沪教版数学高二下春季班：第十六讲 排列组合综合 同步学案（教师版）

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沪教版数学高二下春季班第十六讲
课题 排列组合综合 单元 第章 学科 数学 年级 十一
学习 目标 熟练掌握常见排列组合综合问题解决方法；掌握排列组合的模型转化方法； 掌握排列组合综合问题的解决方法．
重点 1、先选后排； 2、常见模型转化问题； 3、排列组合综合问题解题策略．
难点 排列组合综合问题解题策略．

教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30




一、先选后排
【例1】将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分法的种数为 ．
【难度】★★
【答案】70

【例2】将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？
【难度】★★
【答案】

【例3】有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法．
【难度】★★
【答案】第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有

【例4】一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 _____ 种．
【难度】★★
【答案】192


【巩固训练】
1．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为 ．
【难度】★★
【答案】90

2．将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为 ．
【难度】★★
【答案】140

3．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，在不同的选派方法共有 ．
【难度】★★
【答案】60
【解析】本题采用先分组（）再排列（）的方法．

4．某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是____．
【难度】★★
【答案】576

5．有8本不同的书，从中取出6本，奖给5位数学优胜者，规定第一名（仅一人并且已选定）得2本，其它每人一本，则共有 种不同的奖法．
【难度】★★
【答案】10080
【解析】方法一：第一步，从8本书中选取6本出来；第二步，从6本中选取两本给第一名；第三步，把剩下的四本书分给另外四个人.故共有种奖法．
方法二:第一步，从8本书中选取2本给第一名；第二步，从剩下6本中选取四本给剩下的四个人.故共有种奖法．

二、组合模型转化
【例5】某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．
【难度】★★
【答案】20
【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．种．

【例6】6个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．
【难度】★★
【答案】126
【解析】把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．种．

【例7】从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的取法．
【难度】★★
【答案】
【解析】把问题转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排
列问题．于是答案为．

【例8】某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．
【难度】★★
【答案】35
【解析】无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题．种．

【例9】一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．
【难度】★★★
【答案】924
【解析】根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．种

【巩固训练】
1．求的展开式的项数．
【难度】★★
【答案】66
【解析】展开使的项为，且，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．种．

2．亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？
【难度】★★
【答案】252
【解析】设亚洲队队员为a1，a2，…，a5，欧洲队队员为b1，b2，…，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为=252（种）．

3．圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个？
【难度】★★
【答案】1365
【解析】因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有个．


三、综合问题

【例10】圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？
【难度】★★★
【答案】
【解析】因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有个．

【例11】四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱的中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？
【难度】★★★
【答案】33


【例12】不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有 ．
【难度】★★★
【答案】7
【解析】平面可以分为两类：一类是在平面的两侧各有两个点；另一类是在平面的两侧分别有一个点和三个点。如图，设E、F、G、H、M分别是AB、AC、AD、CD、BD的中点，过E、F、G三点的平面满足题意，这样的平面有4个；又过E、F、H、M的平面α也满足题意，这样的平面有3个。故适合题设的平面α共有7个


【例13】在四棱锥P—ABCD中，顶点为P，从其他的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有 种．
【难度】★★★
【答案】56
【解析】如图，满足题设的取法可分为三类：
（1）在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有（种）不同的取法；
（2）在两个对角面上除点P外任取3点，共有（种）不同的取法；
（3）过点P的每一条棱上的三点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有（种）不同的取法。
故不同的取法共有56种


【例14】马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
【难度】★★★
【答案】
【解析】把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有种

【例15】设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法？
【难度】★★★
【答案】
【解析】对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果．从5个球中取出2个与盒子对号有种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有种


3号盒 4号盒 5号盒

【巩固训练】
1．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有 ．
【难度】★★★
【答案】36
【解析】大家知道一个三棱锥可以确定3对异面直线，一个三棱柱可以组成（个）三棱锥，则共有36对异面直线．

2．人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______．
【难度】★★★
【答案】10
【解析】对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果

3．在1,2,3…,30这30个数中，每次取两两不等的三个数，使它们的和是3的倍数，共有多少种不同的取法？
【难度】★★★
【答案】1360

4．某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？
【难度】★★★
【答案】120

5．四人各写出一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式有 种．
【难度】★★★
【答案】9
【解析】将四张贺卡分别记为A,B,C,D，由题意，某人（不妨设为A卡的供卡人）取卡有3种情况．因此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其它人依次取卡分步进行。为避免重复或遗漏现象，可用树状图表示．
↗A→D→C ↗A→D→B ↗A→B→C
B→C→D→A C→D→A→B D→C→A→B
↘D→A→C ↘D→B→A ↘C→B→A
所以共有9种不同的分配方式．



1.排列组合综合问题一般采用先选后排的策略，先分组，再排序．分组时特别注意除序以及同一组别不能分开选择．
2．在解决一些排列组合问题时，一种常用的思路是讲所求的问题转化为另一种组合模型进行求解．这是高中数学转化思想的运用，需要在熟悉常见转化模型的基础上灵活运用．

1．已知集合，从集合A 中选3个元素，从集合B中选2个元素，能组成多少个含有5个元素的集合？
【难度】★★★
【答案】106

2．直线将圆面分成若干块，现用5种不同颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，但任意两块不同色，共有120种涂法，则的取值范围是 ．
【难度】★★★
【答案】

3．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？
【难度】★★★
【答案】420

4．用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
【难度】★★★
【答案】84

5．用六种颜色给正四面体的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？
【难度】★★★
【答案】4080

6．四棱锥，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？
【难度】★★★
【答案】72

7．设集合，则集合A中满足条件“”的元素个数为 ．
【难度】★★★
【答案】

8．如果一个三位正整数形如“”满足且，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为____．
【难度】★★
【答案】240

9．百米决赛有6名运动、、、、、参赛，每个运动员的速度都不同，则运动员比运动员先到终点的比赛结果共有____种．
【难度】★★
【答案】360

10．四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么有____种不同的安全存放的方法．
【难度】★★★
【答案】48







例题解析

反思总结

课后练习






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