高考数学(理科)重点生专题特训:高考微点15 空间几何体的三视图与表面积、体积

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名称 高考数学(理科)重点生专题特训:高考微点15 空间几何体的三视图与表面积、体积
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2020-05-14 21:43:33

文档简介

高考微点15 空间几何体的三视图与表面积、体积

[微要点]
1.一个物体的三视图的排列规则
俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视图的长度一样,侧(左)视图放在正(主)视图的右面,高度与正(主)视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”.
2.注意两个易误点
(1)画三视图时,能看见的线和棱用实线表示,不能看见的线和棱用虚线表示.
(2)一物体放置的位置不同,所画的三视图可能不同.
[微练习]
1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为(  )

解析:选D 由正视图和俯视图可知,该几何体是后面为半个圆锥、前面为三棱锥的组合体,所以其侧视图可以为选项D中的图形.故选D.
2.在正方体ABCD ?A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点(如图),用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的侧视图为(  )

解析:选C 过点A,E,C1的截面为AEC1F,如图,则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形.故选C.

3.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为(  )
A.        B.
C.1 D.
解析:选D 俯视图的高为,即侧视图的底为,侧视图的高,即正视图的高为,所以其侧视图的面积S=××=.

[微要点]
1.空间几何体的表面积与体积公式
  名称 几何体   表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V=Sh
台体(棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+)h
球 S=4πR2 V=πR3


2.注意三个易误点
(1)求组合体的表面积时,组合体的衔接部分的面积问题易出错.
(2)由三视图计算几何体的表面积与体积时,由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误.
(3)易混侧面积与表面积的概念.
[微练习]
1.一个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是(  )

A.280 B.292
C.360 D.372
解析:选C 该几何体由两个长方体组合而成,其表面积等于下面长方体的表面积与上面长方体的4个侧面积之和,故S=2(10×8+10×2+8×2)+2(6×8+8×2)=360.


2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为(  )
A.3 B.
C.7 D.
解析:选B 由题中的三视图可得,该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几何体,长方体的长,宽,高分别为2,1,2,体积为4,切去的三棱锥的体积为,故该几何体的体积V=4-=.
3.(2019·福州四校联考)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  )

A. B.27
C.27 D.27
解析:选D 在长、宽、高分别为3,3,3的长方体中,由几何体的三视图得几何体为如图所示的三棱锥C?BAP,其中底面BAP是∠BAP=90°的直角三角形,AB=3,AP=3,所以BP=6,又棱CB⊥平面BAP且CB=3,所以AC=6,所以该几何体的表面积是×3×3+×3×3+×6×3+×6×3=27,故选D.
4.在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内(包括边)的动点,且A1F∥平面D1AE,沿A1F将点B1所在的几何体削去,则剩余几何体的体积为(  )
A. B.
C. D.
解析:选D 分别取B1B,B1C1的中点M,N,连接A1M,MN,A1N,∵A1M∥D1E,A1M?平面D1AE,D1E?平面D1AE,∴A1M∥平面D1AE.同理可得MN∥平面D1AE,又A1M,MN是平面A1MN内的相交直线,∴平面A1MN∥平面D1AE,由此结合A1F∥平面D1AE,可得直线A1F?平面A1MN,即点F的轨迹是线段MN,
∴VB1?A1MN=××1××=,∴将点B1所在的几何体削去,剩余几何体的体积为1-=.

[微要点]
1.与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,
①若球为正方体的外接球,则2R=a;
②若球为正方体的内切球,则2R=a;
③若球与正方体的各棱相切,则2R=a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
2.切、接问题的处理规律
(1)切问题的处理规律
球的内切主要是球内切于多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.若内切的是多面体,则主要根据多面体过球心的对角面来作截面.
(2)接问题的处理规律
把多面体的顶点放在球面上,即球为该多面体的外接球.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
[微练习]
1.已知直三棱柱ABC?A1B1C1中,AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=2,则该三棱柱内切球O1的表面积与外接球O2的表面积的比值为(  )
A. B.
C. D.
解析:选C 由题意得BC=5,设外接球O2的半径为R,则R===.因为Rt△ABC的内切圆的半径为1,且直三棱柱ABC?A1B1C1的高为2,所以该直三棱柱的内切球O1的半径r=1,所以==.
2.《九章算术》中将底面为长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”,现有一“阳马”,其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形,若该“阳马”的顶点都在同一个球面上,则该球的体积为(  )

A.π B.8π
C.π D.24π
解析:选C 由题可知,该“阳马”为四棱锥,记为P?ABCD,将其放入长方体中如图所示,则该“阳马”的外接球直径为长方体的体对角线,易知AD=AP=1,AB=2,所以PC==,所以外接球的半径为=,故该球的体积为πR3=××=π.


3.如图,已知球O是棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为(  )
A.π     B.
C. D.π
解析:选C 平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆.因为正方体的棱长为1,所以AC=CD1=AD1=,所以内切圆的半径r=×tan 30°=,所以S=πr2=π×=π.


1.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(  )

解析:选C 侧视图从图形的左面向右面看,看到一个矩形,在矩形上有一条对角线,对角线是由左下角到右上角的线,且是实线,故选C.

2.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为①长方形,②正方形,③圆,④椭圆中的(  )

A.①②  B.②③
C.③④ D.①④
解析:选B 若俯视图为正方形,则与正视图中的长为3,侧视图的宽为2矛盾;若俯视图为圆,则也与正视图中的长为3,侧视图的宽为2矛盾.故选B.
3.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为(  )

A. B.
C.2 D.
解析:选B 由题意得,该几何体为如图所示的五棱锥P?ABCDE,
所以体积V=××=.
4.《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓,高1丈3尺3寸,容纳米2 000斛,(注:1丈=10尺,1尺=10寸,1斛≈1.62立方尺,圆周率取3),则圆柱底面圆周长约为(  )
A.1丈3尺 B.5丈4尺
C.9丈2尺 D.48丈6尺
解析:选B 由题意,圆柱形谷仓的高h=10+3+×=(尺),体积V≈2 000×1.62=3 240(立方尺).设圆柱的底面半径为R尺,由体积公式得πR2×≈3 240,得3R2×≈3 240,解得R2≈81,故R≈9,所以底面圆周长C=2πR≈2×3×9=54(尺),即5丈4尺.
5.若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,则圆锥侧面积与球面面积之比为(  )
A.∶2 B.∶2
C.∶2 D.3∶2
解析:选C 设圆锥底面半径为r,高为h,则球的半径R=,由条件知,πr2h=π3,所以h=.所以圆锥的侧面积S1=πr·=πr=πr2,球面面积S2=4πR2=4π×2=πr2,所以S1∶S2=∶2.
6.如图所示,正四棱锥P?ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若VP?ABCD=,则球O的表面积是(  )
A.4π B.8π
C.12π D.16π
解析:选D 由OP=OC=R,AB=R,得AB2·OP=×(R)2×R=,所以R=2.故S球=4πR2=16π.
7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  )

A.4+2 B.4+4
C.6+2 D.6+4
解析:选B 由三视图还原几何体的直观图如图所示,易知BC⊥平面PAC,又PC?平面PAC,所以BC⊥PC,又AP=AC=BC=2,所以PC==2,又AB=2,所以S△PBC=S△PAB=×2×2=2,S△ABC=S△PAC=×2×2=2,所以该几何体的表面积为4+4.
8.空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上,E,F分别是AB,CD的中点,且EF⊥AB,EF⊥CD.若AB=8,CD=EF=4,则该球的半径等于(  )
A. B.
C. D.
解析:选C 如图,连接BF,AF,DE,CE,因为AE=BE,EF⊥AB,所以AF=BF.同理可得EC=ED.又空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上,所以球心O必在EF上,连接OA,OC.设该球的半径为R,OE=x,则R2=AE2+OE2=16+x2,且R2=CF2+OF2=4+(4-x)2,解得R=.
9.已知正四棱台的高为12 cm,两底面的边长分别为2 cm和12 cm,则该正四棱台的表面积为________cm2.
解析:∵斜高h′= =13(cm),
∴该四棱台的表面积S=S上+S下+S侧=22+122+4××(2+12)×13=512(cm2).
答案:512
10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.

解析:由三视图可得该几何体为圆柱和四分之一球的组合体.圆柱的底面半径为1,高为3,球的半径为1,故该几何体的表面积为S=π×12+2π×1×3+4π×12×+π×12+π×12=9π.
答案:9π
11.在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=2,E为AB的中点,则三棱锥P?BCE的体积为________.
解析:由题意知S底面ABCD=2×2sin 60°=2,所以S△EBC=,故VP?EBC=×2×=.
答案:


12.如图,在三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱A1A和B1B上各有一个动点P,Q,且满足A1P=BQ,M是棱CA上的动点,则的最大值是________.
解析:设三棱柱ABC?A1B1C1的体积为V.
∵侧棱AA1和BB1上各有一动点P,Q满足A1P=BQ,∴四边形PQBA与四边形PQB1A1的面积相等.
∵M是棱CA上的动点,
∴点M在点C处时,的值最大.
又四棱锥M?PQBA的体积等于三棱锥C?ABA1的体积,即等于V,
∴的最大值是=.
答案:

高考微点15 空间几何体的三视图与表面积、体积

[微要点]
1.一个物体的三视图的排列规则
俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视图的长度一样,侧(左)视图放在正(主)视图的右面,高度与正(主)视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”.
2.注意两个易误点
(1)画三视图时,能看见的线和棱用实线表示,不能看见的线和棱用虚线表示.
(2)一物体放置的位置不同,所画的三视图可能不同.
[微练习]
1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为(  )


2.在正方体ABCD ?A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点(如图),用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的侧视图为(  )


3.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为(  )
A.        B.
C.1 D.


[微要点]
1.空间几何体的表面积与体积公式
  名称 几何体   表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V=Sh
台体(棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+)h
球 S=4πR2 V=πR3


2.注意三个易误点
(1)求组合体的表面积时,组合体的衔接部分的面积问题易出错.
(2)由三视图计算几何体的表面积与体积时,由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误.
(3)易混侧面积与表面积的概念.
[微练习]
1.一个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是(  )

A.280 B.292
C.360 D.372




2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为(  )
A.3 B.
C.7 D.

3.(2019·福州四校联考)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  )

A. B.27
C.27 D.27

4.在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内(包括边)的动点,且A1F∥平面D1AE,沿A1F将点B1所在的几何体削去,则剩余几何体的体积为(  )
A. B.
C. D.


[微要点]
1.与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,
①若球为正方体的外接球,则2R=a;
②若球为正方体的内切球,则2R=a;
③若球与正方体的各棱相切,则2R=a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
2.切、接问题的处理规律
(1)切问题的处理规律
球的内切主要是球内切于多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.若内切的是多面体,则主要根据多面体过球心的对角面来作截面.
(2)接问题的处理规律
把多面体的顶点放在球面上,即球为该多面体的外接球.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
[微练习]
1.已知直三棱柱ABC?A1B1C1中,AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=2,则该三棱柱内切球O1的表面积与外接球O2的表面积的比值为(  )
A. B.
C. D.

2.《九章算术》中将底面为长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”,现有一“阳马”,其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形,若该“阳马”的顶点都在同一个球面上,则该球的体积为(  )

A.π B.8π
C.π D.24π


3.如图,已知球O是棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为(  )
A.π     B.
C. D.π



1.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(  )


2.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为①长方形,②正方形,③圆,④椭圆中的(  )

A.①②  B.②③
C.③④ D.①④

3.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为(  )

A. B.
C.2 D.

4.《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓,高1丈3尺3寸,容纳米2 000斛,(注:1丈=10尺,1尺=10寸,1斛≈1.62立方尺,圆周率取3),则圆柱底面圆周长约为(  )
A.1丈3尺 B.5丈4尺
C.9丈2尺 D.48丈6尺

5.若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,则圆锥侧面积与球面面积之比为(  )
A.∶2 B.∶2
C.∶2 D.3∶2

6.如图所示,正四棱锥P?ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若VP?ABCD=,则球O的表面积是(  )
A.4π B.8π
C.12π D.16π

7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  )

A.4+2 B.4+4
C.6+2 D.6+4

8.空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上,E,F分别是AB,CD的中点,且EF⊥AB,EF⊥CD.若AB=8,CD=EF=4,则该球的半径等于(  )
A. B.
C. D.

9.已知正四棱台的高为12 cm,两底面的边长分别为2 cm和12 cm,则该正四棱台的表面积为________cm2.

10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.


11.在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=2,E为AB的中点,则三棱锥P?BCE的体积为________.

12.如图,在三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱A1A和B1B上各有一个动点P,Q,且满足A1P=BQ,M是棱CA上的动点,则的最大值是________.


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