高中数学人教A版：6.2向量数量积的运算 课件（173张ppt）

(共173张PPT)
高一年级 数学
向量数量积的运算
学习路径
物理模型
力做功
学习路径
物理模型
概念
向量a与b的夹角
力做功
“同起点原则”
学习路径
物理模型
概念
向量a与b的夹角
力做功
学习路径
物理模型
概念
向量a与b的夹角
力做功
投影
学习路径
物理模型
性质
概念
向量a与b的夹角
力做功

(1) ．

(2) ．

(4) ．
(3) 当 a与 b同向时， ；
当a与 b反向时， ；
特别地， 或 ．
学习路径
物理模型
性质
运算律
应用
概念
向量a与b的夹角
力做功


(1) ．

(2) ．

(4) ．
(3) 当 a与 b同向时， ；
当a与 b反向时， ；
特别地， 或 ．
类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算
的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？
你能证明吗？
问题
数的乘法运算律
交换律：
数的乘法运算律
交换律：
结合律：
数的乘法运算律
交换律：
结合律：
分配律：
数的乘法运算律
向量线性运算的运算律
交换律：
结合律：
分配律：
数的乘法运算律
向量线性运算的运算律
交换律：
结合律：
分配律：
数的乘法运算律
向量线性运算的运算律
交换律：
结合律：
分配律：
数的乘法运算律
数的乘法运算律
向量线性运算的运算律
交换律：
结合律：
分配律：
数的乘法的交换律：
类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算
的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？
你能证明吗？
问题
；
数的乘法的交换律：
类比
(1)
类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算
的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？
你能证明吗？
问题
；
数的乘法的交换律：
类比
(1)
因为 ，
类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算
的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？
你能证明吗？
问题
(1)
；
因为 ，
，
数的乘法的交换律：
类比
类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算
的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？
你能证明吗？
问题
；
所以
．
数的乘法的交换律：
类比
(1)
因为 ，
，
类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算
的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？
你能证明吗？
问题
数的乘法的结合律：
类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算
的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？
你能证明吗？
问题
数的乘法的结合律：
类比
类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算
的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？
你能证明吗？
问题
思考 设a，b，c是向量， 一定成立吗？为什么？
数量
思考 设a，b，c是向量， 一定成立吗？为什么？
因为
表示与c共线的向量，
数量
思考 设a，b，c是向量， 一定成立吗？为什么？
因为
表示与c共线的向量，
表示与a共线的向量，
思考 设a，b，c是向量， 一定成立吗？为什么？
因为
而c与a不一定共线，
表示与c共线的向量，
表示与a共线的向量，
思考 设a，b，c是向量， 一定成立吗？为什么？
因为
而c与a不一定共线，
表示与c共线的向量，
表示与a共线的向量，
一般情况下不成立．
所以
类比
类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算
的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？
你能证明吗？
问题
类比
类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算
的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？
你能证明吗？
问题
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
(1)当 时，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
(1)当 时，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
，
(1)当 时，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
，
，
，
(1)当 时， ，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
，
，
，
，
(1)当 时， ，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
所以，当 时， 成立．
，
，
，
，
(1)当 时， ，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
设向量a与b的夹角为θ，
(2)当 时，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
设向量a与b的夹角为θ，
(2)当 时， 与a同向， 与b同向，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
设向量a与b的夹角为θ，
(2)当 时， 与b的夹角，a与 的夹角都为θ，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
设向量a与b的夹角为θ，
(2)当 时， 与b的夹角，a与 的夹角都为θ，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
设向量a与b的夹角为θ，
(2)当 时， 与b的夹角，a与 的夹角都为θ，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
设向量a与b的夹角为θ，
，
(2)当 时， 与b的夹角，a与 的夹角都为θ，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
设向量a与b的夹角为θ，
，
，
(2)当 时， 与b的夹角，a与 的夹角都为θ，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
，
，
，
设向量a与b的夹角为θ，
(2)当 时， 与b的夹角，a与 的夹角都为θ，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
所以，当 时， 成立．
设向量a与b的夹角为θ，
，
，
，
(2)当 时， 与b的夹角，a与 的夹角都为θ，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
(3)当 时， 与a方向相反， 与b方向相反.
设向量a与b的夹角为θ，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
设向量a与b的夹角为θ，
(3)当 时， 与b的夹角，a与 的夹角都为 ，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
设向量a与b的夹角为θ，
(3)当 时， 与b的夹角，a与 的夹角都为 ，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
设向量a与b的夹角为θ，
(3)当 时， 与b的夹角，a与 的夹角都为 ，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
设向量a与b的夹角为θ，
(3)当 时， 与b的夹角，a与 的夹角都为 ，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
设向量a与b的夹角为θ，
，
(3)当 时， 与b的夹角，a与 的夹角都为 ，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
设向量a与b的夹角为θ，
，
，
(3)当 时， 与b的夹角，a与 的夹角都为 ，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
设向量a与b的夹角为θ，
，
，
，
(3)当 时， 与b的夹角，a与 的夹角都为 ，
思考 设a，b是向量，λ是实数，
成立吗？为什么？
所以，当 时， 成立．
，
，
，
设向量a与b的夹角为θ，
(3)当 时， 与b的夹角，a与 的夹角都为 ，
(1)
(2)
；
类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算
的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？
你能证明吗？
问题
；
类比
类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算
的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？
你能证明吗？
问题
类比
类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算
的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？
你能证明吗？
问题
类比
类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算
的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？
你能证明吗？
问题
类比
设向量a，b ，a +b与向量c的夹角为
？
类比
要证 ，
分析：
？
设向量a，b ，a +b与向量c的夹角为
类比
要证 ，
只需证 ，
分析：
？
设向量a，b ，a +b与向量c的夹角为
类比
要证 ，
只需证 ，
即证 ，
分析：
？
设向量a，b ，a +b与向量c的夹角为
类比
要证 ，
只需证 ，
即证 ，
即证 ，
分析：
设向量e为与向量c方向相同的单位向量.
？
设向量a，b ，a +b与向量c的夹角为
类比
要证 ，
只需证 ，
即证 ，
即证 ，
分析：
向量a+b在向量c上的投影向量
？
设向量a，b ，a +b与向量c的夹角为
类比
要证 ，
只需证 ，
即证 ，
即证 ，
分析：
向量a在向量c上的投影向量
？
设向量a，b ，a +b与向量c的夹角为
类比
要证 ，
只需证 ，
即证 ，
即证 ，
分析：
向量b在向量c上的投影向量
？
设向量a，b ，a +b与向量c的夹角为
转化
？
向量a+b在
向量c上的
投影向量
向量a在向
量c上的投
影向量
向量b在向
量c上的投
影向量
？

？
如图，任取一点O，作 ，








如图，任取一点O，作 ， ，












如图，任取一点O，作 ， ，
















如图，任取一点O，作 ， ， ， ．









设向量a，b，a + b与c的夹角分别为 ， ，，它们在向量c
上的投影向量分别为 ， ， ，
与c方向相同的单位向量为e，则
如图，任取一点O，作 ， ， ， ．
，
设向量a，b，a + b与c的夹角分别为 ， ，，它们在向量c
上的投影向量分别为 ， ， ，
与c方向相同的单位向量为e，则
如图，任取一点O，作 ， ， ， ．
，
，
设向量a，b，a + b与c的夹角分别为 ， ，，它们在向量c
上的投影向量分别为 ， ， ，
与c方向相同的单位向量为e，则
如图，任取一点O，作 ， ， ， ．
，
，
．
设向量a，b，a + b与c的夹角分别为 ， ，，它们在向量c
上的投影向量分别为 ， ， ，
与c方向相同的单位向量为e，则
如图，任取一点O，作 ， ， ， ．
是 在向量c上的投影向量，

两向量相等，对
应投影向量相等.
因为 ，
所以 ，
所以 ，
于是
，
因为 ，

两向量相等，对
应投影向量相等.
向量a+b在
向量c上的
投影向量
向量a在向
量c上的投
影向量
向量b在向
量c上的投
影向量

所以 ，
于是
，
因为 ，
，
，
．
设向量a，b，a + b与c的夹角分别为 ， ，，它们在向量c
上的投影向量分别为 ， ， ，
与c方向相同的单位向量为e，则
证明：如图，任取一点O，作 ， ， ， ．
所以 ，
于是
，
因为 ，
即
．
所以 ，
于是
，
因为 ，
即
．
所以 ，
于是
，
整理，得
，
因为 ，


实数
即
．
因为 ，
所以 ，
于是
，
整理，得
，
即
．
因为 ，
所以 ，
于是
，
整理，得
所以
，
，
即
整理，得
．
因为 ，
所以 ，
于是
，
，
所以
即
，
．
要证

即
整理，得
所以
即
．
，
．
因为 ，
所以 ，
于是
，
，
即
整理，得
所以
即
所以
．
，
．
因为 ，
所以 ，
于是
，
，
．
即
整理，得
所以
即
所以
．
，
．
因为 ，
所以 ，
于是
，
，
．
即
整理，得
所以
即
所以
．
，
．
因为 ，
所以 ，
于是
，
，
．
即
整理，得
所以
即
所以
．
，
．
因为 ，
所以 ，
于是
，
，
．
即
整理，得
所以
即
所以
因此
．
，
．
．
因为 ，
所以 ，
于是
，
，
．
(1)
(2)
(3)
总结 数量积的运算律
；
；
．
对于向量a，b，c和实数λ，有
已知实数a，b，c ，则 .
思考 已知a，b，c是非零向量，由 能推
出 吗？
设向量a与b的夹角为 ，向量b与c的夹角为 ，
思考 已知a，b，c是非零向量，由 能推
出 吗？
设向量a与b的夹角为 ，向量b与c的夹角为 ，
因为
，
思考 已知a，b，c是非零向量，由 能推
出 吗？
设向量a与b的夹角为 ，向量b与c的夹角为 ，
因为
所以
，
．
思考 已知a，b，c是非零向量，由 能推
出 吗？
设向量a与b的夹角为 ，向量b与c的夹角为 ，
因为
所以
则
，
．
，
思考 已知a，b，c是非零向量，由 能推
出 吗？
设向量a与b的夹角为 ，向量b与c的夹角为 ，
因为
所以
则
，
．
但向量a，c大小方向都不一定相同，
，
思考 已知a，b，c是非零向量，由 能推
出 吗？
但向量a，c大小方向都不一定相同，
设向量a与b的夹角为 ，向量b与c的夹角为 ，
因为
所以
则
，
．
，
思考 已知a，b，c是非零向量，由 能推
出 吗？
所以由 不一定能推出
．
a
b
c


O
M
所以由 不一定能推出
．
但向量a，c大小方向都不一定相同，
设向量a与b的夹角为 ，向量b与c的夹角为 ，
因为
所以
则
，
．
，
思考 已知a，b，c是非零向量，由 能推
出 吗？
例1 我们知道，对任意 ， ，恒有
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
．
，
(1)
(2)
；
．
例1 我们知道，对任意 ， ，恒有
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1)
(2)
；
．
解：(1)
．
，
分配律

例1 我们知道，对任意 ， ，恒有
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1)
(2)
；
．
解：(1)
．
，
例1 我们知道，对任意 ， ，恒有
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1)
(2)
；
．
解：(1)
分配律
分配律

．
，
例1 我们知道，对任意 ， ，恒有
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1)
(2)
；
．
解：(1)
分配律
分配律

．
，
例1 我们知道，对任意 ， ，恒有
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1)
(2)
；
．
解：(1)
分配律
分配律


交换律

．
，
例1 我们知道，对任意 ， ，恒有
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1)
(2)
；
．
解：(1)
；
．
，
解：(1)
；
?

例1 我们知道，对任意 ， ，恒有
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1)
(2)
；
．
．
，
?

例1 我们知道，对任意 ， ，恒有
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1)
(2)
；
．
．
，
?

例1 我们知道，对任意 ， ，恒有
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1)
(2)
；
．
．
，
?

例1 我们知道，对任意 ， ，恒有
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1)
(2)
；
．
．
，
?

例1 我们知道，对任意 ， ，恒有
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1)
(2)
；
．
．
，

分配律
例1 我们知道，对任意 ， ，恒有
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1)
(2)
；
．
解：(2)
．
，

分配律
例1 我们知道，对任意 ， ，恒有
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1)
(2)
；
．
解：(2)
．
，

分配律
例1 我们知道，对任意 ， ，恒有
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1)
(2)
；
．
解：(2)
．
，

交换律
例1 我们知道，对任意 ， ，恒有
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1)
(2)
；
．
解：(2)
．
，
例1 我们知道，对任意 ， ，恒有
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1)
(2)
；
．
．
解：(2)
．
，
例1 我们知道，对任意 ， ，恒有
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1)
(2)
；
．
．
因此，上述结论成立．
解：(2)
．
，
．
因此，上述结论成立．

类似多项式
的乘法法则
例1 我们知道，对任意 ， ，恒有
对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？
(1)
(2)
；
．
解：(2)
．
，
例2 已知 ， ，a与b的夹角为 ，求
．
例2 已知 ， ，a与b的夹角为 ，求
．
例2 已知 ， ，a与b的夹角为 ，求
．
解：
例2 已知 ， ，a与b的夹角为 ，求
．
解：

分配律
例2 已知 ， ，a与b的夹角为 ，求
．
解：

交换律

分配律
例2 已知 ， ，a与b的夹角为 ，求
．
解：

交换律

分配律
例2 已知 ， ，a与b的夹角为 ，求
．
解：

交换律

分配律
例2 已知 ， ，a与b的夹角为 ，求
．
解：
．

交换律

分配律
例2 已知 ， ，a与b的夹角为 ，求
．
未知向量的数量积
解：
．

运算律
已知向量的数量积
转
化
变式 已知 ， ，a与b的夹角为 ，
未知向量的模的问题
求 ．
变式 已知 ， ，a与b的夹角为 ，

性质
未知向量的模的问题
解：因为 ，
求 ．
变式 已知 ， ，a与b的夹角为 ，

性质
未知向量的模的问题
解：因为 ，
求 ．
变式 已知 ， ，a与b的夹角为 ，

运算律

性质
未知向量的模的问题
解：因为 ，
求 ．
变式 已知 ， ，a与b的夹角为 ，
未知向量的模的问题

运算律

性质
解：因为 ，
求 ．
变式 已知 ， ，a与b的夹角为 ，
未知向量的模的问题

运算律

性质
解：因为 ，
求 ．
变式 已知 ， ，a与b的夹角为 ，
未知向量的模的问题

运算律

性质
解：因为 ，
，
求 ．
变式 已知 ， ，a与b的夹角为 ，
未知向量的模的问题

运算律

性质
解：因为 ，
，
．
所以
求 ．
变式 已知 ， ，a与b的夹角为 ，
未知向量的模的问题
解：因为 ，
，

运算律
已知向量的数量积问题
转
化

性质
．
所以
求 ．
变式 已知 ， ， ，
求a与b的夹角θ．
向量的夹角问题
变式 已知 ， ， ，
求a与b的夹角θ．
解：
变式 已知 ， ， ，
求a与b的夹角θ．
解：
变式 已知 ， ， ，
求a与b的夹角θ．
解：
变式 已知 ， ， ，
求a与b的夹角θ．
解：
变式 已知 ， ， ，
求a与b的夹角θ．
解：
变式 已知 ， ， ，
求a与b的夹角θ．
解：
因为 ，
变式 已知 ， ， ，
求a与b的夹角θ．
解：
因为 ，
所以 ．
变式 已知 ， ， ，
求a与b的夹角θ．
解：
因为 ，
所以 ．
则 ．
变式 已知 ， ， ，
求a与b的夹角θ．
解：
因为 ，
所以 ．
又因为 ，
则 ．
变式 已知 ， ， ，
求a与b的夹角θ．
解：
因为 ，
所以 ．
又因为 ，
所以 ．
则 ．
变式 已知 ， ， ，
求a与b的夹角θ．
解：
向量的夹角问题
运算律
已知向量的数量积
逆向
思维


性质
例3 已知 ， ，且a与b不共线，当k为何值时，向量 与 互相垂直？
例3 已知 ， ，且a与b不共线，当k为何值时，向量 与 互相垂直？
两个非零向量垂直
例3 已知 ， ，且a与b不共线，当k为何值时，向量 与 互相垂直？
两个非零向量垂直

它们的数量积为0
例3 已知 ， ，且a与b不共线，当k为何值时，向量 与 互相垂直？
解： 与 互相垂直的充要条件是
两个非零向量垂直

它们的数量积为0
例3 已知 ， ，且a与b不共线，当k为何值时，向量 与 互相垂直？
解： 与 互相垂直的充要条件是
两个非零向量垂直

它们的数量积为0
例3 已知 ， ，且a与b不共线，当k为何值时，向量 与 互相垂直？
解： 与 互相垂直的充要条件是
即 ．
两个非零向量垂直

它们的数量积为0
例3 已知 ， ，且a与b不共线，当k为何值时，向量 与 互相垂直？
解： 与 互相垂直的充要条件是
即 ．
因为 ， ，
两个非零向量垂直

它们的数量积为0
例3 已知 ， ，且a与b不共线，当k为何值时，向量 与 互相垂直？
解： 与 互相垂直的充要条件是
即 ．
因为 ， ，
所以 ．
两个非零向量垂直

它们的数量积为0
例3 已知 ， ，且a与b不共线，当k为何值时，向量 与 互相垂直？
解： 与 互相垂直的充要条件是
即 ．
因为 ， ，
所以 ．
解得 ．
两个非零向量垂直

它们的数量积为0
例3 已知 ， ，且a与b不共线，当k为何值时，向量 与 互相垂直？
解： 与 互相垂直的充要条件是
即 ．
因为 ， ，
所以 ．
解得 ．
也就是说，当 时，
与 互相垂直．
两个非零向量垂直

它们的数量积为0
小结回顾
物理模型
性质
运算律
应用
概念

学习路径
物理模型
性质
运算律
应用
概念
学习路径
向量数量积的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)
(2)
(3)
；
．
；

数的乘法的运算律
类
比
物理模型
性质
运算律
应用
概念
学习路径
向量数量积的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)
(2)
(3)
；
．
；

数的乘法的运算律
类
比
分类讨论
数形结合
物理模型
性质
运算律
应用
概念
学习路径
向量数量积的运算律
数的乘法的运算律
类
比
分类讨论
数形结合
几
何
直
观
几
何
直
观
物理模型
性质
运算律
应用
概念
学习路径
向量数量积的运算律
夹角
模
数的乘法的运算律
类
比
分类讨论
数形结合
对任意向量a，b，
(1)
(2)

几
何
直
观
物理模型
性质
运算律
应用
概念
学习路径
向量数量积的运算律
夹角
模
数的乘法的运算律
类
比
分类讨论
数形结合
加法
减法
数乘
数量积
物理模型
性质
运算律
应用
概念
数的乘法的运算律
向量数量积的运算律
类
比
夹角
模

学习路径

研究向量运算
的方法
研究路径
类比
分类讨论
数形结合
几
何
直
观
课后作业