高考微点15 空间几何体的三视图与表面积、体积
[微要点]
1．一个物体的三视图的排列规则
俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．
2．注意两个易误点
(1)画三视图时，能看见的线和棱用实线表示，不能看见的线和棱用虚线表示．
(2)一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．
[微练习]
1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )
解析：选D 由正视图和俯视图可知，该几何体是后面为半个圆锥、前面为三棱锥的组合体，所以其侧视图可以为选项D中的图形．故选D.
2.在正方体ABCD ?A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为( )
解析：选C 过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形．故选C.
3.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )
A. B.
C．1 D．
解析：选D 俯视图的高为，即侧视图的底为，侧视图的高，即正视图的高为，所以其侧视图的面积S＝××＝.
[微要点]
1．空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
2．注意三个易误点
(1)求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．
(2)由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．
(3)易混侧面积与表面积的概念．
[微练习]
1．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是( )
A．280 B．292
C．360 D．372
解析：选C 该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的表面积与上面长方体的4个侧面积之和，故S＝2(10×8＋10×2＋8×2)＋2(6×8＋8×2)＝360.
2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．3 B.
C．7 D.
解析：选B 由题中的三视图可得，该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几何体，长方体的长，宽，高分别为2,1,2，体积为4，切去的三棱锥的体积为，故该几何体的体积V＝4－＝.
3．(2019·福州四校联考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A. B．27
C．27 D．27
解析：选D 在长、宽、高分别为3,3，3的长方体中，由几何体的三视图得几何体为如图所示的三棱锥C?BAP，其中底面BAP是∠BAP＝90°的直角三角形，AB＝3，AP＝3，所以BP＝6，又棱CB⊥平面BAP且CB＝3，所以AC＝6，所以该几何体的表面积是×3×3＋×3×3＋×6×3＋×6×3＝27，故选D.
4.在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内(包括边)的动点，且A1F∥平面D1AE，沿A1F将点B1所在的几何体削去，则剩余几何体的体积为( )
A. B．
C. D．
解析：选D 分别取B1B，B1C1的中点M，N，连接A1M，MN，A1N，∵A1M∥D1E，A1M?平面D1AE，D1E?平面D1AE，∴A1M∥平面D1AE.同理可得MN∥平面D1AE，又A1M，MN是平面A1MN内的相交直线，∴平面A1MN∥平面D1AE，由此结合A1F∥平面D1AE，可得直线A1F?平面A1MN，即点F的轨迹是线段MN，
∴VB1?A1MN＝××1××＝，∴将点B1所在的几何体削去，剩余几何体的体积为1－＝.
[微要点]
1．与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
2．切、接问题的处理规律
(1)切问题的处理规律
球的内切主要是球内切于多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．若内切的是多面体，则主要根据多面体过球心的对角面来作截面．
(2)接问题的处理规律
把多面体的顶点放在球面上，即球为该多面体的外接球．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
[微练习]
1．已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝2，则该三棱柱内切球O1的表面积与外接球O2的表面积的比值为( )
A. B．
C. D．
解析：选C 由题意得BC＝5，设外接球O2的半径为R，则R＝＝＝.因为Rt△ABC的内切圆的半径为1，且直三棱柱ABC?A1B1C1的高为2，所以该直三棱柱的内切球O1的半径r＝1，所以＝＝.
2．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，若该“阳马”的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )
A.π B．8π
C.π D．24π
解析：选C 由题可知，该“阳马”为四棱锥，记为P?ABCD，将其放入长方体中如图所示，则该“阳马”的外接球直径为长方体的体对角线，易知AD＝AP＝1，AB＝2，所以PC＝＝，所以外接球的半径为＝，故该球的体积为πR3＝××＝π.
3.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为( )
A.π B.
C. D．π
解析：选C 平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆．因为正方体的棱长为1，所以AC＝CD1＝AD1＝，所以内切圆的半径r＝×tan 30°＝，所以S＝πr2＝π×＝π.
1.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
解析：选C 侧视图从图形的左面向右面看，看到一个矩形，在矩形上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，且是实线，故选C.
2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形，②正方形，③圆，④椭圆中的( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：选B 若俯视图为正方形，则与正视图中的长为3，侧视图的宽为2矛盾；若俯视图为圆，则也与正视图中的长为3，侧视图的宽为2矛盾．故选B.
3．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )
A. B．
C．2 D．
解析：选B 由题意得，该几何体为如图所示的五棱锥P?ABCDE，
所以体积V＝××＝.
4．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2 000斛，(注：1丈＝10尺，1尺＝10寸，1斛≈1.62立方尺，圆周率取3)，则圆柱底面圆周长约为( )
A．1丈3尺 B．5丈4尺
C．9丈2尺 D．48丈6尺
解析：选B 由题意，圆柱形谷仓的高h＝10＋3＋×＝(尺)，体积V≈2 000×1.62＝3 240(立方尺)．设圆柱的底面半径为R尺，由体积公式得πR2×≈3 240，得3R2×≈3 240，解得R2≈81，故R≈9，所以底面圆周长C＝2πR≈2×3×9＝54(尺)，即5丈4尺．
5．若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比为( )
A.∶2 B．∶2
C.∶2 D．3∶2
解析：选C 设圆锥底面半径为r，高为h，则球的半径R＝，由条件知，πr2h＝π3，所以h＝.所以圆锥的侧面积S1＝πr·＝πr＝πr2，球面面积S2＝4πR2＝4π×2＝πr2，所以S1∶S2＝∶2.
6.如图所示，正四棱锥P?ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，若VP?ABCD＝，则球O的表面积是( )
A．4π B．8π
C．12π D．16π
解析：选D 由OP＝OC＝R，AB＝R，得AB2·OP＝×(R)2×R＝，所以R＝2.故S球＝4πR2＝16π.
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．4＋2 B．4＋4
C．6＋2 D．6＋4
解析：选B 由三视图还原几何体的直观图如图所示，易知BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以BC⊥PC，又AP＝AC＝BC＝2，所以PC＝＝2，又AB＝2，所以S△PBC＝S△PAB＝×2×2＝2，S△ABC＝S△PAC＝×2×2＝2，所以该几何体的表面积为4＋4.
8．空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，E，F分别是AB，CD的中点，且EF⊥AB，EF⊥CD.若AB＝8，CD＝EF＝4，则该球的半径等于( )
A. B．
C. D．
解析：选C 如图，连接BF，AF，DE，CE，因为AE＝BE，EF⊥AB，所以AF＝BF.同理可得EC＝ED.又空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，所以球心O必在EF上，连接OA，OC.设该球的半径为R，OE＝x，则R2＝AE2＋OE2＝16＋x2，且R2＝CF2＋OF2＝4＋(4－x)2，解得R＝.
9．已知正四棱台的高为12 cm，两底面的边长分别为2 cm和12 cm，则该正四棱台的表面积为________cm2.
解析：∵斜高h′＝ ＝13(cm)，
∴该四棱台的表面积S＝S上＋S下＋S侧＝22＋122＋4××(2＋12)×13＝512(cm2)．
答案：512
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
解析：由三视图可得该几何体为圆柱和四分之一球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，故该几何体的表面积为S＝π×12＋2π×1×3＋4π×12×＋π×12＋π×12＝9π.
答案：9π
11．在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E为AB的中点，则三棱锥P?BCE的体积为________．
解析：由题意知S底面ABCD＝2×2sin 60°＝2，所以S△EBC＝，故VP?EBC＝×2×＝.
答案：
12.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱A1A和B1B上各有一个动点P，Q，且满足A1P＝BQ，M是棱CA上的动点，则的最大值是________．
解析：设三棱柱ABC?A1B1C1的体积为V.
∵侧棱AA1和BB1上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，∴四边形PQBA与四边形PQB1A1的面积相等．
∵M是棱CA上的动点，
∴点M在点C处时，的值最大．
又四棱锥M?PQBA的体积等于三棱锥C?ABA1的体积，即等于V，
∴的最大值是＝.
答案：
高考微点15 空间几何体的三视图与表面积、体积
[微要点]
1．一个物体的三视图的排列规则
俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．
2．注意两个易误点
(1)画三视图时，能看见的线和棱用实线表示，不能看见的线和棱用虚线表示．
(2)一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．
[微练习]
1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )
2.在正方体ABCD ?A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为( )
3.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )
A. B.
C．1 D．
[微要点]
1．空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
2．注意三个易误点
(1)求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．
(2)由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．
(3)易混侧面积与表面积的概念．
[微练习]
1．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是( )
A．280 B．292
C．360 D．372
2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．3 B.
C．7 D.
3．(2019·福州四校联考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A. B．27
C．27 D．27
4.在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内(包括边)的动点，且A1F∥平面D1AE，沿A1F将点B1所在的几何体削去，则剩余几何体的体积为( )
A. B．
C. D．
[微要点]
1．与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
2．切、接问题的处理规律
(1)切问题的处理规律
球的内切主要是球内切于多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．若内切的是多面体，则主要根据多面体过球心的对角面来作截面．
(2)接问题的处理规律
把多面体的顶点放在球面上，即球为该多面体的外接球．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
[微练习]
1．已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝2，则该三棱柱内切球O1的表面积与外接球O2的表面积的比值为( )
A. B．
C. D．
2．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，若该“阳马”的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )
A.π B．8π
C.π D．24π
3.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为( )
A.π B.
C. D．π
1.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形，②正方形，③圆，④椭圆中的( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
3．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )
A. B．
C．2 D．
4．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2 000斛，(注：1丈＝10尺，1尺＝10寸，1斛≈1.62立方尺，圆周率取3)，则圆柱底面圆周长约为( )
A．1丈3尺 B．5丈4尺
C．9丈2尺 D．48丈6尺
5．若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比为( )
A.∶2 B．∶2
C.∶2 D．3∶2
6.如图所示，正四棱锥P?ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，若VP?ABCD＝，则球O的表面积是( )
A．4π B．8π
C．12π D．16π
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．4＋2 B．4＋4
C．6＋2 D．6＋4
8．空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，E，F分别是AB，CD的中点，且EF⊥AB，EF⊥CD.若AB＝8，CD＝EF＝4，则该球的半径等于( )
A. B．
C. D．
9．已知正四棱台的高为12 cm，两底面的边长分别为2 cm和12 cm，则该正四棱台的表面积为________cm2.
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
11．在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E为AB的中点，则三棱锥P?BCE的体积为________．
12.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱A1A和B1B上各有一个动点P，Q，且满足A1P＝BQ，M是棱CA上的动点，则的最大值是________．
