高考微点21 计数原理
[微要点]
1．求解排列与组合问题的基本原则
特殊优先原则 问题中涉及特殊元素或特殊位置的，求解时优先考虑这些特殊元素或特殊位置
先取后排原则 问题中涉及既要取出元素又需对取出的元素进行排列的，先完整地把需要排列的元素取出，再进行排列
正难则反原则 直接求解困难时，采用间接方法，即从问题的反面思考求解
先分组后 分配原则 在分配问题中，如果被分配的元素多于位置，应先进行分组，再进行分配．平均分成m组时，不管它们的顺序如何都是一种情况，所以分组后要除以A
2．注意三个易误点
(1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．
(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．
(3)易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．
[微练习]
1．已知方程Ax＋By＝0，若从0,1,2,3,5,7这六个数字中每次取两个不同的数作为系数A，B的值，则方程表示的不同直线的条数是( )
A．2 B．12
C．22 D．25
解析：选C 若A＝0，则B从1,2,3,5,7中任取一个，均表示直线y＝0；同理，当B＝0时，表示直线x＝0；当A≠0，且B≠0时，能表示5×4＝20条不同的直线．故方程Ax＋By＝0表示的不同直线的条数是1＋1＋20＝22.
2．把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法种数为( )
A．36 B．42
C．58 D．64
解析：选A 将A，B捆绑在一起，有A种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A种摆法，故共有AA＝48种摆法，而A，B，C 3件在一起，且A，B相邻，A，C相邻有CAB，BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A＝12种摆法，故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有48－12＝36种．
3．(2019·福州质检)福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有( )
A．90种 B．180种
C．270种 D．360种
解析：选B 可分两步：第一步，甲、乙两个展区各安排一个人，有A种不同的安排方案；第二步，剩下两个展区各两个人，有CC种不同的安排方案，根据分步乘法计数原理，可得不同的安排方案的种数为ACC＝180.
[微要点]
1．二项式定理
(1)定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－r·br＋…＋Cbn(n∈N *)．
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr(0≤r≤n)．
(3)二项式系数的性质：
①C＝C；
②C＝C＋C；
③C＋C＋…＋C＝2n；
④C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.
2．注意两个易误点
(1)二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．
(2)易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0,1，…，n)．
[微练习]
1．在二项式n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式的第4项为( )
A．7x6 B．－7x
C.x D．－x7
解析：选B 由第5项的二项式系数最大可知n＝8，则的展开式的通项Tr＋1＝C()8－rr＝rCx，则展开式的第4项为3Cx＝－7x.
2．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．212 B．211
C．210 D．29
解析：选D ∵(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为C，C，∴C＝C，∴n＝10.从而有C＋C＋C＋C＋…＋C＝210.又C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C，∴奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.故选D.
3．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A．10 B．20
C．30 D．60
解析：选C 易知Tr＋1＝C(x2＋x)5－ryr，令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2，对于二项式(x2＋x)3，由Tt＋1＝C(x2)3－t·xt＝Cx6－t，令t＝1，所以x5y2的系数为CC＝30.
4．若n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________．
解析：展开式n的通项为Tr＋1＝C(x2)n－r·r＝C(－1)rx2n－3r，
因为含x的项为第6项，所以r＝5,2n－3r＝1，解得n＝8，
令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(1－3)8＝28，
又a0＝1，所以a1＋…＋a8＝28－1＝255.
答案：255
1．二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选C ∵二项式(x＋1)n的展开式中x2的系数为C，∴C＝15，即C＝15，亦即n2－n＝30，解得n＝6(n＝－5舍去)．故选C.
2．某班班会上老师准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙2名学生至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )
A．360 B．520
C．600 D．720
解析：选C 若甲、乙同时被选中，则只需再从剩下的5人中选取2人，有C种选法，因为在安排顺序时，甲、乙不相邻需“插空”，所以安排的方式有AA种，从而此种情况下不同的发言顺序的种数为CAA＝120.若甲、乙只有一人被选中，则先从甲、乙中选一人，有C种选法，再从剩下的5人中选取3人，有C种选法，因为在安排顺序时无要求，所以此种情况下不同的发言顺序的种数为CCA＝480.综上，不同的发言顺序的种数为120＋480＝600.故选C.
3．在6的展开式中，含x5项的系数为( )
A．6 B．－6
C．24 D．－24
解析：选B 由6＝C6－C5＋C4－…－C＋C，
可知只有－C5的展开式中含有x5，
所以6的展开式中含x5项的系数为－CC＝－6.
4．在某次大合唱中，要求6名演唱者站一横排，且甲不站左端，乙不站右端，则不同的站法种数为( )
A．368 B．488
C．486 D．504
解析：选D 法一：以甲的位置分为两类：①甲站右端，有A种；②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端，有AAA种，故共有A＋AAA＝504(种)站法．
法二(间接法)：甲在左端的站法有A种，乙在右端的站法有A种，甲在左端且乙在右端的站法有A种，故共有A－2A＋A＝504(种)站法．
5. 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )
A．－40 B．－20
C．20 D．40
解析：选D 令x＝1，则(1＋a)(2－1)5＝2，a＝1.故原式＝5，5的通项Tr＋1＝C·(2x)5－r(－x－1)r＝C(－1)r25－rx5－2r，由5－2r＝1得r＝2，对应的常数项为80，由5－2r＝－1得r＝3，对应的常数项为－40，故所求的常数项为40.
6．五种不同的商品a，b，c，d，e在货架上排成一排，其中a，b两种必须排在一起，而c，d两种不能排在一起，则不同的排法共有( )
A．12种 B．20种
C．24种 D．48种
解析：选C 分三步：①a，b两种必须排在一起有A种方法；②将a，b捆绑在一起作为一个元素与e任意排列有A种方法；③c，d进行插空，有A种方法．综上所述，不同的排法共有AAA＝24(种)．
7．在(2x＋1)2(x－2)3的展开式中，x2的系数等于________．
解析：法一：因为(2x＋1)2(x－2)3＝(4x2＋4x＋1)(x3－6x2＋12x－8)，所以(2x＋1)2·(x－2)3的展开式中，x2的系数为4×(－8)＋4×12＋1×(－6)＝10.
法二：(2x＋1)2(x－2)3的展开式中含x2的项为C×(2x)2×C×(－2)3＋C×2x×C×x×(－2)2＋1×C×x2×(－2)＝10x2，故答案为10.
答案：10
8．(x2＋2) 5的展开式中含x2项的系数为250，则实数m的值为________
解析：选C 5的展开式的通项为Tr＋1＝Cx－2(5－r)(－mx)r＝C(－m)rx3r－10，由3r－10＝2，得r＝4，系数为C(－m)4＝5m4.因为第二个因式中没有常数项，所以展开式中含x2项的系数为2×5m4＝250，求得m＝±.故选C.
答案：±
高考微点21 计数原理
[微要点]
1．求解排列与组合问题的基本原则
特殊优先原则 问题中涉及特殊元素或特殊位置的，求解时优先考虑这些特殊元素或特殊位置
先取后排原则 问题中涉及既要取出元素又需对取出的元素进行排列的，先完整地把需要排列的元素取出，再进行排列
正难则反原则 直接求解困难时，采用间接方法，即从问题的反面思考求解
先分组后 分配原则 在分配问题中，如果被分配的元素多于位置，应先进行分组，再进行分配．平均分成m组时，不管它们的顺序如何都是一种情况，所以分组后要除以A
2．注意三个易误点
(1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．
(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．
(3)易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．
[微练习]
1．已知方程Ax＋By＝0，若从0,1,2,3,5,7这六个数字中每次取两个不同的数作为系数A，B的值，则方程表示的不同直线的条数是( )
A．2 B．12
C．22 D．25
2．把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法种数为( )
A．36 B．42
C．58 D．64
3．(2019·福州质检)福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有( )
A．90种 B．180种
C．270种 D．360种
[微要点]
1．二项式定理
(1)定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－r·br＋…＋Cbn(n∈N *)．
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr(0≤r≤n)．
(3)二项式系数的性质：
①C＝C；
②C＝C＋C；
③C＋C＋…＋C＝2n；
④C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.
2．注意两个易误点
(1)二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．
(2)易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0,1，…，n)．
[微练习]
1．在二项式n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式的第4项为( )
A．7x6 B．－7x
C.x D．－x7
2．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．212 B．211
C．210 D．29
3．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A．10 B．20
C．30 D．60
4．若n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________．
1．二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
2．某班班会上老师准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙2名学生至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )
A．360 B．520
C．600 D．720
3．在6的展开式中，含x5项的系数为( )
A．6 B．－6
C．24 D．－24
4．在某次大合唱中，要求6名演唱者站一横排，且甲不站左端，乙不站右端，则不同的站法种数为( )
A．368 B．488
C．486 D．504
5. 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )
A．－40 B．－20
C．20 D．40
6．五种不同的商品a，b，c，d，e在货架上排成一排，其中a，b两种必须排在一起，而c，d两种不能排在一起，则不同的排法共有( )
A．12种 B．20种
C．24种 D．48种
7．在(2x＋1)2(x－2)3的展开式中，x2的系数等于________．
8．(x2＋2) 5的展开式中含x2项的系数为250，则实数m的值为________
