高考微点23 随机变量及其分布列
[微要点]
1．相互独立事件的性质
(1)若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．
2．二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
3．易混“相互独立”和“事件互斥”
两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．
[微练习]
1．若生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设女孩个数为X，女孩多于男孩的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C2×＋C3＝3×＋＝.
2．已知事件A，B相互独立，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，给出下列四个式子：①P(AB)＝0.12；②P(B)＝0.18；③P(A)＝0.28；④P()＝0.42.其中正确的有( )
A．4个 B．2个
C．3个 D．1个
解析：选A 根据事件A，B相互独立，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3.
则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.3＝0.12，故①正确；
P(B)＝P()P(B)＝0.6×0.3＝0.18，故②正确；
P(A)＝P(A)P()＝0.4×0.7＝0.28，故③正确；
P( )＝P()P()＝0.6×0.7＝0.42，故④正确．
3．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则p值为( )
A. B．.
C. D.
解析：选C 记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，所以P(A)＝，P()＝1－＝，P(B)＝p，P()＝1－p.依题意，得×(1－p)＋×p＝，解得p＝.
4．若每名学生测试达标的概率都是(相互独立)，测试后k个人达标，经计算5人中恰有k人同时达标的概率是，则实数k的值为________．
解析：Ck5-k＝，即C2k＝80.k＝1时，C2k＝10；k＝2时，C2k＝40；k＝3时，C2k＝80；k＝4时，C2k＝80；k＝5时，C2k＝32.经验证，k＝3或4.
答案：3或4
[微要点]
1．离散型随机变量的期望、方差公式
离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 x3 … xi … xn
P p1 p2 p3 … pi … pn
期望：E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.
方差：D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xi－E(X))2·pi＋…＋(xn－E(X))2·pn.
2．离散型随机变量期望与方差的性质结论
若a，b是常数，X是随机变量，则
(1)期望的性质
①E(k)＝k(k为常数)；
②E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
③E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；
④若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．
(2)方差的性质
①D(k)＝0(k为常数)；
②D(aX＋b)＝a2D(X)；
③若X1，X2，…，Xn两两独立，则D(X1＋X2＋…＋Xn)＝D(X1)＋D(X2)＋…＋D(Xn)．
(3)两点分布与二项分布的期望与方差
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
②若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
[微练习]
1．已知随机变量ξ的概率分布如下表：
ξ －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝( )
A. B．.
C. D．1
解析：选C 因为E(ξ)＝c－a＝，2b＝a＋c，a＋b＋c＝1，所以a＝，b＝，c＝，D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝.
2．袋中装有大小完全相同，标号分别为1,2,3，…，9的九个球．现从袋中随机取出3个球．设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3,4,5，则有两组相邻的标号3,4和4,5，此时ξ的值是2)，则E(ξ)＝( )
A. B．.
C. D.
解析：选D 依题意得，ξ的所有可能取值是0,1,2.取3个球，剩下6个球，6个球排一排形成7个空，ξ＝0表示3个球标号均不相邻，即在7个空中插3个，从而P(ξ＝0)＝＝，同理可得P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，因此E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
3．某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，也可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
解：若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为
X1 300 －150
P
∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元)．
D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，
若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为
X2 500 －300 0
P
∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元)．
D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.
所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
1．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则p＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意，得(1－p)＋p＝，所以p＝.故选B.
2．设X～B(4，p)，其中0A. B.
C. D.
解析：选D P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝，即p2(1－p)2＝2·2，解得p＝或p＝(舍去)，故P(X＝1)＝Cp(1－p)3＝.
3．已知随机变量X的分布列如下表：
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)的值与公差d的取值范围分别是( )
A. B．.
C. D.
解析：选A ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝.
则a＝－d，c＝＋d，根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，∴－≤d≤.
4．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则D(3Y＋1)＝( )
A．2 B．3
C．6 D．7
解析：选C 因为P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝，所以P(X＝0)＝C(1－p)2＝，所以p＝，则Y～B，故D(Y)＝3××＝，所以D(3Y＋1)＝9D(Y)＝9×＝6.
5．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)＝________.
解析：依题意，随机试验共有9个不同的基本结果，
由于随机投掷，且小正方形的面积大小相等，
所以事件B包含4个基本结果，事件AB包含1个基本结果．所以P(B)＝，P(AB)＝.
所以P(A|B)＝＝＝.
答案：
6．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动．具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为Y，若Y的数学期望E(Y)>，则p的取值范围是________．
解析：由题意，得P(Y＝1)＝p，P(Y＝2)＝(1－p)p，P(Y＝3)＝(1－p)2，则E(Y)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，解得p>或p<.又p∈(0,1)，所以p∈.
答案：
7．某投资公司现提供两种一年期投资理财方案，一年后投资盈亏的情况如下表：
投资股市 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概率P
购买基金 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概率P m n
(1)甲、乙两人在投资顾问的建议下分别选择“投资股市”和“购买基金”．若一年后他们中至少有一人盈利的概率大于，求m的取值范围．
(2)若m＝，某人现有10万元资金，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择出一种，那么选择何种方案可使得一年后的投资收益的数学期望值较大？
解：(1)记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人盈利”，则C＝A∪B∪AB，其中A，B相互独立．
∵P(A)＝，P(B)＝m，
∴P(C)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)＝(1－m)＋m＋m＝(1＋m)．
∴(1＋m)>，∴m>.
又∵m＋＋n＝1且n≥0，∴m≤，
∴∴m的取值范围是.
(2)假设此人选择“投资股市”，记ξ为盈利金额(单位：万元)，则ξ的分布列为
ξ 4 0 －2
P
则E(ξ)＝4×＋0×－2×＝.
假设此人选择“购买基金”，记η为盈利金额(单位：万元)，则η的分布列为
η 2 0 －1
P
则E(η)＝2×＋0×－1×＝.
∵>，即E(ξ)>E(η)，
∴选择“投资股市”可使得一年后的投资收益的数学期望值较大．
8．(2019·长春质检)长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：
点击量 [0,1 000] (1 000,3 000] (3 000，＋∞)
节数 6 18 12
(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的节数；
(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000,3 000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列与数学期望．
解：(1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3 000的节数为×6＝2.
(2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000,3 000]内的有3节，故X的可能取值为0,20,40,60.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝20)＝＝＝，
P(X＝40)＝＝＝，
P(X＝60)＝＝＝，
则X的分布列为
X 0 20 40 60
P
即E(X)＝0×＋20×＋40×＋60×＝.
高考微点23 随机变量及其分布列
[微要点]
1．相互独立事件的性质
(1)若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．
2．二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
3．易混“相互独立”和“事件互斥”
两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．
[微练习]
1．若生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为( )
A. B.
C. D.
2．已知事件A，B相互独立，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，给出下列四个式子：①P(AB)＝0.12；②P(B)＝0.18；③P(A)＝0.28；④P()＝0.42.其中正确的有( )
A．4个 B．2个
C．3个 D．1个
3．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则p值为( )
A. B．.
C. D.
4．若每名学生测试达标的概率都是(相互独立)，测试后k个人达标，经计算5人中恰有k人同时达标的概率是，则实数k的值为________．
[微要点]
1．离散型随机变量的期望、方差公式
离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 x3 … xi … xn
P p1 p2 p3 … pi … pn
期望：E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.
方差：D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xi－E(X))2·pi＋…＋(xn－E(X))2·pn.
2．离散型随机变量期望与方差的性质结论
若a，b是常数，X是随机变量，则
(1)期望的性质
①E(k)＝k(k为常数)；
②E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
③E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；
④若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．
(2)方差的性质
①D(k)＝0(k为常数)；
②D(aX＋b)＝a2D(X)；
③若X1，X2，…，Xn两两独立，则D(X1＋X2＋…＋Xn)＝D(X1)＋D(X2)＋…＋D(Xn)．
(3)两点分布与二项分布的期望与方差
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
②若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
[微练习]
1．已知随机变量ξ的概率分布如下表：
ξ －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝( )
A. B．.
C. D．1
2．袋中装有大小完全相同，标号分别为1,2,3，…，9的九个球．现从袋中随机取出3个球．设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3,4,5，则有两组相邻的标号3,4和4,5，此时ξ的值是2)，则E(ξ)＝( )
A. B．.
C. D.
3．某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，也可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
1．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则p＝( )
A. B.
C. D.
2．设X～B(4，p)，其中0A. B.
C. D.
3．已知随机变量X的分布列如下表：
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)的值与公差d的取值范围分别是( )
A. B．.
C. D.
4．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则D(3Y＋1)＝( )
A．2 B．3
C．6 D．7
5．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)＝________.
6．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动．具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为Y，若Y的数学期望E(Y)>，则p的取值范围是________．
7．某投资公司现提供两种一年期投资理财方案，一年后投资盈亏的情况如下表：
投资股市 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概率P
购买基金 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概率P m n
(1)甲、乙两人在投资顾问的建议下分别选择“投资股市”和“购买基金”．若一年后他们中至少有一人盈利的概率大于，求m的取值范围．
(2)若m＝，某人现有10万元资金，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择出一种，那么选择何种方案可使得一年后的投资收益的数学期望值较大？
8．(2019·长春质检)长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：
点击量 [0,1 000] (1 000,3 000] (3 000，＋∞)
节数 6 18 12
(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的节数；
(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000,3 000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列与数学期望．
