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专题强化1 库仑力作用下的
平衡问题
第一章 静电场
学习目标
1.进一步掌握库仑力的计算公式及库仑力的方向判定.
2.会进行库仑力作用下带电体的受力分析.
3.会运用合成法、分解法处理共点力作用下的平衡问题.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
达标检测
重点探究
专题强化练
01
重点探究
库仑力作用下带电体的平衡
一
例1 如图1所示，真空中两个相同的小球带有等量同种电荷，质量均为0.1 g，分别用10 cm长的绝缘细线悬挂于绝缘天花板上的一点，当平衡时B球偏离竖直方向60°，A球竖直悬挂且与绝缘墙壁接触(两带电小球均可视为点电荷)，取g＝10 m/s2，求：
(1)两个小球所带电荷量；
图1
解析 对B球受力分析如图甲所示：
B球受力平衡，则重力与库仑力的合力大小等于细线拉力，方向与细线拉力方向相反，由几何知识可知：F＝mg＝TB.根据库仑定律：F＝ ＝mg
(2)墙壁受到的压力；
解析 对A球受力分析如图乙所示：
(3)每条细线的拉力的大小.
答案 1.5×10－3 N 1×10－3 N
解析 A球受力平衡，则有：
TA＝mg＋Fcos 60°＝1.5×10－3 N
由(1)分析知TB＝mg＝1×10－3 N.
针对训练1 (2019·湖州市期中)如图2所示，质量为m、带电荷量为＋q的小球A用绝缘细线悬挂于O点，细线长为l.当将电荷量为－q的点电荷B置于空间某位置时，小球A静止，细线与竖直方向的夹角θ＝30°，A、B连线与竖直方向的夹角恰好也为30°，重力加速度为g，静电力常量为k，则A、B之间的距离为
图2
√
方法总结
分析静电力作用下点电荷的平衡问题时，方法仍然与力学中物体的平衡方法一样，具体步骤如下：
(1)确定研究对象：如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”.
(2)对研究对象进行受力分析，此时多了静电力(F＝ ).
(3)根据F合＝0列方程，若采用正交分解，则有Fx＝0，Fy＝0.
(4)求解方程.
同一直线上带电体的平衡
二
例2 如图3所示，带电荷量分别为＋q和＋4q的两点电荷A、B，相距L，问：
(1)若A、B固定，在何处放置点电荷C，才能使C处于
平衡状态？
答案 见解析
图3
解析 由平衡条件，对C进行受力分析，C应在A、B的连线上且在A、B之间，设C与A相距r，
(2)在(1)中的情形下，C的电荷量和电性对C的平衡有影响吗？
答案 见解析
解析 距离A为 处，不论C为正电荷还是负电荷，A、B对其作用力的合力均为零，故C的电荷量大小和电性对其平衡无影响.
(3)若A、B不固定，在何处放一个什么性质的点电荷，才可以使三个点电荷都处于平衡状态？
答案 见解析
解析 若将C放在A、B电荷两边，A、B对C同为向左(或向右)的力，C都不能平衡；若将C放在A、B之间，C为正电荷，则A、B都不能平衡，所以C为负电荷.设放置的点电荷的电荷量大小为Q，与A相距r1，分别对A、B受力分析，根据平衡条件，对点电荷A有：
针对训练2 (多选)(2020·辛集中学月考)如图4所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球a、b、c(可视为点电荷)，三小球沿一条直线摆放，且仅在它们之间的静电力作用下静止，则以下判断正确的是
A.a对b的静电力一定是引力
B.a对b的静电力可能是斥力
C.a的电荷量可能比b的少
D.a的电荷量一定比b的多
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图4
解析 根据电场力方向来确定各自电性，从而得出“两同夹一异”的结论，因此A正确，B错误；
由平衡条件来确定各电荷量的大小关系，因此在大小上一定为“两大夹一小”，故D正确，C错误.
总结提升
共线的三个点电荷在静电力作用下平衡的特点
1.平衡条件：每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反.
2.平衡规律可概括为：
“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；
“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷.
3.只要其中两个点电荷平衡，第三个点电荷一定平衡，只需根据平衡条件对其中的两个点电荷列式即可.
02
达标检测
1.(库仑力作用下的平衡)如图5所示，把一带正电的小球a放在光滑绝缘斜面上，欲使球a能静止在斜面上，需在MN间放一带电小球b，则b应
A.带负电，放在A点
B.带正电，放在B点
C.带负电，放在C点
D.带正电，放在C点
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图5
解析 小球a受到重力、支持力和库仑力的作用处于平衡状态时，才能静止在斜面上.小球b带负电、放在C点或小球b带正电、放在A点均可使小球a所受合力为零，故选C.
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2.(库仑力作用下的平衡)(多选)两个质量分别为m1、m2的小球，各用丝线悬挂在同一点，当两球分别带同种电荷，且电荷量分别为q1、q2时，两丝线张开一定的角度θ1、θ2，如图6所示，此时两个小球处于同一水平面上，则下列说法正确的是
A.若m1＞m2，则θ1＞θ2
B.若m1＝m2，则θ1＝θ2
C.若m1＜m2，则θ1＞θ2
D.若q1＝q2，则θ1＝θ2
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图6
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解析 以m1为研究对象，对m1受力分析如图所示.
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3.(库仑力作用下的平衡)(2018·浙江11月选考)电荷量为4×10－6 C的小球绝缘固定在A点，质量为0.2 kg、电荷量为－5×10－6 C的小球用绝缘细线悬挂，静止于B点.A、B间距离为30 cm，AB连线与竖直方向夹角为60°.静电力常量为9.0×109 N·m2/C2，重力加速度g＝10 m/s2，(小球可视为点电荷)下列图示正确的是
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4.(同一直线上带电体的平衡)如图7所示，两个点电荷，所带电荷量分别为q1＝4×10－9 C和q2＝－9×10－9 C，分别固定于相距20 cm的a、b两点，有一个点电荷q放在a、b所在直线上且静止不动，该点电荷所处的位置是
A.在a点左侧40 cm处 B.在a点右侧8 cm处
C.在b点右侧20 cm处 D.无法确定
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图7
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03
专题强化练
1.一端固定在天花板上的绝缘细线的另一端与一带正电的小球M相连接，在小球M下面的一绝缘水平面上固定了另一个带电小球N，在图中，小球M能处于静止状态的是
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基础强化练
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2.(2019·唐山一中高二上月考)如图1所示，A为带正电的金属板，其所带电荷量为Q，在金属板的垂直平分线上，距板r处有一质量为m、电荷量为q的小球，小球用绝缘细线悬挂于O点，小球受水平向右的静电力，
偏转θ角保持静止，静电力常量为k，重力加速度为g，则
小球与金属板之间的库仑力大小为
图1
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解析 A为带正电的金属板，此时不能将其看成点电荷，所以不能使用库仑定律求小球受到的库仑力，故A、B错误；
小球受到的静电力方向向右，重力竖直向下，则小球的受力情况如图所示，由平衡条件得F＝mgtan θ，故C错误，D正确.
3.如图2所示，悬挂在O点的一根不可伸长的绝缘细线下端有一个带电荷量不变的小球A.在两次实验中，均缓慢移动另一带同种电荷的小球B.当B到达悬点O的正下方并与A在同一水平线上，A处于受力平衡时，悬线偏离竖直方向的角度为θ，若两次实验中B的电荷量分别为q1和q2，θ分别为30°和45°(两带电小球均可视为点电荷).则 为
图2
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因qA、m、l、g、k不变，
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4.(多选)如图3所示，质量分别为m1、m2，电荷量分别为q1、q2的两小球，分别用绝缘轻丝线悬挂起来，两丝线与竖直方向的夹角分别为α和β(α＞β)，两小球恰在同一水平线上，那么
A.两球一定带异种电荷
B.q1一定大于q2
C.m1一定小于m2
D.m1所受的库仑力一定大于m2所受的库仑力
√
√
图3
解析 由于两带电小球相互吸引，所以一定带异种电荷，选项A正确.
设轻丝线与竖直方向的夹角为θ，根据平衡条件可得两球之间的库仑力F＝mgtan θ，则m1gtan α＝m2gtan β，α>β，因此m1g＜m2g，即m1＜m2，选项C正确.
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5.如图4所示，光滑绝缘的水平地面上有相距为L的点电荷A、B，带电荷量分别为－4Q和＋Q，现引入第三个点电荷C，使三个点电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是
图4
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能力综合练
6.如图5所示，质量为m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带电荷量也为q的小球B固定在O点正下方绝缘柱上.其中O点与小球A的间距为l，O点与小球B的间距为 .当小球A平衡时，悬线与竖直方向夹角θ＝30°.带电小球A、B均可视为点电荷.静电力常量为k，重力加速度为g，则
图5
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7.(多选)(2019·云南建水高二上期中)如图6所示，用三根长度相同的绝缘细线将三个带电小球(可视为点电荷)连接后悬挂在空中.三个带电小球质量相等，A球带正电，平衡时三根绝缘细线都是直的，但拉力都为0.则
A.B球和C球都带负电荷
B.B球带负电荷，C球带正电荷
C.B球和C球所带电荷量不一定相等
D.B球和C球所带电荷量一定相等
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图6
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解析 以B为研究对象，B球受重力及A、C对B球的静电力而处于平衡状态，则A、C球对B球的静电力的合力应与B球重力大小相等、方向相反，而静电力的方向只能沿两球的连线方向，则A对B的静电力应指向A，C对B的静电力应指向B的左侧，由此可知，B、C都应带负电荷，A对，B错.
由受力分析图可知，A对B的静电力FAB应为C对B静电力FCB的2倍，故C所带电荷量应为A所带电荷量的一半；同理分析C可知，B所带电荷量也应为A所带电荷量的一半，故B、C所带电荷量相等，C错，D对.
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8.如图7所示，A、B是两个带等量同种电荷的小球，A固定在竖直放置的10 cm长的绝缘支杆上，B静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A等高，若B的质量为 ，则B带电荷量是多少？(取g＝10 m/s2，带电小球A、B均可视为点电荷，k＝9×109 N·m2/C2)
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图7
答案 1×10－6 C
解析 因为B静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A等高，设A、B之间的水平距离为L，
代入数据解得：Q＝1×10－6 C.
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专题强化1 库仑力作用下的平衡问题
[学习目标] 1.进一步掌握库仑力的计算公式及库仑力的方向判定.2.会进行库仑力作用下带电体的受力分析.3.会运用合成法、分解法处理共点力作用下的平衡问题．
一、库仑力作用下带电体的平衡
例1 如图1所示，真空中两个相同的小球带有等量同种电荷，质量均为0.1 g，分别用10 cm长的绝缘细线悬挂于绝缘天花板上的一点，当平衡时B球偏离竖直方向60°，A球竖直悬挂且与绝缘墙壁接触(两带电小球均可视为点电荷)，取g＝10 m/s2，求：
图1
(1)两个小球所带电荷量；
(2)墙壁受到的压力；
(3)每条细线的拉力的大小．
答案 (1)×10－7 C
(2)×10－3 N，方向水平向左
(3)1.5×10－3 N 1×10－3 N
解析 (1)对B球受力分析如图甲所示：
B球受力平衡，则重力与库仑力的合力大小等于细线拉力，方向与细线拉力方向相反，由几何知识可知：F＝mg＝TB.根据库仑定律：F＝k＝mg
代入数据，解得q＝×10－7 C
(2)对A球受力分析如图乙所示：
A球受力平衡，所以：N＝Fsin 60°＝mgsin 60°＝×10－3 N．由牛顿第三定律可知，墙受到小球的压力大小为×10－3 N，方向水平向左．
(3)A球受力平衡，则有：
TA＝mg＋Fcos 60°＝1.5×10－3 N
由(1)分析知TB＝mg＝1×10－3 N.
针对训练1 (2019·湖州市期中)如图2所示，质量为m、带电荷量为＋q的小球A用绝缘细线悬挂于O点，细线长为l.当将电荷量为－q的点电荷B置于空间某位置时，小球A静止，细线与竖直方向的夹角θ＝30°，A、B连线与竖直方向的夹角恰好也为30°，重力加速度为g，静电力常量为k，则A、B之间的距离为( )
图2
A．l B．q C．q D．q
答案 B
解析 对小球A受力分析如图所示，由平衡条件得F＝T＝，而F＝，联立可得距离r＝q，选项B正确．
分析静电力作用下点电荷的平衡问题时，方法仍然与力学中物体的平衡方法一样，具体步骤如下：
?1?确定研究对象：如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”.
?2?对研究对象进行受力分析，此时多了静电力?F＝).
?3?根据F合＝0列方程，若采用正交分解，则有Fx＝0，Fy＝0.
?4?求解方程.
二、同一直线上带电体的平衡
例2 如图3所示，带电荷量分别为＋q和＋4q的两点电荷A、B，相距L，问：
图3
(1)若A、B固定，在何处放置点电荷C，才能使C处于平衡状态？
(2)在(1)中的情形下，C的电荷量和电性对C的平衡有影响吗？
(3)若A、B不固定，在何处放一个什么性质的点电荷，才可以使三个点电荷都处于平衡状态？
答案 见解析
解析 (1)由平衡条件，对C进行受力分析，C应在A、B的连线上且在A、B之间，设C与A相距r，
则＝
解得：r＝
(2)距离A为处，不论C为正电荷还是负电荷，A、B对其作用力的合力均为零，故C的电荷量大小和电性对其平衡无影响．
(3)若将C放在A、B电荷两边，A、B对C同为向左(或向右)的力，C都不能平衡；若将C放在A、B之间，C为正电荷，则A、B都不能平衡，所以C为负电荷．设放置的点电荷的电荷量大小为Q，与A相距r1，分别对A、B受力分析，根据平衡条件，对点电荷A有：＝
对点电荷B有：＝
联立可得：r1＝，Q＝q(负电荷)
即应在AB连线上且在A的右边，与点电荷A相距处放置一个电荷量为q的负电荷．
针对训练2 (多选)(2020·辛集中学月考)如图4所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球a、b、c(可视为点电荷)，三小球沿一条直线摆放，且仅在它们之间的静电力作用下静止，则以下判断正确的是( )
图4
A．a对b的静电力一定是引力
B．a对b的静电力可能是斥力
C．a的电荷量可能比b的少
D．a的电荷量一定比b的多
答案 AD
解析 根据电场力方向来确定各自电性，从而得出“两同夹一异”的结论，因此A正确，B错误；由平衡条件来确定各电荷量的大小关系，因此在大小上一定为“两大夹一小”，故D正确，C错误．
共线的三个点电荷在静电力作用下平衡的特点
1．平衡条件：每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反．
2．平衡规律可概括为：
“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；
“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷．
3．只要其中两个点电荷平衡，第三个点电荷一定平衡，只需根据平衡条件对其中的两个点电荷列式即可．
1.(库仑力作用下的平衡)如图5所示，把一带正电的小球a放在光滑绝缘斜面上，欲使球a能静止在斜面上，需在MN间放一带电小球b，则b应( )
图5
A．带负电，放在A点
B．带正电，放在B点
C．带负电，放在C点
D．带正电，放在C点
答案 C
解析 小球a受到重力、支持力和库仑力的作用处于平衡状态时，才能静止在斜面上．小球b带负电、放在C点或小球b带正电、放在A点均可使小球a所受合力为零，故选C.
2．(库仑力作用下的平衡)(多选)两个质量分别为m1、m2的小球，各用丝线悬挂在同一点，当两球分别带同种电荷，且电荷量分别为q1、q2时，两丝线张开一定的角度θ1、θ2，如图6所示，此时两个小球处于同一水平面上，则下列说法正确的是( )
图6
A．若m1＞m2，则θ1＞θ2
B．若m1＝m2，则θ1＝θ2
C．若m1＜m2，则θ1＞θ2
D．若q1＝q2，则θ1＝θ2
答案 BC
解析 以m1为研究对象，对m1受力分析如图所示．
由共点力平衡得tan θ1＝，同理tan θ2＝，
因为不论q1、q2大小如何，两带电小球所受库仑力都属于作用力与反作用力，大小永远相等，故从tan θ＝知，m大，则tan θ小，θ也小(θ＜)，m相等，θ也相等，故选项B、C正确．
3．(库仑力作用下的平衡)(2018·浙江11月选考)电荷量为4×10－6 C的小球绝缘固定在A点，质量为0.2 kg、电荷量为－5×10－6 C的小球用绝缘细线悬挂，静止于B点．A、B间距离为30 cm，AB连线与竖直方向夹角为60°.静电力常量为9.0×109 N·m2/C2，重力加速度g＝10 m/s2，(小球可视为点电荷)下列图示正确的是( )
答案 B
解析 A、B间的库仑力FAB＝k＝9.0×109× N＝2 N，GB＝mg＝2 N，对B受力分析如图所示，可知A对B的库仑力与B的重力相等，所以FAB与GB的合力与竖直方向的夹角为60°.
4.(同一直线上带电体的平衡)如图7所示，两个点电荷，所带电荷量分别为q1＝4×10－9 C和q2＝－9×10－9 C，分别固定于相距20 cm的a、b两点，有一个点电荷q放在a、b所在直线上且静止不动，该点电荷所处的位置是( )
图7
A．在a点左侧40 cm处
B．在a点右侧8 cm处
C．在b点右侧20 cm处
D．无法确定
答案 A
解析 q1的电荷量比q2的电荷量小，所以第三个电荷不论正负，只有放在a点的左侧才能处于平衡；且q1与q2对点电荷q的库仑力大小应相等，设q距q1的距离为r，则有：＝，代入数据解得：r＝0.4 m，即点电荷q所处的位置是：在ab连线上，a点左侧40 cm处，故选A.
1．一端固定在天花板上的绝缘细线的另一端与一带正电的小球M相连接，在小球M下面的一绝缘水平面上固定了另一个带电小球N，在图中，小球M能处于静止状态的是( )
答案 B
2.(2019·唐山一中高二上月考)如图1所示，A为带正电的金属板，其所带电荷量为Q，在金属板的垂直平分线上，距板r处有一质量为m、电荷量为q的小球，小球用绝缘细线悬挂于O点，小球受水平向右的静电力，偏转θ角保持静止，静电力常量为k，重力加速度为g，则小球与金属板之间的库仑力大小为( )
图1
A．k B．k
C. D．mgtan θ
答案 D
解析 A为带正电的金属板，此时不能将其看成点电荷，所以不能使用库仑定律求小球受到的库仑力，故A、B错误；小球受到的静电力方向向右，重力竖直向下，则小球的受力情况如图所示，由平衡条件得F＝mgtan θ，故C错误，D正确．
3.如图2所示，悬挂在O点的一根不可伸长的绝缘细线下端有一个带电荷量不变的小球A.在两次实验中，均缓慢移动另一带同种电荷的小球B.当B到达悬点O的正下方并与A在同一水平线上，A处于受力平衡时，悬线偏离竖直方向的角度为θ，若两次实验中B的电荷量分别为q1和q2，θ分别为30°和45°(两带电小球均可视为点电荷)．则为( )
图2
A．2 B．3 C．2 D．3
答案 C
解析 对A受力分析，如图所示，可得F＝mgtan θ，由库仑定律得F＝，式中r＝lsin θ(l为悬线长度)，
由以上三式可解得qB＝，
因qA、m、l、g、k不变，
则＝＝2.
4．(多选)如图3所示，质量分别为m1、m2，电荷量分别为q1、q2的两小球，分别用绝缘轻丝线悬挂起来，两丝线与竖直方向的夹角分别为α和β(α＞β)，两小球恰在同一水平线上，那么( )
图3
A．两球一定带异种电荷
B．q1一定大于q2
C．m1一定小于m2
D．m1所受的库仑力一定大于m2所受的库仑力
答案 AC
解析 由于两带电小球相互吸引，所以一定带异种电荷，选项A正确．设轻丝线与竖直方向的夹角为θ，根据平衡条件可得两球之间的库仑力F＝mgtan θ，则m1gtan α＝m2gtan β，α>β，因此m1g＜m2g，即m1＜m2，选项C正确．
5.如图4所示，光滑绝缘的水平地面上有相距为L的点电荷A、B，带电荷量分别为－4Q和＋Q，现引入第三个点电荷C，使三个点电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是( )
图4
A．－Q，在A左侧距A为L处
B．－2Q，在A左侧距A为处
C．－4Q，在B右侧距B为L处
D．＋2Q，在A右侧距A为处
答案 C
解析 要使三个点电荷处于平衡，可知C应放在B的右侧，且与A电性相同带负电，对点电荷B，其受力平衡，则有FAB＝FCB，即k＝k；对点电荷C，其受力也平衡，则FAC＝FBC得k＝k；联立解得rBC＝L，QC＝4Q，故选项C正确．
6.如图5所示，质量为m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带电荷量也为q的小球B固定在O点正下方绝缘柱上．其中O点与小球A的间距为l，O点与小球B的间距为l.当小球A平衡时，悬线与竖直方向夹角θ＝30°.带电小球A、B均可视为点电荷．静电力常量为k，重力加速度为g，则( )
图5
A．A、B间库仑力大小F＝
B．A、B间库仑力大小F＝
C．细线拉力大小T＝
D．细线拉力大小T＝mg
答案 B
解析 带电小球A受力如图所示，由几何知识得OC＝l，即C点为OB中点，根据对称性AB＝l.由库仑定律知A、B间库仑力大小F＝，细线拉力大小T＝F＝，选项A、C错误；根据平衡条件有Fcos 30°＝mg，可得F＝，则细线拉力大小T＝，选项B正确，D错误．
7.(多选)(2019·云南建水高二上期中)如图6所示，用三根长度相同的绝缘细线将三个带电小球(可视为点电荷)连接后悬挂在空中．三个带电小球质量相等，A球带正电，平衡时三根绝缘细线都是直的，但拉力都为0.则( )
图6
A．B球和C球都带负电荷
B．B球带负电荷，C球带正电荷
C．B球和C球所带电荷量不一定相等
D．B球和C球所带电荷量一定相等
答案 AD
解析 以B为研究对象，B球受重力及A、C对B球的静电力而处于平衡状态，则A、C球对B球的静电力的合力应与B球重力大小相等、方向相反，而静电力的方向只能沿两球的连线方向，则A对B的静电力应指向A，C对B的静电力应指向B的左侧，由此可知，B、C都应带负电荷，A对，B错．由受力分析图可知，A对B的静电力FAB应为C对B静电力FCB的2倍，故C所带电荷量应为A所带电荷量的一半；同理分析C可知，B所带电荷量也应为A所带电荷量的一半，故B、C所带电荷量相等，C错，D对．
8．如图7所示，A、B是两个带等量同种电荷的小球，A固定在竖直放置的10 cm长的绝缘支杆上，B静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A等高，若B的质量为30 g，则B带电荷量是多少？(取g＝10 m/s2，带电小球A、B均可视为点电荷，k＝9×109 N·m2/C2)
图7
答案 1×10－6 C
解析 因为B静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A等高，设A、B之间的水平距离为L，
依据题意可得：tan 30°＝
则L＝＝ cm＝10 cm
对B受力分析如图所示，由于小球B受力平衡，则库仑力F＝mgtan 30°＝30×10－3×10× N＝0.3 N，
由库仑定律F＝k得：F＝k.
代入数据解得：Q＝1×10－6 C.
