高中数学人教A版必修二：6.3 平面向量基本定理 课件（147张ppt）

(共147张PPT)
高一年级 数学
平面向量基本定理
问题1
如图，设 是同一平面内两个不共线的向量， 你能作向量 ，使得 ？
问题1
如图，设 是同一平面内两个不共线的向量， 你能作向量 ，使得 ？
问题1
如图，设 是同一平面内两个不共线的向量， 你能作向量 ，使得 ？
问题1
如图，设 是同一平面内两个不共线的向量， 你能作向量 ，使得 ？
问题1
如图，设 是同一平面内两个不共线的向量， 你能作向量 ，使得 ？
问题2
如图，设 是同一平面内两个共线的向量，你能作向量 ，使得 ？
问题2
如图，设 是同一平面内两个共线的向量，你能作向量 ，使得 ？
问题2
如图，设 是同一平面内两个共线的向量，你能作向量 ，使得 ？

问题2
如图，设 是同一平面内两个共线的向量，你能作向量 ，使得 ？
是两个不共线的向量
是两个共线的向量
是两个不共线的向量
是两个共线的向量
是两个不共线的向量



问题3
向量共线的充要条件：
向量 与向量 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使 .
问题3
向量共线的充要条件：
向量 与向量 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使 .
类比这个结论，本节课我们研究平面内任意向量是否可以由同一平面内的两个向量表示？
追问1
我们如何将力 分解为多组大小、方向不同的分力?
追问1
我们如何将力 分解为多组大小、方向不同的分力?
追问2
受力的分解的启发，我们能否通过做平行四边形，将向量 分解为两个向量，使得向量 是这两个向量的和呢？
如图，设 是同一平面内两个不共线的向量，
是这
一平面内与 都不共线的向量.
追问2
追问2
在平面内任取一点 ，作 ，
追问2
在平面内任取一点 ，作 ， ，

追问2
在平面内任取一点 ，作 ， ，

追问2
在平面内任取一点 ，作 ， ，

追问2
在平面内任取一点 ，作 ， ，

追问2
此时， ，
在平面内任取一点 ，作 ， ，

改变向量 的方向，如图，此时向量 能否按照 方向分解呢？
追问3

改变向量 的方向，如图，此时向量 能否按照 方向分解呢？
追问3

改变向量 的方向，如图，此时向量 能否按照 方向分解呢？
追问3

改变向量 的方向，如图，此时向量 能否按照 方向分解呢？
追问3
此时， ，

追问4
继续改变向量 的方向，如图，向量 能否按照 方向分解呢？

继续改变向量 的方向，如图，向量 能否按照 方向分解呢？
追问4
继续改变向量 的方向，如图，向量 能否按照 方向分解呢？
追问4
继续改变向量 的方向，如图，向量 能否按照 方向分解呢？
追问4
此时， ，
再次改变向量 的方向，如图，向量 能否按照 方向分解呢？
追问5

再次改变向量 的方向，如图，向量 能否按照 方向分解呢？
追问5

再次改变向量 的方向，如图，向量 能否按照 方向分解呢？
追问5

再次改变向量 的方向，如图，向量 能否按照 方向分解呢？
追问5
此时， ，

综上，设 是同一平面内两个不共线的向量，是这
一平面内与 都不共线的向量.
结论1
存在实数 ，
综上，设 是同一平面内两个不共线的向量，是这
一平面内与 都不共线的向量.
结论1
使得
设 是同一平面内两个不共线的向量，当 是一平面内与 某一向量共线的非零向量，你能用 表示 吗？
追问6


如图，设 是同一平面内两个不共线的向量，当
是这一平面内与 共线的非零向量，你能用 表示
吗？
追问6
如图，设 是同一平面内两个不共线的向量，当
是这一平面内与 共线的非零向量，你能用 表示
吗？
追问6
如图，设 是同一平面内两个不共线的向量，当
是这一平面内与 共线的非零向量，你能用 表示
吗？
追问6
如图，设 是同一平面内两个不共线的向量，当
是这一平面内与 共线的非零向量，你能用 表示
吗？
追问6
如图，设 是同一平面内两个不共线的向量，当
是这一平面内与 共线的非零向量，你能用 表示
吗？
追问7
如图，设 是同一平面内两个不共线的向量，当
是这一平面内与 共线的非零向量，你能用 表示
吗？
追问7
如图，设 是同一平面内两个不共线的向量，当
是这一平面内与 共线的非零向量，你能用 表示
吗？
追问7
如图，设 是同一平面内两个不共线的向量，当
是这一平面内与 共线的非零向量，你能用 表示
吗？
追问7
设 是同一平面内两个不共线的向量，当 是这一平面内与 某一向量共线的非零向量，此时，存在实数 ，使得
结论2

特别地，设 是同一平面内两个不共线的向量，当 ，存在实数 使得 .
追问8
若 是同一平面内两个
不共线的向量，
结论3

若 是同一平面内两个
不共线的向量，
结论3


若 是同一平面内两个
不共线的向量，
结论3

若 是同一平面内两个
不共线的向量，
结论3

若 是同一平面内两个
不共线的向量，
结论3

若 是同一平面内两个
不共线的向量，
结论3

若 是同一平面内两个
不共线的向量，
结论3

若 是同一平面内两个
不共线的向量，这一平面
，使得
结论3
内任一向量 ，都存在实数

给定两个不共线的向量 ，平面内任一向量 都能用 来表示，这种表示形式唯一的吗？
问题4
问题4
假设这种表示形式不唯一，
问题4
即 还可以表示成 的形式，
假设这种表示形式不唯一，
问题4
即 还可以表示成 的形式，
假设这种表示形式不唯一，
那么， ，
那么， ，
即 还可以表示成 的形式，
问题4
假设这种表示形式不唯一，
可得，
假设 不全为0，
问题4

假设 不全为0，
不妨设 ，则 ， .

问题4
假设 不全为0，
由此，可得 共线.
不妨设 ，则 ， .

问题4
假设 不全为0，
这与已知 不共线矛盾.
由此，可得 共线.
不妨设 ，则 ， .

问题4
问题4
因此
也就是说，有且只有一对实数 ，使
因此
问题4
也就是说，有且只有一对实数 ，使
因此
问题4
唯一性

平面向量基本定理
如果 是同一平面内的两个不共线向量，
平面向量基本定理
如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，使 .
平面向量基本定理
如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，使 .
平面向量基本定理
如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，使 .
平面向量基本定理
如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，使 .
平面向量基本定理
如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，使 .
平面向量基本定理
如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，使 .
若 不共线，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
平面向量基本定理
如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，使 .
若 不共线，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
问题5
由物理中力的分解引出向量的分解，类比共线向量基本定理，得到了平面向量基本定理.请你思考一下，为什么把这个定理冠以“基本”二字？
问题5
由物理中力的分解引出向量的分解，类比共线向量基本定理，得到了平面向量基本定理.请你思考一下，为什么把这个定理冠以“基本”二字？
问题5
由物理中力的分解引出向量的分解，类比共线向量基本定理，得到了平面向量基本定理.请你思考一下，为什么把这个定理冠以“基本”二字？
共线向量基本定理
平面向量基本定理
共线向量基本定理
平面向量基本定理
不共线
共线向量基本定理
平面向量基本定理
不共线
是与 共线的任一向量
是与 共面的任一向量
共线向量基本定理
平面向量基本定理
不共线
是与 共线的任一向量
是与 共面的任一向量
有且只有唯一的实数
有且只有唯一一组实数
共线向量基本定理
平面向量基本定理
不共线
是与 共线的任一向量
是与 共面的任一向量
有且只有唯一的实数
有且只有唯一一组实数
共线向量基本定理
平面向量基本定理
不共线
是与 共线的任一向量
是与 共面的任一向量
有且只有唯一的实数
有且只有唯一一组实数
基底
基底
例1 如图， 不共线，且 ，用
表示 .
分析：
例1 如图， 不共线，且 ，用
表示 .
分析：
例1 如图， 不共线，且 ，用
表示 .
分析：
例1 如图， 不共线，且 ，用
表示 .
分析：
例1 如图， 不共线，且 ，用
表示 .
分析：
例1 如图， 不共线，且 ，用
表示 .


分析：
例1 如图， 不共线，且 ，用
表示 .


例1 解法一：
因为
例1 解法一：
因为
所以
例1 解法一：
因为
所以
例1 解法一：
因为
所以
例1 解法一：
因为
例1 解法一：
因为
所以
例1 如图， 不共线，且 ，用
表示 .
分析法二：因为
例1 如图， 不共线，且 ，用
表示 .
分析法二：因为
例1 如图， 不共线，且 ，用
表示 .
分析法二：因为
例1 如图， 不共线，且 ，用
表示 .
解法二：因为
例1 如图， 不共线，且 ，用
表示 .
解法二：因为
例1 如图， 不共线，且 ，用
表示 .
解法二：因为
例1 如图， 不共线，且 ，用
表示 .
解法二：因为
例1 如图， 不共线，且 ，用
表示 .
解法二：因为
小结：
用基底 表示
将平面表示内任一向量用一组基底向量表示

小结：
用基底 表示
将平面表示内任一向量用一组基底向量表示
利用三角形法则进行分解


思考：
用基底 表示
将平面表示内任一向量用一组基底向量表示
利用平行四边形法则进行分解?


结论4
结论4
结论4
而
结论4
而
即 ，
结论4
而
即 ，
结论4
若 ，
结论4
若 ，
结论4
若 ，

结论4
若 ，


？
且 ，当 时，
追问8
若 不共线，
点 是否在直线 上？
解：由已知得
且 ，当 时，
追问8
若 不共线，
点 是否在直线 上？
解：由已知得
且 ，当 时，
追问8
若 不共线，
点 是否在直线 上？
解：由已知得
且 ，当 时，
追问8
若 不共线，
点 是否在直线 上？
所以点 在直线 上.
解：由已知得
且 ，当 时，
追问8
若 不共线，
点 是否在直线 上？
结论5：
若 ，


结论5：
若 ，



结论5：
若 ，
充要条件是
三点共线的
如果 ，那么



例2 如图， 是 的中线， ，用向量方法证明 是直角三角形.

例2 如图， 是 的中线， ，用向量方法证明 是直角三角形.
分析： 是直角三角形



例2 如图， 是 的中线， ，用向量方法证明 是直角三角形.
分析： 是直角三角形




例2 如图， 是 的中线， ，用向量方法证明 是直角三角形.
分析： 是直角三角形




例2 如图， 是 的中线， ，用向量方法证明 是直角三角形.
分析： 是直角三角形





共线
例2 如图， 是 的中线， ，用向量方法证明 是直角三角形.
分析： 是直角三角形





基底选择一
例2 如图， 是 的中线， ，用向量方法证明 是直角三角形.
分析： 是直角三角形





基底选择一

基底选择二
课堂小结：
1.类比的研究方法
课堂小结：
1.类比的研究方法
共线向量基本定理
平面向量基本定理


类比
课堂小结：
1.类比的研究方法
共线向量基本定理
平面向量基本定理


类比
物理中力的分解

类比
向量的分解

如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，使 .
若 不共线，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2.会叙述并证明平面向量基本定理.
课堂小结：
课堂小结：
3.平面向量基本定理作用

课堂小结：
3.平面向量基本定理作用



课堂小结：
任意
3.平面向量基本定理作用

确定



课堂小结：
任意
3.平面向量基本定理作用
几何


确定



代数


拓展探究：
2.利用三角形法则证明平面向量基本定理.
1.空间向量基本定理.

用 表示


如图，在 中， 点 是 的中点，设


作业1
如图， 是 的三条中线，
用 表示

作业2

谢谢大家！