高一年级下册数学课件6.2 向量的数量积 人教A版（181张ppt）

(共181张PPT)
高一年级 数学
向量的数量积
实数
加法
减法
向量
加法
减法
数乘
线性运算
向量＋向量=向量
向量－向量=向量
实数×向量=向量
向量与向量能否相乘？
①类比
乘法

②类比
③类比
④类比
问题1 回顾之前学习向量线性运算的过程，我们都是按照怎样的路径学习的？
物理模型
性质
运算律
应用
学习路径
概念
向量的
加法
位移合成
力的合成
向量的
数量积

?
问题2 物理知识中，有关于两个矢量相乘的背景吗？

功的概念:
如果一个物体在力F的作用下产生位移s，
那么力F所做的功为
标量
矢量
矢量
其中 是力F与s的夹角.
问题3 功是一个标量，由力和位移两个向量来确定，能否把“功”看成是两个“向量”相乘的结果呢？受此启发，要定义向量的乘法，我们需要先定义什么？

功的概念:
如果一个物体在力F的作用下产生位移s，
那么力F所做的功为

涉及到
了哪些
要素？
其中 是力F与s的夹角.

功的概念:
如果一个物体在力F的作用下产生位移s，
那么力F所做的功为
其中 是力F与s的夹角.

功的概念:
如果一个物体在力F的作用下产生位移s，
那么力F所做的功为
其中 是力F与s的夹角.

功的概念:
如果一个物体在力F的作用下产生位移s，
那么力F所做的功为

如何
定义
向量
的夹
角？
其中 是力F与s的夹角.
已知两个非零向量a ，b，
如何描述
这两个向
量的夹角？

夹角
已知两个非零向量a ，b，
如何描述
这两个向
量的夹角？

“同起点”
原则
确定性
唯一性
一致性
夹角
已知两个非零向量a ，b，
已知两个非零向量a ，b，O是平面上的任意
一点，

夹角
已知两个非零向量a ，b，

已知两个非零向量a ，b，O是平面上的任意
一点，作 ，
夹角

已知两个非零向量a ，b，O是平面上的任意
一点，作 ， ，
夹角
已知两个非零向量a ，b，O是平面上的任意
一点，作 ， ，则 叫
做向量a与b的夹角.

夹角
已知两个非零向量a ，b，O是平面上的任意
一点，作 ， ，则 叫
做向量a与b的夹角.
夹角
问题4 根据以往的学习经验，两个向量有哪些特殊的位置关系？这些特殊的位置关系时，两个向量的夹角 是多少？
问题4 根据以往的学习经验，两个向量有哪些特殊的位置关系？这些特殊的位置关系时，两个向量的夹角 是多少？
向量a，b垂直
向量a ，b共线
问题4 根据以往的学习经验，两个向量有哪些特殊的位置关系？这些特殊的位置关系时，两个向量的夹角 是多少？
向量a，b同向
向量a，b反向
向量a，b垂直

向量a ，b共线
问题4 根据以往的学习经验，两个向量有哪些特殊的位置关系？这些特殊的位置关系时，两个向量的夹角 是多少？
向量a，b同向
向量a，b反向
向量a，b垂直

向量a ，b共线
问题4 根据以往的学习经验，两个向量有哪些特殊的位置关系？这些特殊的位置关系时，两个向量的夹角 是多少？
向量a，b同向
向量a，b反向
向量a，b垂直

向量a ，b共线
问题4 根据以往的学习经验，两个向量有哪些特殊的位置关系？这些特殊的位置关系时，两个向量的夹角 是多少？
向量a，b同向
向量a，b反向
向量a，b垂直

向量a ，b共线
问题4 根据以往的学习经验，两个向量有哪些特殊的位置关系？这些特殊的位置关系时，两个向量的夹角 是多少？
向量a，b同向
向量a，b反向
向量a，b垂直
记作

向量a ，b共线
思考 如图，在 中，你能指出向量 与 的夹角吗？向量 与 的夹角呢？

A
B
C
思考 如图，在 中，你能指出向量 与 的夹角吗？向量 与 的夹角呢？

A
B
C
思考 如图，在 中，你能指出向量 与 的夹角吗？向量 与 的夹角呢？

A
B
C

显然，向量 与 的夹角为 ．
思考 如图，在 中，你能指出向量 与 的夹角吗？向量 与 的夹角呢？

A
B
C
显然，向量 与 的夹角为 ．
思考 如图，在 中，你能指出向量 与 的夹角吗？向量 与 的夹角呢？

A
B
C
由于向量 与 的起点不同，
显然，向量 与 的夹角为 ．
思考 如图，在 中，你能指出向量 与 的夹角吗？向量 与 的夹角呢？

A
B
C
显然，向量 与 的夹角为 ．
由于向量 与 的起点不同，
先将向量平移到同起点，
思考 如图，在 中，你能指出向量 与 的夹角吗？向量 与 的夹角呢？

A
B
C
由于向量 与 的起点不同，
先将向量平移到同起点，
显然，向量 与 的夹角为 ．
思考 如图，在 中，你能指出向量 与 的夹角吗？向量 与 的夹角呢？

A
B
C
由于向量 与 的起点不同，
先将向量平移到同起点，

显然，向量 与 的夹角为 ．
思考 如图，在 中，你能指出向量 与 的夹角吗？向量 与 的夹角呢？

A
B
C
由于向量 与 的起点不同，
先将向量平移到同起点，
所以 ，向量 与 的夹角为 ．

显然，向量 与 的夹角为 ．
思考 如图，在 中，你能指出向量 与 的夹角吗？向量 与 的夹角呢？

A
B
C
由于向量 与 的起点不同，
先将向量平移到同起点，
所以 ，向量 与 的夹角为 ．


显然，向量 与 的夹角为 ．
数量积
已知两个非零向量a 与b，它们的夹角是θ，
我们把数量 叫做向量a与b的数量积
（或内积（inner product）），记作 ，即
.
数量积
已知两个非零向量a 与b，它们的夹角是θ，
我们把数量 叫做向量a与b的数量积
（或内积（inner product）），记作 ，即
.
注意：“ ”中间的“?”不可以省略，
也不可以用“ ”代替．
数量积
已知两个非零向量a 与b，它们的夹角是θ，
我们把数量 叫做向量a与b的数量积
（或内积（inner product）），记作 ，即
.
注意：“ ”中间的“?”不可以省略，
也不可以用“ ”代替．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
数量积
问题5 对比向量的加减法，两个非零向量的数量积是向量还是数量？它与哪些量有关呢？数量积运算结果的符号由什么决定？
问题5 对比向量的加减法，两个非零向量的数量积是向量还是数量？它与哪些量有关呢？数量积运算结果的符号由什么决定？

问题5 对比向量的加减法，两个非零向量的数量积是向量还是数量？它与哪些量有关呢？数量积运算结果的符号由什么决定？
数量

问题5 对比向量的加减法，两个非零向量的数量积是向量还是数量？它与哪些量有关呢？数量积运算结果的符号由什么决定？
数量

问题5 对比向量的加减法，两个非零向量的数量积是向量还是数量？它与哪些量有关呢？数量积运算结果的符号由什么决定？
数量
（1）两个向量的数量积是数量，不是向量．

问题5 对比向量的加减法，两个非零向量的数量积是向量还是数量？它与哪些量有关呢？数量积运算结果的符号由什么决定？
（1）两个向量的数量积是数量，不是向量．
（2）数量积的大小与向量的模及夹角有关．
数量

问题5 对比向量的加减法，两个非零向量的数量积是向量还是数量？它与哪些量有关呢？数量积运算结果的符号由什么决定？
（1）两个向量的数量积是数量，不是向量．
（2）数量积的大小与向量的模及夹角有关．
数量积运算
结果的符号
由 决定．

数量


数量积运算
结果的符号
由 决定．

数量积运算
结果的符号
由 决定．

数量积运算
结果的符号
由 决定．



































数量
（1）两个向量的数量积是数量，不是向量．
（2）数量积的大小与向量的模及夹角有关．
已知两个非零向量a 与b，它们的夹角是θ，
我们把数量 叫做向量a与b的数量积
（或内积（inner product）），记作 ，即
.
数量积
数量
（1）两个向量的数量积是数量，不是向量．
（2）数量积的大小与向量的模及夹角有关．
知三求一
已知两个非零向量a 与b，它们的夹角是θ，
我们把数量 叫做向量a与b的数量积
（或内积（inner product）），记作 ，即
.
数量积
例1 已知 ， ，a与b的夹角 ，求 ．
例1 已知 ， ，a与b的夹角 ，求 ．
例1 已知 ， ，a与b的夹角 ，求 ．
解：
例1 已知 ， ，a与b的夹角 ，求 ．
解：
例1 已知 ， ，a与b的夹角 ，求 ．
解：

例1 已知 ， ，a与b的夹角 ，求 ．
解：
例2 已知 ， ， ，求a与b的夹角 ．
例2 已知 ， ， ，求a与b的夹角 ．
例2 已知 ， ， ，求a与b的夹角 ．
解：由 ，得
例2 已知 ， ， ，求a与b的夹角 ．
解：由 ，得
例2 已知 ， ， ，求a与b的夹角 ．
解：由 ，得
例2 已知 ， ， ，求a与b的夹角 ．
解：由 ，得
．
例2 已知 ， ， ，求a与b的夹角 ．
解：由 ，得
．

已知三角函数值求角问题.
例2 已知 ， ， ，求a与b的夹角 ．
解：由 ，得
因为 ，
所以 ．
．
例2 已知 ， ， ，求a与b的夹角 ．
解：由 ，得
因为 ，
所以 ．

注意夹角范围
．
知三求一

例1
知 ， ，
求 .
知三求一

例1
知 ， ，
知 ， ，

例2
求 .
求 .
知三求一

例1
知 ， ，
知 ， ，

例2
求 .
求 .
知三求一
知 ，， ，

其它
求 .

例1
知 ， ，
知 ， ，

例2
求 .
求 .
知三求一
知 ，， ，

其它
知 ，， ，
求 .

其它
求 .

例1
知 ， ，
知 ， ，

例2
求 .
求 .
知三求一
知 ，， ，

其它
知 ，， ，
求 .

其它
求 .

例1
知 ， ，
知 ， ，

例2
求 .
求 .
方程思想
知三求一
知 ，， ，

其它
知 ，， ，
求 .

其它


求 .

含义是什么？


例1
知 ， ，
知 ， ，

例2
求 .
求 .
方程思想
力F做功问题

力F做功问题

力F做功问题

力F做功问题
力F在位移垂直
方向所做功为0

力F做功问题
力F在位移垂直
方向所做功为0
力F所做的功
力F在位移方向上的分力所做的功

转化

力F所做的功
力F在位移方向上的分力所做的功
力F做功问题

转化
力F在位移垂直
方向所做功为0
二维
一维

转化
问题6 我们在研究力F所做的功W时得到，力F在位移方向上的分力对功W起到最关键的作用，如何做力F在位移方向上的分力?

M
N



问题6 我们在研究力F所做的功W时得到，力F在位移方向上的分力对功W起到最关键的作用，如何做力F在位移方向上的分力?


O

M
N
问题6 我们在研究力F所做的功W时得到，力F在位移方向上的分力对功W起到最关键的作用，如何做力F在位移方向上的分力?


O

O
M
N

M
N


O
问题6 我们在研究力F所做的功W时得到，力F在位移方向上的分力对功W起到最关键的作用，如何做力F在位移方向上的分力?
投影
投影
设a ，b两个非零向量， ， ，
我们考虑如下变换：过 的起点A和终点B，
分别作 所在直线的垂线，垂足分别为 ，
，得到 ，我们称上述变换为向量a向
向量b投影.
.
投影向量
设a ，b两个非零向量， ， ，
我们考虑如下变换：过 的起点A和终点B，
分别作 所在直线的垂线，垂足分别为 ，
，得到 ，我们称上述变换为向量a向
向量b投影.
叫做向量a在向量b上的投影向量.
.

投影向量
同起点原则
投影向量
我们可以在平面内任取一点O，作 ，
，过点M作直线ON的垂线，垂足为 ，
则 就是向量a在向量b上的投影向量.
.
我们可以在平面内任取一点O，作 ，
，过点M作直线ON的垂线，垂足为 ，
则 就是向量a在向量b上的投影向量.
.

向量a在向量b上的投影向量是向量，
它的大小和方向如何确定呢？
投影向量
任一向量都可表示为它的模与它同方向的单位向量的乘积：a =| a | e
（e是与a同向的单位向量）
数乘运算
任一向量都可表示为它的模与它同方向的单位向量的乘积：a =| a | e
（e是与a同向的单位向量）
数乘运算
一维
任一向量都可表示为它的模与它同方向的单位向量的乘积：a =| a | e
（e是与a同向的单位向量）
数乘运算
向量a在向量b上的投影向量如何表示？


二维
一维
如图，设与b方向相同的单位向量为e ，a与b
的夹角为θ，那么 与e ，a ，θ之间有怎样的关系？
问题7
如图，设与b方向相同的单位向量为e ，a与b
的夹角为θ，那么 与e ，a ，θ之间有怎样的关系？
显然， 与e 共线，
问题7
如图，设与b方向相同的单位向量为e ，a与b
的夹角为θ，那么 与e ，a ，θ之间有怎样的关系？
显然， 与e 共线，
于是
问题7
．
如图，设与b方向相同的单位向量为e ，a与b
的夹角为θ，那么 与e ，a ，θ之间有怎样的关系？
显然， 与e 共线，
于是
问题7

关键是求λ
．
如图，设与b方向相同的单位向量为e ，a与b
的夹角为θ，那么 与e ，a ，θ之间有怎样的关系？
显然， 与e 共线，
于是
问题7
．
如图，设与b方向相同的单位向量为e ，a与b
的夹角为θ，那么 与e ，a ，θ之间有怎样的关系？
显然， 与e 共线，
于是
问题7

关键1：判断λ正负，
2：求向量 的模．
．
当θ为锐角时， 与e 方向相同， ，
当θ为锐角时， 与e 方向相同， ，
当θ为锐角时， 与e 方向相同， ，
当θ为直角时，垂足 与点O 重合， ，
当θ为锐角时， 与e 方向相同， ，
当θ为直角时，垂足 与点O 重合， ，
当θ为钝角时， 与e 方向相反， ，
当θ为锐角时， 与e 方向相同， ，
当θ为直角时，垂足 与点O 重合， ，
当θ为钝角时， 与e 方向相反， ，
当θ为锐角时， 与e 方向相同， ，
当θ为直角时，垂足 与点O 重合， ，
当θ为钝角时， 与e 方向相反， ，
当θ为锐角时， 与e 方向相同， ，
当θ为直角时，垂足 与点O 重合， ，
当θ为钝角时， 与e 方向相反， ，
当θ为锐角时， 与e 方向相同， ，
当θ为直角时，垂足 与点O 重合， ，
当θ为钝角时， 与e 方向相反， ，
当θ为锐角时，
当θ为直角时，
当θ为钝角时，

当θ为锐角时，
当θ为直角时，
当θ为钝角时，
当θ=0时，
当θ=π时，
当θ为锐角时，
当θ为直角时，
当θ为钝角时，
当θ=0时，
当θ为锐角时，
当θ为直角时，
当θ为钝角时，
当θ=0时，
当θ=π时，
当θ为锐角时，
当θ为直角时，
当θ为钝角时，
当θ=0时，
当θ=π时，

当θ为锐角时，
当θ为直角时，
当θ为钝角时，
当θ=0时，
当θ=π时，

当θ为锐角时，
当θ为直角时，
当θ为钝角时，
当θ=0时，
当θ=π时，

当θ为锐角时，
当θ为直角时，
当θ为钝角时，
当θ=0时，
当θ=π时，

当θ为锐角时，
当θ为直角时，
当θ为钝角时，
当θ=0时，
当θ=π时，

当θ为锐角时，
当θ为直角时，
当θ为钝角时，
当θ=0时，
当θ=π时，

当θ为锐角时，
当θ为直角时，
当θ为钝角时，
当θ=0时，
当θ=π时，

当θ为锐角时，
当θ为直角时，
当θ为钝角时，
当θ=0时，
当θ=π时，

任一向量都可表示为它的模与它同方向的单位向量的乘积：
a =| a | e .
（e是与a同向的单位向量）
数乘运算
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么向量a在向量b上的投影向量
可以表示为：
.
二维
一维
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么向量a在向量b上的投影向量
可以表示为：
.
二维

转化
向量a 与b 的数量积
可以转化为向量a在向量b上的投影向量
与b的数量积.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么向量a在向量b上的投影向量
可以表示为：
.
二维
探究性质
问题8 当向量特殊时，它们的数量积有怎样的特殊性？
特殊向量：零向量，单位向量.
问题8 当向量特殊时，它们的数量积有怎样的特殊性？
特殊向量：零向量，单位向量.
零向量与任一向量的数量积为零.
问题8 当向量特殊时，它们的数量积有怎样的特殊性？
设a是非零向量， e是单位向量，它们的夹角是θ，
a与e的数量积有怎样的特殊性？
由数量积的定义可得
设a是非零向量， e是单位向量，它们的夹角是θ，
a与e的数量积有怎样的特殊性？
，
由数量积的定义可得
设a是非零向量， e是单位向量，它们的夹角是θ，
a与e的数量积有怎样的特殊性？
，
，
由数量积的定义可得
设a是非零向量， e是单位向量，它们的夹角是θ，
a与e的数量积有怎样的特殊性？
．
所以，
，
，
由数量积的定义可得
设a是非零向量， e是单位向量，它们的夹角是θ，
a与e的数量积有怎样的特殊性？
．
所以，
，
，
由数量积的定义可得
交换性
设a是非零向量， e是单位向量，它们的夹角是θ，
a与e的数量积有怎样的特殊性？
．
所以，
，
，
由数量积的定义可得

设a是非零向量， e是单位向量，它们的夹角是θ，
a与e的数量积有怎样的特殊性？
问题9 当两向量的位置关系特殊时，它们的数量积
有怎样的特殊性？
向量a，b垂直
向量a ，b共线
问题9 当两向量的位置关系特殊时，它们的数量积
有怎样的特殊性？
向量a，b同向
向量a，b反向
向量a，b垂直
向量a ，b共线

问题9 当两向量的位置关系特殊时，它们的数量积
有怎样的特殊性？
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b
垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b
垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？
当 时， ，
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b
垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？
当 时， ，
，
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b
垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？
当 时， ，
因此 ．
，
反之成立吗？
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b
垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？
当 时， ，
因此 ．
，
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b
垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？
当 时， ，
因此 ．
当 时， ，
，
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b
垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？
当 时， ，
因此 ．
当 时， ，
，
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b
垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？
当 时， ，
因此 ．
当 时， ，
则 ，
，
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b
垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？
当 时， ，
因此 ．
当 时， ，
则 ，
因此 ．
，
当 时， ，
因此 ．
当 时， ，
则 ，
因此 ．
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b
垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？
，
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b
共线，它们的数量积有怎样的特殊性？
当a与b同向时， ，
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b
共线，它们的数量积有怎样的特殊性？
当a与b同向时， ，
，
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b
共线，它们的数量积有怎样的特殊性？
当a与b同向时， ，
，
，
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b
共线，它们的数量积有怎样的特殊性？
当a与b同向时， ，
当a与b反向时， ，
，
，
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b
共线，它们的数量积有怎样的特殊性？
当a与b同向时， ，
当a与b反向时， ，
，
，
，
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b
共线，它们的数量积有怎样的特殊性？
当a与b同向时， ，
当a与b反向时， ，
，
，
，
．
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b
共线，它们的数量积有怎样的特殊性？
当a与b同向时， ，
当a与b反向时， ，
，
，
，
．
特别地， 或
．
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b
共线，它们的数量积有怎样的特殊性？
当a与b同向时， ，
当a与b反向时， ，
，
，
，
．
特别地， 或
．

求向量的模的工具
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b
共线，它们的数量积有怎样的特殊性？
当a与b同向时， ，
当a与b反向时， ，
，
，
，
．
特别地， 或
．
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b
共线，它们的数量积有怎样的特殊性？
常常记作

问题10 设a ，b是非零向量， 与 有怎样的
大小关系？
问题10 设a ，b是非零向量， 与 有怎样的
大小关系？
问题10 设a ，b是非零向量， 与 有怎样的
大小关系？
由 可得
由 可得
，
问题10 设a ，b是非零向量， 与 有怎样的
大小关系？
由 可得
因为 ，
问题10 设a ，b是非零向量， 与 有怎样的
大小关系？
，
由 可得
因为 ，
即 ，
问题10 设a ，b是非零向量， 与 有怎样的
大小关系？
，
所以 ．
由 可得
因为 ，
即 ，
问题10 设a ，b是非零向量， 与 有怎样的
大小关系？
，
设a ，b是非零向量，它们的夹角是θ ，e是与b方向
相同的单位向量，则
常常记作

(1) ．

(2) ．

(4)
(3) 当 a与 b同向时， ；
当a与 b反向时， ；
特别地， 或 ．
．
小结回顾
物理模型
小结回顾
物理模型
小结回顾
概念
向量a与b的夹角
物理模型
小结回顾
概念
向量a与b的夹角
“同起点原则”
物理模型
小结回顾
概念
向量a与b的夹角

“同起点原则”
数量
物理模型
小结回顾
概念
向量a与b的夹角

“同起点原则”
数量
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
物理模型
小结回顾
概念
向量a与b的夹角

“同起点原则”
数量
应用
知三求一
物理模型
小结回顾
概念
向量a与b的夹角

“同起点原则”
数量
应用
知三求一
方程思想
物理模型
小结回顾
概念
向量a与b的夹角

“同起点原则”
数量
应用
知三求一
投影
方程思想
几何直观
物理模型
小结回顾
概念
向量a与b的夹角

“同起点原则”
数量
应用
投影
分类讨论
几何直观
应用
知三求一
方程思想
物理模型
小结回顾
概念
向量a与b的夹角

“同起点原则”
数量
应用
转
化
投影
分类讨论
几何直观
应用
知三求一
向量a与b的数量积可以转化为向量a在向量b上的投影向量 与b的数量积
方程思想
物理模型
小结回顾
概念
向量a与b的夹角

“同起点原则”
数量
应用
转
化
投影
分类讨论
几何直观
应用
知三求一
性质
方程思想
课后作业