沪教版数学高二下春季班：第十七讲 二项式定理 同步学案（教师版）

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沪教版数学高二下春季班第十七讲
课题 二项式定理 单元 第章 学科 数学 年级 十一
学习 目标 会用计数原理证明二项式定理；掌握二项展开式系数的性质及计算的问题； 熟悉二项展开式通项公式，会区分项的系数与项的二项式系数，能够灵活地求二项式的指数、求满足条件的项或系数； 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题以及用它们讨论整除、近似计算等相关问题及证明恒等式．
重点 1．二项式定理以及二项式定理和二项展开式的性质的常见应用； 2．二项式中计算相关问题及证明问题．
难点 1．二项式定理以及二项式定理和二项展开式的性质的常见应用； 2．二项式中计算相关问题及证明问题．

教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30


1、二项式定理：
公式，叫做二项式定理。其中
叫做二项式系数；公式右边的多项式叫做的二项展开式；叫做二项展开式的通项，它表示第项；二项式系数与数字系数的积叫做项的系数。
二项展开式的特性如下：
（1）系数规律：；
（2）项数规律：二项和的次幂的展开式共有个项.
（3）指数规律：各项的次数均为；二项展开式中的次数由降到0，的次数由0升到，与指数之和为.
（4）求常数项、项的系数或者有理项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 .
2、二项式系数表（杨辉三角）
展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
3、二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是，，，…，．其中可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（即）．直线（为偶数）是图象的对称轴．
（2）增减性与最大值： （中间一项或两项最大）,若为偶数，中间一项（第＋1项）的二项式系数最大；若为奇数，中间两项（第和＋1项）的二项式系数最大.
（3）系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．
（4）各二项式系数和：
奇数项（偶数项）二项式系数和：.
4、二项展开式的系数的性质：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
二项式定理中的常用思想方法：
（1）证明组合恒等式常用赋值法。
（2）求二项展开式的项（指定项，具有某种性质的项）一般用二项展开式的通项公式，通常是先根据已知条件求，再求，有时需先求，再求，才能求出。
（3）研究二项展开式的系数和、二项式系数和的问题，常通过赋值的方法整体处理，特别要注意区分二项展开式的系数和与二项展开式的二项式系数和的差别。
（4）二项式定理作为“母体”，可以生成很多的组合恒等式，在进行组合数和式研究时要注意其与二项式定理的关系，能正向、逆向地运用二项式定理。关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法。
（5）有些三项式展开式的问题，可以通过变形转化成二项式问题，这种转化体现了数学化归的思想方法，要掌握化归的基本技能。
（6）近似计算要首先观察精确度，然后选取若干项逼近近似计算的要求。用二项式定理证明整除性问题或余数问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”（蕴含目标意识）、“消除法”（配合整除的有关知识）来解决，还有不等式证明中目标导向与“放缩法”，这些问题的解法中体现的数学思想很重要，并且有一般的思维价值。



一、求展开式中的项（指定项、常数项，有理项，系数最大项，赋值求某些项系数和与差等）
1、求展开式中的指定项
【例1】（1）展开式中的第四项是 ；
（2）若的展开式中的系数是，则 ；
（3） 已知(是正整数)的展开式中，的系数小于120，则 ；
（4） 在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若实数，那么；
（5）若与的展开式中含的系数相等，则实数的取值范围是．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）1；（3）1；（4）；（5）

【例2】（1）的展开式中的系数是___；
（2）在(1+2x－3x2)6的展开式中，x5的系数为_______．
【难度】★★
【答案】（1）-18；（2）-168．
【解析】(2)原式=(1+3x)6(1－x)6，其中(1+3x)6展开式通项Tk+1=3kxk，(1－x)6展开式通项为Tr+1=(－x)r.
原式=(1+3x)6(1－x)6展开式的通项为(－1)r3kxk+r.
现要使k+r=5，又∵k∈{0，1，2，3，4，5，6}，r∈{0，1，2，3，4，5，6}，
必须或
故x5项系数为30(－1)5+31(－1)4+32(－1)3+33(－1)4+34 (－1)+35(－1)0=－168.

2、常数项
【例3】（1）若的展开式中的常数项为，则实数 ，
（2）已知的展开式的常数项是第项，则的值为 ，
（3）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 （用数字作答），
（4）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是 （用数字作答）.
【难度】★★
【答案】（1）-1；（2）8；（3）20；（4）.

【例4】的展开式中的常数项为 ，
的展开式中没有常数项，，且，则 ，
展开式中的常数项为 （用数字作答）.
【难度】★★
【答案】（1）-5；（2）5；（3）4246.
【解析】（2）


（3）

.

3、有理项
【例5】的展开式中共有_____项是有理项．
【难度】★★
【答案】26
【解析】

【例6】求二项式的展开式中：
（1）常数项；
（2）有几个有理项（只需求出个数即可）；
（3）有几个整式项（只需求出个数即可）．
【难度】★★
【答案】


（3）

4、系数最大的项
【例7】已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于，求．
【难度】★★
【答案】

【例8】展开式中系数最大的项是第几项？
【难度】★★
【答案】假设项最大，，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为,有

【例9】求的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．
【难度】★★
【答案】假设系数绝对值最大的项是，，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为,
有
系数最大项应该为项数为奇数的项内，即取偶数0,2,4,6,8,10各项时，系数最大的项是第5项，即

【巩固训练】
1、在的二项展开式中，若中间项的系数是，则实数 .
【难度】★
【答案】-2
【解析】因为一共有7项，中间项为第四项，即


2、在的展开式中，的系数为，
在的展开式中的系数等于，
在的展开式中，含的项的系数是.
【难度】★★
【答案】7；-20；-15.

3、已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是 （用数字作答）.
【难度】★★
【答案】45

4、若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于 ．
【难度】★★
【答案】由展开式通项有
，
由题意得，
故当时，正整数的最小值为5.


5、在的展开式中，有多少个有理项？
【难度】★★
【答案】7
【解析】的展开式中的通项为：

∵3与5互质∴要使此项为有理项，只要能被3和5整除，即能被15整除
又∵∴=0，15×1，15×2，…，15×6，共有7项是有理项。

6、（1）若（，为有理数），则．
（2）设的整数部分和小数部分分别为与，则的值为 　 ．
【难度】★★
【答案】（1）29；（2）1.
【解析】（1） ∵
，
由已知，得，∴.
（2）

7、若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？
【难度】★★
【答案】由解出,假设项最大，
，化简得到，又，，
展开式中系数最大的项为,有

8、设，，的展开式中，的系数为．
（1）求展开式中的系数的最大、最小值；
（2）对于使中的系数取最小值时的、的值，求的系数．
【难度】★★
【答案】
（1）
（2）

9、中，为正实数，且，它的展开式中系数最大的项是常数项，求的取值范围.
（1）求它是第几项；（2）求的最值.
【难度】★★★
【答案】（1）设=（为常数项，则有，∴=4，它是第5项.
（2）∵第5项又是系数最大的项，
≥①
≥②
由①得≥，∵＞0，＞0，∴ ≥，即≤.
由②得≥，∴≤≤.故的最大值、最小值分别为、.


二、二项式系数的性质
【例10】求证：（1）；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）
∴左边右边．
（2）．
∴左边
右边．

【例11】证明下列各式
(1)1+2+4+ … ++2n=3n；
(2)()2+()2+ … +()2=；
(3)+2+3+ … +n=.
【难度】★★
【答案】(1)在二项展开式(a+b)n=an+an-1b+an-2b2+ … +abn-1+bn中，
令a=1，b=2，得(1+2)n=1+2+4+ … +2n-1+2n，即
1+2+4+ … +2n-1+2n=3n.
(2)(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，
∴(1+x+x2+ … +xr+ … +xn)(1+x+x2+ … +xr+ … +xn)=(1+x)2n.
而是(1+x)2n的展开式中xn的系数，由多项式的恒等定理，得
++ … ++C=.
∵=，0≤m≤n，
∴()2+()2+ … +()2=.
(3)证法一：令S=+2+3C+ … +n. ①
令S=+2+ … +(n－1)+n
=n+(n－1)+ … +2+
=n+(n－1)+ … +2+. ②
由①+②得2S=n+n+n+ … +n=n(++++ … +)
=n( ++++ … +)=n2n.
∴S=n2n-1，即+2+3+ … +n=n2n-1.
证法二：观察通项：k=k.
∴原式=n+n+n+n+ … +n=n(++++…+)=n2n-1，
即+2+3+ … +n=n2n-1.
【训练巩固】
1、 求证：
(1)；
(2)；
(3)．
【难度】★★★
【答案】（1）．
∴左边
右边．
(2)


①+②得：
(3)



2、
【难度】★★
【答案】
【解析】与已知的有一些差距，



三、赋值法的应用
【例12】设
（1）求（2）求（3）
（4）（5）求各项二项式系数的和。
【难度】★★
【答案】（1）令,得
（2）令得而由（1）知
两式相加，得。
（3）由（2）得
（4）令得=1，亦得
（5）各项二项式系数的和为

【例13】设，求
（1）展开式中各二项式系数的和；（2）展开式中各项系数的和；
（3）的值；（4）的值；（5）的值。
【难度】★★
【答案】令
（1）注意到这里n=200，故展开式中各二项式系数的和：
（2）令，得
∴展开式中各项系数的和
（3）注意到，
∴∴
（4）仿（3）得
又∴
（5）法一：由
∴
令，得，又∴
法二：由二项式的展开式知，
∴
又，
∴∴
【巩固训练】
1、,则 .
【难度】★★
【答案】
【解析】
令，得，又∴.

2、若，则的值
为 ．
【难度】★★
【答案】-1
【解析】把赋值，可得把赋值0，可得



四、二项式定理的综合应用
【例14】求9192除以100的余数。
【难度】★★
【答案】81
【解析】利用二项式定理展开式解决题型：
（1）证明某些整除问题或求余数；（2）证明有关不等式；（3）进行近似计算；




∴9192除以100的余数为81。

【例15】求证：对于，．
【难度】★★
【答案】展开式的通项：
．
展开式的通项：．
由二项式展开式的通项明显看出，所以．

【例16】已知（是正整数）是首项是，公比是的等比数列
求和：；
由（1）的结果归纳概括出关于正整数的一个结论，并加以证明；
（3）设是等比数列的前项的和，求
【难度】★★★
【答案】（1），

（2）归纳概括出关于正整数的一个结论是：已知{}（是正整数）是首项是，公比是的等比数列，则
证明如下：
=
（3）因为，所以

==-

【巩固训练】
1、求1.0110精确到0.001的近似值。
【难度】★★
【答案】1.105
【解析】
=1+0.1+0.0045+…≈1.105

2、若，求证明：能被整除．
【难度】★★
【答案】




，
∵，，，…均为自然数，
∴上式各项均为的整数倍．∴原式能被整除．

3、设，，求证:．
【难度】★★★
【答案】设，，且，
于是有；
　又因为，所以．即题目得证．
【解析】设，，且，则，再用二项式定理解题．


二项式定理是高中主要考察概念和对二项式通项的理解和应用．求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数，代回通项公式即可；利用二项式定理解决整除问题时，基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常用“配凑法”、“消去法”结合有关整除知识来处理；求展开式系数最大项：如求的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法

1、在的二项展开式中，若常数项为，则等于 ．
【难度】★
【答案】6

2、的值为 ．
【难度】★
【答案】62

3、在的展开式中，的系数为 ．
【难度】★★
【答案】
4、由展开所得的的多项式中，系数为有理数的共有 （ ）
A、50项 B、17项 C、16项 D、15项
【难度】★★
【答案】

5、已知，
若，则自然数 ．
【难度】★★
【答案】4

6、设，若展开式中关于的一次项系数和为11，试问为何值时，含项的系数取得最小值．
【难度】★★
【答案】；或．最小值为．

7、（1）在的展开式中，的系数是__________________（用数字作答）.
（2）在的展开式中，x3的系数是 .（用数字作答）
（3）若—n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为 ．
（4）设常数，展开式中的系数为，则＝ ．
【难度】★★
【答案】（1）-14；（2）84；（3）－540；（4）0.5

8、若的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则指数相同的项为 ．
【难度】★★
【答案】

9、的展开式中项的系数为 ．
【难度】★
【答案】

10、若和的展开式中含项的系数相等，那么实数的最 值为 ．
【难度】★★
【答案】大；

11、已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？
【难度】★★
【答案】解出，当时，展开式中二项式系数最大的项是，当时，展开式中二项式系数最大的项是，。

12、已知的展开式各项系数和比它的二项式系数和大．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【难度】★★
【答案】令得展开式的各项系数之和为，而展开式的二项式系数的和为
，∴有．∴．
(1)∵，故展开式共有，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．
∴，．
(2)设展开式中第项的系数最大．
，
故有 即 解得．∵，
∴，即展开式中第项的系数最大．

13、求证：．
【难度】★★★
【答案】由二项式定理得．
又
．












知识梳理

例题解析

∴有

反思总结

课后练习






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