高考微点17 空间向量与立体几何
1．空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2?n1＝λn2
l1⊥l2 n1⊥n2?n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m?m·n＝0
l⊥α n∥m?n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m?n＝λm
α⊥β n⊥m?n·m＝0
2．空间角与向量夹角的关系
线线夹角 当0≤〈a，b〉≤时，直线l与m的夹角等于〈a，b〉；当<〈a，b〉≤π时，直线l与m的夹角等于π－〈a，b〉．事实上，若设直线l与m的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈a，b〉|(其中，a，b分别为l，m的方向向量)
线面夹角 设直线l与平面α所成的角为θ，当0≤〈u，a〉≤时，θ＝－〈u，a〉；当<〈u，a〉≤π时，θ＝〈u，a〉－.即sin θ＝|cos〈u，a〉|(其中u为直线l的方向向量，a为平面α的法向量)
面面夹角 当0≤〈u，v〉≤时，平面α与β的夹角等于〈u，v〉；当<〈u，v〉≤π时，平面α与β的夹角等于π－〈u，v〉．事实上，若设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈u，v〉|(其中u，v分别为α，β的法向量)
3．注意两个易错点
(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量，但要注意说明这两条直线不共线．
(2)空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错．
[微练习]
1.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AC＝BC＝AA1＝2，D为侧棱AA1的中点．
(1)求异面直线DC1与B1C所成角的余弦值．
(2)求二面角B1?DC?C1的余弦值．
解：(1)如图，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C?xyz，则C(0,0，0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，
B1(0,2,2)，D(2,0,1)，∴＝(－2,0,1)，＝(0，－2，－2)，
∴cos〈，〉＝＝＝－.
故异面直线DC1与B1C所成角的余弦值为.
(2)∵＝(0,2,0)，＝(2,0,0)，＝(0,0,2)，
∴·＝0，·＝0，
∴＝(0,2,0)为平面ACC1A1的一个法向量．
设平面B1DC的法向量为n＝(x，y，z)．
由＝(0，－2，－2)，＝(2,0,1)，得
令x＝1，得y＝2，z＝－2，∴n＝(1,2，－2)．
∴cos〈n，〉＝＝＝.
由图知二面角B1?DC?C1为锐角，
∴二面角B1?DC?C1的余弦值为.
2.如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.
(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；
(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
解：(1)证明：以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x轴，y轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz.
由题意知各点坐标如下：
A(0，－，0)，B(1,0,0)，A1(0，－，4)，B1(1,0,2)，C1(0，，1)．
因此＝(1，，2)，＝(1，，－2)，＝(0,2，－3)．
由·＝0，得AB1⊥A1B1.
由·＝0，得AB1⊥A1C1.
又因为A1B1∩A1C1＝A1，
所以AB1⊥平面A1B1C1.
(2)设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.
由(1)可知＝(0,2，1)，＝(1，，0)，
＝(0,0,2)．
设平面ABB1的法向量为n＝(x，y，z)．
由得
可取n＝(－，1,0)．
所以sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.所以直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.
1．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )
A．2， B．－，
C．－3,2 D．2,2
解析：选A ∵a∥b，∴b＝ka，
即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，
∴解得或
2.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.则A1B与平面ABD所成角的正弦值为( )
A. B．
C. D．
解析：选A 以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，CC1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设CA＝CB＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，∴E，G，＝，＝(0，－a,1)．
∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，
∴⊥平面ABD，∴·＝0，解得a＝2.
∴＝，＝(2，－2,2)，
∵⊥平面ABD，
∴为平面ABD的一个法向量．
又cos，＝＝＝，
∴A1B与平面ABD所成角的正弦值为.
3.已知四棱锥P ?ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1.
(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；
(2)求AC与PB夹角的余弦值．
解：以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，D(1，0,0)，P(0,0,1)．
(1)证明：因为＝(0,0,1)，＝(0,1,0)，
所以·＝0，所以AP⊥DC.
由题设知AD⊥DC，且AP∩AD＝A，
所以DC⊥平面PAD.
又DC?平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD.
(2)因为＝(1,1,0)，＝(0,2，－1)，
所以cos〈，〉＝＝.
故AC与PB夹角的余弦值为.
4.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4.
(1)证明：平面ADE⊥平面ACD；
(2)若AC＝BC，求二面角D?AE?B的余弦值．
解：(1)证明：∵AB是半圆O的直径，∴BC⊥AC.
∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC，
∵CD∩AC＝C，∴BC⊥平面ACD.
∵CD∥BE，CD＝BE，
∴四边形BCDE是平行四边形，∴BC∥DE，
∴DE⊥平面ACD，
∵DE?平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD.
(2)以C为坐标原点，CA，CB，CD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,1)，E(0,2，1)，
A(2，0,0)，B(0,2，0)，
∴＝(－2，2，0)，＝(0,0,1)，
＝(0,2，0)，＝(2，0，－1)，
设平面DAE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
令x1＝1，得平面DAE的一个法向量n1＝(1,0,2)．
设平面ABE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即
令x2＝1，得平面ABE的一个法向量n2＝(1,1,0)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝＝，
由图知二面角D?AE?B为钝角，
∴二面角D?AE?B的余弦值为－.
5.如图，在四棱锥E?ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，∠BCE＝120°，DE＝2.
(1)证明：平面BCE⊥平面CDE；
(2)若BC＝4，求二面角E?AD?B的余弦值．
解：(1)证明：因为AB∥CD，∠ABC＝90°，
所以CD⊥BC.
因为CD＝4，CE＝2，DE＝2，
所以CD2＋CE2＝DE2，
所以CD⊥CE，
因为BC∩CE＝C，
所以CD⊥平面BCE.
因为CD?平面CDE，
所以平面BCE⊥平面CDE.
(2)由(1)知，CD⊥平面BCE，故以点C为坐标原点，分别以，的方向为x轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系C?xyz.
所以A(4,0,2)，B(4,0,0)，
E(－1，，0)，D(0,0,4)，
所以＝(－4,0,2)，＝(－5，，－2)，
设平面ADE的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
取x＝1，则y＝3，z＝2，
所以n＝(1,3，2)为平面ADE的一个法向量，
又平面ABD的一个法向量为m＝(0,1,0)，
所以cos〈n，m〉＝＝，
由图知二面角E?AD?B为锐角，
所以二面角E?AD?B的余弦值为.
6.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.
(1)求证：平面PBC⊥平面PQB；
(2)若平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60°，求PM的长．
解：(1)证明：∵AD∥BC，Q为AD的中点，BC＝AD，
∴BC＝QD，
∴四边形BCDQ为平行四边形，
∵∠ADC＝90°，∴BC⊥BQ.
∵PA＝PD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PQ⊥平面ABCD.
∴PQ⊥BC.
又∵PQ∩BQ＝Q，
∴BC⊥平面PQB.
∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PQB.
(2)由(1)可知PQ⊥平面ABCD，BQ⊥AD.故以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则Q(0,0,0)，D(－1,0,0)，P(0,0，)，B(0，，0)，C(－1，，0)，
∴＝(－1,0，－)，＝(－1，，－)，
设平面PDC的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则即
取x1＝3，则n＝(3,0，－)为平面PDC的一个法向量．
①当M与C重合时，平面MQB的一个法向量为＝(0,0，)，
则＝＝cos 60°，满足题意．
此时PM＝.
②当M与C不重合时，设＝λ，
由＝λ＝λ(－1，，－)，且0≤λ<1，
得M(－λ，λ，－λ)，
∴＝(－λ，λ，(1－λ))，又＝(0，，0)，
设平面MBQ的法向量为m＝(x2，y2，z2)，
则即
取x2＝，则m＝为平面MBQ的一个法向量．
∵平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60°，
∴cos 60°＝＝＝，
解得λ＝，∴PM＝.
由①②知PM＝或.
高考微点17 空间向量与立体几何
1．空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2?n1＝λn2
l1⊥l2 n1⊥n2?n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m?m·n＝0
l⊥α n∥m?n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m?n＝λm
α⊥β n⊥m?n·m＝0
2．空间角与向量夹角的关系
线线夹角 当0≤〈a，b〉≤时，直线l与m的夹角等于〈a，b〉；当<〈a，b〉≤π时，直线l与m的夹角等于π－〈a，b〉．事实上，若设直线l与m的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈a，b〉|(其中，a，b分别为l，m的方向向量)
线面夹角 设直线l与平面α所成的角为θ，当0≤〈u，a〉≤时，θ＝－〈u，a〉；当<〈u，a〉≤π时，θ＝〈u，a〉－.即sin θ＝|cos〈u，a〉|(其中u为直线l的方向向量，a为平面α的法向量)
面面夹角 当0≤〈u，v〉≤时，平面α与β的夹角等于〈u，v〉；当<〈u，v〉≤π时，平面α与β的夹角等于π－〈u，v〉．事实上，若设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈u，v〉|(其中u，v分别为α，β的法向量)
3．注意两个易错点
(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量，但要注意说明这两条直线不共线．
(2)空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错．
[微练习]
1.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AC＝BC＝AA1＝2，D为侧棱AA1的中点．
(1)求异面直线DC1与B1C所成角的余弦值．
(2)求二面角B1?DC?C1的余弦值．
2.如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.
(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；
(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
1．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )
A．2， B．－，
C．－3,2 D．2,2
2.如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.则A1B与平面ABD所成角的正弦值为( )
A. B．
C. D．
3.已知四棱锥P ?ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1.
(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；
(2)求AC与PB夹角的余弦值．
4.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4.
(1)证明：平面ADE⊥平面ACD；
(2)若AC＝BC，求二面角D?AE?B的余弦值．
5.如图，在四棱锥E?ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，∠BCE＝120°，DE＝2.
(1)证明：平面BCE⊥平面CDE；
(2)若BC＝4，求二面角E?AD?B的余弦值．
6.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.
(1)求证：平面PBC⊥平面PQB；
(2)若平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60°，求PM的长．
