高考微点18 直线和圆
[微要点]
1.谨记两个距离公式
(1)点(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式d=(A2+B2≠0).
(2)两平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离d=(A2+B2≠0).
2.掌握常见的直线系方程
(1)过定点P(x0,y0)的直线系方程:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0),还可以表示为y-y0=k(x-x0)和x=x0.
(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+λ=0(λ≠C).
(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Bx-Ay+λ=0.
(4)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0)和A2x+B2y+C2=0.
3.注意三个易误点
(1)用直线的点斜式求方程时,在斜率k不明确的情况下,注意分k存在与不存在讨论,否则会造成失误.
(2)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件,当截距为0时可用点斜式.
(3)运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x,y的系数分别相等这一条件盲目套用公式而导致出错.
[微练习]
1.若直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+1=0垂直,则l的方程为( )
A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0
C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0
解析:选A 由题可得直线l的斜率为-,则直线l的方程为y-2=-(x+1),即3x+2y-1=0.
2.若两平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是,则m+n=( )
A.0 B.1
C.-2 D.-1
解析:选C 因为l1,l2平行,所以1×n=2×(-2),解得n=-4,即直线l2:x-2y-3=0.又l1,l2之间的距离是,所以=,解得m=2或m=-8(舍去),所以m+n=-2.
3.若直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程为( )
A.2x+3y-12=0 B.2x-3y-12=0
C.2x-3y+12=0 D.2x+3y+12=0
解析:选D 由ax+y+3a-1=0,
可得a(x+3)+(y-1)=0,
令可得x=-3,y=1,
∴M(-3,1),点M不在直线2x+3y-6=0上,
设直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程为2x+3y+c=0(c≠-6),
则=,
解得c=12或c=-6(舍去),
∴所求直线方程为2x+3y+12=0.
[微要点]
1.记牢圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心为(a,b),半径为r.
(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).圆心为,半径为r=.
2.注意一个易误点
在圆的一般方程中:当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点;当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义,不表示任何图形.
[微练习]
1.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,则该圆的圆心在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选D 因为方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,所以2+(y-a)2=-a2-3a,圆心坐标为,同时满足-a2-3a>0,解得-4
0,则该圆的圆心在第四象限.
2.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A. B.
C. D.
解析:选B 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得
即圆的方程为x2+y2-2x-y+1=0.
所以△ABC外接圆的圆心为,故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为 =.
3.一个圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且在直线y=x上截得的弦长为2,则该圆的方程为_________.
解析:法一:∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上,
∴设所求圆的圆心为(3a,a),
又所求圆与y轴相切,∴半径r=3|a|,
又所求圆在直线y=x上截得的弦长为2,
圆心(3a,a)到直线y=x的距离d==|a|,
∴d2+()2=r2,即2a2+7=9a2,∴a=±1.
故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.
法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
则圆心(a,b)到直线y=x的距离为,
∴r2=+7,
即2r2=(a-b)2+14.①
由于所求圆与y轴相切,
∴r2=a2,②
又∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上,
∴a-3b=0,③
联立①②③,解得或
故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.
答案:(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9
[微要点]
1.直线与圆的位置关系的判定
几何法 把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较:dr?相离
代数法 将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系:Δ>0?相交;Δ=0?相切;Δ<0?相离
2.求直线被圆截得弦长的方法
几何法 如图所示,设直线l被圆C截得的弦为AB,圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有关系式:|AB|=2
代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(x A,y A),B(x B,y B)两点,则|AB|=·= ·| y A-y B|(其中k≠0). 特别地,当k=0时,|AB|=| x A-x B|;当斜率不存在时,|AB|=| y A-y B|
[微练习]
1.圆x2+y2-2x+4y=0与2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.以上都有可能
解析:选C 2tx-y-2-2t=0即2t(x-1)=y+2,过定点(1,-2),又点(1,-2)在圆x2+y2-2x+4y=0内,所以圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)相交.故选C.
2.垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )
A.x+y-=0 B.x+y+1=0
C.x+y-1=0 D.x+y+=0
解析:选A 与直线y=x+1垂直的直线方程可设为x+y+b=0,因为x+y+b=0与圆x2+y2=1相切,所以=1,故b=±.因为直线与圆相切于第一象限,故结合图形知b=-,所以所求直线方程为x+y-=0.
3.已知点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=1上运动,则的最大值是( )
A. B.-
C. D.-
解析:选A 设==k,则k表示点P(x,y)与点(0,0)的连线,即kx-y=0的斜率.当直线kx-y=0与圆相切时,k分别取得最大值与最小值.圆心坐标为(2,0),由=1,解得k=±,所以的最大值为.
4.已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( )
A.2 B.4
C.6 D.2
解析:选C 由题意得圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,所以圆C的圆心为(2,1),半径为2.因为直线l为圆C的对称轴,所以圆心在直线l上,则2+a-1=0,解得a=-1,所以|AB|2=|AC|2-|BC|2=(-4-2)2+(-1-1)2-4=36,解得|AB|=6.
5.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|=________.
解析:由直线l:mx+y+3m-=0知其过定点(-3,),圆心O到直线l的距离为d=.由|AB|=2得2+()2=12,解得m=-.又直线l 的斜率为-m=,所以直线l的倾斜角α=.画出符合题意的图形如图所示,过点C作CE⊥BD,则∠DCE=,
|CE|=|AB|.在Rt△CDE中,可得|CD|===2×=4.
答案:4
1.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是( )
A.x-y+1=0 B.x-y-1=0
C.x+y-1=0 D.x+y+1=0
解析:选A 由题意可设直线方程为y=x+b,又直线过圆心C(-1,0),所以-1+b=0,解得b=1.则所求直线方程为x-y+1=0.
2.若直线Ax+By+C=0过第一、二、三象限,则( )
A.A·B<0,B·C<0 B.A·B>0,B·C>0
C.A=0,B·C<0 D.C=0,A·B>0
解析:选A 由题知,B不为0,直线Ax+By+C=0可化为y=-x-,所以->0,->0,即A·B<0,B·C<0.故选A.
3.(2019·福州质检)“b∈(-1,3)”是“对于任意实数k,直线l:y=kx+b与圆C:x2+(y-1)2=4恒有公共点”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:选A 圆C:x2+(y-1)2=4与y轴的交点坐标为(0,-1)和(0,3),对于任意实数k,直线l与圆C恒有公共点?b∈[-1,3].因为(-1,3)?[-1,3],所以“b∈(-1,3)”是“对于任意实数k,直线l与圆C恒有公共点”的充分不必要条件.故选A.
4.已知A,B为圆C:(x-m)2+(y-n)2=9(m,n∈R)上两个不同的点,C为圆心,且满足|+|=2,则|AB|=( )
A.2 B.4
C. D.2
解析:选B ∵C为圆心,A,B在圆上,∴取AB的中点为O,连接CO,有CO⊥AB,且+=2,
∴||=,又圆C的半径R=3,
∴|AB|=2=2×=4.
5.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0截得的弦长为( )
A. B.2
C. D.2
解析:选D 由已知得直线方程为y=x,圆的标准方程为x2+(y-2)2=4,则圆心(0,2)到直线的距离d==1.由垂径定理知,所求弦长为2=2.故选D.
6.(2019·湘东五校联考)圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于2的点有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:选B 圆(x-3)2+(y-3)2=9的圆心为(3,3),半径为3,圆心到直线3x+4y-11=0的距离d==2,∴圆上到直线3x+4y-11=0的距离为2的点有2个.
7.已知圆的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,且与直线3x+4y+4=0相切,则圆的方程是( )
A.x2+y2-4x=0 B.x2+y2-2x-3=0
C.x2+y2+2x-3=0 D.x2+y2+4x=0
解析:选A 设圆心坐标为(a,0)(a>0),由直线3x+4y+4=0与圆相切,则d==2,解得a=2或a=-(舍去),故所求圆的方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.
8.已知点P在圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆C2:x2+y2+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是( )
A.5 B.1
C.3-5 D.3+5
解析:选C 圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0,即(x-4)2+(y-2)2=9,圆心为C1(4,2),半径r1=3;圆C2:x2+y2+4x+2y+1=0,即(x+2)2+(y+1)2=4,圆心为C2(-2,-1),半径r2=2,圆心距d==3>3+2=5,两圆相离,所以|PQ|的最小值为|C1C2|-(r1+r2)=3-5.
9.已知直线x+7y=10把圆x2+y2=4分成两段弧,这两段弧长之差的绝对值等于( )
A. B.
C.π D.2π
解析:选D 圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r=2,设直线x+7y=10与圆x2+y2=4交于M,N两点,则圆心O到直线x+7y=10的距离d==,则|MN|=2=2.在△MNO中,|OM|2+|ON|2=2r2=8=|MN|2,则∠MON=90°,这两段弧长之差的绝对值==2π.
10.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,0),B(2,0),C(0,2),△ABC外接圆的圆心为O,M为圆O1:(x-a)2+(y+)2=4上的动点,若|OM|的最大值为6,则a的值为( )
A.-3或1 B.-1或3
C.-3或-1 D.1或3
解析:选B 由题意可知,△ABC为直角三角形,∠BAC=90°,则△ABC外接圆的圆心就是线段BC的中点,所以圆心O(1,).圆O1:(x-a)2+(y+)2=4的圆心O1(a,-),|OM|max=|O1O|+2=+2=6,解得a=3或a=-1.
11.已知过原点的直线l1与直线l2:x+3y+1=0垂直,圆C的方程为x2+y2-2ax-2ay=1-2a2(a>0),若直线l1与圆C交于M,N两点,则当△CMN的面积最大时,圆心C的坐标为( )
A. B.
C. D.(1,1)
解析:选A 由题意,直线l1的方程为3x-y=0,圆C的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=1,圆心坐标为(a,a),半径为1,而S△CMN=×CM×CN×sin∠MCN=sin∠MCN,则当∠MCN=90°,即CM⊥CN时,△CMN的面积最大,此时圆心C到直线l1的距离为=,∵a>0,∴a=,∴圆心C的坐标为.
12.已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4),若直线l上存在点P使得|PA|+|PB|最小,则点P的坐标为( )
A.(-2,-3) B.(-2,3)
C.(2,3) D.(-2,2)
解析:选B 根据题意画出大致图形如图所示.设点A关于直线x-2y+8=0的对称点A1(m,n),
则有
解得故A1(-2,8).此时直线A1B的方程为x=-2.所以当点P是直线A1B与直线x-2y+8=0的交点时,|PA|+|PB|最小.将x=-2代入x-2y+8=0,得y=3,故点P的坐标为(-2,3).
13.若直线l过点(m,3)和(3,2),且在x轴上的截距是1,则实数m=________.
解析:由在x轴上的截距是1,得m≠3,则直线l的方程为=.当y=0时,则x=6-2m+3=1,故m=4.
答案:4
14.(2019·南宁摸底)已知圆(x-a)2+y2=4截直线x-y-4=0所得的弦的长度为2,则a=________.
解析:由题意知,圆心为(a,0),半径为2,圆心到直线y=x-4的距离为.因为弦长为2,所以=,解得a=2或a=6.
答案:2或6
15.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________.
解析:易求定点A(0,0),B(1,3).当P与A和B均不重合时,因为P为直线x+my=0与mx-y-m+3=0的交点,且易知两直线垂直,则PA⊥PB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,所以|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|=时,等号成立),当P与A或B重合时,|PA|·|PB|=0,故|PA|·|PB|的最大值是5.
答案:5
16.已知A,B是圆O1:x2+y2-2x=0与圆O2:x2+y2+2x-4y=0的公共点,则△O1AB与△O2AB的面积的比值为________.
解析:两个圆的方程相减,得4x-4y=0,即x-y=0,所以直线AB的方程为x-y=0.圆O1的方程化为(x-1)2+y2=1,所以圆心O1(1,0),O1到直线AB的距离d1==.圆O2的方程化为(x+1)2+(y-2)2=5,所以圆心O2(-1,2),O2到直线AB的距离d2==.所以===.
答案:
高考微点18 直线和圆
[微要点]
1.谨记两个距离公式
(1)点(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式d=(A2+B2≠0).
(2)两平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离d=(A2+B2≠0).
2.掌握常见的直线系方程
(1)过定点P(x0,y0)的直线系方程:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0),还可以表示为y-y0=k(x-x0)和x=x0.
(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+λ=0(λ≠C).
(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Bx-Ay+λ=0.
(4)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0)和A2x+B2y+C2=0.
3.注意三个易误点
(1)用直线的点斜式求方程时,在斜率k不明确的情况下,注意分k存在与不存在讨论,否则会造成失误.
(2)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件,当截距为0时可用点斜式.
(3)运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x,y的系数分别相等这一条件盲目套用公式而导致出错.
[微练习]
1.若直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+1=0垂直,则l的方程为( )
A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0
C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0
2.若两平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是,则m+n=( )
A.0 B.1
C.-2 D.-1
3.若直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程为( )
A.2x+3y-12=0 B.2x-3y-12=0
C.2x-3y+12=0 D.2x+3y+12=0
[微要点]
1.记牢圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心为(a,b),半径为r.
(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).圆心为,半径为r=.
2.注意一个易误点
在圆的一般方程中:当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点;当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义,不表示任何图形.
[微练习]
1.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,则该圆的圆心在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A. B.
C. D.
3.一个圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且在直线y=x上截得的弦长为2,则该圆的方程为_________.
[微要点]
1.直线与圆的位置关系的判定
几何法 把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较:dr?相离
代数法 将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系:Δ>0?相交;Δ=0?相切;Δ<0?相离
2.求直线被圆截得弦长的方法
几何法 如图所示,设直线l被圆C截得的弦为AB,圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有关系式:|AB|=2
代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(x A,y A),B(x B,y B)两点,则|AB|=·= ·| y A-y B|(其中k≠0). 特别地,当k=0时,|AB|=| x A-x B|;当斜率不存在时,|AB|=| y A-y B|
[微练习]
1.圆x2+y2-2x+4y=0与2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.以上都有可能
2.垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )
A.x+y-=0 B.x+y+1=0
C.x+y-1=0 D.x+y+=0
3.已知点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=1上运动,则的最大值是( )
A. B.-
C. D.-
4.已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( )
A.2 B.4
C.6 D.2
5.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|=________.
1.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是( )
A.x-y+1=0 B.x-y-1=0
C.x+y-1=0 D.x+y+1=0
2.若直线Ax+By+C=0过第一、二、三象限,则( )
A.A·B<0,B·C<0 B.A·B>0,B·C>0
C.A=0,B·C<0 D.C=0,A·B>0
3.(2019·福州质检)“b∈(-1,3)”是“对于任意实数k,直线l:y=kx+b与圆C:x2+(y-1)2=4恒有公共点”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知A,B为圆C:(x-m)2+(y-n)2=9(m,n∈R)上两个不同的点,C为圆心,且满足|+|=2,则|AB|=( )
A.2 B.4
C. D.2
5.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0截得的弦长为( )
A. B.2
C. D.2
6.(2019·湘东五校联考)圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于2的点有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
7.已知圆的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,且与直线3x+4y+4=0相切,则圆的方程是( )
A.x2+y2-4x=0 B.x2+y2-2x-3=0
C.x2+y2+2x-3=0 D.x2+y2+4x=0
8.已知点P在圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆C2:x2+y2+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是( )
A.5 B.1
C.3-5 D.3+5
9.已知直线x+7y=10把圆x2+y2=4分成两段弧,这两段弧长之差的绝对值等于( )
A. B.
C.π D.2π
10.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,0),B(2,0),C(0,2),△ABC外接圆的圆心为O,M为圆O1:(x-a)2+(y+)2=4上的动点,若|OM|的最大值为6,则a的值为( )
A.-3或1 B.-1或3
C.-3或-1 D.1或3
11.已知过原点的直线l1与直线l2:x+3y+1=0垂直,圆C的方程为x2+y2-2ax-2ay=1-2a2(a>0),若直线l1与圆C交于M,N两点,则当△CMN的面积最大时,圆心C的坐标为( )
A. B.
C. D.(1,1)
12.已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4),若直线l上存在点P使得|PA|+|PB|最小,则点P的坐标为( )
A.(-2,-3) B.(-2,3)
C.(2,3) D.(-2,2)
13.若直线l过点(m,3)和(3,2),且在x轴上的截距是1,则实数m=________.
14.(2019·南宁摸底)已知圆(x-a)2+y2=4截直线x-y-4=0所得的弦的长度为2,则a=________.
15.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________.
16.已知A,B是圆O1:x2+y2-2x=0与圆O2:x2+y2+2x-4y=0的公共点,则△O1AB与△O2AB的面积的比值为________.