高考微点16 空间中的平行与垂直
一、空间中直线间的位置关系
[微要点]
1．空间两直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
相交 在同一平面内 有且只有一个
平行 在同一平面内 零个
异面 不同在任何一个平面内 零个
2．用平移法求异面直线所成角的一般步骤
(1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角；
(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角；
(3)结论——设由(2)求出的角的大小为θ，若0°＜θ≤90°，则θ即为所求，若90°<θ<180°，则180°－θ即为所求．
[微练习]
1．已知在四棱锥P?ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，则在四棱锥P?ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有( )
A．3对 B．4对
C．5对 D．6对
解析：选C 因为四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，AD⊥PB，共5对．
2.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点．有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：选C 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误，显然③④正确．
3.如图，在三棱锥A?BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成角的余弦值是________．
解析：如图所示，连接DN，
取线段DN的中点K，连接MK，CK.
∵M为AD的中点，∴MK∥AN，
∴∠KMC(或其补角)为异面直线AN，CM所成的角．
∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，
由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝2，∴MK＝.
在Rt△CKN中，CK＝ ＝.
在△CKM中，由余弦定理，
得cos∠KMC＝＝，
所以异面直线AN，CM所成角的余弦值是.
答案：
[微要点]
1．空间位置关系的证明方法
线线平行 ?a∥b，?a∥b，?a∥b，?c∥b
线面平行 ?a∥α，?a∥α，?a∥α
面面平行 ?α∥β，?α∥β，?α∥γ
线线垂直 ?a⊥b
线面垂直 ?l⊥α，?a⊥β，?a⊥β，?b⊥α
面面垂直 ?α⊥β，?α⊥β
2．注意四个易误点
(1)线面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．
(2)面面平行的判定中易忽视“面内两条直线相交”这一条件．
(3)线面垂直的判定中易忽视“面内两条直线相交”这一条件．
(4)面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一直线垂直于交线而盲目套用造成失误．
[微练习]
1.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确的命题有( )
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
解析：选C 因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC?A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；
若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；
由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH?平面α，所以平面α⊥平面BCFE.
综上可知，选C.
2．已知直线m，n和平面α，β，则使m⊥α成立的一个充分条件是( )
A．m⊥n，n∥α B．m∥n，n⊥α
C．m⊥n，n?α D．m∥β，β⊥α
解析：选B 由m∥n，n⊥α，得m⊥α.故选B.
3.(2019·开封高三定位考试)如图，在三棱锥D?ABC中，AB＝2AC＝2，∠BAC＝60°，AD＝，CD＝3，平面ADC⊥平面ABC.
(1)证明：平面BDC⊥平面ADC；
(2)求三棱锥D?ABC的体积．
解：(1)证明：在△ABC中，由余弦定理可得，
BC＝
＝ ＝，
∴BC2＋AC2＝AB2，∴BC⊥AC，
∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，
∴BC⊥平面ADC，
又BC?平面BDC，∴平面BDC⊥平面ADC.
(2)由余弦定理可得cos∠ACD＝＝，
∴sin∠ACD＝，∴S△ACD＝×1×3×＝，
则VD?ABC＝VB?ADC＝×× ＝.
4.如图，在四棱锥E?ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．
求证：(1)MN∥平面EBC.
(2)EA⊥平面EBC.
证明：(1)取BE的中点F，连接CF，MF.
∵M是AE的中点，∴MF綊AB.
∵N是矩形ABCD中边CD的中点，
∴NC綊AB，∴MF綊NC，
∴四边形MNCF是平行四边形，∴MN∥CF.
又MN?平面EBC，CF?平面EBC，
∴MN∥平面EBC.
(2)∵平面EAB⊥平面ABCD，平面EAB∩平面ABCD＝AB，BC?平面ABCD，BC⊥AB，
∴BC⊥平面EAB.
又∵EA?平面EAB，∴BC⊥EA.
∵EA⊥EB，BC∩EB＝B，EB?平面EBC，BC?平面EBC，
∴EA⊥平面EBC.
1．已知两条相交直线a，b，且a∥平面α，则b与平面α的位置关系是( )
A．相交或平行 B．平行
C．b在平面α内 D．平行或b在平面α内
解析：选A 由直线与平面的位置关系知直线b与平面α的位置关系是相交或平行．
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
解析：选D 因为直线m∥α，m∥β，α∩β＝l，所以m∥l，所以AB∥m，AC⊥m，选项A、B正确；根据线面平行的判定定理可得AB∥β，选项C正确；当直线AC不在平面α内时，尽管AC⊥l，AC与平面β可以平行，也可以相交(不垂直)，所以AC⊥β不一定成立．故选D.
3．已知PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
解析：选C 由PA⊥平面ACB，得PA⊥BC，故选项A正确；因为AB为直径，所以∠ACB＝90°，所以BC⊥AC.又因为BC⊥PA，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，故选项B正确；由BC⊥平面PAC，PC?平面PAC，得BC⊥PC，故选项D正确．故选C.
4.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
解析：选C 对于A，CC1与B1E均在侧面BCC1B1内，又两直线不平行，故相交，A错误；对于B，AC与平面ABB1A1所成的角为60°，所以AC不垂直于平面ABB1A1，故B错误；对于C，AE⊥BC，BC∥B1C1，所以AE⊥B1C1，故C正确；对于D，AC与平面AB1E有公共点A，AC∥A1C1，所以A1C1与平面AB1E相交，故D错误．
5．已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是上底面A1B1C1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长的最小值为( )
A．1 B．
C. D．
解析：选A 由PQ∥平面AA1B1B知Q在过点P且平行于平面AA1B1B的平面上，易知点Q在A1D1，B1C1中点的连线MN上，故PQ的最小值为PM＝AA1＝1.
6.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN的长度为________．
解析：如图，取AD的中点P，连接
PM，PN，则PM∥BD，PN∥AC，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，
∴MN＝5.
答案：5
7.如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是BD和AE的中点，则：
①AD⊥MN；
②MN∥平面CDE；
③MN∥CE；
④MN与CE异面．
其中正确结论的序号是________．
解析：取AD的中点K，连接MK，NK.则NK∥DE，MK∥CD，且MK⊥AD，NK⊥AD.又MK∩NK＝K，则AD⊥平面MNK.又MN?平面MNK，故AD⊥MN，故①正确．因为NK∥DE，MK∥CD，MK∩NK＝K，CD∩DE＝D，所以平面MNK∥平面CDE，又MN?平面MNK，所以MN∥平面CDE.连接AC，可知AC过点M，且M，N分别为AC，AE的中点，所以MN∥CE，故②③正确，④不正确．
答案：①②③
8.如图，已知四棱锥P?ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，则GH＝________.
解析：因为四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别是AB，CD的中点，所以AE綊DF，所以四边形AEFD是平行四边形，又ED∩AF＝H，所以点H是DE的中点．因为平面AGF∥平面PEC，所以GF∥PC.又PD∩平面AGF＝G，所以点G是PD的中点，所以在△PDE中，GH∥PE，GH＝PE.又PA＝PB＝AB＝2，所以PE＝，所以GH＝.
答案：
9.如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥BC，M是AE的中点，N是PA上一点．
(1)若N是PA的中点，求证：MN⊥平面PAC；
(2)若MN∥平面ABC，求证：N是PA的中点．
证明：(1)∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，AC⊥BC，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面PAC.
∵M是AE的中点，N是PA的中点，∴MN∥PE.
又PE∥BC，∴MN∥BC，∴MN⊥平面PAC.
(2)设平面PAE∩平面ABC＝l.
∵MN∥平面ABC，MN?平面PAE，∴MN∥l.
∵PE∥BC，BC?平面ABC，PE?平面ABC，
∴PE∥平面ABC.
又平面PAE∩平面ABC＝l，PE?平面PAE，
∴PE∥l，从而MN∥PE.
在△APE中，∵M是AE的中点，∴N是PA的中点．
10.(2019·南昌调研)如图，在四棱锥P?ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．
(1)求证：平面CMN∥平面PAB；
(2)求三棱锥P?ABM的体积．
解：(1)证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，
∴MN∥PA.
又MN?平面PAB，PA?平面PAB，
∴MN∥平面PAB.
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，
∴∠ACN＝60°.
又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.
∵CN?平面PAB，AB?平面PAB，
∴CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，
∴平面CMN∥平面PAB.
(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，
∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．
∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝，
∴三棱锥P?ABM的体积V＝VM?PAB＝VC?PAB＝VP?ABC＝××1××2＝.
高考微点16 空间中的平行与垂直
一、空间中直线间的位置关系
[微要点]
1．空间两直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
相交 在同一平面内 有且只有一个
平行 在同一平面内 零个
异面 不同在任何一个平面内 零个
2．用平移法求异面直线所成角的一般步骤
(1)作角——用平移法找(或作)出符合题意的角；
(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角；
(3)结论——设由(2)求出的角的大小为θ，若0°＜θ≤90°，则θ即为所求，若90°<θ<180°，则180°－θ即为所求．
[微练习]
1．已知在四棱锥P?ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，则在四棱锥P?ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有( )
A．3对 B．4对
C．5对 D．6对
2.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点．有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
3.如图，在三棱锥A?BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成角的余弦值是________．
[微要点]
1．空间位置关系的证明方法
线线平行 ?a∥b，?a∥b，?a∥b，?c∥b
线面平行 ?a∥α，?a∥α，?a∥α
面面平行 ?α∥β，?α∥β，?α∥γ
线线垂直 ?a⊥b
线面垂直 ?l⊥α，?a⊥β，?a⊥β，?b⊥α
面面垂直 ?α⊥β，?α⊥β
2．注意四个易误点
(1)线面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．
(2)面面平行的判定中易忽视“面内两条直线相交”这一条件．
(3)线面垂直的判定中易忽视“面内两条直线相交”这一条件．
(4)面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一直线垂直于交线而盲目套用造成失误．
[微练习]
1.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确的命题有( )
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
2．已知直线m，n和平面α，β，则使m⊥α成立的一个充分条件是( )
A．m⊥n，n∥α B．m∥n，n⊥α
C．m⊥n，n?α D．m∥β，β⊥α
3.(2019·开封高三定位考试)如图，在三棱锥D?ABC中，AB＝2AC＝2，∠BAC＝60°，AD＝，CD＝3，平面ADC⊥平面ABC.
(1)证明：平面BDC⊥平面ADC；
(2)求三棱锥D?ABC的体积．
4.如图，在四棱锥E?ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．
求证：(1)MN∥平面EBC.
(2)EA⊥平面EBC.
1．已知两条相交直线a，b，且a∥平面α，则b与平面α的位置关系是( )
A．相交或平行 B．平行
C．b在平面α内 D．平行或b在平面α内
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
3．已知PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
4.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
5．已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是上底面A1B1C1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长的最小值为( )
A．1 B．
C. D．
6.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN的长度为________．
7.如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是BD和AE的中点，则：
①AD⊥MN；
②MN∥平面CDE；
③MN∥CE；
④MN与CE异面．
其中正确结论的序号是________．
8.如图，已知四棱锥P?ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，则GH＝________.
9.如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥BC，M是AE的中点，N是PA上一点．
(1)若N是PA的中点，求证：MN⊥平面PAC；
(2)若MN∥平面ABC，求证：N是PA的中点．
10.(2019·南昌调研)如图，在四棱锥P?ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．
(1)求证：平面CMN∥平面PAB；
(2)求三棱锥P?ABM的体积．
