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4 法拉第电磁感应定律
第四章 电磁感应
知识内容 选考要求 课时要求
法拉第
电磁感
应定律 d 1.理解磁通量的变化率是表示磁通量变化快慢的物理量，能区别磁通量、磁通量的变化量、磁通量的变化率.
2.理解法拉第电磁感应定律，并能应用解决简单的实际问题.
3.能够应用E＝Blv计算导体垂直切割磁感线时的感应电动势.
4.了解反电动势的概念，知道电动机由于机械故障停转时烧毁的原因.
达标检测
自主预习
重点探究
内容索引
NEIRONGSUOYIN
课时对点练
自主预习
01
1.感应电动势
现象中产生的电动势叫做感应电动势，产生感应电动势的那部分导体相当于 .
2.法拉第电磁感应定律
(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的______成正比.
电磁感应定律
一
电磁感应
电源
变化率
(2)公式：E＝ .
若闭合电路是一个匝数为n的线圈，则E＝ .
(3)在国际单位制中，磁通量的单位是 ，感应电动势的单位是 .
韦伯(Wb)
伏特(V)
导线切割磁感线时的感应电动势 反电动势
二
1.导线垂直于磁场运动，B、l、v两两垂直时，如图1所示，E＝ .
Blv
图1 图2
2.导线的运动方向与导线本身垂直，但与磁感线方向夹角为θ时，如图2所示，E＝ .(导线长度为l)
Blvsin θ
3.反电动势
(1)定义：电动机转动时，由于切割磁感线，线圈中产生的 作用的感应电动势.
(2)作用：反电动势的作用是 线圈的转动.
削弱电源电动势
阻碍
1.判断下列说法的正误.
(1)在电磁感应现象中，有感应电流，就一定有感应电动势；反之，有感应电动势，就一定有感应电流.( )
(2)线圈中磁通量的变化量ΔΦ越大，线圈中产生的感应电动势一定越大.( )
(3)线圈放在磁场越强的位置，线圈中产生的感应电动势一定越大.( )
(4)线圈中磁通量变化越快，线圈中产生的感应电动势一定越大.( )
×
×
×
√
即学即用
2.图3甲、乙中，金属导体中产生的感应电动势分别为E甲＝ ，E乙＝ .
Blv
Blvsin θ
图3
02
重点探究
如图4所示，将条形磁铁从同一高度插入线圈的实验中.
导学探究
对电磁感应定律的理解
一
图4
(1)快速插入和缓慢插入磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？
答案 磁通量变化量相同，但磁通量变化的快慢不同，快速插入比缓慢插入时指针偏转角度大.
图4
(2)分别用一根磁铁和两根磁铁以同样速度快速插入，磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？
答案 用两根磁铁快速插入时磁通量变化量较大，磁通量变化率也较大，指针偏转角度较大.
(3)指针偏转角度取决于什么？
知识深化
例1 (2019·台州市联谊五校高二上学期期中)将闭合多匝线圈置于仅随时间变化的磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，关于线圈中产生的感应电动势和感应电流，下列表述正确的是
A.感应电动势的大小与线圈的匝数无关
B.穿过线圈的磁通量越大，感应电动势越大
C.穿过线圈的磁通量变化越快，感应电动势越大
D.感应电流产生的磁场方向与原磁场方向始终相同
√
同时可知，感应电动势与磁通量的变化率有关，磁通量变化越快，感应电动势越大，故C正确；
穿过线圈的磁通量大，但若所用的时间长，则感应电动势可能小，故B错误；
由楞次定律可知：感应电流的磁场方向总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化，故原磁通量增加，感应电流的磁场与之反向，原磁通量减小，感应电流的磁场与原磁场方向相同，即“增反减同”，故D错误.
针对训练 (多选)(2019·宁波市效实中学期末)单匝线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴匀速转动，穿过线圈的磁通量Φ随时间t的关系图象如图5所示，图线为余弦曲线的一部分，则
A.在t＝0时刻，线圈中磁通量最大，感应电动势也最大
B.在t＝1×10－2 s时刻，感应电动势最大
C.在t＝2×10－2 s时刻，感应电动势为零
D.在0～2×10－2 s时间内，线圈中感应电动势的平均值为零
图5
√
√
t＝1×10－2 s时，E最大，B项正确；
例2 如图6甲所示，一个圆形线圈的匝数n＝1 000匝，线圈面积S＝200 cm2，线圈的电阻r＝1 Ω，线圈外接一个阻值R＝4 Ω的电阻，把线圈放入一方向垂直于线圈平面向里的匀强磁场中，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示，求：
(1)前4 s内的感应电动势的大小及
电阻R上消耗的功率；
图6
答案 1 V 0.16 W
解析 前4 s内磁通量的变化量
ΔΦ＝Φ2－Φ1＝S(B2－B1)＝200×10－4×(0.4－0.2) Wb＝4×10－3 Wb
(2)前5 s内的平均感应电动势.
答案 0
1.导线切割磁感线时感应电动势表达式的推导
导线切割磁感线时的感应电动势
二
如图7所示，闭合电路一部分导线ab处于匀强磁场中，磁感应强度为B，ab的长度为l，ab以速度v匀速垂直切割磁感线.
则在Δt内穿过闭合电路磁通量的变化量为ΔΦ＝BΔS＝BlvΔt
图7
2.对公式的理解
(1)当B、l、v三个量方向互相垂直时，E＝Blv；当有任意两个量的方向互相平行时，E＝0.
(2)当l垂直B，l垂直v，而v与B成θ角时，导线切割磁感线产生的感应电动势大小为E＝Blvsin θ.
(3)若导线是曲折的，或导线与速度v不垂直时，E＝Blv中的l应为导线在与v垂直的方向上的投影长度，即有效切割长度.
例3 (2019·诺丁汉大学附中高二上学期期中)下列各种情况中的导体切割磁感线产生的感应电动势最大的是
√
例4 如图8所示，导轨OM和ON都在纸面内，导体AB可在导轨上无摩擦滑动，AB⊥ON，若AB以5 m/s的速度从O点开始沿导轨匀速右滑，导体与导轨都足够长，匀强磁场的磁感应强度为0.2 T.问：
图8
(1)第3 s末夹在导轨间的导体长度是多少？此时导体切割磁感线产生的感应电动势为多大？
解析 第3 s末，夹在导轨间导体的长度为：
(2)3 s内回路中的磁通量变化了多少？此过程中的平均感应电动势为多少？
3 s内电路中产生的平均感应电动势为：
总结提升
03
达标检测
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图9
√
2.(公式E＝Blv的应用)如图10所示，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为E，将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折线，置于与磁感应强度相互垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v运动时，棒两端的感应电动势大小为E′.则 等于
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图10
√
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3.(两公式的对比应用)(多选)如图11所示，一导线弯成半径为a的单匝半圆形闭合回路.虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面向下.回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直.从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论正确的是
1
2
3
4
A.感应电动势最大值E＝2Bav
B.感应电动势最大值E＝Bav
C.感应电动势的平均值
D.感应电动势的平均值
图11
√
√
解析 在半圆形闭合回路进入磁场的过程中，有效切割长度如图所示，所以进入过程中l先逐渐增大到a，然后再逐渐减小为0，由E＝Blv可知，最大值Emax＝Bav，最小值为0，A错误，B正确；
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4.(公式E＝n 的应用)如图12甲所示，有一匝数为100匝的线圈，单匝线圈的
面积为100 cm2.线圈总电阻为0.1 Ω，线圈中磁场均匀变化，其变化规律如图乙所示，且磁场方向垂直于线圈平面向里，线圈中产生的感应电动势多大？
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图12
答案 0.1 V
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04
课时对点练
考点一 公式E＝ 的理解和应用
1.(2019·华南师大附中期末)如图1所示，A、B两闭合线圈用相同的导线绕成，A有10匝，B有20匝，两线圈半径之比为2∶1，均匀磁场只分布在B线圈内.当磁场随时间均匀减弱时
A.A中无感应电流
B.A、B中均有恒定的感应电流
C.A、B中感应电动势之比为1∶1
D.A、B中感应电流之比为1∶1
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基础对点练
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图1
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解析 磁场随时间均匀减弱，穿过闭合线圈A、B的磁通量都均匀减少，A、B中都产生恒定的感应电流，故选项A错误，B正确；
2.(多选)如图2所示，一个匝数为100的圆形线圈，面积为0.4 m2，电阻r＝1 Ω.在线圈中存在0.2 m2的垂直线圈平面向外的圆形匀强磁场区域，磁感应强度B＝0.3＋0.15t (T).将线圈两端与一个阻值为R＝2 Ω的定值电阻相连接.则下列说法正确的是
A.通过定值电阻的感应电流方向向上
B.回路中的感应电流大小不变
C.定值电阻消耗的电功率为2 W
D.定值电阻消耗的电功率为3 W
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图2
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√
√
解析 磁通量随时间均匀增加，根据楞次定律和安培定则可知，通过定值电阻的感应电流方向向上，选项A正确；
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3.(2019·北京工业大学附属中学上学期月考)通过一单匝闭合线圈的磁通量为Φ，Φ随时间t的变化规律如图3所示，下列说法中正确的是
A.0～0.3 s时间内线圈中的感应电动势均匀增加
B.第0.6 s末线圈中的感应电动势是4 V
C.第0.9 s末线圈中的感应电动势的值比第0.2 s末的小
D.第0.2 s末和第0.4 s末的感应电动势的方向相同
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图3
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4.(多选)(2020·杭州西湖高中高二月考)单匝矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，转轴垂直于磁场，若线圈所围面积里磁通量随时间变化的规律如图4所示，则0→D的过程中
A.线圈在0时刻感应电动势最大
B.线圈在D时刻感应电动势为零
C.线圈在D时刻感应电动势最大
D.线圈在0至D时间内平均感应电动势为0.4 V
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图4
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√
√
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考点二 公式E＝Blv的应用
5.如图5所示，在竖直向下的匀强磁场中，将一个水平放置的金属棒ab以水平初速度v0抛出，设运动的整个过程中不计空气阻力，则金属棒在运动过程中产生的感应电动势大小将
A.越来越大 B.越来越小
C.保持不变 D.无法确定
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图4
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6.如图6所示，平行导轨间距为d，其左端接一个电阻R，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于平行金属导轨所在平面向上，一根金属棒与导轨成θ角放置，金属棒与导轨的电阻均不计.当金属棒沿垂直于棒的方向以恒定的速度v在导轨上滑行时，通过电阻R的电流大小是
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图6
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7.如图7所示，PQRS为一正方形导线框，它以恒定速度向右进入以MN为边界的匀强磁场中，磁场方向垂直线框平面向里，MN与水平直线成45°角，E、F分别为PS和PQ的中点.则
A.当E点经过边界MN时，线框中的感应电流最大
B.当P点经过边界MN时，线框中的感应电流最大
C.当F点经过边界MN时，线框中的感应电流最大
D.当Q点经过边界MN时，线框中的感应电流最大
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图7
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解析 当P点经过边界MN时，有效切割长度最长，感应电动势最大，所以感应电流最大，故B正确.
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8.(多选)如图8所示，一导线折成边长为a的正三角形闭合回路，虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面向下，回路以速度v向右匀速进入磁场，边长CD始终与MN垂直，从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论中正确的是
A.导线框受到的安培力方向始终向上
B.导线框受到的安培力方向始终向下
C.感应电动势的最大值为 Bav
D.感应电动势的平均值为 Bav
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图8
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9.(多选)(2019·福建师大附中高二期末)用均匀导线做成的单匝矩形线圈abcd长为3l、宽为l，矩形线圈的一半放在垂直纸面向外的匀强磁场中，线圈总电阻为R，如图9所示.当磁场的磁感应强度大小以B＝3＋2t(T)的规律变化时，下列说法正确的是
A.线圈中感应电流的方向为abcda
B.线圈中产生的感应电动势大小为3l2(V)
C.线圈中产生的感应电流大小为 (A)
D.线圈受到的安培力的方向向右
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图9
能力综合练
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解析 磁感应强度增大，由楞次定律可知，线圈中产生的感应电流沿adcba方向，故A错误；
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根据左手定则判断线圈所受的安培力的方向向右，故D正确.
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10.在范围足够大、方向竖直向下的匀强磁场中，B＝0.2 T，有一水平放置的足够长的光滑框架，宽度为l＝0.4 m，如图10所示，框架上放置一质量为0.05 kg、接入电路的电阻为1 Ω的金属杆cd，金属杆与框架垂直且接触良好，框架电阻不计.若cd杆在水平外力的作用下以恒定加速度a＝2 m/s2由静止开始向右沿框架做匀变速直线运动，则：
(1)在5 s内平均感应电动势是多少？
答案 0.4 V
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图10
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(2)第5 s末，回路中的电流为多大？
答案 0.8 A
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解析 金属杆第5 s末的速度v＝at＝10 m/s，
此时回路中的感应电动势：E′＝Blv
则回路中的电流为：
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(3)第5 s末，作用在cd杆上的水平外力大小为多少？
答案 0.164 N
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解析 金属杆做匀加速直线运动，则F－F安＝ma，
即F＝BIl＋ma＝0.164 N.
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11.如图11所示，线圈内有理想边界的磁场，开始时磁场的磁感应强度为B0.当磁场均匀增加时，有一带电微粒静止于平行板(两板水平放置)电容器中间，若线圈的匝数为n，平行板电容器的板间距离为d，粒子的
质量为m，带电荷量为q.(重力加速度为g，设线圈的面积
为S)求：
(1)开始时穿过线圈平面的磁通量的大小；
答案 B0S
图11
解析 开始时穿过线圈平面的磁通量：Φ＝B0S.
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(2)处于平行板电容器中的粒子的带电性质；
答案 负电
解析 由楞次定律，可判断出平行板电容器上极板带正电，故粒子应带负电.
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(3)磁感应强度的变化率.
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12.(2019·南通中学高二上学期期中)如图12甲所示，在一个正方形金属线圈区域内存在着磁感应强度B随时间变化的匀强磁场，磁场的方向与线圈平面垂直.金属线圈所围的面积S＝200 cm2，匝数n＝1 000，线圈电阻的阻值为r＝2.0 Ω.线圈与阻值R＝8.0 Ω的定值电阻构成闭合回路.匀强磁场的磁感应强度随时间变化的情况如图乙所示，求：
(1)在t1＝2.0 s时线圈产生的感应电动势
的大小；
答案 1 V
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图12
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(2)在t1＝2.0 s时通过电阻R的感应电流的
大小和方向；
答案 0.1 A 方向为b→R→a
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(3)在t2＝5.0 s时刻，线圈端点a、b间的
电压.
答案 3.2 V
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解析 由题图乙可知，在4.0～6.0 s时间内，线圈中产生的感应电动势
则Uab＝I2R＝3.2 V.
4 法拉第电磁感应定律
知识内容 选考要求 课时要求
法拉第电磁感应定律 d 1.理解磁通量的变化率是表示磁通量变化快慢的物理量，能区别磁通量、磁通量的变化量、磁通量的变化率． 2．理解法拉第电磁感应定律，并能应用解决简单的实际问题． 3．能够应用E＝Blv计算导体垂直切割磁感线时的感应电动势． 4．了解反电动势的概念，知道电动机由于机械故障停转时烧毁的原因.
一、电磁感应定律
1．感应电动势
电磁感应现象中产生的电动势叫做感应电动势，产生感应电动势的那部分导体相当于电源．
2．法拉第电磁感应定律
(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比．
(2)公式：E＝.
若闭合电路是一个匝数为n的线圈，则E＝n.
(3)在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯(Wb)，感应电动势的单位是伏特(V)．
二、导线切割磁感线时的感应电动势 反电动势
1．导线垂直于磁场运动，B、l、v两两垂直时，如图1所示，E＝Blv.
2．导线的运动方向与导线本身垂直，但与磁感线方向夹角为θ时，如图2所示，E＝Blvsin_θ.(导线长度为l)
图1 图2
3．反电动势
(1)定义：电动机转动时，由于切割磁感线，线圈中产生的削弱电源电动势作用的感应电动势．
(2)作用：反电动势的作用是阻碍线圈的转动．
1．判断下列说法的正误．
(1)在电磁感应现象中，有感应电流，就一定有感应电动势；反之，有感应电动势，就一定有感应电流．( × )
(2)线圈中磁通量的变化量ΔΦ越大，线圈中产生的感应电动势一定越大．( × )
(3)线圈放在磁场越强的位置，线圈中产生的感应电动势一定越大．( × )
(4)线圈中磁通量变化越快，线圈中产生的感应电动势一定越大．( √ )
2．图3甲、乙中，金属导体中产生的感应电动势分别为E甲＝________，E乙＝________.
图3
答案 Blv Blvsin θ
一、对电磁感应定律的理解
如图4所示，将条形磁铁从同一高度插入线圈的实验中．
图4
(1)快速插入和缓慢插入磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？
(2)分别用一根磁铁和两根磁铁以同样速度快速插入，磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？
(3)指针偏转角度取决于什么？
答案 (1)磁通量变化量相同，但磁通量变化的快慢不同，快速插入比缓慢插入时指针偏转角度大．
(2)用两根磁铁快速插入时磁通量变化量较大，磁通量变化率也较大，指针偏转角度较大．
(3)指针偏转角度大小取决于的大小．
1．感应电动势的大小由穿过电路的磁通量的变化率和线圈的匝数n共同决定，而与磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ的大小没有必然联系，和电路的电阻R无关．
2．当ΔΦ仅由B的变化引起时，则E＝n；当ΔΦ仅由S的变化引起时，则E＝n；当ΔΦ由B、S的变化同时引起时，则E＝n≠n.
3．在Φ－t图象中，图象上某点切线的斜率表示磁通量的变化率；在B－t图象中，某点切线的斜率表示磁感应强度的变化率.
例1 (2019·台州市联谊五校高二上学期期中)将闭合多匝线圈置于仅随时间变化的磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，关于线圈中产生的感应电动势和感应电流，下列表述正确的是( )
A．感应电动势的大小与线圈的匝数无关
B．穿过线圈的磁通量越大，感应电动势越大
C．穿过线圈的磁通量变化越快，感应电动势越大
D．感应电流产生的磁场方向与原磁场方向始终相同
答案 C
解析 由法拉第电磁感应定律可知，感应电动势E＝n，即感应电动势与线圈匝数有关，故A错误；同时可知，感应电动势与磁通量的变化率有关，磁通量变化越快，感应电动势越大，故C正确；穿过线圈的磁通量大，但若所用的时间长，则感应电动势可能小，故B错误；由楞次定律可知：感应电流的磁场方向总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化，故原磁通量增加，感应电流的磁场与之反向，原磁通量减小，感应电流的磁场与原磁场方向相同，即“增反减同”，故D错误．
针对训练 (多选)(2019·宁波市效实中学期末)单匝线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴匀速转动，穿过线圈的磁通量Φ随时间t的关系图象如图5所示，图线为余弦曲线的一部分，则( )
图5
A．在t＝0时刻，线圈中磁通量最大，感应电动势也最大
B．在t＝1×10－2 s时刻，感应电动势最大
C．在t＝2×10－2 s时刻，感应电动势为零
D．在0～2×10－2 s时间内，线圈中感应电动势的平均值为零
答案 BC
解析 由法拉第电磁感应定律知E∝，故t＝0及t＝2×10－2 s时刻，E＝0，A项错误，C项正确；t＝1×10－2 s时，E最大，B项正确；0～2×10－2 s时间内，ΔΦ≠0，则≠0，D项错误．
例2 如图6甲所示，一个圆形线圈的匝数n＝1 000匝，线圈面积S＝200 cm2，线圈的电阻r＝1 Ω，线圈外接一个阻值R＝4 Ω的电阻，把线圈放入一方向垂直于线圈平面向里的匀强磁场中，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示，求：
图6
(1)前4 s内的感应电动势的大小及电阻R上消耗的功率；
(2)前5 s内的平均感应电动势．
答案 (1)1 V 0.16 W (2)0
解析 (1)前4 s内磁通量的变化量
ΔΦ＝Φ2－Φ1＝S(B2－B1)＝200×10－4×(0.4－0.2) Wb＝4×10－3 Wb
由法拉第电磁感应定律得E＝n＝1 000× V＝1 V．I＝＝ A，PR＝I2R＝()2×4 W＝0.16 W
(2)由题图乙知，4～6 s内的＝－0.2 T/s，则第5 s末的磁感应强度B2′＝0.2 T，前5 s内磁通量的变化量
ΔΦ′＝Φ2′－Φ1＝S(B2′－B1)＝200×10－4×(0.2－0.2) Wb＝0.由法拉第电磁感应定律得＝n＝0.
二、导线切割磁感线时的感应电动势
1．导线切割磁感线时感应电动势表达式的推导
图7
如图7所示，闭合电路一部分导线ab处于匀强磁场中，磁感应强度为B，ab的长度为l，ab以速度v匀速垂直切割磁感线．
则在Δt内穿过闭合电路磁通量的变化量为ΔΦ＝BΔS＝BlvΔt
根据法拉第电磁感应定律得E＝＝Blv.
2．对公式的理解
(1)当B、l、v三个量方向互相垂直时，E＝Blv；当有任意两个量的方向互相平行时，E＝0.
(2)当l垂直B，l垂直v，而v与B成θ角时，导线切割磁感线产生的感应电动势大小为E＝Blvsin θ.
(3)若导线是曲折的，或导线与速度v不垂直时，E＝Blv中的l应为导线在与v垂直的方向上的投影长度，即有效切割长度．
例3 (2019·诺丁汉大学附中高二上学期期中)下列各种情况中的导体切割磁感线产生的感应电动势最大的是( )
答案 C
例4 如图8所示，导轨OM和ON都在纸面内，导体AB可在导轨上无摩擦滑动，AB⊥ON，若AB以5 m/s的速度从O点开始沿导轨匀速右滑，导体与导轨都足够长，匀强磁场的磁感应强度为0.2 T．问：
图8
(1)第3 s末夹在导轨间的导体长度是多少？此时导体切割磁感线产生的感应电动势为多大？
(2)3 s内回路中的磁通量变化了多少？此过程中的平均感应电动势为多少？
答案 (1)5 m 5 V (2) Wb V
解析 (1)第3 s末，夹在导轨间导体的长度为：
l＝vt·tan 30°＝5×3×tan 30° m＝5 m
此时E＝Blv＝0.2×5×5 V＝5 V
(2)3 s内回路中磁通量的变化量ΔΦ＝BS－0＝0.2××15×5 Wb＝ Wb
3 s内电路中产生的平均感应电动势为：＝＝ V＝ V.
E＝n与E＝Blv的比较
1．区别：E＝n研究的是整个闭合回路，适用于计算各种电磁感应现象中Δt内的平均感应电动势；E＝Blv研究的是闭合回路的一部分，即做切割磁感线运动的导体，只适用于计算导体做切割磁感线运动产生的感应电动势，可以是平均感应电动势，也可以是瞬时感应电动势．
2．联系：E＝Blv是由E＝n在一定条件下推导出来的，该公式可看成法拉第电磁感应定律的一个推论．
1．(对法拉第电磁感应定律的理解)如图9所示，半径为R的n匝线圈套在边长为a的正方形abcd之外，匀强磁场垂直穿过该正方形，当磁场以的变化率变化时，线圈产生的感应电动势的大小为( )
图9
A．πR2 B．a2 C．nπR2 D．na2
答案 D
解析 由题意可知，线圈中磁场的面积为a2，根据法拉第电磁感应定律可知，线圈中产生的感应电动势大小为E＝n＝na2，故选项D正确．
2.(公式E＝Blv的应用)如图10所示，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为E，将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折线，置于与磁感应强度相互垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v运动时，棒两端的感应电动势大小为E′.则等于( )
图10
A. B. C．1 D.
答案 B
解析 设折弯前金属棒切割磁感线的长度为L，E＝BLv；折弯后，金属棒切割磁感线的有效长度为l＝＝L，故产生的感应电动势为E′＝Blv＝B·Lv＝E，所以＝，B正确．
3．(两公式的对比应用)(多选)如图11所示，一导线弯成半径为a的单匝半圆形闭合回路．虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面向下．回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直．从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论正确的是( )
图11
A．感应电动势最大值E＝2Bav
B．感应电动势最大值E＝Bav
C．感应电动势的平均值＝Bav
D．感应电动势的平均值＝πBav
答案 BD
解析 在半圆形闭合回路进入磁场的过程中，有效切割长度如图所示，所以进入过程中l先逐渐增大到a，然后再逐渐减小为0，由E＝Blv可知，最大值Emax＝Bav，最小值为0，A错误，B正确；平均感应电动势为＝＝＝πBav，故D正确，C错误．
4．(公式E＝n的应用)如图12甲所示，有一匝数为100匝的线圈，单匝线圈的面积为100 cm2.线圈总电阻为0.1 Ω，线圈中磁场均匀变化，其变化规律如图乙所示，且磁场方向垂直于线圈平面向里，线圈中产生的感应电动势多大？
图12
答案 0.1 V
解析 取线圈为研究对象，在1～2 s内，其磁通量的变化量为ΔΦ＝Φ2－Φ1＝(B2－B1)S，磁通量的变化率为＝，由公式E＝n得
E＝100× V＝0.1 V.
考点一 公式E＝n的理解和应用
1．(2019·华南师大附中期末)如图1所示，A、B两闭合线圈用相同的导线绕成，A有10匝，B有20匝，两线圈半径之比为2∶1，均匀磁场只分布在B线圈内．当磁场随时间均匀减弱时( )
图1
A．A中无感应电流
B．A、B中均有恒定的感应电流
C．A、B中感应电动势之比为1∶1
D．A、B中感应电流之比为1∶1
答案 B
解析 磁场随时间均匀减弱，穿过闭合线圈A、B的磁通量都均匀减少，A、B中都产生恒定的感应电流，故选项A错误，B正确；线圈中产生的感应电动势E＝n，nA∶nB＝1∶2，则E1∶E2＝1∶2，由R＝ρ，l＝2nπr，导线横截面积相等，得RA∶RB＝1∶1，由欧姆定律I＝得，IA∶IB＝1∶2，故选项C、D错误．
2.(多选)如图2所示，一个匝数为100的圆形线圈，面积为0.4 m2，电阻r＝1 Ω.在线圈中存在0.2 m2的垂直线圈平面向外的圆形匀强磁场区域，磁感应强度B＝0.3＋0.15t (T)．将线圈两端与一个阻值为R＝2 Ω的定值电阻相连接．则下列说法正确的是( )
图2
A．通过定值电阻的感应电流方向向上
B．回路中的感应电流大小不变
C．定值电阻消耗的电功率为2 W
D．定值电阻消耗的电功率为3 W
答案 ABC
解析 磁通量随时间均匀增加，根据楞次定律和安培定则可知，通过定值电阻的感应电流方向向上，选项A正确；由＝0.15 T/s可知，回路中产生的感应电动势E不变，则感应电流不变，选项B正确；E＝nS＝100×0.15×0.2 V＝3 V，则回路的电流I＝＝ A＝1 A，定值电阻消耗的电功率为PR＝I2R＝2 W，选项C正确，D错误．
3．(2019·北京工业大学附属中学上学期月考)通过一单匝闭合线圈的磁通量为Φ，Φ随时间t的变化规律如图3所示，下列说法中正确的是( )
图3
A．0～0.3 s时间内线圈中的感应电动势均匀增加
B．第0.6 s末线圈中的感应电动势是4 V
C．第0.9 s末线圈中的感应电动势的值比第0.2 s末的小
D．第0.2 s末和第0.4 s末的感应电动势的方向相同
答案 B
解析 根据法拉第电磁感应定律E＝可知，0～0.3 s时间内，E1＝ V＝ V，保持不变，故A错误；由题图可知，在0.3～0.8 s时间内，线圈中磁通量的变化率不变，则感应电动势也不变，所以第0.6 s末线圈中的感应电动势E2＝ V＝4 V，故B正确；同理，第0.9 s末线圈中的感应电动势E3＝ V＝30 V，大于第0.2 s末的感应电动势的值，故C错误；由E＝可知，0～0.3 s感应电动势为正，0.3～0.8 s感应电动势为负，所以第0.2 s末和第0.4 s末的感应电动势的方向相反，故D错误．
4.(多选)(2020·杭州西湖高中高二月考)单匝矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，转轴垂直于磁场，若线圈所围面积里磁通量随时间变化的规律如图4所示，则0→D的过程中( )
图4
A．线圈在0时刻感应电动势最大
B．线圈在D时刻感应电动势为零
C．线圈在D时刻感应电动势最大
D．线圈在0至D时间内平均感应电动势为0.4 V
答案 ABD
考点二 公式E＝Blv的应用
5．如图5所示，在竖直向下的匀强磁场中，将一个水平放置的金属棒ab以水平初速度v0抛出，设运动的整个过程中不计空气阻力，则金属棒在运动过程中产生的感应电动势大小将( )
图5
A．越来越大 B．越来越小
C．保持不变 D．无法确定
答案 C
6．如图6所示，平行导轨间距为d，其左端接一个电阻R，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于平行金属导轨所在平面向上，一根金属棒与导轨成θ角放置，金属棒与导轨的电阻均不计．当金属棒沿垂直于棒的方向以恒定的速度v在导轨上滑行时，通过电阻R的电流大小是( )
图6
A. B.
C. D.
答案 D
解析 金属棒MN垂直于磁场放置，运动速度v与棒垂直，且v⊥B，即已构成两两相互垂直的关系，MN接入导轨间的有效长度为l＝，所以E＝Blv＝，I＝＝，故选项D正确．
7．如图7所示，PQRS为一正方形导线框，它以恒定速度向右进入以MN为边界的匀强磁场中，磁场方向垂直线框平面向里，MN与水平直线成45°角，E、F分别为PS和PQ的中点．则( )
图7
A．当E点经过边界MN时，线框中的感应电流最大
B．当P点经过边界MN时，线框中的感应电流最大
C．当F点经过边界MN时，线框中的感应电流最大
D．当Q点经过边界MN时，线框中的感应电流最大
答案 B
解析 当P点经过边界MN时，有效切割长度最长，感应电动势最大，所以感应电流最大，故B正确．
8．(多选)如图8所示，一导线折成边长为a的正三角形闭合回路，虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面向下，回路以速度v向右匀速进入磁场，边长CD始终与MN垂直，从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论中正确的是( )
图8
A．导线框受到的安培力方向始终向上
B．导线框受到的安培力方向始终向下
C．感应电动势的最大值为Bav
D．感应电动势的平均值为Bav
答案 CD
9．(多选)(2019·福建师大附中高二期末)用均匀导线做成的单匝矩形线圈abcd长为3l、宽为l，矩形线圈的一半放在垂直纸面向外的匀强磁场中，线圈总电阻为R，如图9所示．当磁场的磁感应强度大小以B＝3＋2t(T)的规律变化时，下列说法正确的是( )
图9
A．线圈中感应电流的方向为abcda
B．线圈中产生的感应电动势大小为3l2(V)
C．线圈中产生的感应电流大小为(A)
D．线圈受到的安培力的方向向右
答案 BD
解析 磁感应强度增大，由楞次定律可知，线圈中产生的感应电流沿adcba方向，故A错误；由法拉第电磁感应定律可得感应电动势E＝＝·S＝2×1.5l2＝3l2(V)，故B正确；线圈中产生的感应电流大小为I＝＝(A)，故C错误；根据左手定则判断线圈所受的安培力的方向向右，故D正确．
10.在范围足够大、方向竖直向下的匀强磁场中，B＝0.2 T，有一水平放置的足够长的光滑框架，宽度为l＝0.4 m，如图10所示，框架上放置一质量为0.05 kg、接入电路的电阻为1 Ω的金属杆cd，金属杆与框架垂直且接触良好，框架电阻不计．若cd杆在水平外力的作用下以恒定加速度a＝2 m/s2由静止开始向右沿框架做匀变速直线运动，则：
图10
(1)在5 s内平均感应电动势是多少？
(2)第5 s末，回路中的电流为多大？
(3)第5 s末，作用在cd杆上的水平外力大小为多少？
答案 (1)0.4 V (2)0.8 A (3)0.164 N
解析 (1)金属杆5 s内的位移：x＝at2＝25 m，
金属杆5 s内的平均速度＝＝5 m/s
(也可用＝ m/s＝5 m/s求解)
故平均感应电动势E＝Bl＝0.4 V.
(2)金属杆第5 s末的速度v＝at＝10 m/s，
此时回路中的感应电动势：E′＝Blv
则回路中的电流为：
I＝＝＝ A＝0.8 A.
(3)金属杆做匀加速直线运动，则F－F安＝ma，
即F＝BIl＋ma＝0.164 N.
11.如图11所示，线圈内有理想边界的磁场，开始时磁场的磁感应强度为B0.当磁场均匀增加时，有一带电微粒静止于平行板(两板水平放置)电容器中间，若线圈的匝数为n，平行板电容器的板间距离为d，粒子的质量为m，带电荷量为q.(重力加速度为g，设线圈的面积为S)求：
图11
(1)开始时穿过线圈平面的磁通量的大小；
(2)处于平行板电容器中的粒子的带电性质；
(3)磁感应强度的变化率．
答案 (1)B0S (2)负电 (3)
解析 (1)开始时穿过线圈平面的磁通量：Φ＝B0S.
(2)由楞次定律，可判断出平行板电容器上极板带正电，故粒子应带负电．
(3)根据法拉第电磁感应定律可得：E＝n
ΔΦ＝ΔB·S，由平衡条件可知：q＝mg，
联立解得：＝.
12．(2019·南通中学高二上学期期中)如图12甲所示，在一个正方形金属线圈区域内存在着磁感应强度B随时间变化的匀强磁场，磁场的方向与线圈平面垂直．金属线圈所围的面积S＝200 cm2，匝数n＝1 000，线圈电阻的阻值为r＝2.0 Ω.线圈与阻值R＝8.0 Ω的定值电阻构成闭合回路．匀强磁场的磁感应强度随时间变化的情况如图乙所示，求：
图12
(1)在t1＝2.0 s时线圈产生的感应电动势的大小；
(2)在t1＝2.0 s时通过电阻R的感应电流的大小和方向；
(3)在t2＝5.0 s时刻，线圈端点a、b间的电压．
答案 (1)1 V (2)0.1 A 方向为b→R→a (3)3.2 V
解析 (1)根据题图乙可知，0～4.0 s时间内线圈中的磁感应强度均匀变化，t＝2.0 s时，B2＝0.3 T，则在t1＝2.0 s时的感应电动势E1＝n＝n＝1 V
(2)在0～4.0 s时间内，根据闭合电路欧姆定律得，闭合回路中的感应电流I1＝＝0.1 A，由楞次定律可判断流过电阻R的感应电流方向为b→R→a
(3)由题图乙可知，在4.0～6.0 s时间内，线圈中产生的感应电动势
E2＝n＝nS＝4 V
根据闭合电路欧姆定律，t2＝5.0 s时闭合回路中的感应电流I2＝＝0.4 A，方向为a→R→b
则Uab＝I2R＝3.2 V.
