高一年级下册数学课件 向量的数乘运算 人教A版（204张ppt）

(共204张PPT)
高一年级 数学
向量的数乘运算
数量的乘法
数量的乘法
数量的乘法
数量的乘法
向量
数量的乘法
向量
数量的乘法
向量
数量的乘法
向量

数量的乘法
向量


a

a

a
数量的乘法
向量


a

a

a

数量的乘法
向量
－ a



a

a

a

数量的乘法
向量
－ a


－ a

－ a


a

a

a

－ a


－ a

－ a
数量的乘法
向量


a

a

a


数量的乘法
向量
长度
3|a|
3|a|
－ a


－ a

－ a


a

a

a


数量的乘法
向量
长度
方向
与 相同
3|a|
3|a|
－ a


－ a

－ a


a

a

a


数量的乘法
向量
长度
方向
与 相同
与 相反
3|a|
3|a|
－ a


－ a

－ a


a

a

a


数量的乘法
向量
长度
方向
与 相同
与 相反

3|a|
3|a|
－ a


－ a

－ a


a

a

a


一、向量数乘运算的定义
一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，
一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，
记作 λa，
它的长度与方向规定如下：
一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，
记作 λa，
它的长度与方向规定如下：
一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，
(1) | λa | ＝ | λ | | a |；
记作 λa，
它的长度与方向规定如下：
一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，
(1) | λa | ＝ | λ | | a |；
(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
记作 λa，
它的长度与方向规定如下：
一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，
(1) | λa | ＝ | λ | | a |；
(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．
记作 λa，
它的长度与方向规定如下：
一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，
(1) | λa | ＝ | λ | | a |；
(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．
记作 λa，
这种运算叫做向量的数乘．
它的长度与方向规定如下：
显然，当 λ ＝ 0 时，
一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，
(1) | λa | ＝ | λ | | a |；
(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．
记作 λa，
这种运算叫做向量的数乘．
它的长度与方向规定如下：
显然，当 λ ＝ 0 时，| 0a |
一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，
(1) | λa | ＝ | λ | | a |；
(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．
记作 λa，
这种运算叫做向量的数乘．
它的长度与方向规定如下：
显然，当 λ ＝ 0 时，| 0a | ＝ | 0 | | a |
一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，
(1) | λa | ＝ | λ | | a |；
(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．
记作 λa，
这种运算叫做向量的数乘．
它的长度与方向规定如下：
显然，当 λ ＝ 0 时，| 0a | ＝ | 0 | | a | ＝ 0，
一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，
(1) | λa | ＝ | λ | | a |；
(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．
记作 λa，
这种运算叫做向量的数乘．
它的长度与方向规定如下：
显然，当 λ ＝ 0 时，| 0a | ＝ | 0 | | a | ＝ 0，
一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，
(1) | λa | ＝ | λ | | a |；
(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．
记作 λa，
这种运算叫做向量的数乘．
0a ＝ 0．
它的长度与方向规定如下：
显然，当 λ ＝ 0 时，| 0a | ＝ | 0 | | a | ＝ 0，
一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，
(1) | λa | ＝ | λ | | a |；
(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．
记作 λa，
这种运算叫做向量的数乘．
0a ＝ 0．
当 a ＝ 0 时，

它的长度与方向规定如下：
显然，当 λ ＝ 0 时，| 0a | ＝ | 0 | | a | ＝ 0，
一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，
(1) | λa | ＝ | λ | | a |；
(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．
记作 λa，
这种运算叫做向量的数乘．
0a ＝ 0．
当 a ＝ 0 时，| λ0 |

它的长度与方向规定如下：
显然，当 λ ＝ 0 时，| 0a | ＝ | 0 | | a | ＝ 0，
一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，
(1) | λa | ＝ | λ | | a |；
(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．
记作 λa，
这种运算叫做向量的数乘．
0a ＝ 0．
当 a ＝ 0 时，| λ0 | ＝ | λ | | 0 |

它的长度与方向规定如下：
显然，当 λ ＝ 0 时，| 0a | ＝ | 0 | | a | ＝ 0，
一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，
(1) | λa | ＝ | λ | | a |；
(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．
记作 λa，
这种运算叫做向量的数乘．
0a ＝ 0．
当 a ＝ 0 时，| λ0 | ＝ | λ | | 0 | ＝ 0，

它的长度与方向规定如下：
显然，当 λ ＝ 0 时，| 0a | ＝ | 0 | | a | ＝ 0，
一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，
(1) | λa | ＝ | λ | | a |；
(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．
记作 λa，
这种运算叫做向量的数乘．
0a ＝ 0．
当 a ＝ 0 时，| λ0 | ＝ | λ | | 0 | ＝ 0，

λ0 ＝ 0．
已知向量 a 如图所示，求作向量 b＝0.5a ，c＝－2a．
a
a
A
B
已知向量 a 如图所示，求作向量 b＝0.5a ，c＝－2a．
a
A
B
已知向量 a 如图所示，求作向量 b＝0.5a ，c＝－2a．
a
A
B
已知向量 a 如图所示，求作向量 b＝0.5a ，c＝－2a．
a
A
B
C
D
已知向量 a 如图所示，求作向量 b＝0.5a ，c＝－2a．
a
A
B
C
D
已知向量 a 如图所示，求作向量 b＝0.5a ，c＝－2a．
a
A
B
C
D
已知向量 a 如图所示，求作向量 b＝0.5a ，c＝－2a．
λa
λa
λa
λa
λa
λa
λa
λa
几何角度：
非零向量的数乘运算，相当于对向量 a 延其所在直线方向的拉伸或压缩．
例 点 C 在线段 AB 上，且 ，则

， ．
例 点 C 在线段 AB 上，且 ，则

， ．
C
例 点 C 在线段 AB 上，且 ，则

， ．


C
例 点 C 在线段 AB 上，且 ，则

， ．


C
例 点 C 在线段 AB 上，且 ，则

， ．
例 点 C 在线段 AB 上，且 ，则

， ．


C
例 点 C 在线段 AB 上，且 ，则

， ．


C
例 点 C 在线段 AB 上，且 ，则

， ．


C
二、向量数乘运算的运算律
数量乘法

数量乘法

交换律

数量乘法

交换律


结合律
数量乘法

交换律


结合律

分配律
数量乘法
向量数乘

交换律


结合律

分配律

数量乘法
向量数乘

交换律


结合律

分配律

数量乘法
向量数乘

交换律


结合律

分配律

数量乘法
向量数乘

交换律


结合律

分配律

数量乘法
向量数乘

交换律


结合律

分配律

数量乘法
向量数乘

交换律


结合律

分配律

数量乘法
向量数乘

交换律


结合律

分配律

数量乘法
向量数乘

交换律


结合律

分配律

?
?
?

?

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向量数乘运算律

结合律

分配律


向量数乘运算律

结合律

分配律


向量数乘运算律

结合律

分配律


向量数乘运算律

结合律

分配律


特别地，
向量数乘运算律

结合律

分配律


特别地，
向量数乘运算律

结合律

分配律


特别地，
向量数乘运算律

结合律

分配律


特别地，
向量数乘运算律

结合律

分配律


特别地，
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．
向量的线性运算的结果仍为向量．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．
向量的线性运算的结果仍为向量．
对于任意向量 a，b，以及任意实数 λ ，μ 1 ，μ 2 ，
λ ( μ 1 a ± μ 2 b)
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．
向量的线性运算的结果仍为向量．
对于任意向量 a，b，以及任意实数 λ ，μ 1 ，μ 2 ，
λ ( μ 1 a ± μ 2 b) ＝ λ ( μ 1 a ) ± λ ( μ 2 b)
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．
向量的线性运算的结果仍为向量．
对于任意向量 a，b，以及任意实数 λ ，μ 1 ，μ 2 ，
λ ( μ 1 a ± μ 2 b) ＝ λ ( μ 1 a ) ± λ ( μ 2 b) ＝ λ μ 1 a ± λ μ 2 b．
三、典型例题
① 0a ＝ 0；
例 判断下列结论的正误：
① 0a ＝ 0；
例 判断下列结论的正误：
① 0a ＝ 0；
向量数乘运算的的结果是一个向量；
例 判断下列结论的正误：
① 0a ＝ 0；
向量数乘运算的的结果是一个向量；
区分数量 0 与向量 0．
例 判断下列结论的正误：
① 0a ＝ 0；
例 判断下列结论的正误：
向量数乘运算的的结果是一个向量；
区分数量 0 与向量 0．
① 0a ＝ 0；
例 判断下列结论的正误：
② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；
② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；
① 0a ＝ 0；
分析： λa ＝ 0，即 | λa |＝0，
例 判断下列结论的正误：
② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；
② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；
① 0a ＝ 0；
分析： λa ＝ 0，即 | λa |＝0，即 | λ | | a |＝0，
例 判断下列结论的正误：
② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；
② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；
① 0a ＝ 0；
分析： λa ＝ 0，即 | λa |＝0，即 | λ | | a |＝0，
则 λ ＝ 0 或 a ＝ 0．
例 判断下列结论的正误：
② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；
② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；
① 0a ＝ 0；
分析： λa ＝ 0，即 | λa |＝0，即 | λ | | a |＝0，
则 λ ＝ 0 或 a ＝ 0．
例 判断下列结论的正误：
② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；
② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；
③ 若 λa ＝ λb，则 a ＝ b ；
① 0a ＝ 0；
例 判断下列结论的正误：
② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；
② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；
③ 若 λa ＝ λb，则 a ＝ b ；
反例：λ ＝ 0．
① 0a ＝ 0；
例 判断下列结论的正误：
② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；
② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；
④ 若 λa ＝ μa，则 λ ＝ μ ；
③ 若 λa ＝ λb，则 a ＝ b ；
反例：λ ＝ 0．
① 0a ＝ 0；
例 判断下列结论的正误：
② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；
② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；
④ 若 λa ＝ μa，则 λ ＝ μ ．
③ 若 λa ＝ λb，则 a ＝ b ；
反例：λ ＝ 0．
反例：a ＝ 0．
① 0a ＝ 0；
例 判断下列结论的正误：
② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；
② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；
④ 若 λa ＝ μa，则 λ ＝ μ ．
③ 若 λa ＝ λb，则 a ＝ b ；
反例：λ ＝ 0．
反例：a ＝ 0．
① 0a ＝ 0；
例 判断下列结论的正误：
与数量问题既有相似，又有区别．
需要准确把握概念，严谨分析．
② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；
② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；
(－3)×4a；
例 计算：
(－3)×4a＝(－3×4)a
例 计算：
(－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a；
例 计算：
(－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a；
3(a＋b)－2(a－b)－a；

例 计算：
(－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a；
3(a＋b)－2(a－b)－a
＝3a＋3b－2a＋2b－a

例 计算：
(－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a；
3(a＋b)－2(a－b)－a
＝3a＋3b－2a＋2b－a
＝(3a－2a－a)＋(3b＋2b)

例 计算：
(－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a；
3(a＋b)－2(a－b)－a
＝3a＋3b－2a＋2b－a
＝(3a－2a－a)＋(3b＋2b)
＝(3－2－1)a＋(3＋2)b

例 计算：
(－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a；
3(a＋b)－2(a－b)－a
＝3a＋3b－2a＋2b－a
＝(3a－2a－a)＋(3b＋2b)
＝(3－2－1)a＋(3＋2)b
＝0a＋5b

例 计算：
(－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a；
3(a＋b)－2(a－b)－a
＝3a＋3b－2a＋2b－a
＝(3a－2a－a)＋(3b＋2b)
＝(3－2－1)a＋(3＋2)b
＝0a＋5b
＝5b；
例 计算：
(－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a；
3(a＋b)－2(a－b)－a
＝3a＋3b－2a＋2b－a
＝(3a－2a－a)＋(3b＋2b)
＝(3－2－1)a＋(3＋2)b
＝0a＋5b
＝5b；
例 计算：
类似合并同类项
(－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a；
3(a＋b)－2(a－b)－a
＝3a＋3b－2a＋2b－a
＝(3a－2a－a)＋(3b＋2b)
＝(3－2－1)a＋(3＋2)b
＝0a＋5b
＝5b；
例 计算：
类似合并同类项
类似提取公因式
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)．
例 计算：
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)
＝ (x－y)a＋(x－y)b

例 计算：
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)
＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b

例 计算：
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)
＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b
＝ xa－ya＋xb－yb－xa－ya＋xb＋yb

例 计算：
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)
＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b
＝ xa－ya＋xb－yb－xa－ya＋xb＋yb


例 计算：
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)
＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b
＝ xa－ya＋xb－yb－xa－ya＋xb＋yb
＝ －2ya＋2xb．

例 计算：
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)
＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b
＝ xa－ya＋xb－yb－xa－ya＋xb＋yb
＝ －2ya＋2xb．

例 计算：
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)
＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b
＝ xa－ya＋xb－yb－xa－ya＋xb＋yb
＝ －2ya＋2xb．

例 计算：
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)
＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b
＝ xa－ya＋xb－yb－xa－ya＋xb＋yb
＝ －2ya＋2xb．

例 计算：
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)
＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b
＝ xa－ya＋xb－yb－xa－ya＋xb＋yb
＝ －2ya＋2xb．

例 计算：
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)
＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b
＝ xa－ya＋xb－yb－xa－ya＋xb＋yb
＝ －2ya＋2xb．

例 计算：
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)
＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b

例 计算：
例 计算：
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)
＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b

例 计算：
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)
＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b
＝ [(x－y)－(x＋y)]a＋[(x－y)＋(x＋y)]b


例 计算：
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)
＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b
＝ [(x－y)－(x＋y)]a＋[(x－y)＋(x＋y)]b
＝ －2ya＋2xb．

向量的线性运算，与数和代数式的运算非常相似，去括号、移项、合并同类项、提取公因式等方法同样适用。
例 如图，□ ABCD的两条对角线相交
于点 M，且 ，
(1) 用a，b表示向量 和 ．
A
B


C


M

D

在□ ABCD中，
解：
A
B


C


M

D

在□ ABCD中，
解：
A
B


C


M

D

在□ ABCD中，
解：
A
B


C


M

D

在□ ABCD中，
解：
A
B


C


M

D

在□ ABCD中，
解：
A
B


C


M

D

在□ ABCD中，
解：
A
B


C


M

D

在□ ABCD中，
解：
A
B


C


M

D

在□ ABCD中，
解：
A
B


C


M

D

A
B


C


M

D

在□ ABCD中，
解：
例 (2) 点 P 和点 Q 分别在线段 BD 和 AC 上，且 DB ＝ 6DP，AQ ＝ 2QC， 用a，b表示向量 和 ．
A
B


C


M

D
P
Q

在△ ADP中，
解：
A
B


C


M

D
P
Q

在△ ADP中，
解：
A
B


C


M

D
P
Q

在△ ADP中，
解：
A
B


C


M

D
P
Q

在△ ADP中，
解：
A
B


C


M

D
P
Q

在△ ADP中，
解：
A
B


C


M

D
P
Q

在△ ADP中，
解：
A
B


C


M

D
P
Q

在△ ADP中，
解：
在△ APQ中，
A
B


C


M

D
P
Q

在△ ADP中，
解：
在△ APQ中，
A
B


C


M

D
P
Q

在△ ADP中，
解：
在△ APQ中，
A
B


C


M

D
P
Q

在△ ADP中，
解：
在△ APQ中，
A
B


C


M

D
P
Q

在△ ADP中，
解：
在△ APQ中，
A
B


C


M

D
P
Q

用两已知向量的线性运算表示其它向量的一般方法：
把待求向量放在三角形或平行四边形中，利用三角形法则、平行四边形法则以及向量数乘的定义，逐步完成对待求向量的表示．
四、课堂小结
一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 λa，它的长度与方向规定如下：
(1) | λa | ＝ | λ | | a | ；
(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相反．
向量数乘的定义
向量数乘的运算律

结合律

分配律

运算的研究过程：
运算法则——运算律——运算的应用
运算的研究过程：
运算法则——运算律——运算的应用
向量数与形的双重属性：
从数与形两方面认识向量问题
运算的研究过程：
运算法则——运算律——运算的应用
向量数与形的双重属性：
从数与形两方面认识向量问题
类比的研究方法：
既要关注共性，又要关注区别
五、课后作业
1. 化简：
(1) 6 (a －3b＋c)－4 (－a＋b－c)；
(2) (x－y)(a＋b)－(x－y)(a－b)．
2. 在 △ABC 中， ，DE∥BC，且与边 AC 相交
于点 E，△ ABC 的中线 AM 与 DE 相交于点 N．设
＝a， ＝b，用a，b分别表示向量 ， ， ，
， ， ， ．