高考微点22 古典概型与几何概型
[微要点]
1．谨记古典概型的概率公式
P(A)＝.
2．掌握古典概型的两个特点
(1)有限性，即在一次试验中，基本事件的个数是有限的；
(2)等可能性，即每个基本事件出现的可能性是相等的．
3．注意两个易误点
(1)在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是否是等可能的．
(2)概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝?，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
[微练习]
1．从集合{1,2,3，…，10}中任取5个数组成集合A，则A中任意两个元素之和不等于11的概率为( )
A. B.
C. D．
解析：选C 两个元素之和等于11的有(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，共5组．若A中任意两个元素之和不等于11，则5个元素必须只有每组中的其中一个，故所求概率P＝＝.
2．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，bA. B．
C. D．
解析：选C 由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个，所以共有6＋6＋6＋6＝24个．当b＝1时，有213,214,312,314,412,413，共6个“凹数”；当b＝2时，有324,423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率P＝＝.
3．从集合A＝{－2，－1,2}中随机选取一个数记为a，从集合B＝{－1,1,3}中随机选取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为________．
解析：从集合A，B中随机选取后组合成的数对有(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9种，要使直线ax－y＋b＝0不经过第四象限，则需a>0，b>0，共有2种满足，所以所求概率P＝.
答案：
[微要点]
1．谨记几何概型的概率公式
P(A)＝.
2．掌握几何概型的两个特点
(1)无限性，即试验中所有可能出现的基本事件有无限多个；
(2)等可能性，即每个基本事件发生的可能性相等．
[微练习]
1．若在区间上随机取一个数x，则cos x的值介于0到之间的概率为( )
A. B．
C. D．
解析：选A 当－≤x≤时，由0≤cos x≤，得－≤x≤－或≤x≤，根据几何概型概率公式得所求概率为.
2．在面积为1的等边三角形ABC内取一点P，使△ABP，△ACP，△BCP的面积都小于的概率为( )
A. B．
C. D．
解析：选D 如图所示，作△ABC的中位线DE，DF，EF，则点P落在△DEF中，满足题意，记“△ABP，△ACP，△BCP的面积都小于”为事件A，则P(A)＝＝.
3．(2019·长春质检)若向区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}内投点，则该点落在由直线y＝x与曲线y＝围成区域内的概率为( )
A. B．
C. D．
解析：选B 作出示意图如图所示，区域Ω内，直线y＝x与曲线y＝围成区域为图中阴影部分，其面积为(－x)dx＝＝－＝，则所求概率P＝＝.
4.如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为( )
A.－1 B．
C．1－ D．
解析：选A 顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于()2－4＝4－π，又因为圆的面积等于π×12＝π，因此所求的概率等于＝－1.
5．已知正棱锥S?ABC的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P，使得VP?ABC＜VS?ABC的概率是( )
A. B．
C. D．
解析：选B 由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足VP?ABC＜VS?ABC，
故使得VP?ABC＜VS?ABC的概率
P＝＝1－3＝.
1．小明从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本．若将这5本书随机并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )
A. B.
C. D．
解析：选B 语文、数学只有一科的两本书相邻，有2AAA＝48种摆放方法；语文、数学两科的两本书都相邻，有AAA＝24种摆放方法，而五本不同的书排成一排共有A＝120种摆放方法．故所求概率为1－＝.
2．在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD?A1B1C1D1内随机取一点M，则点M到点O的距离大于1的概率为( )
A．1－ B．
C．1－ D．
解析：选C 如图，到点O的距离等于1的点的轨迹是一个半球面，该半球面对应的半球体的体积V1＝×π×13＝.事件“点M与点O的距离大于1的概率”对应的区域体积为23－.根据几何概型概率公式，得点M与点O的距离大于1的概率P＝＝1－.故选C.
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的中心，A1(1,0)，任取不同的两点Ai，Aj，点P满足＋＋＝0，则点P落在第一象限的概率是( )
A. B．
C. D．
解析：选A 根据题意共有C＝28个基本事件，其中使点P落在第一象限的有C＋2＝5个基本事件，故所求的概率是，故选A.
4.如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)＝sin x，x∈(0，π)，及直线x＝a，a∈(0，π)与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值是( )
A. B．
C. D．
解析：选B S阴影＝sin xdx＝(－cos x) ＝1－cos a，由题意，得＝＝，
∴cos a＝－，解得a＝.
5．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.若a，b都是从区间[0,4]内任取的一个数，则f(1)>0成立的概率是________．
解析：f(1)＝－1＋a－b>0，即a－b>1，
如图，A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，
则S△ABC＝，故所求概率P＝
＝＝.
答案：
6．某同学同时掷两枚骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e>的概率是________．
解析：由e＝ >，得b>2a.
当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情况；
当a＝2时，b＝5,6两种情况，总共有6种情况．
又同时掷两枚骰子，得到的点数(a，b)共有36种情况．
所以所求事件的概率P＝＝.
答案：
高考微点22 古典概型与几何概型
[微要点]
1．谨记古典概型的概率公式
P(A)＝.
2．掌握古典概型的两个特点
(1)有限性，即在一次试验中，基本事件的个数是有限的；
(2)等可能性，即每个基本事件出现的可能性是相等的．
3．注意两个易误点
(1)在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是否是等可能的．
(2)概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝?，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
[微练习]
1．从集合{1,2,3，…，10}中任取5个数组成集合A，则A中任意两个元素之和不等于11的概率为( )
A. B.
C. D．
2．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，bA. B．
C. D．
3．从集合A＝{－2，－1,2}中随机选取一个数记为a，从集合B＝{－1,1,3}中随机选取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为________．
[微要点]
1．谨记几何概型的概率公式
P(A)＝.
2．掌握几何概型的两个特点
(1)无限性，即试验中所有可能出现的基本事件有无限多个；
(2)等可能性，即每个基本事件发生的可能性相等．
[微练习]
1．若在区间上随机取一个数x，则cos x的值介于0到之间的概率为( )
A. B．
C. D．
2．在面积为1的等边三角形ABC内取一点P，使△ABP，△ACP，△BCP的面积都小于的概率为( )
A. B．
C. D．
3．(2019·长春质检)若向区域Ω＝{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}内投点，则该点落在由直线y＝x与曲线y＝围成区域内的概率为( )
A. B．
C. D．
4.如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为( )
A.－1 B．
C．1－ D．
5．已知正棱锥S?ABC的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P，使得VP?ABC＜VS?ABC的概率是( )
A. B．
C. D．
1．小明从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本．若将这5本书随机并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )
A. B.
C. D．
2．在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD?A1B1C1D1内随机取一点M，则点M到点O的距离大于1的概率为( )
A．1－ B．
C．1－ D．
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的中心，A1(1,0)，任取不同的两点Ai，Aj，点P满足＋＋＝0，则点P落在第一象限的概率是( )
A. B．
C. D．
4.如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)＝sin x，x∈(0，π)，及直线x＝a，a∈(0，π)与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值是( )
A. B．
C. D．
5．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.若a，b都是从区间[0,4]内任取的一个数，则f(1)>0成立的概率是________．
6．某同学同时掷两枚骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e>的概率是________．
