18.2.2 菱 形
第1课时 菱形
教学目标
1.学习菱形的定义和菱形的特殊性质.
2.能运用菱形的性质定理计算或证明,能根据菱形的性质解决简单的实际问题.
3.会利用对角线的长求菱形的面积.
教学重难点
【重点】 菱形性质定理的运用.
【难点】 菱形性质定理的理解及灵活应用.
一、情境引入
我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形,其实还有另外的特殊平行四边形,请看演示:(可用事先按如图所示做成的一组对边可以活动的教具进行演示)
如图,改变平行四边形的边,使之一组邻边相等时,这又是一类特殊的平行四边形——菱形.那么什么样的图形是菱形?为什么说菱形是特殊的平行四边形?菱形具有怎样的性质?这些就是我们这节课要解决的问题.
二、新知探究，合作交流
1.菱形的定义
下面我们先来看个动态演示,考虑什么样的图形是菱形.
几何画板演示:如图所示.
在平行四边形ABCD中,我们平移边CD,使BC'=AB,这时的图形是菱形.我们说菱形是特殊的平行四边形,特殊之处就是有一组邻边相等.
下面请一位同学给菱形下个定义.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质
想一想:如图,菱形ABCD中,AB=AD,对角线AC,BD相交于点O.
(1)图形中有哪些相等的线段?相等的角?
(2)对角线AC,BD有怎样的位置关系?
(3)菱形ABCD是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?
(学生观察,思考、交流自己的看法)
生1:菱形是特殊的平行四边形,∴AB=CD,AD=BC(菱形的对边相等),又∵AB=AD,∴AB=BC=CD=AD,即菱形的四条边都相等.
生2:菱形是特殊的平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.
生3:∵AB=AD,OB=OD,∴AO⊥BD(等腰三角形的“三线合一”),即菱形的对角线互相垂直.
生4:∵AB=CD,AD=BC,AC是公共边,∴△BAC≌△DAC.∴∠CAB=∠CAD,∠ACB=∠ACD.同理可证∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB,即菱形的每一条对角线平分一组对角.
生5:菱形ABCD是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是对角线所在的直线.
生6:菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.
教师总结:通过对上述问题的思考、讨论,大家对菱形有了进一步的认识,由此,我们得到了菱形的两个性质定理.
性质定理1:菱形的四条边都相等.
性质定理2:菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
3.例题讲解
例1.如图,菱形花坛ABCD的边长为20 m,∠ABC=60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).
解:∵花坛ABCD的形状是菱形,
∴AC⊥BD,∠ABO=∠ABC=×60°=30°.
在Rt△OAB中,
AO=AB=×20=10.
BO===10.
∴花坛的两条小路长:
AC=2AO=20(m),BD=2BO=20≈34.64(m).
花坛的面积S菱形ABCD=4×S△OAB=AC·BD=200≈346.4(m2 ).
归纳：菱形面积的计算
（1）面积=底×高.
（2）菱形面积等于对角线乘积的一半来.
课堂小结：
在学生归纳小结的基础上,教师补充.
1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质:
(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质.
(2)菱形的四条边都相等,菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
(3)菱形是轴对称图形,有两条对称轴.
3.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半,也可利用平行四边形的面积公式求菱形的面积.
检测评价
1.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°.已知△ABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是 ( )
A.25 B.20
C.15 D.10
2.如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐 标为(0,2),则点C的坐标为 .?
作业布置：
教材第57页练习第1,2题;教材第60页习题18.2第5题.
【选做题】
教材第61页习题18.2第11题.
菱形的判定
教学目标
1.学会并运用菱形的定义和两个判定定理进行有关的推理论证和计算.
2.了解菱形的现实应用和常用判别条件.
教学重难点
【重点】 菱形的定义和判定定理的运用.
【难点】 探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算.
一、情境引入
1.菱形有哪些性质?其中哪些是平行四边形所没有的?
学生思考、交流.
在学生讨论的基础上,教师以表格的形式予以梳理.
图形 边 角 对角线
平行四边形 对边平行且相等 对角相等 互相平分
菱形 四条边都相等,对边平行 对角相等 垂直且互相平分,并且每一条对角线平分一组对角
2.用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子,做成一个可转动的十字架,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形(如下图).
提问:任意转动木条,这个四边形总有什么特征?你能证明你发现的结论吗?继续转动木条,观察什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形.
学生结合实验发现,橡皮筋围成的四边形始终是平行四边形,当两根木条互相垂直时,这个平行四边形是菱形.
二、新知探究，合作交流
1.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
提问:对角线互相垂直的平行四边形是菱形,你能证明这个命题的正确性吗?
学生思考:这个命题的条件是什么?结论是什么?先画出图形,写出已知和求证.
已知:,如图，在?ABCD中,对角线AC⊥BD于点O.
求证:?ABCD是菱形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,
∵AC⊥BD,
∴AB=AD,
∴?ABCD是菱形.
通过探究和进一步证明可以归纳得到菱形的一个判定定理:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
2.四条边相等的四边形是菱形
学生讨论,交流.
命题“菱形的四条边都相等”的条件是:四边形是菱形,结论是:四条边都相等.它的逆命题是:四条边都相等的四边形是菱形.该逆命题是真命题.
理由如下:
已知:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证:四边形ABCD是菱形.
证明:∵AB=BC=CD=DA,
∴四边形ABCD的两组对边分别相等.
∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义).
菱形的一个判定定理: 四条边相等的四边形是菱形.
3.例题讲解
例1.如图,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AB=5,AO=4,BO=3.
求证:?ABCD是菱形.
证明:∵AB=5,AO=4,BO=3,
∴AB2=AO2+BO2.
∴△OAB是直角三角形,AC⊥BD.
∴?ABCD是菱形.
例2.如图,在?ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD,AC,BC相交于点E,O,F.
求证四边形AFCE是菱形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,AE∥FC.
∴∠EAO=∠FCO.
又∵∠AOE=∠COF,AO=CO,
∴△AOE≌△COF.
∴EO=FO.
又∵AO=CO,
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC,
∴?AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
课堂小结：
本节课你有哪些收获?
学生归纳小结菱形的判定方法:
(1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
(2)菱形的判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(3)菱形的判定定理:四条边相等的四边形是菱形.
检测评价：
1.下列说法正确的是 ( )
A.对角线相等的平行四边形是菱形
B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.有一个角是直角的平行四边形是菱形
2.已知平行四边形ABCD,下列条件:①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD.其中能使平行四边形ABCD是菱形的有 ( )
A.①③ B.②③ C.③④ D.①②③
板书设计：
第2课时
1.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
2.四条边相等的四边形是菱形.
3.例题讲解
例1 例2
作业布置：
教材第58页练习第1,2,3题;教材第60页习题18.2第6题.
【选做题】
教材第61页习题18.2第10题.
