北京版八年级下册数学课件：14.4一次函数的概念 （第一课时）（62张ppt）

(共62张PPT)
初二年级 数学
一次函数的概念 （第一课时）
函数
特殊函数

函数的定义
函数的表示方法
函数图象的画法
一般到特殊
{

判断下列每个问题中的两个变量是否构成函数关系．如果是，指出哪一个是自变量，哪一个是因变量，并分别写出每一个函数表达式：
交流
　 1． 一个长方形的一边长是 3 cm,它的面积
S（cm?）和另一边的长 m（cm）对应．
示意图：

3cm
m
S
分析：（1）在这个问题中存在哪两个变量？
S 和 m
示意图：

3cm
m
S
m ? cm
S ? cm?
3
1
2
3
4
9
6
12
…
…
…
…
分析：（2）它们之间存在函数关系吗？


S 是m 的函数，m 是自变量，S 是因变量．

示意图：

3cm
m
S
分析：（3）你能写出这个函数的表达式吗？
S=3m
（m > 0）
小结：
1．画出示意图，在图上标注已知条件,找到两个变量．
2．通过列表计算分析两个变量之间是否存在函数关系．

3．列函数表达式，确定自变量的取值范围．

2．正方形的面积 S 与它的边长 a 对应．
示意图：
分析：（1）在这个问题中存在哪两个变量？
S 和 a
a
S
示意图：
分析：（2）它们之间存在函数关系吗？
S 是 a 的函数，
a 是自变量，S 是因变量
1
1
2
2
4
3
9
a

S

…
…
…
…
a
S
示意图：
a
S
S = a?
（a > 0）
分析：（3）你能写出这个函数的表达式吗？
3．三角形的面积是 4，它的底边长 a 与这条
边上的高 h 对应．
示意图：
a 和 h
分析：（1）在这个问题中存在哪两个变量？
a
h
面积是４


示意图：
分析：（2）它们之间存在函数关系吗？
a 是 h 的函数，
h 是自变量，a 是因变量．
a
h
面积是4






1
8
2
4
3
4
2


…
…
…
…
a
h
示意图：
a
h
面积是4






分析：（3）你能写出这个函数的表达式吗？
（h>0）

4．等腰三角形顶角的度数 α 和它的一个底角的度数 β 对应．
示意图：
分析：（1）在这个问题中存在哪两个变量？
α 和 β

示意图：
分析：（2）它们之间存在函数关系吗？
α 是 β 的函数，
β 是自变量，α 是因变量．
示意图：
分析：（3）你能写出这个函数的表达式吗？
α+2β =180
α =180 -2β

思考：你能求出自变量的取值范围吗？

分析：
　α =180 -2β　
　
180 -2β > 0　
β < 90　
所以自变量的取值范围是 0<β<90　
β >0
α >0
{
β >0

{
β<90

示意图：
函数表达式： α =180 -2β
（0<β<90）　
5．某种最大量程为5 N的弹簧测力计，弹簧的原长度是 15 cm， 挂物每增加 1 N 时，弹簧伸长 0. 5 cm，这时，伸长后弹簧的总长度 L(cm)和所称物重 p(N)对应 ．

分析：最大量程为 5 N

即 p≤5
弹簧秤所能承受的最大物重为5 N
又因为 p≥0
所以 0≤p≤5
5．某种最大量程为5 N的弹簧测力计，弹簧的原长度是 15 cm， 挂物每增加 1 N 时，弹簧伸长 0. 5 cm，这时，伸长后弹簧的总长度 L(cm)和所称物重 p(N)对应 ．

分析：原长度是15cm
即弹簧秤未挂重物时，它的自然长度是15 cm．
5．某种最大量程为5 N的弹簧测力计，弹簧的原长度是 15 cm， 挂物每增加 1 N 时，弹簧伸长 0. 5 cm，这时，伸长后弹簧的总长度 L(cm)和所称物重 p(N)对应 ．

…
0.5
0.5+15
0.5×2
0.5×2+15
0.5×3
0.5×3+15
0.5×4
0.5×4+15
1
2
3
4
…
…
p
0.5p
物重
(p ? N )












伸长后弹簧的总长度 L(cm)和所称物重 p(N)对应 ．
伸长长度
(cm)
总长度
(L ? cm)
5．某种最大量程为5 N的弹簧测力计，弹簧的原长度是 15 cm， 挂物每增加 1 N 时，弹簧伸长 0. 5 cm，这时，伸长后弹簧的总长度 L(cm)和所称物重 p(N)对应 ．

伸长后弹簧的总长度 L(cm)是所称物重 p(N)的函数，其中 p 是自变量，L 是因变量．
…
0.5
0.5+15
0.5×2
0.5×2+15
0.5×3
0.5×3+15
0.5×4
0.5×4+15
1
2
3
4
…
…
p
0.5p
物重
(p ? N )












伸长长度
(cm)
总长度
(L ? cm)
　　 你能写出这个函数的表达式吗？
…
0.5
0.5×1+15
0.5×2
0.5×2+15
0.5×3
0.5×3+15
0.5×4
0.5×4+15
1
2
3
4
…
…
p
0.5p
物重
(p ? N )












伸长长度
(cm)
总长度
(L ? cm)
　　 你能写出这个函数的表达式吗？


0.5p+15
　　 你能写出这个函数的表达式吗？
L =0.5p+15
思考：你能求出自变量的取值范围吗？

或L =15+0.5p
分析：最大量程为 5 N
即 p≤5
弹簧秤所能承受的最大物重为5 N
又因为 p≥0
所以0≤p≤5
　　 函数的表达式：
（0≤p≤5）
L =0.5p+15
（1）S = 3m　 （2）S = a?
（3） （4）α =180 -2β
（5）L=0.5p+15
函数表达式：
3m ，a? ， ，180 -2β ，0.5p+15
思考：你能将它们分类吗？分类的标准是什么？
a =
3m ，180 -2β ， ，a? ，0.5p+15
关注

自变量的次数
自变量的系数
自变量的位置
有无常数项
3m ，180 -2β ， ，a? ，0.5p+15
按自变量的
次数分类
二次
S =a?
一次
α =180-2β
S =3m
L =0.5p+15
{
负一次


a =
思考：等号右边含有自变量的代数式有什么共同的特征？
自变量的次数是1次
S =3m
a =180-2β
L =0.5p+15
一次函数
S =3m
a =180-2β
L =0.5p+15
思考：等号右边含有自变量的代数式的结构有什
么共同的特征？
右边：自变量与常数的积再加上常数项
a =-2β+180

加法交换律
S =3m
a =180-2β
L =0.5p+15

S =3m+0
右边：自变量与常数的积再加上常数项

S =3m
a =180-2β
L =0.5p+15
思考：你能用一个一般的函数表达式来概括这三
个表达式的结构特征吗？
y =kx +ｂ（k，ｂ为常数）
右边：自变量与常数的积再加上常数项
k
b
函数表达式：y = kx +ｂ（k，ｂ为常数）

思考：对于常数k的取值有限制吗？它可以为0吗？
所以k≠0，即自变量的系数不能为0
k =0时，
y =ｂ ，
自变量的次数不是1次
函数表达式：y = kx +ｂ（k，ｂ为常数，且k≠0）

思考：对于常数k的取值有限制吗？它可以为0吗？
所以k≠0，即自变量的系数不能为0
k =0时，
y =ｂ ，
自变量的次数不是1次

函数表达式：y = kx +ｂ（k，ｂ为常数，且k≠0）

思考：常数 b 的取值可以为0吗？
ｂ= 0时， y = kx
（k为常数, k≠0）
正比例函数

一次函数：
　　一般地，我们把形如y =kx +ｂ（k，b为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数．其中 x 是自变量．
正比例函数：
　　当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）又叫做正比
例函数．
思考：
一次函数y =kx +ｂ（k，b是常数，且k≠0）自变量的取值范围是什么呢?
自变量的取值范围：全体实数
你能说说一次函数与正比例函数的关系吗？
一次函数包含正比例函数，
正比例函数是特殊的一次函数．
你能用一个图来表示它们之间的关系吗？


一次函数
正比例函数
例1 判断下列函数中，哪些是一次函数，一次函
数中哪些是正比例函数？
（5）
（1）
（2）
（3）
（4）
（6）
分析：
要想判断一个函数是否为一次函数，根据定义，只需判断函数表达式是否可以写成 y=kx +ｂ（k，b为常数，且k≠0）的形式，即是否满足两个条件：(1)自变量的次数为1次，(2)自变量的系数不为0．
例1 判断下列函数中，哪些是一次函数，一次函
数中哪些是正比例函数？
（5）
（1）
（2）
（3）
（4）
（6）
例1 判断下列函数中，哪些是一次函数，一次函
数中哪些是正比例函数？
解：一次函数：
（1）
（2）
（4）
（6）
正比例函数：
（6）
（1）若它是一次函数，求 k 的值．
例2 已知函数 y=（k -2）x +k +１，其中k为常数．
．
（2）若它是正比例函数，求 k 的值．
分析：
{
自变量的次数为一次
k -2≠0
∴
k≠2
（1）若它是一次函数，求 k 的值．
自变量的系数不等于0
∴
自变量的系数

常数项
例2 已知函数 y=（k -2）x +k +１，其中k为常数．
．



（1）若它是一次函数，求 k 的值．
例2 已知函数 y=（k -2）x +k +１，其中k为常数．
．
解：由题意得

k -2≠0
k≠2
∴
（2）若它是正比例函数，求 k 的值．
分析：
自变量的次数为一次
自变量的系数不等于0
常数项为0
{
自变量的系数

常数项
例2 已知函数 y=（k -2）x +k +１，其中k为常数．
．



（2）若它是正比例函数，求 k 的值．

k +１ 0
k - 2 0
∴
k = -1
把k = -1代入k -2中，k - 2≠0成立
∴
分析：
k = -1
{
自变量的系数

常数项
例2 已知函数 y=（k -2）x +k +１，其中k为常数．
．


（2）若它是正比例函数，求 k 的值．
例2 已知函数 y=（k -2）x +k +１，其中k为常数．
．
{
k +１= 0
k－2≠0
∴
k = -1
把k = -1代入k -2中，k - 2≠0成立
∴
k = -1

解：由题意得
例3 八年级一班学生接受了在公路的一边植50棵树的任务.树苗堆放在公路边的M处．现规定，第一棵树种在离点M3米远的A处，而且在MA的方向上每隔5米种一棵树 ．那么每种一棵树苗时，送树苗所走的路程 S（米）是所种树苗的序号n 的函数．求出它的表达式，并求出它的自变量的取值范围．
分析：
50棵树
M
A
MA＝3米
①
②
③
Ｂ
Ｃ
AB＝BC＝5米




分析：
50棵树
M
A
MA＝3米
①
②
③
Ｂ
Ｃ
AB＝BC＝5米




n／棵
S／米
1　
3　
2　
…　
…　
n
3
3＋5×1
3＋5×2


4　
3＋5×3
↓
3＋5×0
S = 3+5(n -1)
自变量的取值范围是什么呢？
→
S =5n -2

n／棵
S／米
1　
3　
2　
…　
…　
n
3
3＋5×1
3＋5×2


4　
3＋5×3







3+5(n -1)
例3 八年级一班学生接受了在公路的一边植50棵树的任务.树苗堆放在公路边的M处．现规定，第一棵树种在离点M3米远的A处，而且在MA的方向上每隔5米种一棵树 ．那么每种一棵树苗时，送树苗所走的路程 S（米）是所种树苗的序号n 的函数．求出它的表达式，并求出它的自变量的取值范围．
分析：植50棵树
即 n≤50
一共要植50棵树
因为从第一棵树开始植，即n≥1
所以自变量的取值范围是： 1≤n≤50，n为整数
所以 1≤n≤50
又因为树苗的序号必须是整数

解：
根据题意得：
S =3+5（n -１）
整理，得函数的表达式 S =5n -2
自变量的取值范围是：１≤n≤50， n 为整数．
小结
（1）初步理解一次函数与正比例函数的概念以及两者之间的关系．

（2）经历了一次函数定义的得出过程，体会了由特殊到一般，再由一般到特殊的研究问题的方法．

小结
（3）

实际问题
↓


一次函数
↓

列函数表达式
判断类型
提取有效信息
审题分析
↓
↓
作业
1. 下列函数中，哪些是一次函数，哪些不是一次函数？在一次函数中，哪些又是正比函数？
（1）
（4）
（2）
（3）
（5）
（6）
作业
2. 一个长方形的一边比另一边长3cm，那么，周长L(cm)是短边长 a(cm)的函数吗？如果是，写出它的表达式，并求出它的自变量的取值范围．想一想，面积 S (cm?)是短边长 a(cm)的一次函数吗？