5 匀强电场中电势差与电场强度的关系 示波管原理
课时1 匀强电场中电势差与电场强度的关系
[学习目标] 1.理解匀强电场中电势差与电场强度的关系：U＝Ed，并了解其适用条件.2.会用U＝Ed或E＝解决有关问题.3.知道电场强度的另一个单位“伏(特)每米”的意义．
1.沿电场线方向电势的变化(如图1所示)
图1
匀强电场E中，沿电场线方向A、B两点间距离为d
(1)公式：UAB＝Ed，E＝.
(2)适用条件
①匀强电场．
②d为两点沿电场方向的距离．
(3)结论：
①在匀强电场中，两点间的电势差等于场强与这两点间沿电场线方向的距离的乘积；
②场强的大小等于沿场强方向每单位距离上的电势差；
③沿电场线的方向电势越来越低．
2．沿垂直电场线方向电势的变化
沿垂直电场线方向上的C、D两点间电势差UCD＝0，在等势面上移动电荷电场力不做功．
1．判断下列说法的正误．
(1)公式U＝Ed适用于所有电场．( × )
(2)由U＝Ed可知，匀强电场中两点间的电势差与这两点的距离成正比．( × )
(3)匀强电场的场强值等于沿电场线方向每单位长度上的电势差值．( √ )
(4)在匀强电场中，任意两点间的电势差等于场强与这两点间距离的乘积．( × )
(5)电场强度越大的地方，等差等势面间的距离越小．( √ )
(6)电场线的方向就是电势降落最快的方向．( √ )
2.如图2所示，场强为E＝1.0×102 V/m的匀强电场中，有相距d＝2.0×10－2 m的A、B两点，A、B连线与电场方向的夹角为60°，则A、B两点间的电势差为________ V.
图2
答案 1.0
解析 U＝Edcos 60°＝1.0×102×2.0×10－2× V＝1.0 V.
一、匀强电场中电势差与电场强度的关系
在如图3所示的匀强电场中，场强大小为E，A、B是沿电场方向上的两点，其电势差为UAB，A、B之间相距为d.现将一个电荷量为q的电荷由A移到B.
图3
(1)从力和位移的角度计算静电力所做的功；通过A、B间的电势差计算静电力做的功．
(2)比较两次计算的功的大小，说明电势差与电场强度有何关系．
(3)B、C在同一等势面上，UAC与电场强度有何关系？
答案 (1)WAB＝Fd＝qEd WAB＝qUAB
(2)两次做功大小相等 UAB＝Ed
(3)UAC＝Ed
1．公式UAB＝Ed、E＝的适用条件都是匀强电场．
两公式中d不是两点间的距离，而是两点所在的等势面的距离，只有当此两点在匀强电场中的同一条电场线上时，才是两点间的距离．
2．由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势．
3．电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向．
例1 如图4所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为( )
图4
A．UOP＝－10sin θ (V)
B．UOP＝10sin θ (V)
C．UOP＝－10cos θ (V)
D．UOP＝10cos θ (V)
答案 A
解析 因为沿着电场线的方向电势降低，所以P点的电势高于O点的电势，则O、P两点的电势差UOP为负值．根据电势差与场强的关系可得UOP＝－Ed＝－E·Rsin θ＝－10sin θ (V)，所以A正确．
例2 如图5所示，P、Q两金属板间的电势差为50 V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10 cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4 cm.求：
图5
(1)P板及A点的电势．
(2)保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5 cm，则A点的电势将变为多少？
答案 (1)－50 V －30 V (2)－10 V
解析 板间场强方向水平向左，可知Q板电势最高．Q板接地，则电势φQ＝0，板间各点电势均为负值．
(1)场强E＝＝ V/m＝5×102 V/m
Q、A间电势差
UQA＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2 V＝30 V
所以A点电势φA＝－30 V，同理可求得P板电势φP＝UPQ＝－50 V.
(2)当Q板向左平移5 cm时，
两板间距离d ″＝(10－5) cm＝5 cm
Q板与A点间距离变为d?＝1 cm
电场强度
E′＝＝ V/m＝1×103 V/m
Q、A间电势差
UQA′＝E′d?＝1×103×1×10－2 V＝10 V
所以A点电势φA′＝－10 V.
在应用关系式UAB＝Ed时可简化为U＝Ed，即只把电势差大小、场强大小通过公式联系起来，至于电势差的正负、电场强度的方向可根据题意另作判断.
二、利用E＝定性分析非匀强电场
UAB＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题．
(1)公式U＝Ed在非匀强电场中，E可理解为相距为d的两点间的平均电场强度．
(2)当电势差U一定时，场强E越大，则沿场强方向的距离d越小，即场强越大，等差等势面越密．
(3)距离相等的两点间的电势差：E越大，U越大；E越小，U越小．
例3 如图6所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa＝50 V，φc＝20 V，则a、c连线中点b的电势φb为( )
图6
A．等于35 V B．大于35 V
C．小于35 V D．等于15 V
答案 C
解析 从电场线疏密可以看出ab段场强大于bc段场强，由U＝Ed可以判断Uab＞Ubc，即φa－φb>φb－φc，所以φb＜＝35 V.
三、用等分法确定等势线和电场线
1．在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U＝Ed，其中d为两点沿电场方向的距离．
由公式U＝Ed可以得到下面两个结论：
结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图7甲所示．
甲 乙
图7
结论2：在匀强电场中，沿任意方向相互平行且相等的线段两端点的电势差相等．如图乙中，线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UDC(或φA－φB＝φD－φC)，同理有UAD＝UBC.
2．确定电场方向的方法
先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面．
例4 如图8所示，虚线方框内有一匀强电场，A、B、C为该电场中的三点，已知：φA＝12 V，φB＝6 V，φC＝－6 V．试在该虚线框内作出该电场的示意图(画出几条电场线)，并要求保留作图时所用的辅助线．
图8
答案 见解析图
解析 要画电场线，先找等势面(线)．
因为UAC＝φA－φC＝18 V、UAB＝φA－φB＝6 V，＝3，将线段AC等分成三份，即使AH＝HF＝FC，则φH＝6 V，φF＝0，故B、H电势相等．同理可知，φD＝0，故D、F电势相等，连接BH、DF即为等势线，由电场线与等势面(线)垂直且由高电势指向低电势，可画出电场线如图所示．
例5 如图9所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0 V，A点处的电势为6 V，B点处的电势为3 V，则电场强度的大小为( )
图9
A．200 V/m B．200 V/m
C．100 V/m D．100 V/m
答案 A
解析 在匀强电场中，沿某一方向电势降落，则在这一方向上电势均匀降落，故OA的中点C的电势φC＝3 V(如图所示)，因此B、C在同一等势面上，O点到BC的距离d＝OCsin α，而sin α＝＝，所以d＝OC＝1.5×10－2 m．则匀强电场的电场强度E＝＝ V/m＝200 V/m，故选项A正确，选项B、C、D错误．
四、φ－x图像和E－x图像分析
1．φ－x图像
φ－x图像切线的斜率的绝对值k＝＝，为E的大小，场强E的方向为电势降低的方向．
2．E－x图像
E是矢量，E－x图像的正负反映E的方向，E的数值反映电场强度E的大小，E－x图像与x轴所围面积表示电势差大小．
例6 (多选)真空中有一半径为r0的带电金属球壳，通过其球心的一直线上各点的电势φ分布如图10所示，r表示该直线上某点到球心的距离，r1、r2分别是该直线上A、B两点离球心的距离，下列说法中正确的有( )
图10
A．该金属球壳可能带负电
B．A点的电场强度方向由A指向B
C．A点的电场强度大于B点的电场强度
D．负电荷沿直线从A移到B的过程中，电场力做正功
答案 BC
解析 由r>r0时，电势φ随r的增大而降低可知，电场线方向沿r轴正方向，则该金属球壳带正电，A点的电场强度方向由A指向B，故A项错误，B项正确；根据φ－r图像的切线的斜率大小表示电场强度的大小可知，A点的电场强度大于B点的电场强度，C项正确；负电荷沿直线从A移到B的过程中，电场力做负功，D项错误．
例7 (多选)(2019·启东中学高二质检)如图11甲所示，真空中有一半径为R、电荷量为＋Q的均匀带电球体，以球心为坐标原点，沿半径方向建立x轴．理论分析表明，x轴上各点的场强随x变化的关系如图乙所示，则( )
图11
A．c点处的场强和a点处的场强大小相等、方向相同
B．球内部的电场为匀强电场
C．a、c两点处的电势相等
D．假设将一个带正电的检验电荷沿x轴移动，则从a点处移动到c点处的过程中，电场力一直做正功
答案 AD
解析 根据题图乙可知c点处场强和a点处场强大小相等、方向相同，球内部的电场为非匀强电场，选项A正确，选项B错误；由题图甲可知，电场线的方向一定是从圆心指向无穷远处，沿电场线方向电势逐渐降低，所以a点的电势大于c点的电势，选项C错误；假设将一个带正电的检验电荷沿x轴移动，电场力与运动方向相同，电场力一直做正功，选项D正确.
1．(对电场强度和电势差关系的理解)(多选)下列说法正确的是( )
A．由公式E＝得，电场强度E与电势差U成正比，与两点间距离d成反比
B．由公式E＝得，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强度就越小
C．在匀强电场中，任意两点间电势差等于场强和这两点沿电场方向的距离的乘积
D．公式E＝只适用于匀强电场
答案 CD
2．(公式U＝Ed的应用)如图12所示，在匀强电场中，A、B两点相距10 cm，E＝100 V/m，AB与电场线方向的夹角θ＝120°，则A、B两点间的电势差为( )
图12
A．5 V B．－5 V
C．10 V D．－10 V
答案 B
解析 A、B两点在场强方向上的距离d＝·cos(180°－120°)＝10× cm＝5 cm.由于φA<φB，则UAB＝－Ed＝－100×5×10－2 V＝－5 V，故选B.
3.(用公式U＝Ed定性分析非匀强电场)如图13所示，三个同心圆是同一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列．A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上．A、C两点的电势依次为φA＝15 V和φC＝5 V，则B点的电势( )
图13
A．一定高于10 V B．一定等于10 V
C．一定低于10 V D．无法确定
答案 C
解析 由正点电荷的电场线分布可知AB段电场线比BC段电场线密，则AB段场强较大，根据公式U＝Ed可知，A、B间电势差UAB大于B、C间电势差UBC，即φA－φB>φB－φC，得到φB<＝10 V，选项C正确．
4．(等分法确定电场线)(多选)如图14所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点，在下列各示意图中，能正确表示该电场强度方向的是( )
图14
答案 BC
解析 根据匀强电场的特点可知，H、F的电势分别为φH＝4 V，φF＝3 V，G的电势φG＝＝4 V，则φH＝φG，则电场线垂直于GH，又φC＝φF，可知电场线与CF垂直，故B、C正确．
5．(φ－x图像的理解和应用)(2019·衡水市测试)静电场方向平行于x轴，其电势随x的分布可简化为如图15所示的折线，图中φ0和d为已知量．一个带负电的粒子在电场中以x＝0为中心、沿x轴方向做周期性运动．已知该粒子质量为m、电荷量为－q，忽略重力．规定x轴正方向为电场强度E、加速度a、速度v的正方向，选项图分别表示x轴上各点的电场强度E、粒子的加速度a、速度v和动能Ek随x的变化图像，其中正确的是( )
图15
答案 D
解析 φ－x图像切线的斜率表示电场强度，沿电场方向电势降低，因而在x＝0的左侧，电场向左，且为匀强电场，故A错误；由于粒子带负电，粒子的加速度在x＝0左侧为正值，在x＝0右侧为负值，且大小不变，故B错误；在x＝0左侧粒子向右做匀加速运动，在x＝0右侧向右做匀减速运动，速度与位移不成正比，故C错误；在x＝0左侧，根据动能定理得qEx＝Ek－Ek0，在x＝0的右侧，根据动能定理得－qEx＝Ek′－Ek0′，故D正确．
考点一 公式UAB＝Ed的理解
1．对公式E＝和UAB＝Ed的理解，下列说法正确的是( )
A．公式UAB＝Ed适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差
B．由UAB＝Ed知，A点和B点间距离越大，则这两点的电势差越大
C．由E＝知，匀强电场中A、B两点沿电场线的距离越大，则电场强度越小
D．公式中的d是匀强电场中A、B所在的两等势面之间的距离
答案 D
2．(多选)关于匀强电场中的场强和电势差的关系，下列说法正确的是( )
A．任意两点间的电势差，等于场强和这两点间距离的乘积
B．沿电场线方向，相同距离上电势降落必相等
C．电势降低最快的方向必是场强方向
D．在相同距离的两点上，电势差大的，其场强也大
答案 BC
解析 UAB＝Ed中的d为A、B两点沿电场线方向的距离，选项A、D错误；由UAB＝Ed可知沿电场线方向，电势降低最快，且相同距离上电势降落必相等，选项B、C正确．
3.如图1所示，a、b、c是一条电场线上的三点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，用Uab、Ubc分别表示a、b和b、c两点的电势差，可以判定( )
图1
A．Ea＝Eb＝Ec B．Ea>Eb>Ec
C．φa>φb>φc D．Uab＝Ubc
答案 C
解析 沿电场线方向电势降低，φa>φb>φc，C正确；仅由一条电场线无法确定场强大小关系，A、B错误；只有匀强电场才有Uab＝Ubc，D错误．
考点二 公式UAB＝Ed和E＝的简单应用
4．如图2所示是匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面间的距离都是25 cm，由此可确定此电场的电场强度的方向及大小为( )
图2
A．竖直向下，E＝0.4 V/m B．水平向右，E＝0.4 V/m
C．水平向左，E＝40 V/m D．水平向右，E＝40 V/m
答案 D
解析 由电场线垂直于等势面及电场线方向指向电势降低的方向可知，电场强度的方向水平向右．再根据E＝＝ V/m＝40 V/m，故D项正确．
5.(多选)如图3所示，实线为电场线，虚线为等势线，且AB＝BC，电场中的A、B、C三点的场强分别为EA、EB、EC；电势分别为φA、φB、φC，AB、BC间的电势差分别为UAB、UBC，则下列关系中正确的是( )
图3
A．φA>φB>φC B．EC>EB>EA
C．UAB>UBC D．UAB＝UBC
答案 AB
解析 A、B、C三点处在同一条电场线上，根据沿着电场线的方向电势逐渐降落，有φA>φB>φC，故A正确；由电场线的密集程度可看出电场强度大小关系为EC>EB>EA，故B正确；电场线密集的地方电势降落较快，由U＝Ed知：UBC>UAB，故C、D错误．
6.如图4所示，沿x轴正方向的匀强电场E中，有一动点A以O为圆心，r＝OA为半径逆时针转动一周，O与圆周上的A点的连线OA与x轴正方向(E方向)成θ角(θ<)，则此圆周上各点与A点间最大的电势差为( )
图4
A．U＝Er B．U＝Er(sin θ＋1)
C．U＝Er(cos θ＋1) D．U＝2Er
答案 C
解析 由U＝Ed知，与A点间电势差最大的点应是沿场强方向与A点相距最远的点，dmax＝r＋rcos θ，所以Umax＝Er(cos θ＋1)，故C项正确．
7.(2019·福州一中高二期中)如图5所示，相距10 mm的两等势面AA′、BB′，其间有一静止的油滴P，已知它的重力为1.6×10－14 N，所带的电荷量是＋3.2×10－19 C，(AA′与BB′间电场为匀强电场)则下列判断正确的是( )
图5
A．φA>φB，UAB＝100 V B．φA>φB，UAB＝750 V
C．φA<φB，UBA＝500 V D．φA<φB，UBA＝1000 V
答案 C
解析 由于油滴静止，则油滴所受电场力与重力等大反向，即电场方向向上，故φA<φB，由E＝，F＝G，得E＝5×104 V/m，所以UBA＝EdBA＝5×104×10－2 V＝500 V，故选项C正确．
8．(多选)细胞膜的厚度等于700 nm(1 nm＝10－9 m)，当膜的内外层之间的电压达0.4 V时，即可让一价钠离子渗透．设细胞膜内的电场为匀强电场，则当一价钠离子恰好渗透时，( )
A．膜内电场强度约为5.71×105 V/m
B．膜内电场强度约为1.04×106 V/m
C．每个钠离子沿电场方向透过膜时电场力做的功等于6.4×10－20 J
D．每个钠离子沿电场方向透过膜时电场力做的功等于1.28×10－19 J
答案 AC
解析 膜内电场强度为E＝＝ V/m≈5.71×105 V/m，A正确，B错误；电场力做功为W＝qU＝1.6×10－19×0.4 J＝6.4×10－20 J，C正确，D错误．
9．(多选)如图6所示，A、B两板间电压为600 V，A板带正电并接地，A、B两板间距离为12 cm，C点离A板4 cm，下列说法正确的是( )
图6
A．E＝2 000 V/m，φC＝200 V
B．E＝5 000 V/m，φC＝－200 V
C．电子在C点具有的电势能为－200 eV
D．电子在C点具有的电势能为200 eV
答案 BD
解析 A板接地，则其电势为零，因为A板带正电且A、B两板间的电压为600 V，则B板电势为－600 V，由此知C点电势为负值，则A、B两板间场强E＝＝ V/m＝5 000 V/m，φC＝－EdAC＝－5 000×0.04 V＝－200 V，A错误，B正确；电子在C点具有的电势能为200 eV，C错误，D正确．
10.匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，AB的长度为1 m，D为AB的中点，如图7所示．已知电场线的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三点的电势分别为14 V、6 V和2 V．设电场强度大小为E，一电荷量为1×10－6 C的正电荷从D点移到C点电场力所做的功为W，则( )
图7
A．W＝8×10－6 J E>8 V/m
B．W＝6×10－6 J E>6 V/m
C．W＝8×10－6 J E≤8 V/m
D．W＝6×10－6 J E≤6 V/m
答案 A
解析 因电场是匀强电场，D是AB的中点，故D点的电势φD＝＝10 V，所以W＝q(φD－φC)＝8×10－6 J．设E的方向与AB的夹角为α，则α≠0，否则等势面与AB垂直，C点电势就会高于B点电势．由E＝可知：E＝＝，因α>0，则cos α<1，E>8 V/m，故A正确．
11.如图8所示，在竖直平面内存在匀强电场，其电场线如图中实线所示，方向未知，将带电荷量为q＝－1.0×10－6 C的点电荷由A点沿水平线移至B点，其电势能增加了3×10－5 J，已知A、B两点间的距离为2 cm，两点连线与电场线成60°角．
图8
(1)求A、B两点间的电势差UAB；
(2)若A点的电势φA＝－1 V，求B点的电势φB；
(3)求电场强度E的大小，并判断其方向．
答案 (1)30 V (2)－31 V (3)3 000 V/m 沿电场线指向左下方
解析 (1)由题意知，静电力做负功为
WAB＝－3×10－5 J
由UAB＝，得：UAB＝30 V
(2)UAB＝φA－φB
故φB＝φA－UAB＝(－1－30) V＝－31 V
(3)A、B两点间沿电场线方向的距离为：
d＝2×10－2cos 60° m＝1×10－2 m，
从而得：E＝＝ V/m＝3 000 V/m，
由于A点电势高于B点电势，故场强方向：沿电场线指向左下方．
12．如图9所示，平行金属带电极板A、B间可看成匀强电场，场强E＝1.2×102 V/m，极板间距离d＝5 cm，电场中C点和D点分别到A、B两板的距离均为0.5 cm，B板接地，求：
图9
(1)C、D两点的电势和两点间的电势差；
(2)将点电荷q＝2×10－2 C从C点匀速移到D点时除电场力外的其他力做的功．
答案 (1)－5.4 V －0.6 V －4.8 V (2)9.6×10－2 J
解析 (1)因正极板接地，故板间各点电势均小于零，由U＝Ed得
UBD＝EdBD＝1.2×102×0.5×10－2 V＝0.6 V，
即φD＝－0.6 V.
由于dCB＝5 cm－0.5 cm＝4.5 cm＝4.5×10－2 m，
所以UCB＝－EdCB＝－1.2×102×4.5×10－2 V
＝－5.4 V＝φC.
所以UCD＝φC－φD＝－5.4 V－(－0.6 V)＝－4.8 V.
(2)因为点电荷匀速移动，除电场力外的其他力所做的功等于克服电场力所做的功，故W外＝|qUCD|＝2×10－2×4.8 J＝9.6×10－2 J.
13.如图10所示的匀强电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，相邻等势面间隔均为d，各等势面电势已在图中标出(U>0)，现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，求：(重力加速度为g)
图10
(1)小球应带何种电荷及其电荷量；
(2)小球受到的合外力大小；
(3)在入射方向上小球运动的最大位移的大小xm.(电场范围足够大)
答案 (1)正电荷 (2)mg (3)
解析 (1)作电场线如图甲所示．由题意知，只有小球受到向左的电场力，电场力和重力的合力方向与初速度方向才可能在一条直线上，如图乙所示．只有当F合与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动，所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速运动．由图乙知qE＝mg，相邻等势面间的电势差为U，所以E＝，所以q＝＝.
(2)由图乙知，F合＝＝mg.
(3)由动能定理得：－F合xm＝0－mv02
所以xm＝＝.
考点一 等分法确定等势线和电场线
1.a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点．电场线与矩形所在平面平行．已知a点的电势为20 V，b点的电势为24 V，d点的电势为4 V，如图1所示，由此可知c点的电势为( )
图1
A．4 V B．8 V
C．12 V D．24 V
答案 B
解析 因为bc与ad平行且相等，由匀强电场特点可得：φb－φc＝φa－φd，解得φc＝8 V，故选项B正确.
2．a、b、c是匀强电场中的三个点，各点电势分别为φa＝10 V，φb＝2 V，φc＝6 V，a、b、c三点所在平面与电场方向平行，下列各图中电场强度的方向表示正确的是( )
答案 D
解析 由于是匀强电场，因此a、b连线中点的电势与c点电势相等，电场强度的方向垂直于等势线且由高电势处指向低电势处，所以D正确．
考点二 φ－x图像和E－x图像
3．(多选)某静电场沿x轴方向上的电势分布如图2所示，则( )
图2
A．在O～x1之间不存在沿x方向的电场
B．在O～x1之间存在着沿x方向的匀强电场
C．在x1～x2之间存在着沿x方向的匀强电场
D．在x1～x2之间存在着沿x方向的非匀强电场
答案 AC
解析 在φ－x图像中，斜率k表示在x方向上的场强Ex.所以O～x1沿x方向场强为零，A正确，B错误；x1～x2之间电势均匀减小，斜率不变，即Ex不变，x1～x2之间存在沿x方向的匀强电场，C正确，D错误．
4.(多选)静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系如图3所示，x轴正方向为电场强度正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷( )
图3
A．在x2和x4处电势能相等
B．由x1运动到x3的过程中电势能增大
C．由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小
D．由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大
答案 BC
解析 由题图可知，x1到x4电场强度先变大，再变小，则点电荷受到的电场力先增大后减小，C正确，D错误；由x1到x3及由x2到x4过程中，电场力做负功，电势能增大，故A错误，B正确．
5.(2020·邹城一中高二期中)如图4所示，abcd是矩形的四个顶点，它们正好处于某一匀强电场中，电场线与矩形所在平面平行，已知ab＝ cm，ad＝3 cm；a点电势为15 V，b点电势为24 V，d点电势为6 V，则此匀强电场的电场强度大小为( )
图4
A．300 V/m B．300 V/m
C．600 V/m D．600 V/m
答案 C
解析 连接b、d，则其中点O处的电势为15 V，可知aO为一条等势线，作等势线的垂线，即为电场线，如图所示，由几何关系得∠abe＝30°，be＝cos 30° cm＝0.015 m，故E＝＝600 V/m，故C正确．
6．(多选)空间某一静电场的电势φ在x轴上的分布如图5所示，x轴上两点B、C的电场强度在x轴方向上的分量分别是EBx、ECx，下列说法中正确的有( )
图5
A．EBx的大小大于ECx的大小
B．EBx的方向沿x轴正方向
C．电荷在O点受到的电场力在x轴方向上的分量最大
D．负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功后做负功
答案 AD
解析 在φ－x图像中，图线的斜率大小表示场强大小，可见EBx＞ECx，选项A正确；同理可知O点场强在x轴方向上的分量最小，电荷在该点受到的电场力在x轴方向上的分量最小，选项C错误；沿电场方向电势降低，在O点左侧，Ex的方向沿x轴负方向，在O点右侧，Ex的方向沿x轴正方向，选项B错误，选项D正确．
7．(2019·雅安中学高二上月考)如图6甲所示为电场中的一条电场线，在电场线上建立坐标轴，坐标轴上O～x2间各点的电势分布如图乙所示，则( )
图6
A．在O～x2间，电场强度先减小后增大
B．若一负电荷从O点运动到x2点，电势能逐渐减小
C．在O～x2间，电场强度方向没有发生变化
D．从O点静止释放一仅受电场力作用的正电荷，则该电荷在O～x2间先做加速运动后做减速运动
答案 C
解析 φ－x图像的斜率表示电场强度，由题图乙知，斜率先增大后减小，则电场强度先增大后减小，但斜率一直是负，场强方向没有改变，故A错误，C正确；由题图乙看出，从O～x2，电势逐渐降低，若一负电荷从O点运动到x2点，电势能逐渐增大，故B错误；从O点静止释放一仅受电场力作用的正电荷，受到的电场力方向与速度方向相同，做加速运动，即该电荷在O～x2间一直做加速运动，故D错误．
8.(2019·辽宁省实验中学高二月考)如图7所示，在匀强电场中，将带电荷量q＝－6×10－6 C的电荷从电场中的A点移到B点，克服电场力做了2.4×10－5 J的功，再从B点移到C点，电场力做了1.2×10－5 J的功．
图7
(1)求A、B两点间的电势差UAB和B、C两点间的电势差UBC；
(2)如果规定B点的电势为零，则A点和C点的电势分别为多少？
(3)作出过B点的一条电场线．
答案 见解析
解析 (1)UAB＝＝ V＝4 V
UBC＝＝ V＝－2 V
(2)UAB＝φA－φB，UBC＝φB－φC
又φB＝0
故φA＝4 V，φC＝2 V.
(3)取AB的中点D，则D点的电势为2 V，连接CD，CD为等势线，电场线与等势线垂直，由高电势指向低电势，如图所示．
(共70张PPT)
课时2 示波管原理 带电粒子
在电场中的加速和偏转
第一章 5 匀强电场中电势差与电场强度的关系 示波管原理
学习目标
1.知道示波管的主要构造和工作原理.
2.了解带电粒子在电场中只受电场力作用时的两种典型运动.
达标检测
自主预习
重点探究
内容索引
NEIRONGSUOYIN
课时对点练
自主预习
01
1.示波管(阴极射线管)的构造(如图1所示).
示波管原理
一
图1
2.电子在阴极射线管中运动的三个阶段
(1)加速：电子在阴极和阳极之间形成的电场中受电场力，电场力做正功，
其动能 ，阳极和阴极间电压越高，电子穿过阳极小孔时获得的速度越 .
(2)偏转：电子在水平平行金属板间的匀强电场中所受电场力方向与水平初速度 ，因此电子在水平方向做 运动，在竖直方向做初速度为零的 运动.偏转电极所加电压越大，电子飞出电场时的偏转角度就越 .
(3)匀速直线运动：电子射出电场后，不再受电场力作用，保持偏转角度不变，做 运动，直到打在荧光屏上，显示出荧光亮点.
增大
大
垂直
匀速直线
匀加速
大
匀速直线
实验观察：带电粒子在电场中的偏转
二
1.实验室里的示波管的构造
如图2所示，示波管中有 和 两个方向上的两对偏转电极.
图2
水平
竖直
2.工作原理
(1)若在两对偏转电极上所加电压为零，则电子束将打在 产生亮斑.
(2)若只在偏转电极Y1、Y2上加一稳定电压，则电子束将沿 方向发生偏转.
(3)若只在偏转电极X1、X2上加一稳定电压，则电子束将沿 方向发生偏转.
(4)若在偏转电极X1、X2和Y1、Y2上均加了一定的电压，则亮斑________________
.
图3
(5)若加在X1、X2上的电压随时间按图3甲所示的规律周期性地变化，在Y1、Y2上的电压随时间以正弦函数变化，则示波器显示的图形如图乙所示.
O点
y
x
既偏离y轴又偏离
x轴
1.判断下列说法的正误.
(1)带电粒子(不计重力)在电场中由静止释放时，一定做匀加速直线运动.( )
(2)对带电粒子在电场中的运动，从受力的角度来看，遵循牛顿运动定律；从做功的角度来看，遵循能量守恒定律.( )
(3)动能定理能分析匀强电场中的直线运动问题，不能分析非匀强电场中的直线运动问题.( )
(4)带电粒子在匀强电场中偏转时，加速度不变，粒子的运动是匀变速曲线运动.
( )
×
√
即学即用
×
√
(5)示波管电子枪的作用是产生高速飞行的电子束，偏转电极的作用是使电子束偏转，打在荧光屏不同位置.( )
(6)若只在示波管Y1、Y2上加电压，且UY1Y2>0，则电子向Y2方向偏转.( )
√
×
2.如图4所示，M和N是匀强电场中的两个等势面，相距为d，电势差为U，一质量为m(不计重力)、电荷量为－q的粒子，以速度v0通过等势面M射入两等势面之间，则该粒子穿过等势面
N的速度应是_____________.
图4
02
重点探究
1.示波管主要由电子枪(由发射电子的灯丝、加速电极组成)、偏转电极(由一对X偏转电极和一对Y偏转电极组成)和荧光屏组成.
2.扫描电压：XX′偏转电极接入的是由仪器自身产生的锯齿形电压.
3.示波管工作原理：被加热的灯丝发射出热电子，电子经加速电场加速后，以很大的速度进入偏转电场，如果在Y偏转电极上加一个信号电压，在X偏转电极上加一扫描电压，在荧光屏上就会出现按Y偏转电压规律变化的可视图像.
示波管的原理
一
例1 (多选)示波管的构造如图5所示.如果在荧光屏上P点出现亮斑，那么示波管中的
图5
A.极板X应带正电 B.极板X′应带正电
C.极板Y应带正电 D.极板Y′应带正电
√
√
解析 根据亮斑的位置，电子偏向XY区间，说明电子受到电场力作用发生了偏转，因此极板X、极板Y均应带正电.
带电粒子的加速
二
导学探究
如图6所示，平行金属板间的距离为d，电势差为U.一质量为m、带电荷量为q的α粒子，在电场力的作用下由静止开始从正极板A向负极板B运动.
图6
(1)比较α粒子所受电场力和重力的大小，说明重力能否忽略不计(α粒子质量是质子质量的4倍，即m＝4×1.67×10－27 kg，电荷量是质子的2倍).
答案 α粒子所受电场力大、重力小；因重力远小于电场力，故可以忽略重力.
(2)α粒子的加速度是多大(结果用字母表示)？在电场中做何种运动？
答案 α粒子的加速度为a＝ .在电场中做初速度为零的匀加速直线运动.
(3)计算粒子到达负极板时的速度大小.(结果用字母表示，尝试用不同的方法求解)
答案 方法1 利用动能定理求解.
方法2 利用牛顿运动定律结合运动学公式求解.
设粒子到达负极板时所用时间为t，
v＝at
(4)若上述电场是非匀强电场，粒子经过电压为U的电场加速，(3)中方法与结果是否成立？为什么？
答案 方法1成立.因为动能定理对任意电场都适用；
方法2不成立.因为粒子的运动不是匀变速直线运动.
知识深化
1.带电粒子的分类及受力特点
(1)电子、质子、α粒子、离子等基本粒子，一般都不考虑重力.
(2)质量较大的微粒：带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力.
2.分析带电粒子在电场力作用下做匀变速运动的两种方法
(1)利用牛顿第二定律F＝ma和运动学公式，只适用于匀强电场.
(2)利用动能定理：qU＝ ，适用于任意电场.
例2 (2019·盐城市第三中学期中)如图7所示，在A板附近有一电子由静止开始向B板运动，则关于电子到达B板时的速率，下列解释正确的是
A.两板间距离越大，加速的时间越长，则获得的速率越大
B.两板间距离越小，加速的时间就越长，则获得的速率越大
C.获得的速率大小与两板间的距离无关，仅与加速电压U有关
D.两板间距离越小，加速的时间越短，则获得的速率越小
√
图7
带电粒子的偏转
三
导学探究
如图8所示，带电粒子以初速度v0垂直于电场线方向射入两平行板间的匀强电场中.
设带电粒子的电荷量为－q、质量为m(不计重力)，平行板长为L，两板间距离为d，电势差为U.
(1)①你认为带电粒子的运动同哪种运动类似，这种运动的研究方法是什么？
图8
答案 带电粒子以初速度v0垂直于电场线方向射入匀强电场时，受到恒定的与初速度方向垂直的电场力作用而做匀变速曲线运动，类似于力学中的平抛运动，平抛运动的研究方法是运动的合成和分解.
②带电粒子在电场中的运动可以分解为哪两种运动？
答案 a.带电粒子在垂直于电场线方向上不受力，做匀速直线运动.
b.在平行于电场线方向上，受到电场力的作用做初速度为零的匀加速直线运动.
(2)如图9所示，求射出电场的带电粒子在电场中运动的时间t.
图9
(3)求粒子运动的加速度.
(4)求粒子射出电场时在电场力方向上的偏转距离y.
(5)求粒子离开电场时速度的偏转角θ(用正切值表示).
知识深化
1.运动分析及规律应用
粒子在板间做类平抛运动，应用运动分解的知识进行分析处理.
(1)在v0方向：做匀速直线运动；
(2)在电场力方向：做初速度为零的匀加速直线运动.
2.过程分析
如图10所示，设粒子不与平行板相撞
图10
3.两个重要推论
(1)粒子从偏转电场中射出时，其速度方向的反向延长线与初速度方向的延长线交于一点，此点为粒子沿初速度方向位移的中点.
(2)位移方向与初速度方向间夹角α的正切值为速度偏转角θ正切值的 ，即tan α＝
4.分析粒子的偏转问题也可以利用动能定理，即qEy＝ΔEk，其中y为粒子在偏转电场中沿电场力方向的偏移量.
例3 如图11所示为示波管中偏转电极的示意图，两板间距离为d，长度为l的平行板A、B加上电压后，可在A、B之间的空间中(设为真空)产生电场(设为匀强电场).在距A、B等距离处的O点，有一电荷量为＋q、质量为m的粒子以初速度v0沿水平方向(与A、B板平行)射入电场(图中已标出)，不计粒子重力，要使此粒子能从C处射出电场，则A、B间的电压应为
图11
√
例4 一束电子流经U1＝5 000 V的加速电压加速后，在距两极板等距离处垂直进入平行板间的匀强电场，如图12所示，两极板间电压U2＝400 V，两极板间距离d＝2.0 cm，板长L1＝5.0 cm.
(1)求电子在两极板间穿过时的偏移量y；
答案 0.25 cm
图12
进入偏转电场，电子在平行于极板的方向上做匀速直线运动，
L1＝v0t ②
在垂直于极板的方向上做匀加速直线运动，加速度为
(2)若平行板的右边缘与屏的距离L2＝5 cm，求电子打在屏上的位置与中心O的距离Y(O点位于平行板水平中线的延长线上)；
答案 0.75 cm
解析 如图，由几何关系知：
代入数据得：Y＝0.75 cm.
(3)若另一个质量为m(不计重力)的二价负离子经同一电压U1加速，再经同一偏转电场射出，则其射出偏转电场的偏移量y′和打在屏上的偏移量Y′各是多大？
答案 0.25 cm 0.75 cm
总结提升
电性相同的不同粒子经相同电场加速再经同一偏转电场，射出偏转电场时，不会分开.
例5 如图13所示，两个板长均为L的平板电极，平行正对放置，两极板间距离为d，极板之间的电势差为U，板间电场可以认为是匀强电场.一个带电粒子(质量为m，电荷量为＋q，可视为质点)从正极板边缘以某一初速度垂直于电场方向射入两极板之间，到达负极板时恰好落在极板边缘.忽略重力和空气阻力的影响.求：
(1)两极板间的电场强度大小E.
图13
解析 两极板间的电压为U，两极板间的距离为d，所以电场强度大小为E＝ .
(2)该粒子的初速度大小v0.
解析 带电粒子在极板间做类平抛运动，在平行于极板方向上有L＝v0t
(3)该粒子落到负极板时的末动能Ek.
03
达标检测
1.(示波管的原理)如图14是示波管的原理图.它由电子枪、偏转电极(XX′和YY′)、荧光屏组成，管内抽成真空.给电子枪通电后，如果在偏转电极XX′和YY′上都没有加电压，电子束将打在荧光屏的中心O点.
图14
(1)带电粒子在___区域是加速的，在____区域是偏转的.
(2)若UYY′＞0，UXX′＝0，则粒子向____极板偏移，若UYY′＝0，UXX′＞0，则粒子向____极板偏移.
Ⅰ
Ⅱ
Y
X
1
2
3
4
2.(带电粒子的直线运动)两平行金属板间距离为d，电势差为U，一电子质量为m，电荷量为e，从O点沿垂直于极板的方向射入，最远到达A点，然后返回，如图15所示，OA＝L，则此电子具有的初动能是
图15
√
1
2
3
4
3.(带电粒子的偏转)(2019·荆州市车胤中学高二上月考)如图16所示，电子在电势差为U1的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为U2的两块平行极板间的电场中，射入方向跟极板平行，整个装置处在真空中，电子的重力可忽略.在满足电子能射出平行极板的条件下，下述四种情况，一定能使电子的偏转角θ变大的是
A.U1变大、U2变大 B.U1变小、U2变大
C.U1变大、U2变小 D.U1变小、U2变小
√
1
2
3
4
图16
1
2
3
4
4.(带电粒子的偏转)如图17所示，电子从静止开始被U＝180 V的电场加速，沿直线垂直进入另一个场强为E＝6 000 V/m的匀强偏转电场，而后电子从极板右侧离开偏转电场.已知电子比荷为 ×1011 C/kg，不计电子的重力，偏转极板长为L＝6.0×10－2 m.求：
(1)电子经过电压U加速后的速度大小vx；
答案 8×106 m/s
1
2
3
4
图17
解析 根据动能定理有eU＝ mvx2，
解得vx＝8×106 m/s.
(2)电子在偏转电场中运动的加速度大小a；
答案 1.1×1015 m/s2
1
2
3
4
解析 电子在偏转电场中受到竖直向下的电场力，
根据牛顿第二定律有a＝ ，
解得a≈1.1×1015 m/s2.
(3)电子离开偏转电场时的速度方向与进入该电场时的速度方向之间的夹角θ.
答案 45°
1
2
3
4
在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，
联立解得θ＝45°.
04
课时对点练
基础对点练
√
解析 qU＝ －0，U相同，α粒子带的正电荷多，电荷量最大，所以α粒子获得的动能最大，故选项B正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2.(多选)一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)以速度v0逆着电场线方向射入有左边界的匀强电场，场强为E(如图1所示)，则
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
图1
√
√
1
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3
4
5
6
7
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9
10
11
考点二 带电粒子的偏转
3.一电子以初速度v0沿垂直场强方向射入两平行金属板间的匀强电场中，现减小两板间的电压，则电子穿过两平行板所需的时间
A.随电压的减小而减小 B.随电压的减小而增大
C.与电压减小与否无关 D.随两板间距离的增大而减小
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
√
解析 电子垂直于场强方向射入两平行金属板间的匀强电场中，在平行于金属板的方向电子不受力而做匀速直线运动，由L＝v0t得，电子穿过平行板所需要的时间为t＝ ，与金属板的长度成正比，与电子的初速度大小成反比，与其他因素无关，即与电压及两板间距离均无关，故C正确.
4.(2019·人大附中高二期中)如图2所示，有一带电粒子贴着A板沿水平方向射入匀强电场，当偏转电压为U1时，带电粒子沿①轨迹从两板正中间飞出；当偏转电压为U2时，带电粒子沿②轨迹落到B板中间；设粒子两次射入电场的水平速度相同，则两次偏转电压之比为
A.U1∶U2＝1∶8
B.U1∶U2＝1∶4
C.U1∶U2＝1∶2
D.U1∶U2＝1∶1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
图2
1
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4
5
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7
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9
10
11
解析 带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，水平位移为x＝v0t，两次运动的水平位移大小之比为2∶1；两次运动的水平速度相同，故运动时间之比为t1∶t2＝2∶1；由于竖直方向上的位移为h＝ ，h1∶h2＝1∶2，故加速度大小之比为a1∶a2＝1∶8，又a＝ ，故两次偏转电压之比为U1∶U2＝1∶8，故A正确.
1
2
3
4
5.(多选)如图3所示，矩形区域ABCD内存在竖直向下的匀强电场，两个带正电的粒子a和b以相同的水平速度射入电场，粒子a由顶点A射入，从BC的中点P射出，粒子b由AB的中点O射入，从顶点C射出，若不计重力，则
A.a和b在电场中运动的时间之比为1∶2
B.a和b在电场中运动的时间之比为2∶1
C.a和b的比荷之比为1∶8
D.a和b的比荷之比为8∶1
5
6
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11
√
图3
√
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11
解析 两个粒子在水平方向上做匀速直线运动，a、b两粒子的水平位移大小之比为1∶2，根据x＝v0t可知运动时间之比为1∶2；粒子在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，根据y＝ ，两粒子在竖直方向上的位移大小之比为2∶1，则a、b的加速度大小之比为8∶1，根据牛顿第二定律知加速度大小a＝ ，则加速度之比等于两粒子的比荷之比，故两粒子的比荷之比为8∶1，A、D正确，B、C错误.
考点三 带电粒子的加速与偏转
6.(多选)(2019·扬州市高一期末)如图4所示是某示波管的示意图，电子先由电子枪加速后进入偏转电场，如果在偏转电极上加一个电压，则电子束将会偏转，并飞出偏转电场.下列措施中能使电子偏转距离变大的是
A.尽可能把偏转极板L做得长一点
B.尽可能把偏转极板L做得短一点
C.尽可能把偏转极板间的距离d做得小一点
D.将电子枪的加速电压提高
√
√
1
2
3
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5
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图4
1
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解析 设加速电压为U1，
1
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3
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11
能力综合练
7.有一种电荷控制式喷墨打印机的打印头的结构简图如图5所示，其中墨盒可以喷出极小的墨汁微粒，此微粒经过带电室后以一定的初速度垂直射入偏转电场，再经偏转电场后打到纸上，显示出字符.现为了使打在纸上的字迹扩大，下列措施可行的是
A.增大墨汁微粒所带的电荷量
B.增大墨汁微粒的质量
C.减小极板的长度
D.减小偏转板间的电压
图5
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
增大墨汁微粒的质量或减小偏转板间的电压或减小极板的长度时，tan θ减小，字迹缩小，选项B、C、D错误.
1
2
3
8.(多选)(2019·广州二中期中)如图6所示，氕、氘、氚的原子核自初速度为零经同一电场加速后，又经同一匀强电场偏转，最后打在荧光屏上，那么
A.经过加速电场的过程中，电场力对氚核做的功最多
B.经过偏转电场的过程中，电场力对三种核做的功一
样多
C.三种原子核打在屏上的速度一样大
D.三种原子核都打在屏的同一位置上
4
5
6
7
8
9
10
11
√
图6
√
解析 设偏转极板的长度为L，板间距离为d，在加速电场中电场力做的功W＝qU1＝ ，由于加速电压相同，电荷量相等，所以电场力做的功相等，故选项A错误；
1
2
3
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5
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9.如图7所示，有一电子(电荷量为e)经电压U0由静止加速后，进入两块间距为d、电压为U的平行金属板间.若电子从两板正中间垂直电场方向射入，且正好能穿过电场，求：
(1)金属板AB的长度；
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图7
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(2)电子穿出电场时的动能.
解析 设电子穿出电场时的动能为Ek，
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10.长为L的平行金属板水平放置，两极板带等量的异种电荷，板间形成匀强电场，一个带电荷量为＋q、质量为m的带电粒子，以初速度v0紧贴上极板垂直于电场线方向进入该电场，刚好从下极板边缘射出，射出时速度恰与水平方向成30°角，如图8所示，不计粒子重力，求：
(1)粒子离开电场时速度的大小；
图8
解析 粒子离开电场时，速度与水平方向夹角为30°，由几何关系得：v＝
＝
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(2)匀强电场的场强大小；
解析 粒子在匀强电场中做类平抛运动，
在水平方向上：L＝v0t，在竖直方向上：vy＝at
由牛顿第二定律有：qE＝ma
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(3)两板间的距离.
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解析 粒子在匀强电场中做类平抛运动，在竖直方向上：
11.如图9所示为真空示波管的示意图，电子从灯丝K发出(初速度不计)，经灯丝与A板间的加速电压U1加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板M、N间的偏转电场中(偏转电场可视为匀强电场)，电子进入偏转电场时的速度与电场方向垂直，电子经过偏转电场后打在荧光屏上的P点.已知M、N两板间的电压为U2，两板间的距离为d，板长为L1，板右端到荧光屏的距离为L2，电子质量为m，电荷量为e.求：
(1)电子穿过A板时的速度大小；
拓展提升练
图9
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(2)电子从偏转电场射出时的侧移量；
解析 电子以速度v0进入偏转电场后，垂直于电场方向做匀速直线运动，沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动，设偏转电场的电场强度为E，电子在偏转电场中运动的时间为t1，电子的加速度为a，离开偏转电场时的侧移量为y1，根据牛顿第二定律和运动学公式得
(3)P点到O点的距离.
解析 设电子离开偏转电场时沿电场方向的速度为vy，
根据运动学公式得vy＝at1，电子离开偏转电场后做匀
速直线运动，设电子离开偏转电场后打在荧光屏上所
用的时间为t2，电子从离开偏转电场到打到荧光屏上的侧移量为y2，如图所示.
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(共74张PPT)
课时1 匀强电场中电势差与电场
强度的关系
第一章 5 匀强电场中电势差与电场强度的关系 示波管原理
学习目标
1.理解匀强电场中电势差与电场强度的关系：U＝Ed，并了解其适用条件.
2.会用U＝Ed或E＝ 解决有关问题.
3.知道电场强度的另一个单位“伏(特)每米”的意义.
达标检测
自主预习
重点探究
内容索引
NEIRONGSUOYIN
课时对点练(一)
课时对点练(二)
自主预习
01
1.沿电场线方向电势的变化(如图1所示)
匀强电场E中，沿电场线方向A、B两点间距离为d
(1)公式：UAB＝ ，E＝ .
(2)适用条件
① 电场.
②d为两点沿 的距离.
(3)结论：
①在匀强电场中，两点间的电势差等于场强与这两点间 的距离的乘积；
②场强的大小等于 上的电势差；
③沿电场线的方向电势越来越 .
图1
Ed
匀强
电场方向
沿电场线方向
沿场强方向每单位距离
低
2.沿垂直电场线方向电势的变化
沿垂直电场线方向上的C、D两点间电势差UCD＝ ，在等势面上移动电荷电场力 .
0
不做功
1.判断下列说法的正误.
(1)公式U＝Ed适用于所有电场.( )
(2)由U＝Ed可知，匀强电场中两点间的电势差与这两点的距离成正比.
( )
(3)匀强电场的场强值等于沿电场线方向每单位长度上的电势差值.( )
(4)在匀强电场中，任意两点间的电势差等于场强与这两点间距离的乘积.
( )
(5)电场强度越大的地方，等差等势面间的距离越小.( )
(6)电场线的方向就是电势降落最快的方向.( )
×
√
即学即用
×
×
√
√
2.如图2所示，场强为E＝1.0×102 V/m的匀强电场中，有相距d＝2.0×10－2 m的A、B两点，A、B连线与电场方向的夹角为60°，则A、B两点间的电势差为_____ V.
图2
1.0
解析 U＝Edcos 60°＝1.0×102×2.0×10－2× V＝1.0 V.
02
重点探究
导学探究
在如图3所示的匀强电场中，场强大小为E，A、B是沿电场方向上的两点，其电势差为UAB，A、B之间相距为d.现将一个电荷量为q的电荷由A移到B.
匀强电场中电势差与电场强度的关系
一
图3
(1)从力和位移的角度计算静电力所做的功；通过A、B间的电势差计算静电力做的功.
答案 WAB＝Fd＝qEd WAB＝qUAB
(2)比较两次计算的功的大小，说明电势差与电场强度有何关系.
答案 两次做功大小相等 UAB＝Ed
(3)B、C在同一等势面上，UAC与电场强度有何关系？
答案 UAC＝Ed
知识深化
1.公式UAB＝Ed、E＝ 的适用条件都是匀强电场.
两公式中d不是两点间的距离，而是两点所在的等势面的距离，只有当此两点在匀强电场中的同一条电场线上时，才是两点间的距离.
2.由E＝ 可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势.
3.电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向.
例1 如图4所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为
A.UOP＝－10sin θ (V) B.UOP＝10sin θ (V)
C.UOP＝－10cos θ (V) D.UOP＝10cos θ (V)
√
图4
解析 因为沿着电场线的方向电势降低，所以P点的电势高于O点的电势，则O、P两点的电势差UOP为负值.根据电势差与场强的关系可得UOP＝－Ed＝－E·Rsin θ＝－10sin θ (V)，所以A正确.
例2 如图5所示，P、Q两金属板间的电势差为50 V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10 cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4 cm.求：
(1)P板及A点的电势.
答案 －50 V －30 V
图5
解析 板间场强方向水平向左，可知Q板电势最高.Q板接地，则电势φQ＝0，板间各点电势均为负值.
Q、A间电势差UQA＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2 V＝30 V
所以A点电势φA＝－30 V，同理可求得P板电势φP＝UPQ＝－50 V.
(2)保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5 cm，则A点的电势将变为多少？
答案 －10 V
解析 当Q板向左平移5 cm时，
两板间距离d ″＝(10－5) cm＝5 cm
Q板与A点间距离变为d ?＝1 cm
Q、A间电势差UQA′＝E′d ?＝1×103×1×10－2 V＝10 V
所以A点电势φA′＝－10 V.
方法点拨
在应用关系式UAB＝Ed时可简化为U＝Ed，即只把电势差大小、场强大小通过公式联系起来，至于电势差的正负、电场强度的方向可根据题意另作判断.
利用E＝ 定性分析非匀强电场
二
UAB＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题.
(1)公式U＝Ed在非匀强电场中，E可理解为相距为d的两点间的平均电场强度.
(2)当电势差U一定时，场强E越大，则沿场强方向的距离d越小，即场强越大，等差等势面越密.
(3)距离相等的两点间的电势差：E越大，U越大；E越小，U越小.
例3 如图6所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa＝50 V，φc＝20 V，则a、c连线中点b的电势φb为
A.等于35 V B.大于35 V
C.小于35 V D.等于15 V
√
图6
解析 从电场线疏密可以看出ab段场强大于bc段场强，由U＝Ed可以判断Uab＞Ubc，即φa－φb>φb－φc，所以φb＜ ＝35 V.
三
1.在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U＝Ed，其中d为两点沿电场方向的距离.
由公式U＝Ed可以得到下面两个结论：
结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝ ，如图7甲所示.
用等分法确定等势线和电场线
甲 乙
图7
结论2：在匀强电场中，沿任意方向相互平行且相等的线段两端点的电势差相等.如图乙中，线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UDC(或φA－φB＝φD－φC)，同理有UAD＝UBC.
2.确定电场方向的方法
先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面.
例4 如图8所示，虚线方框内有一匀强电场，A、B、C为该电场中的三点，已知：φA＝12 V，φB＝6 V，φC＝－6 V.试在该虚线框内作出该电场的示意图(画出几条电场线)，并要求保留作图时所用的辅助线.
图8
答案 见解析图
解析 要画电场线，先找等势面(线).
因为UAC＝φA－φC＝18 V、UAB＝φA－φB＝6 V， ＝3，将线段AC等分成三份，即使AH＝HF＝FC，则φH＝6 V，φF＝0，故B、H电势相等.同理可知，φD＝0，故D、F电势相等，连接BH、DF即为等势线，由电场线与等势面(线)垂直且由高电势指向低电势，可画出电场线如图所示.
例5 如图9所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0 V，A点处的电势为6 V，B点处的电势为3 V，则电场强度的大小为
图9
√
四
1.φ－x图像
φ－x图像切线的斜率的绝对值k＝ ，为E的大小，场强E的方向为电势降低的方向.
2.E－x图像
E是矢量，E－x图像的正负反映E的方向，E的数值反映电场强度E的大小，E－x图像与x轴所围面积表示电势差大小.
φ－x图像和E－x图像分析
例6 (多选)真空中有一半径为r0的带电金属球壳，通过其球心的一直线上各点的电势φ分布如图10所示，r表示该直线上某点到球心的距离，r1、r2分别是该直线上A、B两点离球心的距离，下列说法中正确的有
A.该金属球壳可能带负电
B.A点的电场强度方向由A指向B
C.A点的电场强度大于B点的电场强度
D.负电荷沿直线从A移到B的过程中，电场力做正功
图10
√
√
解析 由r>r0时，电势φ随r的增大而降低可知，电场
线方向沿r轴正方向，则该金属球壳带正电，A点的电
场强度方向由A指向B，故A项错误，B项正确；
根据φ－r图像的切线的斜率大小表示电场强度的大小
可知，A点的电场强度大于B点的电场强度，C项正确；
负电荷沿直线从A移到B的过程中，电场力做负功，D项错误.
例7 (多选)(2019·启东中学高二质检)如图11甲所示，真空中有一半径为R、电荷量为＋Q的均匀带电球体，以球心为坐标原点，沿半径方向建立x轴.理论分析表明，x轴上各点的场强随x变化的关系如图乙所示，则
A.c点处的场强和a点处的场强大小相等、
方向相同
B.球内部的电场为匀强电场
C.a、c两点处的电势相等
D.假设将一个带正电的检验电荷沿x轴移动，
则从a点处移动到c点处的过程中，电场力一直做正功
√
图11
√
解析 根据题图乙可知c点处场强和a点处场强大小相等、方向相同，球内部的电场为非匀强电场，选项A正确，选项B错误；
由题图甲可知，电场线的方向一定是从圆心指向无穷远处，沿电场线方向电势逐渐降低，所以a点的电势大于c点的电势，选项C错误；
假设将一个带正电的检验电荷沿x轴移动，电场力与运动方向相同，电场力一直做正功，选项D正确.
03
达标检测
1.(对电场强度和电势差关系的理解)(多选)下列说法正确的是
A.由公式E＝ 得，电场强度E与电势差U成正比，与两点间距离d成反比
B.由公式E＝ 得，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强
度就越小
C.在匀强电场中，任意两点间电势差等于场强和这两点沿电场方向的距离
的乘积
D.公式E＝ 只适用于匀强电场
√
√
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5
2.(公式U＝Ed的应用)如图12所示，在匀强电场中，A、B两点相距10 cm，E＝100 V/m，AB与电场线方向的夹角θ＝120°，则A、B两点间的电势差为
图12
A.5 V B.－5 V C.10 V D.－10 V
√
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5
3.(用公式U＝Ed定性分析非匀强电场)如图13所示，三个同心圆是同一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列.A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上.A、C两点的电势依次为φA＝15 V和φC＝5 V，则B点的电势
A.一定高于10 V B.一定等于10 V
C.一定低于10 V D.无法确定
√
图13
解析 由正点电荷的电场线分布可知AB段电场线比BC段电场线密，则AB段场强较大，根据公式U＝Ed可知，A、B间电势差UAB大于B、C间电势差UBC，即φA－φB>φB－φC，得到φB< ＝10 V，选项C正确.
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4.(等分法确定电场线)(多选)如图14所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点，在下列各示意图中，能正确表示该电场强度方向的是
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图14
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√
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解析 根据匀强电场的特点可知，H、F的电势分别为φH＝4 V，φF＝3 V，G的电势φG＝ ＝4 V，则φH＝φG，则电场线垂直于GH，又φC＝φF，可知电场线与CF垂直，故B、C正确.
5.(φ－x图像的理解和应用)(2019·衡水市测试)静电场方向
平行于x轴，其电势随x的分布可简化为如图15所示的折线，
图中φ0和d为已知量.一个带负电的粒子在电场中以x＝0为
中心、沿x轴方向做周期性运动.已知该粒子质量为m、电荷
量为－q，忽略重力.规定x轴正方向为电场强度E、加速度a、
速度v的正方向，选项图分别表示x轴上各点的电场强度E、粒子的加速度a、速度v和动能Ek随x的变化图像，其中正确的是
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图15
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解析 φ－x图像切线的斜率表示电场强度，沿电场方向电
势降低，因而在x＝0的左侧，电场向左，且为匀强电场，
故A错误；
由于粒子带负电，粒子的加速度在x＝0左侧为正值，在x＝0右侧为负值，且大小不变，故B错误；
在x＝0左侧粒子向右做匀加速运动，在x＝0右侧向右做匀减速运动，速度与位移不成正比，故C错误；
在x＝0左侧，根据动能定理得qEx＝Ek－Ek0，在x＝0的右侧，根据动能定理得－qEx＝Ek′－Ek0′，故D正确.
04
课时对点练(一)
考点一 公式UAB＝Ed的理解
1.对公式E＝ 和UAB＝Ed的理解，下列说法正确的是
A.公式UAB＝Ed适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差
B.由UAB＝Ed知，A点和B点间距离越大，则这两点的电势差越大
C.由E＝ 知，匀强电场中A、B两点沿电场线的距离越大，则电场强度
越小
D.公式中的d是匀强电场中A、B所在的两等势面之间的距离
√
基础对点练
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2.(多选)关于匀强电场中的场强和电势差的关系，下列说法正确的是
A.任意两点间的电势差，等于场强和这两点间距离的乘积
B.沿电场线方向，相同距离上电势降落必相等
C.电势降低最快的方向必是场强方向
D.在相同距离的两点上，电势差大的，其场强也大
√
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解析 UAB＝Ed中的d为A、B两点沿电场线方向的距离，选项A、D错误；
由UAB＝Ed可知沿电场线方向，电势降低最快，且相同距离上电势降落必相等，选项B、C正确.
3.如图1所示，a、b、c是一条电场线上的三点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，用Uab、Ubc分别表示a、b和b、c两点的电势差，可以判定
A.Ea＝Eb＝Ec B.Ea>Eb>Ec
C.φa>φb>φc D.Uab＝Ubc
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图1
解析 沿电场线方向电势降低，φa>φb>φc，C正确；
仅由一条电场线无法确定场强大小关系，A、B错误；
只有匀强电场才有Uab＝Ubc，D错误.
考点二 公式UAB＝Ed和E＝ 的简单应用
4.如图2所示是匀强电场中的一组等势面，每两个
相邻等势面间的距离都是25 cm，由此可确定此电
场的电场强度的方向及大小为
A.竖直向下，E＝0.4 V/m
B.水平向右，E＝0.4 V/m
C.水平向左，E＝40 V/m
D.水平向右，E＝40 V/m
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图2
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5.(多选)如图3所示，实线为电场线，虚线为等势线，且AB＝BC，电场中的A、B、C三点的场强分别为EA、EB、EC；电势分别为φA、φB、φC，AB、BC间的电势差分别为UAB、UBC，则下列关系中正确的是
A.φA>φB>φC B.EC>EB>EA
C.UAB>UBC D.UAB＝UBC
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图3
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解析 A、B、C三点处在同一条电场线上，根据沿着电场线的方向电势逐渐降落，有φA>φB>φC，故A正确；
由电场线的密集程度可看出电场强度大小关系为EC>EB>EA，故B正确；
电场线密集的地方电势降落较快，由U＝Ed知：UBC>UAB，故C、D错误.
6.如图4所示，沿x轴正方向的匀强电场E中，有一动点A以O为圆心，r＝OA为半径逆时针转动一周，O与圆周上的A点的连线OA与x轴正方向(E方向)成θ角(θ< )，则此圆周上各点与A点间最大的电势差为
A.U＝Er B.U＝Er(sin θ＋1)
C.U＝Er(cos θ＋1) D.U＝2Er
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图4
解析 由U＝Ed知，与A点间电势差最大的点应是沿场强方向与A点相距最远的点，dmax＝r＋rcos θ，所以Umax＝Er(cos θ＋1)，故C项正确.
7.(2019·福州一中高二期中)如图5所示，相距10 mm的两等势面AA′、BB′，其间有一静止的油滴P，已知它的重力为1.6×10－14 N，所带的电荷量是
＋3.2×10－19 C，(AA′与BB′间电场为匀强电场)则下列判断正确的是
A.φA>φB，UAB＝100 V
B.φA>φB，UAB＝750 V
C.φA<φB，UBA＝500 V
D.φA<φB，UBA＝1000 V
√
图5
解析 由于油滴静止，则油滴所受电场力与重力等大反向，即电场方向向上，故φA<φB，由E＝ ，F＝G，得E＝5×104 V/m，所以UBA＝EdBA＝5×104×10－2 V＝500 V，故选项C正确.
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8.(多选)细胞膜的厚度等于700 nm(1 nm＝10－9 m)，当膜的内外层之间的电压达0.4 V时，即可让一价钠离子渗透.设细胞膜内的电场为匀强电场，则当一价钠离子恰好渗透时，
A.膜内电场强度约为5.71×105 V/m
B.膜内电场强度约为1.04×106 V/m
C.每个钠离子沿电场方向透过膜时电场力做的功等于6.4×10－20 J
D.每个钠离子沿电场方向透过膜时电场力做的功等于1.28×10－19 J
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电场力做功为W＝qU＝1.6×10－19×0.4 J＝6.4×10－20 J，C正确，D错误.
9.(多选)如图6所示，A、B两板间电压为600 V，A板带正电并接地，A、B两板间距离为12 cm，C点离A板4 cm，下列说法正确的是
A.E＝2 000 V/m，φC＝200 V
B.E＝5 000 V/m，φC＝－200 V
C.电子在C点具有的电势能为－200 eV
D.电子在C点具有的电势能为200 eV
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能力综合练
图6
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解析 A板接地，则其电势为零，因为A板带正电且A、B两板间的电压为600 V，则B板电势为－600 V，由此知C点电势为负值，则A、B两板间场强E＝ V/m＝5 000 V/m，φC＝－EdAC＝－5 000×0.04 V＝－200 V，A错误，B正确；
电子在C点具有的电势能为200 eV，C错误，D正确.
10.匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，AB的长度为1 m，D为AB的中点，如图7所示.已知电场线的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三点的电势分别为14 V、6 V和2 V.设电场强度大小为E，一电荷量为1×10－6 C的正电荷从D点移到C点电场力所做的功为W，则
A.W＝8×10－6 J E>8 V/m
B.W＝6×10－6 J E>6 V/m
C.W＝8×10－6 J E≤8 V/m
D.W＝6×10－6 J E≤6 V/m
√
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图7
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11.如图8所示，在竖直平面内存在匀强电场，其电场线如图中实线所示，方向未知，将带电荷量为q＝－1.0×10－6 C的点电荷由A点沿水平线移至B点，其电势能增加了3×10－5 J，已知A、B两点间的距离为2 cm，两点连线与电场线成60°角.
(1)求A、B两点间的电势差UAB；
答案 30 V
图8
解析 由题意知，静电力做负功为
WAB＝－3×10－5 J
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(2)若A点的电势φA＝－1 V，求B点的电势φB；
答案 －31 V
解析 UAB＝φA－φB
故φB＝φA－UAB＝(－1－30) V＝－31 V
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(3)求电场强度E的大小，并判断其方向.
答案 3 000 V/m 沿电场线指向左下方
解析 A、B两点间沿电场线方向的距离为：
d＝2×10－2cos 60° m＝1×10－2 m，
由于A点电势高于B点电势，故场强方向：沿电场线指向左下方.
12.如图9所示，平行金属带电极板A、B间可看成匀强电场，场强E＝1.2×102 V/m，极板间距离d＝5 cm，电场中C点和D点分别到A、B两板的距离均为0.5 cm，B板接地，求：
(1)C、D两点的电势和两点间的电势差；
答案 －5.4 V －0.6 V －4.8 V
图9
解析 因正极板接地，故板间各点电势均小于零，由U＝Ed得
UBD＝EdBD＝1.2×102×0.5×10－2 V＝0.6 V，即φD＝－0.6 V.
由于dCB＝5 cm－0.5 cm＝4.5 cm＝4.5×10－2 m，
所以UCB＝－EdCB＝－1.2×102×4.5×10－2 V＝－5.4 V＝φC.
所以UCD＝φC－φD＝－5.4 V－(－0.6 V)＝－4.8 V.
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(2)将点电荷q＝2×10－2 C从C点匀速移到D点时除电场力外的其他力做的功.
答案 9.6×10－2 J
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解析 因为点电荷匀速移动，除电场力外的其他力所做的功等于克服电场力所做的功，故W外＝|qUCD|＝2×10－2×4.8 J＝9.6×10－2 J.
13.如图10所示的匀强电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，相邻等势面间隔均为d，各等势面电势已在图中标出(U>0)，现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，求：(重力加速度为g)
(1)小球应带何种电荷及其电荷量；
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图10
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解析 作电场线如图甲所示.由题意知，只有小球受到向左的电场力，电场力和重力的合力方向与初速度方向才可能在一条直线上，如图乙所示.只有当F合与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动，所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速运动.由图乙知qE＝mg，相邻等势面间的电势差为U，所以E
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(2)小球受到的合外力大小；
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(3)在入射方向上小球运动的最大位移的大小xm.(电场范围足够大)
05
课时对点练(二)
考点一 等分法确定等势线和电场线
1.a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点.电场线与矩形所在平面平行.已知a点的电势为20 V，b点的电势为24 V，d点的电势为4 V，如图1所示，由此可知c点的电势为
A.4 V B.8 V
C.12 V D.24 V
基础对点练
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图1
√
解析 因为bc与ad平行且相等，由匀强电场特点可得：φb－φc＝φa－φd，解得φc＝8 V，故选项B正确.
2.a、b、c是匀强电场中的三个点，各点电势分别为φa＝10 V，φb＝2 V，φc＝6 V，a、b、c三点所在平面与电场方向平行，下列各图中电场强度的方向表示正确的是
√
解析 由于是匀强电场，因此a、b连线中点的电势与c点电势相等，电场强度的方向垂直于等势线且由高电势处指向低电势处，所以D正确.
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考点二 φ－x图像和E－x图像
3.(多选)某静电场沿x轴方向上的电势分布如图2所示，则
A.在O～x1之间不存在沿x方向的电场
B.在O～x1之间存在着沿x方向的匀强电场
C.在x1～x2之间存在着沿x方向的匀强电场
D.在x1～x2之间存在着沿x方向的非匀强电场
√
图2
√
解析 在φ－x图像中，斜率k表示在x方向上的场强Ex.所以O～x1沿x方向场强为零，A正确，B错误；
x1～x2之间电势均匀减小，斜率不变，即Ex不变，x1～x2之间存在沿x方向的匀强电场，C正确，D错误.
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4.(多选)静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系如图3所示，x轴正方向为电场强度正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷
A.在x2和x4处电势能相等
B.由x1运动到x3的过程中电势能增大
C.由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小
D.由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大
√
图3
√
解析 由题图可知，x1到x4电场强度先变大，再变小，则点电荷受到的电场力先增大后减小，C正确，D错误；
由x1到x3及由x2到x4过程中，电场力做负功，电势能增大，故A错误，B正确.
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能力综合练
5.(2020·邹城一中高二期中)如图4所示，abcd是矩形的四个顶点，它们正好处于某一匀强电场中，电场线与矩形所在平面平行，已知ab＝ ，ad＝3 cm；a点电势为15 V，b点电势为24 V，d点电势为6 V，则此匀强电场的电场强度大小为
图4
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6.(多选)空间某一静电场的电势φ在x轴上的分布如图5所示，x轴上两点B、C的电场强度在x轴方向上的分量分别是EBx、ECx，下列说法中正确的有
A.EBx的大小大于ECx的大小
B.EBx的方向沿x轴正方向
C.电荷在O点受到的电场力在x轴方向上的分量最大
D.负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功
后做负功
√
图5
√
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解析 在φ－x图像中，图线的斜率大小表示场强大小，
可见EBx＞ECx，选项A正确；
同理可知O点场强在x轴方向上的分量最小，电荷在该
点受到的电场力在x轴方向上的分量最小，选项C错误；
沿电场方向电势降低，在O点左侧，Ex的方向沿x轴负方向，在O点右侧，Ex的方向沿x轴正方向，选项B错误，选项D正确.
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7.(2019·雅安中学高二上月考)如图6甲所示为电场中的一条电场线，在电场线上建立坐标轴，坐标轴上O～x2间各点的电势分布如图乙所示，则
A.在O～x2间，电场强度先减小后增大
B.若一负电荷从O点运动到x2点，电势
能逐渐减小
C.在O～x2间，电场强度方向没有发生
变化
D.从O点静止释放一仅受电场力作用的正电荷，则该电荷在O～x2间先做加速
运动后做减速运动
√
图6
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解析 φ－x图像的斜率表示电场强度，由题图乙知，斜率先增大后减小，则电场强度先增大后减小，但斜率一直是负，场强方向没有改变，故A错误，C正确；
由题图乙看出，从O～x2，电势逐渐降低，若一负电荷从O点运动到x2点，电势能逐渐增大，故B错误；
从O点静止释放一仅受电场力作用的正电荷，受到的电场力方向与速度方向相同，做加速运动，即该电荷在O～x2间一直做加速运动，故D错误.
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8.(2019·辽宁省实验中学高二月考)如图7所示，在匀强电场中，将带电荷量q＝－6×10－6 C的电荷从电场中的A点移到B点，克服电场力做了2.4×10－5 J的功，再从B点移到C点，电场力做了1.2×10－5 J的功.
(1)求A、B两点间的电势差UAB和B、C两点间的电势差UBC；
答案 见解析
图7
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(2)如果规定B点的电势为零，则A点和C点的电势分别为多少？
答案 见解析
解析 UAB＝φA－φB，UBC＝φB－φC
又φB＝0
故φA＝4 V，φC＝2 V.
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(3)作出过B点的一条电场线.
答案 见解析
解析 取AB的中点D，则D点的电势为2 V，连接CD，CD为等势线，电场线与等势线垂直，由高电势指向低电势，如图所示.
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课时2 示波管原理 带电粒子在电场中的加速和偏转
[学习目标] 1.知道示波管的主要构造和工作原理.2.了解带电粒子在电场中只受电场力作用时的两种典型运动．
一、示波管原理
1．示波管(阴极射线管)的构造(如图1所示)．
图1
2．电子在阴极射线管中运动的三个阶段
(1)加速：电子在阴极和阳极之间形成的电场中受电场力，电场力做正功，其动能增大，阳极和阴极间电压越高，电子穿过阳极小孔时获得的速度越大．
(2)偏转：电子在水平平行金属板间的匀强电场中所受电场力方向与水平初速度垂直，因此电子在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做初速度为零的匀加速运动．偏转电极所加电压越大，电子飞出电场时的偏转角度就越大．
(3)匀速直线运动：电子射出电场后，不再受电场力作用，保持偏转角度不变，做匀速直线运动，直到打在荧光屏上，显示出荧光亮点．
二、实验观察：带电粒子在电场中的偏转
1．实验室里的示波管的构造
如图2所示，示波管中有水平和竖直两个方向上的两对偏转电极．
图2
2．工作原理
(1)若在两对偏转电极上所加电压为零，则电子束将打在O点产生亮斑．
(2)若只在偏转电极Y1、Y2上加一稳定电压，则电子束将沿y方向发生偏转．
(3)若只在偏转电极X1、X2上加一稳定电压，则电子束将沿x方向发生偏转．
(4)若在偏转电极X1、X2和Y1、Y2上均加了一定的电压，则亮斑既偏离y轴又偏离x轴．
(5)若加在X1、X2上的电压随时间按图3甲所示的规律周期性地变化，在Y1、Y2上的电压随时间以正弦函数变化，则示波器显示的图形如图乙所示．
图3
1．判断下列说法的正误．
(1)带电粒子(不计重力)在电场中由静止释放时，一定做匀加速直线运动．( × )
(2)对带电粒子在电场中的运动，从受力的角度来看，遵循牛顿运动定律；从做功的角度来看，遵循能量守恒定律．( √ )
(3)动能定理能分析匀强电场中的直线运动问题，不能分析非匀强电场中的直线运动问题．
( × )
(4)带电粒子在匀强电场中偏转时，加速度不变，粒子的运动是匀变速曲线运动．( √ )
(5)示波管电子枪的作用是产生高速飞行的电子束，偏转电极的作用是使电子束偏转，打在荧光屏不同位置．( √ )
(6)若只在示波管Y1、Y2上加电压，且UY1Y2>0，则电子向Y2方向偏转．( × )
2.如图4所示，M和N是匀强电场中的两个等势面，相距为d，电势差为U，一质量为m(不计重力)、电荷量为－q的粒子，以速度v0通过等势面M射入两等势面之间，则该粒子穿过等势面N的速度应是________．
图4
答案
解析 由动能定理有：qU＝mv2－mv02，
解得v＝ .
一、示波管的原理
1．示波管主要由电子枪(由发射电子的灯丝、加速电极组成)、偏转电极(由一对X偏转电极和一对Y偏转电极组成)和荧光屏组成．
2．扫描电压：XX′偏转电极接入的是由仪器自身产生的锯齿形电压．
3．示波管工作原理：被加热的灯丝发射出热电子，电子经加速电场加速后，以很大的速度进入偏转电场，如果在Y偏转电极上加一个信号电压，在X偏转电极上加一扫描电压，在荧光屏上就会出现按Y偏转电压规律变化的可视图像．
例1 (多选)示波管的构造如图5所示．如果在荧光屏上P点出现亮斑，那么示波管中的( )
图5
A．极板X应带正电 B．极板X′应带正电
C．极板Y应带正电 D．极板Y′应带正电
答案 AC
解析 根据亮斑的位置，电子偏向XY区间，说明电子受到电场力作用发生了偏转，因此极板X、极板Y均应带正电．
二、带电粒子的加速
如图6所示，平行金属板间的距离为d，电势差为U.一质量为m、带电荷量为q的α粒子，在电场力的作用下由静止开始从正极板A向负极板B运动．
图6
(1)比较α粒子所受电场力和重力的大小，说明重力能否忽略不计(α粒子质量是质子质量的4倍，即m＝4×1.67×10－27 kg，电荷量是质子的2倍)．
(2)α粒子的加速度是多大(结果用字母表示)？在电场中做何种运动？
(3)计算粒子到达负极板时的速度大小．(结果用字母表示，尝试用不同的方法求解)
(4)若上述电场是非匀强电场，粒子经过电压为U的电场加速，(3)中方法与结果是否成立？为什么？
答案 (1)α粒子所受电场力大、重力小；因重力远小于电场力，故可以忽略重力．
(2)α粒子的加速度为a＝.在电场中做初速度为零的匀加速直线运动．
(3)方法1 利用动能定理求解．
由动能定理可知qU＝mv2
v＝.
方法2 利用牛顿运动定律结合运动学公式求解．
设粒子到达负极板时所用时间为t，则
d＝at2
v＝at
a＝
联立解得v＝.
(4)方法1成立．因为动能定理对任意电场都适用；
方法2不成立．因为粒子的运动不是匀变速直线运动．
1．带电粒子的分类及受力特点
(1)电子、质子、α粒子、离子等基本粒子，一般都不考虑重力．
(2)质量较大的微粒：带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力．
2．分析带电粒子在电场力作用下做匀变速运动的两种方法
(1)利用牛顿第二定律F＝ma和运动学公式，只适用于匀强电场．
(2)利用动能定理：qU＝mv2－mv02，适用于任意电场．
例2 (2019·盐城市第三中学期中)如图7所示，在A板附近有一电子由静止开始向B板运动，则关于电子到达B板时的速率，下列解释正确的是( )
图7
A．两板间距离越大，加速的时间越长，则获得的速率越大
B．两板间距离越小，加速的时间就越长，则获得的速率越大
C．获得的速率大小与两板间的距离无关，仅与加速电压U有关
D．两板间距离越小，加速的时间越短，则获得的速率越小
答案 C
解析 根据动能定理有，qU＝mv2，解得v＝，可知获得的速率与加速电压有关，与板间距离d无关，由于板间电压U不变，故获得的速率不变，C正确；由牛顿第二定律可知，qE＝ma，而E＝，故a＝＝，电子在两板间做匀加速直线运动，故有d＝at2＝，可得t＝d，可知两板间距离越小，加速时间越短，综合以上分析可知，A、B、D错误．
三、带电粒子的偏转
如图8所示，带电粒子以初速度v0垂直于电场线方向射入两平行板间的匀强电场中．
图8
设带电粒子的电荷量为－q、质量为m(不计重力)，平行板长为L，两板间距离为d，电势差为U.
(1)①你认为带电粒子的运动同哪种运动类似，这种运动的研究方法是什么？
②带电粒子在电场中的运动可以分解为哪两种运动？
(2)如图9所示，求射出电场的带电粒子在电场中运动的时间t.
图9
(3)求粒子运动的加速度．
(4)求粒子射出电场时在电场力方向上的偏转距离y.
(5)求粒子离开电场时速度的偏转角θ(用正切值表示)．
答案 (1)①带电粒子以初速度v0垂直于电场线方向射入匀强电场时，受到恒定的与初速度方向垂直的电场力作用而做匀变速曲线运动，类似于力学中的平抛运动，平抛运动的研究方法是运动的合成和分解．
②a.带电粒子在垂直于电场线方向上不受力，做匀速直线运动．
b．在平行于电场线方向上，受到电场力的作用做初速度为零的匀加速直线运动．
(2)粒子在电场中的运动时间t＝.
(3)匀强电场的场强E＝，带电粒子所受电场力F＝qE，则加速度a＝＝.
(4)电场力方向上的偏转距离：
y＝at2＝××2＝.
(5)沿电场方向vy＝at，tan θ＝＝＝.
1．运动分析及规律应用
粒子在板间做类平抛运动，应用运动分解的知识进行分析处理．
(1)在v0方向：做匀速直线运动；
(2)在电场力方向：做初速度为零的匀加速直线运动．
2．过程分析
如图10所示，设粒子不与平行板相撞
图10
初速度方向：粒子通过电场的时间t＝
电场力方向：加速度a＝＝
离开电场时垂直于板方向的分速度
vy＝at＝
速度与初速度方向夹角的正切值
tan θ＝＝
离开电场时沿电场力方向的偏移量
y＝at2＝.
3．两个重要推论
(1)粒子从偏转电场中射出时，其速度方向的反向延长线与初速度方向的延长线交于一点，此点为粒子沿初速度方向位移的中点．
(2)位移方向与初速度方向间夹角α的正切值为速度偏转角θ正切值的，即tan α＝tan θ.
4．分析粒子的偏转问题也可以利用动能定理，即qEy＝ΔEk，其中y为粒子在偏转电场中沿电场力方向的偏移量．
例3 如图11所示为示波管中偏转电极的示意图，两板间距离为d，长度为l的平行板A、B加上电压后，可在A、B之间的空间中(设为真空)产生电场(设为匀强电场)．在距A、B等距离处的O点，有一电荷量为＋q、质量为m的粒子以初速度v0沿水平方向(与A、B板平行)射入电场(图中已标出)，不计粒子重力，要使此粒子能从C处射出电场，则A、B间的电压应为( )
图11
A. B.
C. D.
答案 A
解析 带电粒子只受电场力作用，在平行板间做类平抛运动．设粒子由O到C的运动时间为t，则有l＝v0t；设A、B间的电压为U，则偏转电极间匀强电场的场强E＝，粒子所受电场力F＝qE＝；根据牛顿第二定律可得粒子沿电场方向的加速度a＝＝，粒子在沿电场方向做匀加速直线运动，位移为d，由匀加速直线运动的规律得＝at2，联立解得U＝，选项A正确．
例4 一束电子流经U1＝5 000 V的加速电压加速后，在距两极板等距离处垂直进入平行板间的匀强电场，如图12所示，两极板间电压U2＝400 V，两极板间距离d＝2.0 cm，板长L1＝5.0 cm.
图12
(1)求电子在两极板间穿过时的偏移量y；
(2)若平行板的右边缘与屏的距离L2＝5 cm，求电子打在屏上的位置与中心O的距离Y(O点位于平行板水平中线的延长线上)；
(3)若另一个质量为m(不计重力)的二价负离子经同一电压U1加速，再经同一偏转电场射出，则其射出偏转电场的偏移量y′和打在屏上的偏移量Y′各是多大？
答案 (1)0.25 cm (2)0.75 cm (3)0.25 cm 0.75 cm
解析 (1)电子加速过程，由动能定理得eU1＝mv02①
进入偏转电场，电子在平行于极板的方向上做匀速直线运动，
L1＝v0t②
在垂直于极板的方向上做匀加速直线运动，加速度为
a＝＝③
偏移距离y＝at2④
由①②③④得：y＝，代入数据得：y＝0.25 cm.
(2)如图，由几何关系知：
＝得：Y＝y
代入数据得：Y＝0.75 cm.
(3)因y＝，Y＝y，偏移量与粒子的质量m和电荷量q无关，故二价负离子经同样装置后，y′＝y＝0.25 cm，Y′＝Y＝0.75 cm.
电性相同的不同粒子经相同电场加速再经同一偏转电场，射出偏转电场时，不会分开.
例5 如图13所示，两个板长均为L的平板电极，平行正对放置，两极板间距离为d，极板之间的电势差为U，板间电场可以认为是匀强电场．一个带电粒子(质量为m，电荷量为＋q，可视为质点)从正极板边缘以某一初速度垂直于电场方向射入两极板之间，到达负极板时恰好落在极板边缘．忽略重力和空气阻力的影响．求：
图13
(1)两极板间的电场强度大小E.
(2)该粒子的初速度大小v0.
(3)该粒子落到负极板时的末动能Ek.
答案 (1) (2) (3)Uq
解析 (1)两极板间的电压为U，两极板间的距离为d，所以电场强度大小为E＝.
(2)带电粒子在极板间做类平抛运动，在平行于极板方向上有L＝v0t
在垂直于极板方向上有d＝at2
根据牛顿第二定律可得：a＝，而F＝Eq
所以a＝
解得：v0＝.
(3)根据动能定理可得Uq＝Ek－mv02
解得Ek＝Uq.
1．(示波管的原理)如图14是示波管的原理图．它由电子枪、偏转电极(XX′和YY′)、荧光屏组成，管内抽成真空．给电子枪通电后，如果在偏转电极XX′和YY′上都没有加电压，电子束将打在荧光屏的中心O点．
图14
(1)带电粒子在________区域是加速的，在________区域是偏转的．
(2)若UYY′＞0，UXX′＝0，则粒子向________极板偏移，若UYY′＝0，UXX′＞0，则粒子向________极板偏移．
答案 (1)Ⅰ Ⅱ (2)Y X
2．(带电粒子的直线运动)两平行金属板间距离为d，电势差为U，一电子质量为m，电荷量为e，从O点沿垂直于极板的方向射入，最远到达A点，然后返回，如图15所示，OA＝L，则此电子具有的初动能是( )
图15
A. B．edUL
C. D.
答案 D
解析 电子从O点运动到A点，因受电场力作用，速度逐渐减小．根据能量守恒定律得mv02＝eUOA，UOA＝EL＝，故mv02＝，所以D正确．
3．(带电粒子的偏转)(2019·荆州市车胤中学高二上月考)如图16所示，电子在电势差为U1的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为U2的两块平行极板间的电场中，射入方向跟极板平行，整个装置处在真空中，电子的重力可忽略．在满足电子能射出平行极板的条件下，下述四种情况，一定能使电子的偏转角θ变大的是( )
图16
A．U1变大、U2变大 B．U1变小、U2变大
C．U1变大、U2变小 D．U1变小、U2变小
答案 B
解析 设电子被加速后获得的速度为v0，由动能定理得qU1＝mv02，设极板长为l，则电子在极板间偏转的时间t＝，设电子在平行极板间运动的加速度为a，由牛顿第二定律得a＝＝，电子射出平行极板时，竖直分速度vy＝at，联立可得：vy＝，tan θ＝＝，故U2变大、U1变小时，一定能使偏转角θ变大，选项B正确，选项A、C、D错误．
4．(带电粒子的偏转)如图17所示，电子从静止开始被U＝180 V的电场加速，沿直线垂直进入另一个场强为E＝6 000 V/m的匀强偏转电场，而后电子从极板右侧离开偏转电场．已知电子比荷为≈×1011 C/kg，不计电子的重力，偏转极板长为L＝6.0×10－2 m．求：
图17
(1)电子经过电压U加速后的速度大小vx；
(2)电子在偏转电场中运动的加速度大小a；
(3)电子离开偏转电场时的速度方向与进入该电场时的速度方向之间的夹角θ.
答案 (1)8×106 m/s (2)1.1×1015 m/s2 (3)45°
解析 (1)根据动能定理有eU＝mvx2，
解得vx＝8×106 m/s.
(2)电子在偏转电场中受到竖直向下的电场力，
根据牛顿第二定律有a＝，
解得a≈1.1×1015 m/s2.
(3)电子在水平方向上做匀速直线运动，故t＝，
在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，
故vy＝at，又tan θ＝，
联立解得θ＝45°.
考点一 带电粒子的直线运动
1．质子(H)、α粒子(He)、钠离子(Na＋)三个粒子分别从静止状态经过电压为U的同一电场加速后，获得动能最大的是( )
A．质子(H) B．α粒子(He)
C．钠离子(Na＋) D．都相同
答案 B
解析 qU＝mv2－0，U相同，α粒子带的正电荷多，电荷量最大，所以α粒子获得的动能最大，故选项B正确．
2.(多选)一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)以速度v0逆着电场线方向射入有左边界的匀强电场，场强为E(如图1所示)，则( )
图1
A．粒子射入的最大深度为
B．粒子射入的最大深度为
C．粒子在电场中运动的最长时间为
D．粒子在电场中运动的最长时间为
答案 BD
解析 粒子射入到最右端，由动能定理得－Eqxmax＝－mv02，最大深度xmax＝；由v0＝at，a＝，可得t＝，则粒子在电场中运动的最长时间为，选项B、D正确．
考点二 带电粒子的偏转
3．一电子以初速度v0沿垂直场强方向射入两平行金属板间的匀强电场中，现减小两板间的电压，则电子穿过两平行板所需的时间( )
A．随电压的减小而减小
B．随电压的减小而增大
C．与电压减小与否无关
D．随两板间距离的增大而减小
答案 C
解析 电子垂直于场强方向射入两平行金属板间的匀强电场中，在平行于金属板的方向电子不受力而做匀速直线运动，由L＝v0t得，电子穿过平行板所需要的时间为t＝，与金属板的长度成正比，与电子的初速度大小成反比，与其他因素无关，即与电压及两板间距离均无关，故C正确．
4.(2019·人大附中高二期中)如图2所示，有一带电粒子贴着A板沿水平方向射入匀强电场，当偏转电压为U1时，带电粒子沿①轨迹从两板正中间飞出；当偏转电压为U2时，带电粒子沿②轨迹落到B板中间；设粒子两次射入电场的水平速度相同，则两次偏转电压之比为( )
图2
A．U1∶U2＝1∶8 B．U1∶U2＝1∶4
C．U1∶U2＝1∶2 D．U1∶U2＝1∶1
答案 A
解析 带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，水平位移为x＝v0t，两次运动的水平位移大小之比为2∶1；两次运动的水平速度相同，故运动时间之比为t1∶t2＝2∶1；由于竖直方向上的位移为h＝at2，h1∶h2＝1∶2，故加速度大小之比为a1∶a2＝1∶8，又a＝，故两次偏转电压之比为U1∶U2＝1∶8，故A正确．
5.(多选)如图3所示，矩形区域ABCD内存在竖直向下的匀强电场，两个带正电的粒子a和b以相同的水平速度射入电场，粒子a由顶点A射入，从BC的中点P射出，粒子b由AB的中点O射入，从顶点C射出，若不计重力，则( )
图3
A．a和b在电场中运动的时间之比为1∶2
B．a和b在电场中运动的时间之比为2∶1
C．a和b的比荷之比为1∶8
D．a和b的比荷之比为8∶1
答案 AD
解析 两个粒子在水平方向上做匀速直线运动，a、b两粒子的水平位移大小之比为1∶2，根据x＝v0t可知运动时间之比为1∶2；粒子在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，根据y＝at2，两粒子在竖直方向上的位移大小之比为2∶1，则a、b的加速度大小之比为8∶1，根据牛顿第二定律知加速度大小a＝，则加速度之比等于两粒子的比荷之比，故两粒子的比荷之比为8∶1，A、D正确，B、C错误．
考点三 带电粒子的加速与偏转
6.(多选)(2019·扬州市高一期末)如图4所示是某示波管的示意图，电子先由电子枪加速后进入偏转电场，如果在偏转电极上加一个电压，则电子束将会偏转，并飞出偏转电场．下列措施中能使电子偏转距离变大的是( )
图4
A．尽可能把偏转极板L做得长一点
B．尽可能把偏转极板L做得短一点
C．尽可能把偏转极板间的距离d做得小一点
D．将电子枪的加速电压提高
答案 AC
解析 设加速电压为U1，
则qU1＝mv02①
设偏转电压为U2，则由L＝v0t，a＝，y＝at2可得
y＝②
联立①②解得，y＝，故选A、C.
7．有一种电荷控制式喷墨打印机的打印头的结构简图如图5所示，其中墨盒可以喷出极小的墨汁微粒，此微粒经过带电室后以一定的初速度垂直射入偏转电场，再经偏转电场后打到纸上，显示出字符．现为了使打在纸上的字迹扩大，下列措施可行的是( )
图5
A．增大墨汁微粒所带的电荷量 B．增大墨汁微粒的质量
C．减小极板的长度 D．减小偏转板间的电压
答案 A
解析 使打在纸上的字迹扩大，实质是指速度偏向角θ增大，tan θ＝＝增大，微粒所带的电荷量q增大时，tan θ增大，字迹扩大，选项A正确；增大墨汁微粒的质量或减小偏转板间的电压或减小极板的长度时，tan θ减小，字迹缩小，选项B、C、D错误．
8.(多选)(2019·广州二中期中)如图6所示，氕、氘、氚的原子核自初速度为零经同一电场加速后，又经同一匀强电场偏转，最后打在荧光屏上，那么( )
图6
A．经过加速电场的过程中，电场力对氚核做的功最多
B．经过偏转电场的过程中，电场力对三种核做的功一样多
C．三种原子核打在屏上的速度一样大
D．三种原子核都打在屏的同一位置上
答案 BD
解析 设偏转极板的长度为L，板间距离为d，在加速电场中电场力做的功W＝qU1＝mv02，由于加速电压相同，电荷量相等，所以电场力做的功相等，故选项A错误；在偏转电场中的偏转位移y＝at2＝··()2，解得y＝，同理可得到偏转角度的正切值tan θ＝，可见y和tan θ与电荷的电荷量和质量无关，所以q为定值，出射点的位置相同，出射速度的方向也相同，故三种原子核打在屏上同一点，故选项B、D正确；整个过程运用动能定理得mv2＝qU1＋q，由于三种原子核的电荷量相同，质量不同，则v不同，故选项C错误．
9.如图7所示，有一电子(电荷量为e)经电压U0由静止加速后，进入两块间距为d、电压为U的平行金属板间．若电子从两板正中间垂直电场方向射入，且正好能穿过电场，求：
图7
(1)金属板AB的长度；
(2)电子穿出电场时的动能．
答案 (1)d (2)e
解析 (1)设电子离开加速电场时速度为v0，由动能定理得eU0＝mv02①
设金属板AB的长度为l，则电子偏转时间t＝②
偏转加速度a＝③
偏转位移y＝d＝at2④
由①②③④得l＝d.
(2)设电子穿出电场时的动能为Ek，根据动能定理得
Ek＝eU0＋e·＝e.
10．长为L的平行金属板水平放置，两极板带等量的异种电荷，板间形成匀强电场，一个带电荷量为＋q、质量为m的带电粒子，以初速度v0紧贴上极板垂直于电场线方向进入该电场，刚好从下极板边缘射出，射出时速度恰与水平方向成30°角，如图8所示，不计粒子重力，求：
图8
(1)粒子离开电场时速度的大小；
(2)匀强电场的场强大小；
(3)两板间的距离．
答案 (1) (2) (3)L
解析 (1)粒子离开电场时，速度与水平方向夹角为30°，由几何关系得：v＝＝.
(2)粒子在匀强电场中做类平抛运动，
在水平方向上：L＝v0t，在竖直方向上：vy＝at
vy＝v0tan 30°＝
由牛顿第二定律有：qE＝ma
联立解得：E＝.
(3)粒子在匀强电场中做类平抛运动，在竖直方向上：
d＝at2，解得：d＝L.
11．如图9所示为真空示波管的示意图，电子从灯丝K发出(初速度不计)，经灯丝与A板间的加速电压U1加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板M、N间的偏转电场中(偏转电场可视为匀强电场)，电子进入偏转电场时的速度与电场方向垂直，电子经过偏转电场后打在荧光屏上的P点．已知M、N两板间的电压为U2，两板间的距离为d，板长为L1，板右端到荧光屏的距离为L2，电子质量为m，电荷量为e.求：
图9
(1)电子穿过A板时的速度大小；
(2)电子从偏转电场射出时的侧移量；
(3)P点到O点的距离．
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)设电子经电压U1加速后的速度为v0，根据动能定理得eU1＝mv02，解得v0＝.
(2)电子以速度v0进入偏转电场后，垂直于电场方向做匀速直线运动，沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动，设偏转电场的电场强度为E，电子在偏转电场中运动的时间为t1，电子的加速度为a，离开偏转电场时的侧移量为y1，根据牛顿第二定律和运动学公式得
F＝eE，E＝，F＝ma，t1＝，y1＝at12，
解得y1＝.
(3)设电子离开偏转电场时沿电场方向的速度为vy，根据运动学公式得vy＝at1，电子离开偏转电场后做匀速直线运动，设电子离开偏转电场后打在荧光屏上所用的时间为t2，电子从离开偏转电场到打到荧光屏上的侧移量为y2，如图所示．
有t2＝，y2＝vyt2，解得y2＝
P点到O点的距离为y＝y1＋y2＝.
