北京版八年级下册数学课件：14.7 一次函数的应用（第一课时）（80张ppt）

(共80张PPT)
初二年级 数学
一次函数的应用（第一课时）
数学知识
数学知识
其它学科
生产生活
一次函数
实际问题
数学知识


实际问题
数学问题
数学问题的解
实际问题的解
一次函数
例1.已知等腰三角形的腰长为10，底边长为12，现将底边长变为原来的2倍，腰长增加x.
(1)列出现在三角形周长y与x的函数表达式，并指出自变量的取值范围.

三角形周长等于三边之和
等腰三角形两腰相等
周长=底 + 腰×2
例1.已知等腰三角形的腰长为10，底边长为12，现将底边长变为原来的2倍，腰长增加x.
(1)列出现在三角形周长y与x的函数表达式，并指出自变量的取值范围.

三角形周长等于三边之和
等腰三角形两腰相等
原来周长=12+10×2=32
周长=底 + 腰×2
12
10
10
例1.已知等腰三角形的腰长为10，底边长为12，现将底边长变为原来的2倍，腰长增加x.
（1）列出现在三角形周长y与x的函数表达式，并指出自变量的取值范围.

三角形周长等于三边之和
等腰三角形两腰相等
周长=底 + 腰×2
12×2
10+x
y=12×2+（10+x）×2
y=2x+44
10+x
例1.已知等腰三角形的腰长为10，底边长为12，现将底边长变为原来的2倍，腰长增加x.
(1)列出现在三角形周长y与x的函数表达式，并指出自变量的取值范围.

增加x， ∴ x>0
12×2
10+x
10+x
增加x， ∴ x>0
三角形两边之和大于第三边
12×2
10+x
10+x
增加x， ∴ x>0
三角形两边之和大于第三边
12×2
10+x
10+x
∴（10+x）×2>12×2
增加x， ∴ x>0
三角形两边之和大于第三边
∴（10+x）×2>12×2
解得， x>2
12×2
10+x
10+x
增加x， ∴ x>0
三角形两边之和大于第三边
∴（10+x）×2>12×2
解得， x>2
12×2
10+x
10+x
∴ x>2
自变量的取值范围为x>2.
例1.已知等腰三角形的腰长为10，底边长为12，现将底边长变为原来的2倍，腰长增加x.
(2)求当x为何值时，周长y变为原来的3倍.
三角形周长等于三边之和
等腰三角形两腰相等
原来周长=12+10×2=32
周长=底 + 腰×2
12
10
10
解：依题意得

y=32×3=96，
2x+44=96，
x=26.
答：当x为26时，周长变为原来的3倍.

把y=96代入y=2x+44中，得
解得
小结
1.根据问题的数量关系求函数表达式；
2.根据实际问题的意义求自变量的取值范围；
3.函数与方程有着密切联系.
例2.某生产资料门市部出售化肥，每袋售价80元.为了促进销售，规定了优惠办法：买3袋按售价计算，从第4袋开始，每袋优惠5%.
（1）写出购买这种化肥的总金额M（元）与购买袋数n的函数表达式，并指出它的自变量的取值范围；

总金额 单价 袋数
0≤n≤3
n≥4
例2.某生产资料门市部出售化肥，每袋售价80元.为了促进销售，规定了优惠办法：买3袋按售价计算，从第4袋开始，每袋优惠5%.
（1）写出购买这种化肥的总金额M（元）与购买袋数n的函数表达式，并指出它的自变量的取值范围；

0≤n≤3
例2.某生产资料门市部出售化肥，每袋售价80元.为了促进销售，规定了优惠办法：买3袋按售价计算，从第4袋开始，每袋优惠5%.
（1）写出购买这种化肥的总金额M（元）与购买袋数n的函数表达式，并指出它的自变量的取值范围；

80（1-5%）
n≥4

单价80

单价
80（1-5%）
n 1 2 3 4 5
M（元）
80
160
240
n(n≥4)
80（1-5%）=76

n=4

每袋80元

每袋76元


80×3=240
76
240+76=316
n 1 2 3 4 5
M（元）
80
160
240
316
80（1-5%）=76
n(n≥4)

n=5

每袋80元

每袋76元


76×2
240+76×2=392
80×3=240
n 1 2 3 4 5
M（元）
80
160
240
316
392
80（1-5%）=76
n(n≥4)

……

n(n≥4)

每袋80元

每袋76元


80×3=240
76×（n-3）
…

240+76（n-3）=76n+12
n 1 2 3 4 5
M（元）
80
160
240
316
392
76n+12
80（1-5%）=76
n(n≥4)
解（1）：当0≤n≤3时，函数的表达式为 M=80n.
自变量n的取值范围是0≤n≤3且n是整数.

当n≥4时， 函数的表达式为
M=76n+12.
自变量n的取值范围是n≥4且n是整数.
，0≤n≤3且n是整数，
，n≥4且n是整数.
变式：某生产资料门市部出售化肥，每袋售价80元.为了促进销售，规定了优惠办法：买3袋按售价计算，买4袋及以上，每袋优惠5%.

每袋80元


80×3=240
变式：某生产资料门市部出售化肥，每袋售价80元.为了促进销售，规定了优惠办法：买3袋按售价计算，买4袋及以上，每袋优惠5%.


每袋76元

76×4=304
例2.某生产资料门市部出售化肥，每袋售价80元.为了促进销售，规定了优惠办法：买3袋按售价计算，从第4袋开始，每袋优惠5%.
（2）为了快速得到购买这种化肥的总金额，利用这个函数的表达式制作一个购买1~10袋化肥的总金额对照表.
n 1 2 3 4 5
M（元）
80
160
240
316
392
76n+12
（2）当n依次取1~10时，分别计算出函数的值，得出下表：
n(n≥4)
解（1）：当0≤n≤3时，函数的表达式为 M=80n.
自变量n的取值范围是0≤n≤3且n是整数.

当n≥4时， 函数的表达式为
M=76n+12.
自变量n的取值范围是n≥4且n是整数.
n 6 7 8 9 10
M（元） 468 544 620 696 772
n 1 2 3 4 5
M（元）
80
160
240
316
392
76n+12
（2）当n依次取1~10时，分别计算出函数的值，得出下表：
n(n≥4)
小结
1.分段（计价）问题要分段处理；
2.要写出每段中自变量的取值范围；
3.对于给定自变量的值要判断在哪一段，在哪一段，就用这一段对应的函数表达式解决.
思考：如果给定的是函数值呢？
练习1.北京居民用水价按家庭年用水量计算，标准如下：
第一阶梯上限180立方米，水费价格为5元/立方米；
第二阶梯为180以上至260立方米，水费价格为7元/立方米；
第三阶梯为260立方米以上，水费价格为9元/立方米.
设家庭年用水量x立方米，年水费y元.
（1）请列出y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；

180＜200＜260
180
20
5×
×7
第一阶梯上限180立方米，水费为5元/立方米；
第二阶梯为180以上至260立方米，水费价格为7元/立方米；
第三阶梯为260立方米以上，水费价格为9元/立方米.
设家庭年用水量x立方米，年水费y元.

当0≤x≤180时，y=5x
0≤x≤180
第一阶梯上限180立方米，水费为5元/立方米；
第二阶梯为180以上至260立方米，水费价格为7元/立方米；
第三阶梯为260立方米以上，水费价格为9元/立方米.
设家庭年用水量x立方米，年水费y元.

180第二阶梯为180以上至260立方米，水费价格为7元/立方米；







180×5，
前180立方米的水费为
（x-180）×7，
180立方米以后的水费为
y=180×5+（x-180）×7.
y=7x-360.
当180第一阶梯上限180立方米，水费为5元/立方米；
第二阶梯为180以上至260立方米，水费价格为7元/立方米；
第三阶梯为260立方米以上，水费价格为9元/立方米.
设家庭年用水量x立方米，年水费y元.

x>260
第三阶梯为260立方米，水费价格为9元/立方米.







前180立方米的水费为 180×5，
180到260立方米的水费为 （260-180）×7，
260立方米以后的水费为 （x-260）×9，
y=180×5+（260-180）×7+（x-260）×9.
y=9x-880.
当x≥260时，
当0≤x≤180时，
y=5x.
当180y=7x-360.
当x>260时，
y=9x-880.
（2）某户去年缴纳水费1145元，该户去年用水量是多少？
当0≤x≤180时，
y=5x.
当180y=7x-360.
当x>260时，
y=9x-880.
5×180=900
7×260-360=1460
0≤y≤900.
900y>1460.
（2）某户去年缴纳水费1145元，该户去年用水量是多少？
所以把y=1145代入y=7x-360中，得
因为900<1145<1460，
1145=7x-360.
解得 x=215.
答：该户去年用水量为215立方米.
小结
如果给定分段函数的函数值，应先判断是哪段的函数值，再代入那一段求解.
思考：会不会出现已知函数值在多个阶段呢？
有没有更简洁的判断方法？
例3.某工厂每天生产A，B两种品牌的零件共600件.A，B两种零件的成本及利润如下表.设每天生产A种零件x件，每天获利y元.
A B
成本（元/件） 50 35
利润（元/件） 20 15
（1）请写出y与x的函数表达式；

A种零件的总利润
y＝
B种零件的总利润
+
y=A种零件的总利润+B种零件的总利润
单件利润×件数
单件利润×件数
20
15
x
？
例3.某工厂每天生产A，B两种品牌的零件共600件.A，B两种零件的成本及利润如下表.设每天生产A种零件x件，每天获利y元.
x
600-x
A B
成本（元/件） 50 35
利润（元/件） 20 15
y=A种零件的总利润+B种零件的总利润
单件利润×件数
单件利润×件数
20
15
x
？
（600-x）
y=20x+15×（600-x），
y=5x+9000.
0≤x≤600，且x是整数.
（2）如果该零件厂每天投入成本27000元，那么每天获利多少元？

y=5x+9000.
x=?
A B
成本（元/件） 50 35
利润（元/件） 20 15

27000=A种零件的总成本+B种零件的总成本
单件成本×件数
50
35
27000=50x+35×（600-x）

单件成本×件数
x
（600-x）
解：依题意得
27000=50x+35×（600-x），

解得 x=400，
y=5×400+9000=11000.

代入得
答：如果每天投入成本27000元，每天获利11000元.
A B
成本（元/件） 50 35
利润（元/件） 20 15
x≥200
600-x≥200

（3）如果每天生产的两种零件都不少于200件，该厂应如何安排生产才能获利最大，最大利润是多少？
200≤x≤400
A B
成本（元/件） 50 35
利润（元/件） 20 15
y=5x+9000，
（3）如果每天生产的两种零件都不少于200件，该厂应如何安排生产才能获利最大，最大利润是多少？
复习一次函数的性质
一次函数y=kx+b(k≠0)的性质是：
当k>0时，y随x的增大而增大；
当k<0时，y随x的增大而减小.

对于一次函数y=5x+9000，
由于 k=5>0，

所以y的值随x的增大而增大，
当x取最大值400时，y有最大值，
答：每天生产A种零件400件，B种零件200件时利润最大，最大利润为11000元.
最大值是5×400+9000=11000.
小结
1.条件较多时要聚焦相关条件；
2.通过一次函数的性质可以解决一些最大值（或最小值）问题，应用时要确定自变量的取值范围.
变式：某工厂每天生产A，B两种品牌的零件共600件.A，B两种零件的成本及利润如下表.设每天生产B种零件x件，每天获利y元.
A B
成本（元/件） 50 35
利润（元/件） 20 15
600-x
x
（1）请写出y与x的函数表达式；
（3）如果每天生产的两种零件都不少于200件，该厂应如何安排生产才能获利最大，最大利润是多少？
A B
成本（元/件） 50 35
利润（元/件） 20 15
y=A种零件的总利润+B种零件的总利润
单件利润×件数
单件利润×件数
20 （600-x）
15 x
y=20（600-x）+15x
y=-5x+12000.
y=20（600-x）+15x
解（1）：由题意得
化简得
600-x≥200
解（3）：依题意有
解得
x≥200

200≤x≤400
对于一次函数y=-5x+12000，
由于k= -5<0，

所以y的值随x的增大而减小.
当x取最小值200时，y有最大值，
答：每天生产A种零件400件，B种零件200件时利润最大，最大利润为11000元.
最大值是-5×200+12000=11000.
总结
本节课我们解决了以下几个具体问题：
等腰三角形的周长；
降价销售；
阶梯水价；
生产安排.
总结
本节课我们遇到了以下几个一次函数问题：
根据题目条件列出一次函数（含分段函数）表达式；
根据实际问题的意义确定自变量的取值范围；
求给定条件的函数值；
求给定条件的函数的最大值.
总结
应用一次函数解决问题要注意以下几点：
注意变量的实际意义；
分段函数要分段处理；
利用函数性质求最大值时要确定自变量的取值范围；
对于复杂的题目条件要聚焦相关条件.
作业
课本本节练习第2题和本章复习题提升部分第4题
作业
祝同学们学有所成