（五四学制）2019-2020学年山东省泰安市新泰市九年级（下）期中数学试卷 解析版

2019-2020学年山东省泰安市新泰市九年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4分）﹣|﹣|的值为（　　）
A． B．﹣ C．± D．2
2．（4分）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为52微米，52微米为0.000052米．将0.000052用科学记数法表示为（　　）
A．5.2×10﹣6 B．5.2×10﹣5 C．52×10﹣6 D．52×10﹣5
3．（4分）下列运算错误的是（　　）
A．（m2）3＝m6 B．a10÷a9＝a C．x3?x5＝x8 D．a4+a3＝a7
4．（4分）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（　　）

A．主视图相同 B．左视图相同
C．俯视图相同 D．三种视图都不相同
5．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　）

A． B． C． D．
6．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，有下面四个结论：
①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③2a+3b＞0；④c﹣4b＞0
其中，正确的结论是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
7．（4分）如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．3
8．（4分）为了帮助本市一名患病的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如表：
捐款的数额（单位：元） 5 10 20 50 100
人数（单位：人） 2 4 5 3 1
关于这15名同学所捐款的数额，下列说法正确的是（　　）
A．众数是100 B．中位数是30 C．极差是20 D．中位数是20
9．（4分）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（　　）

A．（5，2） B．（2，5） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）
10．（4分）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
11．（4分）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，FC，现在有如下4个结论：
①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来，在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是　 　米．

14．（4分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的最小整数值为　 　．
15．（4分）如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是　 　．

16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的圆O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠A，tan∠CBF＝，则BC的长为　 　．

17．（4分）如图，直线y＝4﹣x与双曲线y＝交于A，B两点，过B作直线BC⊥y轴，垂足为C，则以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标是　 　．

18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第2020个等腰直角三角形A2020B2019B2020顶点B2020的横坐标为　 　．

三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）2
19．（8分）先化简，再求值：÷﹣，其中a，b满足（a﹣2）2+＝0．
20．（10分）“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了A、B、C、D4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．

（1）王老师采取的调查方式是　 　（填“普查”或“抽样调査”），王老师所调查的4个班共征集到作品　 　件，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角的度数为　 　；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
21．（10分）樱桃是我市的特色时令水果．一上市，水果店的老板用2400元购进一批樱桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批樱桃，进价比第一批每千克少了11元，所购件数是第一批的2倍．
（1）第一批樱桃进价是每千克多少元？
（2）老板以每千克50元的价格销售第二批樱桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下降价促销．要使得第二批樱桃的销售利润不低于1100元，剩余的樱桃每千克最多降价多少元销售？
22．（12分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A、B，与y轴交于点C．过点A作AD⊥x轴于点D，AD＝2，∠CAD＝45°，连接CD，已知△ADC的面积等于6．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点E是点C关于x轴的对称点，求△ABE的面积．

23．（12分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．
（1）求证：BF＝AC；
（2）若CD＝3，求AF的长．

24．（13分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．
（1）证明△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长；
（3）求△FGC的面积．

25．（13分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．




2019-2020学年山东省泰安市新泰市九年级（下）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．【解答】解：﹣|﹣|＝﹣．
故选：B．
2．【解答】解：0.000052＝5.2×10﹣5；
故选：B．
3．【解答】解：A、（m2）3＝m6，正确；
B、a10÷a9＝a，正确；
C、x3?x5＝x8，正确；
D、a4+a3＝a4+a3，错误；
故选：D．
4．【解答】解：图①的三视图为：
图②的三视图为：
故选：C．
5．【解答】解：连接BF，
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3，
又∵AB＝4，
∴AE＝＝5，
由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴）
∴BH＝＝，
则BF＝，
∵FE＝BE＝EC，
∴∠BFC＝90°，
∴CF＝＝．
故选：D．

6．【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0；
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x＝﹣＞0，
∴b＜0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，所以②正确；
∵x＝﹣＝，
∴2a+3b＝0，所以③错误；
∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，
把2a＝﹣3b代入得﹣6b+2b+c＞0，
∴c﹣4b＞0，所以④正确．
故选：C．
7．【解答】解：由关于y的不等式组，可整理得
∵该不等式组解集无解，
∴2a+4≥﹣2
即a≥﹣3
又∵得x＝
而关于x的分式方程有负数解
∴a﹣4＜0且
∴a＜4且a≠2
于是﹣3≤a＜4，且取a≠2的整数
∴a＝﹣3、﹣2、﹣1、0、1、3
则符合条件的所有整数a的和为﹣2．
故选：A．
8．【解答】解：∵捐款20元的人数是5人，最多，
∴众数是20，
按照从小到大的顺序，第8人捐款是20，
所以，中位数是20，
极差为100﹣5＝95．
故选：D．
9．【解答】解：作AD⊥x轴于点D，作A′D′⊥x轴于点D′，
则OD＝A′D′，AD＝OD′，OA＝OA′，
∴△OAD≌△A′OD′（SSS），
∵A（﹣2，5），
∴OD＝2，AD＝5，
∴点A′的坐标为（5，2），
故选：A．

10．【解答】解：由方程组得ax2＝﹣a，
∵a≠0
∴x2＝﹣1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选：C．
11．【解答】解：如图，连接DF．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠BAD＝∠ADG＝∠ECG＝90°，
由翻折可知：AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝∠AFG＝90°，BE＝EF＝4，∠BAE＝∠EAF，
∵∠AFG＝∠ADG＝90°，AG＝AG，AD＝AF，
∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），
∴DG＝FG，∠GAF＝∠GAD，设GD＝GF＝x，
∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝（∠BAF+∠DAF）＝45°，故①正确，
在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2+CG2，
∴（4+x）2＝82+（12﹣x）2，
∴x＝6，
∵CD＝BC＝BE+EC＝12，
∴DG＝CG＝6，
∴FG＝GC，
易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误，
∵GF＝GD＝GC，
∴∠DFC＝90°，
∴CF⊥DF，
∵AD＝AF，GD＝GF，
∴AG⊥DF，
∴CF∥AG，故③正确，
∵S△ECG＝×6×8＝24，FG：FE＝6：4＝3：2，
∴FG：EG＝3：5，
∴S△GFC＝×24＝，故④错误，
故选：B．
12．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
即∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴AM＝EF＝AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于，
∴AM的最小值是．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．【解答】解：如图，过点B作BH⊥AE于点H，BF⊥CE于点F，

根据题意可知：
∠BAH＝30°，
AB＝AE＝10，
∴BH＝5，AH＝5，
∵CE⊥AE，
∴四边形BHEF是矩形，
∴EF＝BH＝5，
BF＝HE＝AH+AE＝5+10，
∵∠DAE＝60°，
∴DE＝AE?tan60°＝10，
∴DF＝DE﹣EF＝10﹣5，
∵∠CBF＝45°，
∴CF＝BF＝5+10，
∴CD＝CF﹣DF＝5+10﹣（10﹣5）＝15﹣5（米）．
所以标识牌CD的高度是（15﹣5）米．
故答案为：（15﹣5）．
14．【解答】解：（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0，
根据题意得k﹣2≠0且△＝4k2﹣4（k﹣2）（k﹣6）≥0．
解得k≥且k≠2，
∴k的最小整数值为3．
故答案为3．
15．【解答】解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，

由题意知，OM⊥AB，且OC＝MC＝，
在RT△AOC中，∵OA＝1，OC＝，
∴cos∠AOC＝＝，AC＝＝
∴∠AOC＝60°，AB＝2AC＝，
∴∠AOB＝2∠AOC＝120°，
则S弓形ABM＝S扇形OAB﹣S△AOB
＝﹣××
＝﹣，
S阴影＝S半圆﹣2S弓形ABM
＝π×12﹣2（﹣）
＝﹣．
故答案为：﹣．
16．【解答】解：连接AE，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴AE平分∠BAC，BE＝CE，
即∠BAE＝∠BAC，
∵∠CBF＝∠BAC，
∴∠CBF＝∠BAE，
∴tan∠BAE＝tan∠CBF＝，
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝，
设BE＝x，则AE＝3x，
∴AB＝＝x，
即x＝10，解得x＝，
∴BC＝2BE＝2x＝2．
故答案为2．

17．【解答】解：由求得或，
∴A（1，3），B（3，1），
∴OA＝＝，
设OA的中点为P，以AB为直径的⊙P与直线BC的交点为M、N，
过P点作PD⊥x轴于D，交BC于E，连接PN，
∵P是OA的中点，
∴P（，），
∴PD＝，
∵BC⊥y轴，垂足为C，
∴BC∥x轴，
∴PD⊥BC，
∴PE＝﹣1＝，
在Rt△PEN中，EM＝EN＝＝＝，
∴M（﹣1，1），N（2，1）．
∴以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标是（﹣1，1）和（2，1），
故答案为（﹣1，1）和（2，1）．

18．【解答】解：由题意得OA＝OA1＝2，
∴OB1＝OA1＝2，
B1B2＝B1A2＝4，B2A3＝B2B3＝8，
∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…，
2＝22﹣2，6＝23﹣2，14＝24﹣2，…
∴Bn的横坐标为2n+1﹣2，
∴B2020的横坐标为22021﹣2，
故答案为 22021﹣2．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）2
19．【解答】解：原式＝﹣
＝﹣
＝﹣，
∵a，b满足（a﹣2）2+＝0，
∴a﹣2＝0，b+1＝0，
a＝2，b＝﹣1，
原式＝＝﹣1．
20．【解答】解：（1）王老师采取的调查方式是抽样调査，
4÷＝24，
所以王老师所调查的4个班共征集到作品24件，
B班的作品数为24﹣4﹣10﹣4＝6（件），
条形统计图为：

（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角＝360°×＝150°；
故答案为抽样调査；24；150°；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为6，
所以恰好抽中一男一女的概率＝＝．
21．【解答】解：（1）设第一批樱桃进价是每千克x元，则第二批樱桃进价是每千克（x﹣11）元，
依题意，得：2×＝，
解得：x＝48，
经检验，x＝48是原方程的解，且符合题意．
答：第一批樱桃进价是每千克48元．
（2）设剩余的樱桃每千克降价y元销售，
依题意，得：50××80%+（50﹣y）××（1﹣80%）≥1100，
解得：y≤10．
答：剩余的樱桃每千克最多降价10元销售．
22．【解答】解：（1）∵AD⊥x轴于点D，设A（a，2），
∴AD＝2，
∵∠CAD＝45°，
∴∠AFD＝45°，
∴FD＝AD＝2，
连接AO，
∵AD∥y轴，
∴S△AOD＝S△ADC＝6，
∴OD＝6，
∴A（6，2），
将A（6，2）代入，得m＝12，
∴反比例函数解析式为y＝；
∵∠OCF＝∠CAD＝45°，
在△COF中，OC＝OF＝OD﹣FD＝6﹣2＝4，
∴C（0，﹣4），
将点A（6，2），点C（0，﹣4）代入y＝kx+b，可得
，
∴，
∴一次函数解析式为y＝x﹣4；

（2）点E是点C关于x轴的对称点，
∴E（0，4），
∴CE＝8，
解方程组，
得 或，
∴B（﹣2，﹣6），
∴．

23．【解答】解：（1）AD⊥BD，∠BAD＝45°，
∴AD＝BD，
∵∠BFD＝∠AFE，∠AFE+∠CAD＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BFD＝∠ACD，
在△BDF和△ACD中，
，
∴△BDF≌△ACD（AAS），
∴BF＝AC；

（2）连接CF，
∵△BDF≌△ADC，
∴DF＝DC，
∴△DFC是等腰直角三角形．
∵CD＝3，CF＝CD＝3，
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴AE＝EC，BE是AC的垂直平分线．
∴AF＝CF，
∴AF＝3．

24．【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，
∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，
又∵AG＝AG，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
∵，
∴△ABG≌△AFG（HL）；

（2）∵CD＝3DE
∴DE＝2，CE＝4，
设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝x+2
∵GE2＝CG2+CE2
∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42，
解得 x＝3
∴BG＝3；

（3）过C作CM⊥GF于M，
∵BG＝GF＝3，
∴CG＝3，EC＝6﹣2＝4，
∴GE＝＝5，
CM?GE＝GC?EC，
∴CM×5＝3×4，
∴CM＝2.4，
∴．

25．【解答】解：（1）∵点A（0，1）．B（﹣9，10）在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x+1，

（2）∵AC∥x轴，A（0，1）
∴x2+2x+1＝1，
∴x1＝﹣6，x2＝0，
∴点C的坐标（﹣6，1），
∵点A（0，1）．B（﹣9，10），
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
设点P（m，m2+2m+1）
∴E（m，﹣m+1）
∴PE＝﹣m+1﹣（m2+2m+1）＝﹣m2﹣3m，
∵AC⊥EP，AC＝6，
∴S四边形AECP
＝S△AEC+S△APC
＝AC×EF+AC×PF
＝AC×（EF+PF）
＝AC×PE
＝×6×（﹣m2﹣3m）
＝﹣m2﹣9m
＝﹣（m+）2+，
∵﹣6＜m＜0
∴当m＝﹣时，四边形AECP的面积的最大值是，
此时点P（﹣，﹣）；

（3）∵y＝x2+2x+1＝（x+3）2﹣2，
∴P（﹣3，﹣2），
∴PF＝yF﹣yP＝3，CF＝xF﹣xC＝3，
∴PF＝CF，
∴∠PCF＝45°
同理可得：∠EAF＝45°，
∴∠PCF＝∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的Q，
设Q（t，1）且AB＝9，AC＝6，CP＝3
∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
∴，
∴，
∴t＝﹣4或t＝﹣8（不符合题意，舍）
∴Q（﹣4，1）
②当△CQP∽△ABC时，
∴，
∴，
∴t＝3或t＝﹣15（不符合题意，舍）
∴Q（3，1）