高考微点20 圆锥曲线的综合问题
[微要点]
1．圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝ ·|y1－y2|＝·.
直线的斜率不存在时：|AB|＝|y1－y2|.
2．弦中点问题中的常用结论
圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率如下表：
圆锥曲线方程 直线斜率
椭圆：＋＝1(a>b>0) k＝－
双曲线：－＝1(a>0，b>0) k＝
抛物线：y 2＝2p x (p>0) k＝
其中k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标．
3．注意两个易误点
(1)直线与双曲线相交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
(2)直线与抛物线相交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与抛物线的对称轴平行时也相交于一点．
[微练习]
1．抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为( )
A．y＝2x2 B．y2＝2x
C．x2＝2y D．y2＝－2x
解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则两式相减可得2p＝×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，所以p＝1，
所以抛物线C的方程为y2＝2x.
2．已知经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，则k的取值范围是( )
A. B．∪
C．(－，) D．(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：选B 由题意得，直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，整理得x2＋2kx＋1＝0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，解得k<－或k>，即k的取值范围为∪.故选B.
3．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
解析：c＝5，设过点F平行于一条渐近线的直线方程为y＝(x－5)，即4x－3y－20＝0，联立直线与双曲线方程，求得yB＝－，则S＝×(5－3)×＝.
答案：
4．(2019·南昌一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的下顶点为A，右顶点为B，离心率e＝.抛物线E：y＝的焦点为F，P是抛物线E上一点，抛物线E在点P处的切线为l，且l∥AB.
(1)求直线l的方程；
(2)若l与椭圆C相交于M，N两点，且S△FMN＝，求椭圆C的标准方程．
解：(1)因为e2＝1－＝，
所以＝，所以kAB＝，
又l∥AB，所以直线l的斜率为.
设P，由y＝得y′＝.
因为过点P的直线l与抛物线E相切，
所以＝，解得t＝2，
所以P，所以直线l的方程为x－2y－1＝0.
(2)由(1)知a＝2b，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由
得2x2－2x＋1－4b2＝0，则x1＋x2＝1，x1x2＝，
易知Δ＝4－8(1－4b2)>0，解得b2>，
所以|x1－x2|＝＝.
|MN|＝ |x1－x2|＝ ，
又l：x－2y－1＝0，抛物线焦点为F(0,2)，
则点F到直线l的距离d＝＝，
所以S△FMN＝|MN|×d＝××＝，解得b2＝4，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
[微要点]
解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或取值范围，这就是代数法．
[微练习]
1．设M，N是抛物线C：y2＝2px(p>0)上任意两点，点E的坐标为(－λ，0)(λ>0)，若·的最小值为0，则λ＝________.
解析：∵·的最小值为0，∴当点M，N在不同的象限时，·取得最小值0，且此时∠MEN＝90°，直线EM，EN均为抛物线的切线，不妨取点M在第一象限内，则直线EM的方程为y＝x＋λ，联立得x2＋(2λ－2p)x＋λ2＝0，由Δ＝(2λ－2p)2－4λ2＝0，得λ＝.
答案：
2．(2019·长春质检)已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点E.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝λ，且2≤λ<3，求直线l的斜率k的取值范围．
解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
由解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题意设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k>0)，
联立消去x，得(3＋4k2)y2－6ky－9k2＝0，
Δ＝(－6k)2－4×(3＋4k2)×(－9k2)＝144k2＋144k4>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
又＝λ，所以y1＝－λy2，
所以＝＋＋2＝－λ－＋2，
即λ＋－2＝－＝.
因为2≤λ＜3，所以≤λ＋－2<，
即≤<，且k>0，解得0故直线l的斜率k的取值范围是.
1．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2＝，则直线l过定点( )
A．(－3,0) B．(0，－3)
C．(3,0) D．(0,3)
解析：选A 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋b，因为k1k2＝，所以·＝.又y＝2x1，y＝2x2，所以y1y2＝6.将直线l：x＝my＋b代入抛物线C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，所以b＝－3，即直线l：x＝my－3，所以直线l过定点(－3,0)．
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为( )
A. B．
C. D．
解析：选C 令∠AOF＝α，则由题意知tan α＝.
在△AOB中，∠AOB＝180°－2α，
∴tan∠AOB＝－tan 2α＝，
∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，
∴设|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d，
∵OA⊥BF，∴(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，整理得d＝m，
∴－tan 2α＝－＝＝＝，
解得＝2或＝－(舍去)，∴e＝ ＝.
3．若直线x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值为________．
解析：设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．由得x2－2mx－m2－2＝0(Δ＞0)，∴x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m，∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，∴m2＋(2m)2＝5，∴m＝±1.
答案：±1
4．(2019·福州质检)已知F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A是C的虚轴的一个端点，若C在左支上存在一点P，使得|PA|＋|PF|≤4a，则C的离心率的取值范围为________．
解析：依题意，不妨设A(0，b)，设左焦点为F1，则|PF|－|PF1|＝2a，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋(|PF1|＋2a)≥|AF1|＋2a＝＋2a＝＋2a，当且仅当P在线段AF1上时取等号．因为C的左支上存在一点P，使得|PA|＋|PF|≤4a，所以4a≥＋2a，整理得，5a2≥2c2，所以C的离心率e＝≤，又e>1，所以C的离心率的取值范围为.
答案：
5．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
(1)若＝2，求直线AB的斜率；
(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．
解：(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.①
因为＝2，
所以y1＝－2y2. ②
联立①②，消去y1，y2，得m＝±.
所以直线AB的斜率是±2.
(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.
因为2S△AOB＝2··|OF|·|y1－y2|
＝＝4，
所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.
6．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且y1y2＝－4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点P(－1，k)，且△PAB的面积为6，求k的值．
解：(1)由已知得F，
设直线AB的方程为y＝k，
联立方程消去x，
得ky2－2py－kp2＝0，
∴y1y2＝－p2＝－4，
从而p＝2，抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)由(1)知F(1,0)，直线AB的方程为y＝k(x－1)，
联立方程消去x，得ky2－4y－4k＝0，
∴|AB|＝·＝4.
又P到直线AB的距离d＝.
故S△PAB＝×|AB|×d＝6＝6.
解得k＝±.
7．(2019·安徽知名示范高中联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin θ＋ycos θ－1＝0相切(θ为常数)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N两点，求·的取值范围．
解：(1)由题意，得?
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)得F1(－1,0)，F2(1,0)．
①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线l的方程为x＝1，不妨记M，N，
∴＝，＝，
故·＝.
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
联立
消去y，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
又＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，
则·＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2
＝(x1＋1)(x2＋1)＋k(x1－1)·k(x2－1)
＝(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋1＋k2
＝＋＋1＋k2
＝＝－，
由k2≥0，可得·∈.
综上，·的取值范围为.
8．(2019·北京高考)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值；
(3)设P(－2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C，D和点Q共线，求k.
解：(1)由题意得解得a＝，b＝1.
所以椭圆M的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|AB|＝
＝＝
＝ .
当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.
(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意得x＋3y＝3，x＋3y＝3.
直线PA的方程为y＝(x＋2)．
由得
[(x1＋2)2＋3y]x2＋12yx＋12y－3(x1＋2)2＝0.
设C(xC，yC)，
所以xC＋x1＝＝.
所以xC＝－x1＝.
所以yC＝(xC＋2)＝.
设D(xD，yD)，
同理得xD＝，yD＝.
记直线CQ，DQ的斜率分别为kCQ，kDQ，
则kCQ－kDQ＝－
＝4(y1－y2－x1＋x2)．
因为C，D，Q三点共线，
所以kCQ－kDQ＝0.
故y1－y2＝x1－x2.
所以直线l的斜率k＝＝1.
高考微点20 圆锥曲线的综合问题
[微要点]
1．圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝ ·|y1－y2|＝·.
直线的斜率不存在时：|AB|＝|y1－y2|.
2．弦中点问题中的常用结论
圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率如下表：
圆锥曲线方程 直线斜率
椭圆：＋＝1(a>b>0) k＝－
双曲线：－＝1(a>0，b>0) k＝
抛物线：y 2＝2p x (p>0) k＝
其中k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标．
3．注意两个易误点
(1)直线与双曲线相交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
(2)直线与抛物线相交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与抛物线的对称轴平行时也相交于一点．
[微练习]
1．抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为( )
A．y＝2x2 B．y2＝2x
C．x2＝2y D．y2＝－2x
2．已知经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，则k的取值范围是( )
A. B．∪
C．(－，) D．(－∞，－)∪(，＋∞)
3．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
4．(2019·南昌一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的下顶点为A，右顶点为B，离心率e＝.抛物线E：y＝的焦点为F，P是抛物线E上一点，抛物线E在点P处的切线为l，且l∥AB.
(1)求直线l的方程；
(2)若l与椭圆C相交于M，N两点，且S△FMN＝，求椭圆C的标准方程．
[微要点]
解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或取值范围，这就是代数法．
[微练习]
1．设M，N是抛物线C：y2＝2px(p>0)上任意两点，点E的坐标为(－λ，0)(λ>0)，若·的最小值为0，则λ＝________.
2．(2019·长春质检)已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点E.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝λ，且2≤λ<3，求直线l的斜率k的取值范围．
1．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2＝，则直线l过定点( )
A．(－3,0) B．(0，－3)
C．(3,0) D．(0,3)
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为( )
A. B．
C. D．
3．若直线x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值为________．
4．(2019·福州质检)已知F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A是C的虚轴的一个端点，若C在左支上存在一点P，使得|PA|＋|PF|≤4a，则C的离心率的取值范围为________．
5．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
(1)若＝2，求直线AB的斜率；
(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．
6．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且y1y2＝－4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点P(－1，k)，且△PAB的面积为6，求k的值．
7．(2019·安徽知名示范高中联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin θ＋ycos θ－1＝0相切(θ为常数)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N两点，求·的取值范围．
8．(2019·北京高考)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值；
(3)设P(－2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C，D和点Q共线，求k.
