沪教版数学高二下春季班：第十五讲组合 同步学案（教师版）

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沪教版数学高二下春季班第十五讲
课题 组合 单元 第章 学科 数学 年级 十一
学习 目标 1．掌握组合数的运算，了解组合数的意义，会根据题意列出组合数等式； 2．对于常见的组合数相关求和问题要清楚； 3．会用组合数来解决实际问题，合理分类，注意区分组合数和排列的区别．
重点 1．组合数的运算与求和； 2．组合数的实际应用和具体解题思想方法，对于常见组合解题策略的认识．
难点 组合数的实际应用和具体解题思想方法，对于常见组合解题策略的认识．


教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30


1、组合数：
从个不同元素中取出()个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符合表示.
组合数公式为
,规定
.
组合数公式有两种形式，(1)乘积形式；(2)阶乘形式.前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式。
2、组合数的性质：
性质一：C=C
①等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标.
②此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化.
例如＝＝=2016.
③或．
性质二、=+
①等式特点：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数．
②此性质作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．
③证明过程：

.

3、组合问题常见解题方法：
（1）注意“至少”、“最多”、“含”等词；
（2）区分“分配”与“分组”：“分组问题”的特征是组与组之间只要元素个数相同是不可区分的，即指把物件分成组，是无顺序可言的；而“分配”问题即使元素个数相同，但因人不同，仍然是可区分的，或者是指把物件分给不同的人（或团体），是有顺序的，解分配问题必须先分组后排列，若平均分组，则分法取法/
（3）隔板分组法：常常用于解决一类相同元素分给不同对象的分配问题.
（4）分排问题直排处理；
（5）“小集团”排列问题中先集体后局部处理；
（6）定序问题除法处理：即先不考虑顺序限制，排列后在除以定序元素的全排列.




一、组合数及其运算性质
【例1】解方程（1）
（2）
【难度】★★
【答案】（1）4；（2）14
【解析】（1），
，
，
，或（舍）。
（2）两边同时乘以可得
解得n=14，或n=-1（舍）

【例2】计算下列各式的值：
；（2）；
（3）
【难度】★★
【答案】（1）32；（2）56（3）
【解析】（1）略（2）略
法一：利用组合数性质，原式可化为：

法二：将原式第一项补上一个，然后利用倒序相加法也可得到结果。

【例3】已知，求、的值．
【难度】★★
【答案】

【例4】已知的解集是 ．
【难度】★★
【答案】

【例5】（1）求 的值；
（2）设m，nN*，n≥m，求证：
（m+1）+（m+2）+（m+3）+…+n+（n+1）=（m+1）．
【难度】★★★
【答案】（1）0（2）见解析
【解析】（1）
（2）当时，结论显然成立，当时

又因为
所以因此



【巩固训练】
1．组合数 ．
【难度】★
【答案】5或16

2．计算的值．
【难度】★★
【答案】466
【解析】注意到中的隐含条件：n≥m，m∈N，n∈N*，有
解得，所以n＝10．
所以，

3．下列等式中正确的是( )
(1)； (2)；
(3)； (4)．
A．(1)(2) B．(1)(2)(3)
C．(1)(3) D．(2)(3)(4)
【难度】★★
【答案】B

4．组合数（，、）恒等于( )
A． B．
C． D．
【难度】★★
【答案】D


二、常见组合问题解题策略
1、组合的一般应用
【例6】3个一样的白色小球和4个一样的黑色小球排成一排，有多少种不同的排法？
【难度】★★
【答案】35
【解析】不妨先放置7个同样的白色小球，再从中换取4个放入黑色小球，所得的排列方式和题中所描述的问题一样，故排列的总数为．

【例7】古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 种（结果用数值表示）．
【难度】★★
【答案】10
【解析】不妨设5个位置为1，2，3，4，5，3号位随意放入一个物质，有种选法；
不妨设为火，则金，水都只能选择1号位或者5号位，共有种选择，剩下的木，土都别无选择．方法数共有．

【例8】马路上有12盏灯，为了节约用电，可以熄灭其中3盏灯，但两端的灯不能熄灭，
也不能熄灭相邻的两盏灯，那么熄灯方法共有______种．
【难度】★★
【答案】56
【解析】去掉两段的灯，中间有10盏灯，在7盏亮着的灯中有8个空位，插入3盏熄灭的灯即

【例9】在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱
歌2人伴舞的节目,有多少选派方法．
【难度】★★
【答案】199
【解析】10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种，由分类计数原理共有 HYPERLINK "http://www.shulihua.net" 种。
2、分组及分堆问题
【例10】6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
（1）分为三份，每份2本；
（2）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（3）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？
（4）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？
【难度】★★
【答案】（1）6本书平均分成3份，用上述方法重复了倍，故共有（种）.
【本题是分组中的“均匀分组”问题．一般地：将mn个元素均匀分成n组（每组m个元素）,共有种方法】
（2）这是“不均匀分组”问题，从6本书中，先取1本做1份，再在剩下的5本中取2本做一份，最后3本做一份，共有 种方法．
（3）平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有（种）.
（4）本题即为6本书放在6个位置上，共有（种）.

【例11】七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？
⑴选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人；
⑵选出6个人，分成两组，每组都是3人；
⑶选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土．
【难度】★★
【答案】（1）210；（2）70；（3）420
【解析】⑴可直接从7人中选出2人的方法有种，
再由余下的5个人中选3人的方法有
种，所以依分步计数原理，分组的方法有：种．
也可先选取5人，再分为两组有种．
⑵选3人为一组有种，再选3人为另一组有种，依分步计数原理，又每种分法只能算一种，所以不同的分法有种．
也可以先选再分组为种．
⑶由于分组后各组要担任不同的工作，这就将不编号的组变为编号的组，只需乘以组数的全排列即可，分组的方法有种．

3、至多至少、含与不含、直接间接问题
【例13】从集合与中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母和数字至多只能出现一个的不同排法种数是_____．（用数字作答）
【难度】★★
【答案】5832
【解析】分三种情况：情况1．不含、的排列：；
情况2．、中只含一个元素的排列：；情况3．只含元素的排列：．
综上符合题意的排法种数为++=5832．
当然也可以用间接法，.

【例14】将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（ ）
A． 540 B． 300 C． 180 D． 150
【难度】★★
【答案】D
【解析】依题意，5个人分成3部分只有两种可能：或．
这是部分均匀编号分组问题，分别有和种方案，因此总方案数为种，选D．

【例15】一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球．
⑴从口袋内取出个球，共有多少种取法？
⑵从口袋内取出个球，使其中含有个黑球，有多少种取法？
⑶从口袋内取出个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
【难度】★★
【答案】（1）56；（2）21；（3）35
【解析】⑴从口袋内的个球中取出个球，取法种数是；
⑵从口袋内取出个球有个是黑球，于是还要从个白球中再取出个，
取法种数是；
⑶由于所取出的个球中不含黑球，也就是要从个白球中取出个球，
取法种数是．




4、涂色问题
【例16】如图，一个地区分为5个行政区域，现给它们着色，要求
相邻区域不得使用同一种颜色.若有4种颜色可供选择，则不同的着
色方法共有 （用数字作答）
【难度】★★
【答案】72
【解析】当4中颜色都是用时共有48种方法，当仅适用3种颜色时颜色可有种选法，先涂第一区域，有3种，剩下两种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂2,4另外一种颜色涂3,5共2种，故有，从而一共有48+24=72种

【例17】用六种不同颜色把右图中、、、四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有____种不同涂法．
【难度】★★
【答案】480


5、挡板法
【例18】把个相同的小球放入编号为的盒子中，问每个盒子中至少有个小球的不同放法有多少种？
【难度】★★
【答案】165
【解析】相当于在12个小球中间11个空位里面插入3个板，即

【例19】不定方程中不同的正整数解有 组，非负整数解有 组．
【难度】★★
【答案】，；
【解析】相当于把100个1分给50个未知数，采用挡板法，
于是所有的方法数为；
非负整数解的问题，等价于 的非负整数解问题，等价于，的正整数解问题，一共有组．


6、几何计数
【例20】以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）
A．70种 B．64种 C．58种 D．52种
【难度】★★
【答案】58
【解析】从正方体8个顶点中每次取四点，理论上可构成个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有个.

【例21】四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取四个不共面的点，不同的取法共有
【难度】★★★
【答案】141
【解析】间接法；一共有种，四点共面有三种情况，①四点均在侧面上共有种；②三点在一条棱上，第四个点在其对棱的中点，共有6种情况；③四点均为中点，有3种情况；故共有

【例22】四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么有____种不同的安全存放的方法．
【难度】★★★
【答案】48
【解析】相交两棱所代表的物品不在同一仓库，设棱为1,2,3,4，底边为5,6,7,8，显然不可能有3中物品放在同一仓库，故每个仓库放2种，不妨先将编号1,2,3,4的物品入仓，共有种，然后分两种情况讨论可知如果编号为1的仓库确定，则其它都唯一，而编号为1的仓库只有两种放法，故共有种


【巩固训练】
1.今有个红球、个黄球、个白球，同色球不加以区分，将这个球排成一列，则一共有 种不同的方法（用数字作答）.
【难度】★★
【答案】1260
【解析】，解法同例6

2.将3种作物种植在如图的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有________种．
【难度】★★
【答案】42
【解析】由左到右共有种

3.把9个相同小球放入其编号为1、2、3的三个箱子里,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法共有___ 种．
【难度】★★
【答案】10
【解析】挡板法，先取出3个求，2号箱放1个，3号箱放两个，然后问题就相当于在6个球中间5个空里插入2块板即

4.如图，点,,… ,分别是四面体的顶点或其棱的中点，
则在同一平面内的四点组 （）共有 个
【难度】★★★
【答案】33
【解析】先做出三个侧面上的在同一平面上的四点组成均过点，
∵每个侧面上除点都有五个点，故共有，
另外还包括所在三条棱上有3个，故共有33个

5.设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，经过次跳动质点落在点（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法种数为　　　　　 ．
【难度】★★
【答案】10
【解析】由题设知，质点向正方向跳动次，负方向跳动次，
因此质点的运动方法种数为种．

6.将名大学生分配到个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_______种（用数字作答）．
【难度】★★
【答案】36
【解析】分两步完成：第一步将名大学生按分成三组，其分法有种；
第二步将分好的三组分配到个乡镇，有种．所以满足条件的分配方案有种．

7.将个不同的小球全部放入编号为和的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有__________种．
【难度】★★
【答案】91
【解析】注意跟挡板法区别开来；编号为的盒子可以放入球的个数为2，3，4，
于是不同的放球的方法数．








组合数问题，首先要理解组合数的意义，注意和排列区分开来，在具体的题目中知道是选用组合还是排列；另外就是对于组合数的运算及上下标隐含的大小关系要清楚，这有时会成为解题的关键点；
对于常见的组合问题的解题策略要有一个清晰的认识，知道哪些问题是在考虑组合，对于有些题目要能够联想的具体的组合模型，对于一个题目往往是既有组合又有排列要注意分清楚它们之间的关系合理分类和分布。















1．解方程：．
【难度】★★
【答案】x=10
【解析】原方程可化为
整理得
解得或（不合题意舍去）．
经检验是原方程的根．（应强调解组合数方程要验根）

2．解不等式：．
【难度】★★
【答案】
【解析】由题意得：，解得．
又，且，
∴，又，
∴或，
∴不等式的解集为．

3．8个相同的球放进编号为1、2、3的盒子里，则放法种数为______．(以数值作答)
【难度】★★
【答案】45

4．某城市街道呈棋盘形，南北向大街条，东西向大街条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．
【难度】★★
【答案】35
【解析】无论怎样走必须经过三横四纵，
因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题，故最短的走法有种．

5．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（　　）
A．10种　　　B．20种　　　C．36种 　　　D．52种
【难度】★★
【答案】A

6.从个自然数中任取个互不连续的自然数，有多少种不同的取法．
【难度】★★
【答案】

7.6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？
【难度】★★
【答案】15
【解析】分出三堆书由顺序不同可以有种，
而这4种分法只算一种分堆方式，故分堆方式有种







知识梳理

例题解析























反思总结

课后练习






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