题
第四章 电磁感应
课时要求
1.掌握电磁感应现象中电路问题的分析方法和基本解题思路.
2.综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的图象问题.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
达标检测
重点探究
专题强化练
01
重点探究
处理电磁感应中的电路问题的一般方法
1.明确哪部分电路或导体产生感应电动势，该部分电路或导体就相当于电源，其他部分是外电路.
2.画等效电路图，分清内、外电路.
3.用法拉第电磁感应定律E＝n 或E＝Blv确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向.
4.运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率、电热等公式联立求解.
电磁感应中的电路问题
一
例1 固定在匀强磁场中的正方形导线框abcd的边长为L，其中ab是一段电阻为R的均匀电阻丝，其余三边均为电阻可以忽略的铜线.匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里.现有一段与ab段的材料、粗细、长度均相同的电阻丝PQ架在导线框上(如图1所示).若PQ以恒定的速度v从ad滑向bc，当其滑过 的距离时，通过aP段的电流多大？方向如何？
图1
总结
提升
1.“电源”的确定方法：“切割”磁感线的导体(或磁通量发生变化的线圈)相当于“电源”，该部分导体(或线圈)的电阻相当于“内电阻”.
2.电流的流向：在“电源”内部电流从负极流向正极，在“电源”外部电流从正极流向负极.
例2 (2020·东阳中学高二月考)粗细均匀的电阻丝围成如图2所示的线框，置于正方形有界匀强磁场中，磁感应强度为B，方向垂直线框平面向里，图中ab＝bc＝2cd＝2de＝2ef＝2fa＝2L.现使线框以同样大小的速度v匀速沿四个不同方向平动进入磁场，并且速度方向始终与线框先进入磁场的那条边垂直，则在通过如图所示位置时，下列说法正确的是
图2
A.四个图中，图①中a、b两点间
的电势差最大
B.四个图中，图②中a、b两点间
的电势差最大
C.四个图中，图③中回路电流最大
D.四个图中，图④中回路电流最小
√
可见，题图①中a、b两点间的电势差最大，题图③中回路电流最小，故A正确，B、C、D错误.
电磁感应中的电荷量问题
二
(1)由上式可知，线圈匝数一定时，感应电荷量仅由回路电阻和磁通量的变化量决定，与时间无关.
(2)求解电路中通过的电荷量时，I、E均为平均值.
例3 (2019·诺丁汉大学附中高二第一学期期中)一个阻值为R、匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1、电容为C的电容器连接成如图3(a)所示回路.金属线圈的半径为r1，在线圈中半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图(b)所示.图线与横、纵轴的截距分别为t0和B0.导线
的电阻不计.求：
(1)通过电阻R1的电流大小和
方向；
图3
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势
根据楞次定律可知通过R1的电流方向为从b到a.
(2)0～t1时间内通过电阻R1的电荷量q；
(3)t1时刻电容器所带电荷量Q.
电磁感应中的图象问题
三
1.问题类型
(1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图象.
(2)由给定的图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量.
2.图象类型
(1)各物理量随时间t变化的图象，即B－t图象、Φ－t图象、E－t图象和I－t图象.
(2)导体切割磁感线运动时，还涉及感应电动势E和感应电流I随导体位移变化的图象，即E－x图象和I－x图象.
3.解决此类问题需要熟练掌握的规律：安培定则、左手定则、楞次定律、右手定则、法拉第电磁感应定律、欧姆定律等.判断物理量增大，减小，正负等，必要时写出函数关系式，进行分析.
例4 (2019·北京市101中学下学期高二期中)如图4甲所示，矩形线圈abcd位于匀强磁场中，磁场方向垂直线圈所在平面，磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示.以图中箭头所示方向为线圈中感应电流i的正方向，以垂直于线圈所在平面向里为磁感应强度B的正方向，则下列图中能正确表示线圈中感应电流i随时间t变化规律的是
图4
√
再由B－t图象可知，0～1 s时间内，B增大，则Φ增大，则感应电流的磁场与原磁场方向相反(感应电流的磁场方向向外)，由楞次定律知，感应电流方向为逆时针，所以0～1 s内的电流为负值；同理可得，1～2 s电流为零；2～3 s电流为正值，C正确.
技巧点拨
例5 (2019·正始中学等六校高二上学期期中联考)如图5，有一等腰直角三角形形状的导线框abc，在外力作用下匀速地经过一个宽为d的有限范围的匀强磁场区域，线圈中产生的感应电流i与沿运动方向的位移x之间的函数图象是下图中的
图5
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提示 线框进、出匀强磁场，可根据E＝Blv判断E的大小变化，再根据楞次定律判断电流方向.特别注意l为切割磁感线的有效长度.
针对训练 (2020·杭州西湖高中高二第一学期期中)如图6所示，两条平行虚线之间存在匀强磁场，虚线间的距离为L，磁场方向垂直纸面向里，abcd是位于纸面内的梯形线圈，ad与bc间的距离也为L，t＝0时刻bc边与磁场区域边界重合.现令线圈以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过磁场区域，取沿abcda方向为感应电流正方向，则在线圈穿越磁场区域的过程中，感应电流I随时间t变化的图线可能是
图6
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解析 bc边进入磁场时，根据右手定则判断出其感应电流的方向是沿adcba方向，与电流的正方向相反，是负方向，所以A、C错误；
当线圈逐渐向右移动时，切割磁感线的有效长度变大，故感应电流在增大；当bc边穿出磁场区域时，线圈中的感应电流方向变为abcda，是正方向，所以B正确，D错误.
02
达标检测
1.(电磁感应中的电路问题)(多选)如图7所示，虚线框内是磁感应强度为B的匀强磁场，用同种导线制成的正方形线框abcd的边长为L(L小于磁场宽度d)，线框平面与磁场方向垂直，线框的ab边与磁场左边界平行.导线框以恒定速度v水平向右运动，当ab边刚进入磁场时，ab两端的电势差大小为U1；当cd边刚进入磁场时，ab两端的电势差大小为U2，则
A.U1＝BLv
B.U1＝ BLv
C.U2＝BLv
D.U2＝ BLv
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图7
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当cd边刚进入磁场时，回路中无感应电流，则ab两端的电势差大小为U2＝BLv.
2.(电磁感应中的电荷量问题)(2018·全国卷Ⅰ)如图8，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中点，O为圆心.轨道的电阻忽略不计.OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好.空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ)；再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ).在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则 等于
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图8
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3.(电磁感应中的电路问题)(2019·余姚中学高二上学期期中)如图9所示，两个垂直纸面的匀强磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B，磁场区域的宽度均为a.一正三角形(高为a)导线框ABC从图示位置沿图示方向匀速穿过两磁场区域，以逆时针方向为电流的正方向，感应电流I与线框移动距离x的关系图象是
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图9
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解析 导线框进入左边磁场时，切割磁感线的有效长度l＝2x·tan 30°，与x成正比.
根据楞次定律可以判定，导线框进入左边磁场和离开右边磁场时，电路中的感应电流方向均为逆时针方向.
导线框在穿越两个磁场过程中，电路中的感应电流方向为顺时针方向.
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分析导线框进入、出来过程中有效切割长度可知感应电动势的变化，由I＝
知，C正确.
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4.(电磁感应中的电路、电荷量问题)(2018·广雅中学期末)如图10甲所示，有一个电阻为R、面积为S的矩形导线框abcd，磁场的磁感应强度为B，方向与ad边垂直并与导线框平面成45°角，O、O′分别是ab和cd边的中点，现将导线框右半边ObcO′绕OO′逆时针翻转90°到图乙所示位置.在这一过程中，通过导线框横截面的电荷量是
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图10
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03
专题强化练
1.(2020·杭州西湖高级中学高二月考)如图1所示，由均匀导线制成的半径为R的圆环，以速度v匀速进入一磁感应强度大小为B的有直线边界(图中竖直虚线)的匀强磁场.当圆环运动到图示位置(∠aOb＝90°)时，a、b两点的电势差为
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基础强化练
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图1
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2.(2019·北京四中高二下期中)如图2所示，一个匝数为n的圆形线圈，面积为S，电阻为r.将其两端a、b与阻值为R的电阻相连接，其他部分电阻不计.在线圈中存在垂直线圈平面向里的磁场区域，磁感应强度B随时间t均匀增加，
＝k.则a、b两点间的电压为
图2
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3.(2020·诸暨中学高二阶段性考试)如图3所示，竖直平面内有一金属圆环，半径为a，总电阻为R(指剪开拉直时的电阻)，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面.环的最高点A用铰链连接长度为2a、电阻为 的导体棒AB，AB由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则这时AB两端的电压大小为
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图3
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4.(2019·嘉兴市桐乡市高二期中)如图4所示，均匀的金属长方形线框从匀强磁场中以速度v匀速向右拉出，它的两边固定有带金属滑轮的导电机构，金属框向右运动时总是与两边良好接触，一理想电压表跨接在PQ两导电机构上，当金属框向右匀速拉出的过程中，已知金属框的长为a，宽为b，磁感应强度为B，则电压表的读数
A.恒定不变，为Bbv B.恒定不变，为Bav
C.变大 D.变小
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图4
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解析 当金属框向右匀速拉出的过程中，线框左边切割磁感线产生感应电动势，相当于电源，其余部分是外电路.由公式E＝Blv知，左边产生的感应电动势等于Bbv，保持不变，线框中感应电流也不变，而PQ右侧的电阻增大，由欧姆定律U＝IR知，PQ间的电压增大，则电压表的读数变大.根据闭合电路欧姆定律知，PQ间的电压必定小于Bbv，C项正确，A、B、D错误.
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5.如图5所示，空间存在垂直于纸面的匀强磁场，在半径为a的圆形区域内部及外部，磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B.一半径为b(b＞a)、电阻为R的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合.当内、外磁场同时由B均匀地减小到零的过程中，通过导线横环截面的电荷量为
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图5
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6.(2019·诺丁汉大学附中高二上学期期中)矩形导线框abcd固定在匀强磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直，规定磁场的正方向为垂直纸面向里，磁感应强度B随时间t变化的规律如图6所示.若规定顺时针方向为感应电流i的正方向，则下列i－t图象中正确的是
图6
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7.(2020·诸暨中学高二阶段性考试)如图7所示，在PQ、QR区域中存在着磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面.一导线框abcdefa位于纸面内，框的邻边都相互垂直，bc边与磁场的边界P重合.导线框与磁场区域的尺寸如图所示.从t＝0时刻开始，线框横穿两个磁场区域.以a→b→c→d→e→f→a为线框中的感应电动势E的正方向，以下四个E－t关系示意图中正确的是
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图7
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8.(2020·东阳中学高二月考)如图8甲所示三角形导线框abc放在匀强磁场中，磁感线方向与线圈平面垂直，磁感应强度B随时间变化的图象如图乙所示.t＝0时磁感应强度方向垂直纸面向里，则在0～4 s时间内，线框的ab边所受安培力随时间变化的图象正确的是(力的方向规定向右为正)
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图8
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9.(2020·东阳中学高二上学期期中)将一段导线绕成图9甲所示的闭合电路，并固定在水平面(纸面)内，回路的ab边置于垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ中.回路的圆形区域内有垂直纸面的磁场Ⅱ，以向里为磁场Ⅱ的正方向，其磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示.用F表示ab边受到的安培力，以水平向右为F的正方向，能正确反映F随时间t变化的图象是
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图9
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能力综合练
10.(2019·金溪第一中学月考)A和B是两个大小相同的环形线圈，将两线圈平行共轴放置，如图10甲所示，当线圈A中的电流I1随时间变化的I1－t图象如图乙所示时，并规定电流方向如图甲中所示方向为正方向，则线圈B中的电流I2随时间t变化的图象是
图10
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解析 开始时，A中的电流为负方向且减小，根据楞次定律可知，在线圈B中产生与A同向的电流(负方向)，因A中电流的变化率减小，则B中产生的感应电流减小；
然后A中的电流变为正方向且增大，根据楞次定律可知，B中产生的感应电流方向与A中电流反向(负方向)，且由于A中电流的变化率减小，则B中的感应电流减小，故D正确，A、B、C错误.
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11.(多选)(2019·南京市模拟)如图11甲所示，静止在水平面上的等边三角形闭合金属线框，匝数n＝20匝，总电阻R＝2.5 Ω，边长L＝0.3 m，处在两个半径均为r＝0.1 m的圆形匀强磁场中，线框顶点与右侧圆心重合，线框底边与左侧圆直径重合.磁感应强度B1垂直水平面向外，B2垂直水平面向里，B1、B2随时间t的变化如图乙所示，线框一直处于静止状态，计算过程中π取3，下列说法正确的是
A.线框有向左运动的趋势
B.t＝0时刻穿过线框的磁通量为0.5 Wb
C.t＝0.4 s时刻线框中感应电动势为1.5 V
D.0～0.6 s内通过线框横截面的电荷量为0.36 C
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图11
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解析 磁感应强度B1增加，由楞次定律和右手定则可知，线框中的电流为顺时针方向，由左手定则可知，线框所受安培力方向向右，所以线框有向右运动的趋势，A错误；
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12.如图12所示，在垂直纸面向里的磁感应强度为B的有界矩形匀强磁场区域内，有一个由均匀导线制成的单匝矩形线框abcd，线框平面垂直于磁感线.线框以恒定的速度v垂直磁场边界向左运动，运动中线框dc边始终与磁场右边界平行，线框边长ad＝l，cd＝2l，线框导线的总电阻为R，则线框离开磁场的过程中，求：
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图12
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(1)流过线框横截面的电荷量q；
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(2)cd两点间的电势差Ucd.
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13.如图13所示，导线全部为裸导线，半径为r、两端开有小口的圆内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一根长度大于2r的导线MN以速度v在圆环上无摩擦地自左端匀速滑到右端且始终与圆环接触良好，电路中固定电阻阻值为R，其余部分电阻均忽略不计，试求MN从圆环左端滑到右端的过程中：
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(1)电阻R上的最大感应电流；
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(2)电阻R上的平均感应电流；
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(3)通过电阻R的电荷量.
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