18.1.2 平行四边形的判定（1）
教学目标
1.在探索平行四边形的判定条件中,会用边、角、对角线来判定平行四边形的方法.
2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.
教学重难点
【重点】 理解和掌握平行四边形的判定定理.
【难点】 对平行四边形的判定与性质定理的综合运用.
教学过程
一、情境引入
1.平行四边形的定义是什么?
2.平行四边形具有哪些重要的性质?
3.你能说出上述三条性质的逆命题吗?
引导学生回答并概括,适时板书相关内容.
逆命题1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
逆命题2:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
逆命题3:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
同学们手中有一些木条,如果要做一个平行四边形框架,你能想出一些办法吗?
本节课,我们主要研究平行四边形的判定方法.
二、新知探究，合作交流
1.平行四边形的判定方法
前面学过了平行四边形的性质:平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分,你能写出它们的逆命题吗?
学生自由说平行四边形性质的逆命题:
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义).
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
④对角线互相平分的四边形是平行四边形.
追问:你能根据平行四边形的定义证明这些命题的正确性吗?
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
已知:如图所示,四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:连接AC,如图所示,
在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(SSS),
∴∠BAC=∠DCA,∠BCA=∠DAC,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
教师说明:通过证明,说明这个命题是正确的,即可作为平行四边形的判定方法.
提问:你能用数学语言表述这个判定定理吗?
学生思考回答,教师板书:
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形. 学生自由说平行四边形性质的逆命题:
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义).
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
④对角线互相平分的四边形是平行四边形.
2.例题讲解
例1.如图所示,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点,并且AE=CF.求证四边形BFDE是平行四边形.
证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.
∵AE=CF,∴AO-AE=CO-CF,
即EO=FO.
又 BO=DO,∴四边形BFDE是平行四边形.
【变式训练】 如图所示,?ABCD中,E,F分别是AC上两点,且BE⊥AC于E,DF⊥AC于F.求证四边形BEDF是平行四边形.
证明:连接BD交AC于点O,如图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,OA=OC,OB=OD.
∴∠BAE=∠DCF.
∵BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,
∴∠BEA=∠DFC=90°.
∴△ABE≌△CDF(AAS).
∴AE=CF.
∴OA-AE=OC-CF,
即OE=OF.
∴四边形BEDF是平行四边形
课堂小结：
本节课我们主要学习了平行四边形的判定方法:
从边看:
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
从对角线看:
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
从角看:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
检测评价：
1.如图所示,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O.
(1)若AD=8 cm,AB=4 cm,那么当BC= cm,CD= cm时,四边形ABCD为平行四边形;?
(2)若AC=8 cm,BD=10 cm,那么当AO= cm,DO= cm时,四边形ABCD为平行四边形.?
2.如图所示,在?ABCD中,点E,F是对角线AC上两点,且AE=CF.求证∠EBF=∠FDE.
作业布置：
教材第47页练习第1,2,3题;教材第50页习题18.1第4,5题.
【选做题】
教材第51页习题18.1第13题
平行四边形的判定（2）
教学目标
1.掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法.
2.会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明.
教学重难点
【重点】 平行四边形各种判定方法及其应用,尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法.
【难点】 综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明.
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】 复习平行四边形的定义及性质.
教学过程
一、情境引入
取两根等长的木条AB,CD,将它们平行放置,再用两根木条BC,AD加固,得到的四边形ABCD是平行四边形吗?你能说明其中的道理吗?
二、新知探究，合作交流
问题:我们知道两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形,如果只考虑一组对边,它们要满足什么条件时,这个四边形才能成为平行四边形?
下面我们就来看一下如何证明:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD.求证四边形ABCD是平行四边形
证明:连接AC,如图所示,
∵AB∥CD,
∴∠BAC=∠DCA,
又AB=CD,AC=CA,
∴△ABC≌△CDA(SAS).
∴AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形
2.例题讲解：
例1.如图所示,在?ABCD中,E,F分别是AB, CD的中点.求证:四边形EBFD是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,EB∥FD.
又 EB=AB,FD=CD,
∴EB=FD.
∴四边形EBFD是平行四边形.
【变式训练】
3.如图所示,AC∥ED,点B在AC上,且AB=ED=BC,找出图中的平行四边形,并说明理由.
解:图中的平行四边形有?ABDE,?BCDE.四边形ABDE中,AB=DE,且AC∥ED,∴四边形ABDE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).四边形BCDE中,BC=DE,且AC∥ED,∴四边形BCDE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
课堂小结
判别一个四边形是平行四边形的方法有:
角度 判定方法
边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
检测评价
1.能判定一个四边形是平行四边形的条件是 ( )
A.一组对边平行,另一组对边相等
B.一组对边平行,一组对角互补
C.一组对角相等,一组邻角互补
D.一组对角相等,另一组对角互补
2.能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A.AD=BC,AB∥CD B.∠A=∠B,∠C=∠D
C.AB=BC,AD=DC D.AB∥CD,CD=AB
作业布置
教材第47页练习第4题;教材第50页习题18.1第6题.
【选做题】
教材第51页习题18.1第13题.
18.1.2平行四边形的判定（3）
教学目标
1.记忆三角形中位线的概念,掌握三角形的中位线定理.
2.能较熟练地应用三角形中位线的性质进行有关的证明和计算.
教学重难点
【重点】 掌握三角形中位线的性质.
【难点】 三角形中位线性质的证明.
【教师准备】 教学中出示的教学插图和例题.
【学生准备】 复习平行四边形的性质与判定方法,三角形纸板
教学过程
一、情境引入
为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选一点A,再分别找出线段AB,AC的中点D,E,若测出DE的长,就能求出池塘的宽BC,你知道为什么吗?今天这堂课我们就来探究其中的学问.
二、新知探究，合作交流
1.三角形的中位线的定义
我们应用平行四边形的性质与判定来研究三角形的中位线的概念及其性质.
如图,D,E分别是AB,AC的中点,连接DE,像DE这样,连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
教师讲解:三角形中位线的定义的两层含义:
①∵D,E分别为AB,AC的中点,∴DE为△ABC的中位线.
②∵DE为△ABC的中位线,∴D,E分别为AB,AC的中点.
提问:三角形有几条中位线?你能画出来吗?
学生尝试画图,教师巡视指正,引导学生观察总结:三角形有三条中位线.
2.三角形的中位线的性质
提问:观察图形,猜想DE与BC有何位置关系,有何数量关系.
学生活动:(1)剪一个三角形,记为△ABC.
(2)分别取AB,AC的中点D,E,并连接DE.
(3)沿DE将△ABC剪成两部分,并将△ADE绕点E旋转180°到△CFE的位置,得四边形DBCF(如图).
思考:四边形DBCF是什么特殊的四边形?为什么?
教师根据情况进行提示:要判定一个四边形是平行四边形,需具备什么条件?
结合题目中的条件,你选用哪一种判定方法?为什么?
学生发现:由操作(3)知△ADE≌△CFE,从而可知CF∥DB,CF=AD=DB,∴四边形BCFD是平行四边形.
教师进一步引导,得出:DE∥BC,DE=BC.
师生归纳总结:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
3.例题讲解
例1.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证四边形EFGH是平行四边形.
证明:连接AC,如图所示.
在△DAC中,∵AH=HD,CG=GD,
∴HG∥AC,HG=AC(三角形中位线性质).
同理可得EF∥AC,EF=AC.
∴HG∥EF,且HG=EF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
[归纳总结] 顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形.
课堂小结：
师生共同归纳本节课所学知识:
三角形的中位线的定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线的性质:
三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
检测评价
1.如图所示,?ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是CD中点,连接OE,若OE=3 cm,则AD的长为 ( )
A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm
2.如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,BC的中点.若△DBE的周长是6,则△ABC的周长是 ( )
A.8 B.10
C.12 D.14
△ABC中,点D,E,F分别是△ABC三边的中点,如果△DEF的周长是12 cm,那么△ABC的周长是 cm.?
作业布置：
教材第49页练习第1,3题;教材第50页习题18.1第5题
