人教版七年级下册易错题专项训练5.3平行线的性质（含解析）

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人教版七年级下册易错题专题
5.3 平行线的性质
一．选择题（共9小题）
1．如图1是长方形纸片，将纸片沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3．若图1中∠DEF＝28°，则图3中∠CFE的大小为（　　）

A．84° B．96° C．112° D．124°
2．如图，AB∥CD∥EF，则下列四个等式中一定成立的有（　　）
①∠2＋∠3＝180；
②∠2＝∠3；
③∠1＋∠3＝180°
④∠2＋∠3－∠1＝180°

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE＋∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C；正确的有（　　）

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
4．乐乐观察“抖空竹“时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是（　　）

A．32° B．28° C．26° D．23°
5．如图，AB∥DE，∠ABC的角平分线BP和∠CDE的角平分线DK的反向延长线交于点P且∠P－2∠C＝57°，则∠C等于（　　）

A．24° B．34° C．26° D．22°
6．下列命题是真命题的有（　　）个
①两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行
④对顶角相等，邻补角互补
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（　　）

A．α＋β＝180° B．α＋β＝90° C．β＝3α D．α－β＝90°
8．如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（　　）

A．105° B．120° C．130° D．145°
9．两个角的两边分别平行，其中一个角是60°，则另一个角是（　　）
A．60° B．120° C．60°或120° D．无法确定


二．填空题（共1小题）
10．在同一平面内有2018条直线a1，a2，a3…，a2018，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，那么直线a1与直线a2018的位置关系是　 　．



三．解答题（共8小题）
11．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．




12．如图1，AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过B作BD⊥AM．
（1）求证：∠ABD＝∠C；
（2）如图2，在（1）问的条件下，分别作∠ABD、∠DBC的平分线交DM于E、F，若∠BFC＝1.5∠ABF，∠FCB＝2.5∠BCN，
①求证：∠ABF＝∠AFB；
②求∠CBE的度数．




13．阅读下列材料：
已知：如图1，直线AB∥CD，点E是AB、CD之间的一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED＝∠B＋∠D．小冰是这样做的：证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF＋∠FED＝∠B＋∠D．图1即∠BED＝∠B＋∠D．
请利用材料中的结论，完成下面的问题：
已知：直线AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．
（1）如图2，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．猜想∠G的度数，并证明你的猜想；
（2）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2．求证：∠FG1E＋∠G2＝180°．

14．如图，已知AB∥CD，点E在AC的右侧，∠BAE，∠DCE的平分线相交于点F．探索∠AEC与∠AFC之间的等量关系，并证明你的结论．






15．已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于C、D两点，点P是直线l3上的一动点，如图①，若动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具有∠3＋∠1＝∠2这一相等关系？试说明理由；
如图②，当动点P在线段CD之外且在CD的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．





16．课上教师呈现一个问题：
已知：如图1，AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1＝30°时，求∠EFG的度数．
甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图：

甲同学辅助线的做法和分析思路如下：
辅助线：过点F作MN∥CD．
分析思路：
①欲求∠EFG的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数之和；
②由辅助线作图可知，∠2＝∠1，从而由已知∠1的度数可得∠2的度数；
③由AB∥CD，MN∥CD推出AB∥MN，由此可推出∠3＝∠4；
④由已知EF⊥AB，可得∠4＝90°，所以可得∠3的度数；
⑤从而可求∠EFG的度数．
（1）请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路．
辅助线：　 　
分析思路：
（2）请你根据丙同学所画的图形，求∠EFG的度数．





17．问题情境：
（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作PE∥AB，请你接着完成解答
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？（提示：过点P作PE∥AD），请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你猜想∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．







18．如图1，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF左侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG．
（1）求证：∠EPG＝∠AEP＋∠PGC；
（2）连接EG，若EG平分∠PEF，∠AEP＋∠PGE＝110°，∠PGC＝∠EFC，求∠AEP的度数；
（3）如图2，若EF平分∠PEB，∠PGC的平分线所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之间的数量关系为　 　．



参考答案
一.选择题
1.解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝28°．
由翻折的性质可知：
图2中，∠EFC＝180°－∠BFE＝152°，∠BFC＝∠EFC－∠BFE＝124°，
图3中，∠CFE＝∠BFC－∠BFE＝96°．
故选：B．
2.解：∵AB∥CD∥EF，
∴∠2＋∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，
又∠BDC＝∠CDE－∠1，
∴∠2＋∠3－∠1＝180°．
而∠2＋∠3＝180；∠2＝∠3；∠1＋∠3＝180°均不成立，
故选：A．
3.解：∵∠2＝30°，
∴∠1＝60°，
又∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE，故①正确；
∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，
即∠BAE＋∠CAD＝∠1＋∠2＋∠2＋∠3＝90°＋90°＝180°，故②正确；
∵BC∥AD，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠C＝180°，
又∵∠C＝45°，∠1＋∠2＝90°，
∴∠3＝45°，
∴∠2＝90°－45°＝45°，故③错误；
∵∠D＝30°，∠CAD＝150°，
∴∠CAD＋∠D＝180°，
∴AC∥DE，
∴∠4＝∠C，故④正确．
故选：A．
4.解：如图，延长DC交AE于F，

∵AB∥CD，∠BAE＝92°，
∴∠CFE＝92°，
又∵∠DCE＝115°，
∴∠E＝∠DCE－∠CFE＝115°－92°＝23°，
故选：D．
5.解：如图，延长KP交AB于F，

∵AB∥DE，DK平分∠CDE，
∴∠BPF＝∠EDK＝∠CDK，
设∠C＝α，则∠BPG＝2α＋57°，
∵∠BPG是△BPF的外角，∠CDK是△CDG的外角，
∴∠BFP＝∠BPG－∠ABP＝2α＋57°－∠ABP，∠CDK＝∠C＋∠CGD＝α＋∠BGP＝α＋（180°－∠BPG－∠CBP），
∴2α＋57°－∠ABP＝α＋180°－（2α＋57°）－∠CBP，
∵PB平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∴2α＋57°＝α＋180°－（2α＋57°），
解得α＝22°，
故选：D．
6.解：两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，①是假命题；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，②是假命题；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，③是假命题；
对顶角相等，邻补角互补，④是真命题；
故选：A．
7.解：过C作CF∥AB，

∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠1＝∠β，∠α＝180°－∠2，
∴∠α－∠β＝180°－∠2－∠1＝180°－∠BCD＝90°，
故选：D．
8.解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝25°．
由翻折的性质可知：
图2中，∠EFC＝180°－∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC－∠BFE＝130°，
图3中，∠CFE＝∠BFC－∠BFE＝105°．
故选：A．
9.解：如图（1），∵AB∥DE，∴∠A＝∠1＝60°，
∵AC∥EF，∴∠E＝∠1，
∴∠A＝∠E＝60°．
如图（2），∵AC∥EF，∴∠A＝∠1＝60°，
∵DE∥AB，∴∠E＋∠1＝180°，
∴∠A＋∠E＝180°，
∴∠E＝180°－∠A＝180°－60°＝120°．
故一个角是60°，则另一个角是60°或120°．
故选：C．


二.填空题
10.解：如图，a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，
∴a1⊥a2，a1⊥a3，a1∥a4，a1∥a5，
依此类推，a1⊥a6，a1⊥a7，a1∥a8，a1∥a9，
∵2018÷4＝504…2，
∴a1⊥a2018．
故答案是：a1⊥a2018．


三.解答题
11.解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN＋∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°－80°＝100°，
∴∠ABP＋∠PBN＝100°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP＋2∠DBP＝100°，
∴∠CBD＝∠CBP＋∠DBP＝50°；
（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC＋∠CBD＝∠CBD＋∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝100°，∠CBD＝50°，
∴∠ABC＋∠DBN＝50°，
∴∠ABC＝25°．
12.解：（1）如图1，过B作BG∥CN，
∴∠C＝∠CBG
∵AB⊥BC，
∴∠CBG＝90°－∠ABG，
∴∠C＝90°－∠ABG，
∵BG∥CN，AM∥CN，
∴AM∥BG，
∴∠DBG＝90°＝∠D，
∴∠ABD＝90°－∠ABG，
∴∠ABD＝∠C；
（2）①如图2，设∠DBE＝∠EBA＝x，则∠BCN＝2x，∠FCB＝5x，
设∠ABF＝y，则∠BFC＝1.5y，
∵BF平分∠DBC，
∴∠FBC＝∠DBF＝2x＋y，
∵∠AFB＋∠BCN＝∠FBC，
∴∠AFB＋2x＝2x＋y，
∴∠AFB＝y＝∠ABF；
②∵∠CBE＝90°，AF∥CN，
∴∠ABG＋∠CBG＝90°，∠BCN＋∠AFB＋∠BFC＋∠BCF＝180°，
∴，
∴，
∴∠CBE＝3x＋2y＝3×30°＋2×15°＝120°．

13.解：（1）如图2所示，

猜想：∠EGF＝90°；
证明：由材料中的结论得∠EGF＝∠BEG＋∠GFD，
∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，
∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，
∵BE∥CF，
∴∠BEF＋∠EFD＝180°，
∴2∠BEG＋2∠GFD＝180°，
∴∠BEG＋∠GFD＝90°，
∵∠EGF＝∠BEG＋∠GFD，
∴∠EGF＝90°；
（2）证明：如图3，过点G1作G1H∥AB，

∵AB∥CD，∴G1H∥CD，
由结论可得∠G2＝∠1＋∠3，∠EG1F＝∠BEG1＋∠G1FD，
∴∠3＝∠G2FD，
∵FG2平分∠EFD，
∴∠4＝∠G2FD，
∵∠1＝∠2，
∴∠G2＝∠2＋∠4，
∵∠EG1F＝∠BEG1＋∠G1FD，
∴∠EG1F＋∠G2＝∠2＋∠4＋∠BEG1＋∠G1FD＝∠BEF＋∠EFD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠EFD＝180°，
∴∠EG1F＋∠G2＝180°．
14.解：∠AEC＝2∠AFC．理由：
如图，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，
∴∠AEG＝∠BAE，∠CEG＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠AEG＋∠CEG＝∠BAE＋∠DCE，
同理可得∠AFC＝∠BAF＋∠DCF，
∵∠BAE，∠DCE的平分线相交于点F，
∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠AEC＝2（∠BAF＋∠DCF）＝2∠AFC．

15.解：（1）∠3＋∠1＝∠2成立，理由如下：
如图①，过点P作PE∥l1，
∴∠1＝∠AEP，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠3＝∠BPE，
∵∠BPE＋∠APE＝∠2，
∴∠3＋∠1＝∠2；
（2）∠3＋∠1＝∠2不成立，新的结论为∠3－∠1＝∠2，理由为：
如图②，过P作PE∥l1，
∴∠1＝∠APE，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠3＝∠BPE，
∵∠BPE－∠APE＝∠2，
∴∠3－∠1＝∠2．

16.解：（1）辅助线：过点P作PN∥EF交AB于点N．

分析思路：
①欲求∠EFG的度数，由辅助线作图可知，∠EFG＝∠NPG，因此，只需转化为求∠NPG的度数；
②欲求∠NPG的度数，由图可知只需转化为求∠1和∠2的度数和；
③又已知∠1的度数，所以只需求出∠2的度数；
④由已知EF⊥AB，可得∠4＝90°；
⑤由PN∥EF，可推出∠3＝∠4；AB∥CD可推出∠2＝∠3，由此可推∠2＝∠4，所以可得∠2的度数；
⑥从而可以求出∠EFG的度数．
（2）如图，过点O作ON∥FG，

∵ON∥FG，
∴∠EFG＝∠EON∠1＝∠ONC＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠ONC＝∠BON＝30°，
∵EF⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
∴∠EFG＝∠EON＝∠EOB＋∠BON＝90°＋30°＝120°．
17.解：（1）过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°－∠A＝50°，∠CPE＝180°－∠C＝60°，
∴∠APC＝50°＋60°＝110°；
（2）∠CPD＝∠α＋∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝∠α＋∠β；
（3）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β－∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE－∠DPE＝∠β－∠α；
当P在BO之间时，∠CPD＝∠α－∠β．
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE－∠CPE＝∠α－∠β．
18.解：（1）如图1，延长EP交CD于M，
∵AB∥CD，
∴∠AEP＝∠GMP，
∵∠EPG是△PGM的外角，
∴∠EPG＝∠PMG＋∠PGC＝∠AEP＝∠PGC；
（2）如图1，连接EG，
∵GE平分∠PEF，
∴∠PEG＝∠FEG，
设∠AEP＝α，∠PGC＝β，则∠PGE＝110°－α，∠EFG＝2β，
∵AE∥CG，∠AEP＋∠PGE＝110°，
∴∠PEG＋∠PGC＝180°－110°＝70°，即∠PEG＝70°－β，
∵∠CGE是△EFG的外角，
∴∠FEG＝∠CGE－∠EFG＝β＋（110°－α）－2β＝110°－α－β，
70°－β＝110°－α－β，
解得α＝40°，
∴∠AEP＝40°；
（3）如图2，∵EF平分∠PEB，
∴可设∠BEF＝∠PEF＝α，
∵AB∥CD，
∴∠GFE＝∠BEF＝α，
∴四边形PGFE中，∠PGF＝360°－∠P－2α，
∴∠PGC＝180°－（360°－∠P－2α）＝∠P＋2α－180°，
∵∠EFG是△FGH的外角，
∴∠FGH＝∠EFG－∠EHG＝α－∠EHG，
又∵QG平分∠PGC，
∴∠PGC＝2∠FGH，
即∠P＋2α－180°＝2（α－∠EHG），
整理可得，∠P＋2∠EHG＝180°．
故答案为：∠P＋2∠EHG＝180°．











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