沪教版数学高一下春季班：第十四讲 等差、等比数列综合 同步学案 （教师版）

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沪教版数学高一下春季班第十四讲
课题 等差、等比数列综合 单元 第章 学科 数学 年级 十
学习 目标 1．灵活应用等差、等比数列相关公式； 2．解决等差、等比数列相关的综合问题； 3．掌握周期数列等问题的解法.
重点 1．等差、等比数列相关综合问题的解法； 2．周期数列问题的解法．
难点 1．等差、等比数列相关综合问题的解法； 2．周期数列问题的解法．

教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30




等差数列 等比数列
定义
递推公式 ；
通项公式
求和公式
中项公式 推广：2= ．推广：
性 质 1 若则 若，则
2 若成等差数列（其中）则也为等差数列 若成等差数列 （其中），则成等比数列
3 、是公差分别为，的等差数列，则也是等差数列 、是公比分别为，的等比数列，则也是等比数列
4 、是公差分别为，的等差数列，若它们的相同项也组成一个新的数列，则也是等差数列，公差为，的最小公倍数． 等比数列前n项乘积记作，则成等比数列．
5 成等差数列 (和不为零)成等比数列
6 ，




一、等差、等比数列的类比问题
【例1】在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应的在等比数列中，若，则有等式__________________________成立．
【难度】★★
【答案】

【例2】在共有2009项的等比数列中，有等式成立；类比上述性质，在共有2013项的等差数列中，相应的有等式 成立．
【难度】★★
【答案】

【例3】设和均为无穷数列．
（1）若和均为等比数列，试研究：和是否是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前项和公式．
（2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前项和公式（用首项与公差表示）．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】解：（1）①设，
则设

（或）
当时，对任意的，（或）恒成立，
故为等比数列；……………………………………………………3分
…………………………………………………1分
当时，
证法一：对任意的，，不是等比数列．……2分
证法二：，不是等比数列．…2分
注：此处用反证法，或证明不是常数同样给分．
②设，
对于任意，，是等比数列．………………3分
…………………………………………………1分
（2）设，均为等差数列，公差分别为，，则：
①为等差数列；……………………2分
②当与至少有一个为0时，是等差数列，………………………………1分
若，；………………………………………………1分
若，．………………………………………………1分
③当与都不为0时，一定不是等差数列．………………………………1分

【巩固训练】
1．若是等差数列，是互不相等的正整数，有正确的结论：
，类比上述性质，相应地，若等比数列，是互不相等的正整数，有______________．
【难度】★★
【答案】

2．设数列是公差为的等差数列，是互不相等的正整数，若，则．请你用类比的思想，对等差数列的前项和为，写出类似的结论
若 ，则 ．
【难度】★★★
【答案】，

3．已知数列为等差数列，且，则；若数列为等比数列，且，
① 类比等差数列的结果，你认为可能是什么值？
② 证明你的推测是否正确．
【难度】★★
【答案】① 由，可以猜想
② 由题，，
，所以猜想的结论正确．

二、等差、等比数列混合问题
【例4】由9个互不相等的正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且、、成等比数列，下列四个判断正确的有（ ）
①第2列必成等比数列 ②第1列不一定成等比数列
③ ④若9个数之和等于9，则
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个
【难度】★★
【答案】A

【例5】已知数列的通项公式是，数列的通项公式是，令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为．则数列的前28项的和．
【难度】★★
【答案】820

【例6】设，，…，是各项不为零的（）项等差数列，且公差．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为_____．
【难度】★★★
【答案】{（4，-4），（4,1）}

【例7】已知等比数列的首项，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项．数列满足（，）．
（1）求数列的通项公式；
（2）试确定的值，使得数列为等差数列；
（3）当为等差数列时，对任意正整数，在与之间插入个，得到一个新数列．设是数列的前项和，试求（）的表达式．
【难度】★★★
【答案】（1）因为，所以，解得或，……（2分）
因为是正整数，所以，又，所以（）．
（2）由，得，所以，，，则由，得．
当时，，由（常数）．
所以，时，使得数列是首项为，公差为的等差数列．
（3）由（2）知，
由题意，数列是在原来的数列在与之间插入个而得到．所以，，，，
一般地，在数列中，在项前共插入个，故在数列中的项数为．即．
所以，
．


【巩固训练】
1．在数列(p为常数)，则称数列为“等差比”数列，p叫数列的“公差比”．现给出如下命题：
（1）等差比数列的公差比p一定不为零；
（2）若数列是等比数列，则数列一定是等差比数列；
（3）若等比数列是等差比数列，则等比数列的公比与公差比相等．
则正确命题的序号是__________．
【难度】★★
【答案】（1）、（3）

2．若数列 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 满足 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" （ HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 为常数），则称数列 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 为等比和数列，称为公比和．已知数列 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" 是以3为公比和的等比和数列，其中 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" ，则 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" _____．
【难度】★★★
【答案】

3．已知数列共有5项，满足，且对任意、，有仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题：
（1）； （2） ； （3）数列是等差数列；
（4）集合中共有9个元素．
则其中真命题的序号是（ ）
A．（1）（2）（3）（4） B．（1）（4） C．（2）（3） D．（1）（3）（4）
【难度】★★★
【答案】A

4．设，其中表示该数阵中位于第行第列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且．
（1）求和；
（2）设数阵第行的公差为，，求．
【难度】★★
【答案】（1）因为每一列的数是公比为2的等比数列，，，所以，故第一行的公差为,,,因此.
（2），


三、数阵问题
【例8】观察右图







　　从上而下，其中2012第一次出现在第_____行，第_____列．
【难度】★★
【答案：】

【例9】把正整数排列成如图的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数、第奇数行中的所有偶数，可得到如图的三角形数阵，现将图中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列，若，则 ．
1 1
2 3 4 2 4
5 6 7 8 9 5 7 9
10 11 12 13 14 15 16 10 12 14 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25 17 19 21 23 25
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 26 28 30 32 34 36

【难度】★★
【答案】1030
【解析】记图中每行的最后一个数为，显然为完全平方数，；图中前行共有个数，而，∴2015位于第45行，第45行的最后一个数为2025，前45行共有1035个数，
每一行的数成等差，公差为2，∴

【例10】若表示阶矩阵中第行、第列的元素（、），则 ．（结果用含有的代数式表示）
【难度】★★★
【答案】

【例11】在一圆周上给定1000个点1．（如图）取其中一点标记上数1，从这点开始按顺时针方向数到第二个点标记上数2，从标记上2的点开始按顺时针方向数到第三个点标记上数3，继续这个过程直到1，2，3，…，2012都被标记到点上，圆周上这些点中有些可能会标记上不止一个数，在标记上2012的那一点上的所有标记的数中最小的是 ．
【难度】★★★
【答案】12


【巩固训练】
1．将正整数排成三角形数表：

，
，，
，，，
……
按上面三角形数表排成的规律，数表中第行所有数的和为______________．
【难度】★★
【答案】
2．将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数，记作
，如第2行第4列的数是15，记作，则 ．
1 4 5 16 17 36 ……
2 3 6 15 18 35 ……
9 8 7 14 19 34 ……
10 11 12 13 20 33 ……
25 24 23 22 21 32 ……
26 27 28 29 30 31 ……
…… …… …… …… ……
【难度】★★
【答案】185

3．把正三角形ABC分成有限个全等的小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等．设点为第一行，…，为第行，记点上的数为，…，第行中第个数为．若，则．
【难度】★★
【答案：】
【解析】本题主要考查了数列的应用，解题的关键是根据任意两个相邻的小三角形组成的菱形
的两组相对顶点上实数的乘积相等建立等式. 例如，得到又
得到，同理.

4．已知线段AB上有10个确定的点（包括端点A与B）．现对这些点进行往返标数（从A→B→A→B→…进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）．如图：在点A上标1，称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为点2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数的点称为点），……，这样一直继续下去，直到1，2，3，…，2012都被标记到点上．则点2012上的所有标记的数中，最小的是 ．
【难度】★★★
【答案】3
四、周期数列
【例12】已知数列（）满足且，其中．若（），则的最小值为 ．
【难度】★★
【答案】
【解析】，则，，
，．所以是以为周期的周期数列．
（也可取满足条件的和的特殊值求解）

【例13】若数列满足，，则可得该数列的前2011项的乘积 ．
【难度】★★
【答案】3
【解析】该数列的周期为4，分组求“积”

【例14】把中所有能被3或5整除的数删去，剩下的数自小到大排成一个数列，则_________．
【难度】★★★
【答案】15107
【解析】
规律：每15项保留8项，，∴

【例15】一质点从正四面体的顶点出发沿正四面体的棱运动，每经过一条棱称为一次运动．第1次运动经过棱由到，第2次运动经过棱由到，第3次运动经过棱由到，第4次经过棱由到．对于，第次运动回到点，第次运动经过的棱与次运动经过的棱异面，第次运动经过的棱与第次运动经过的棱异面．按此运动规律，质点经过次运动到达的点为 ．
【难度】★★★
【答案】D
【解析】第1次，第2次，第3次，第4次，第5次，第6次，第7次，第8次，第9次，第10次；该运动呈现“周期性”，周期为9，而，所以质点经过2015次运动到达的点和第8次结束时情况相同，为D．

【例16】已知数列满足（为常数，）
（1）当时，求；
（2）当时，求的值；
（3）问：使恒成立的常数是否存在？并证明你的结论．
【难度】★★★
【答案】（1）
（2），，，
，，，，，，，，
，我们发现数列为一周期为6的数列．事实上，由有
，．
因为　，所以．
（3）假设存在常数，使恒成立．
由　　　　　①，
及，有 ②
①式减②式得．
所以，或．
当，时，数列为常数数列，不满足要求．
由得，于是，即对于，都有，
所以　，
从而　．
所以存在常数，使恒成立．
【解析】第3问也可以先假设周期为3，计算，得到的2个可能值（周期为3的必要条件），再逐一进行验证．

【巩固训练】
1．数列满足：，若，则数列的第2010项为 ．
【难度】★★
【答案：】；∵，∴，，。∴数列的周期为，。

2．数列满足，其中，设，则等于( )．

【难度】★★
【答案】C

3．数列的前项为（），若对任意正整数，有（其中为常数， 且），则称数列是以为周期，以为周期公比的似周期性等比数列．已知似周期性等比数列的前7项为1，1，1，1，1，1，2，周期为7，周期公比为3，则数列前项的和等于_________．（为正整数）
【难度】★★★
【答案】
【解析】利用“周期”分组


4．已知数列和的通项公式分别为；将集合
中的元素从小到大依次排列，构成数列
（1）写出；
（2）求证：在数列中，但不在数列中的项恰为；
（3）求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案：】(1)
(2)①任意,则即
②假设（矛盾）
在数列中，但不在数列中的项恰为
(3)
，

当时，依次有
, 】
点评：①第（2）问中，数列中的项是数列中的项与数列中的项取并集以后再重新按大小排列的，我们知道集合中的元素是有互异性的；一方面需要证明的奇数项在中都能找到，另一方面需要说明数列的偶数项在中都找不到，这种问题都可以采用反证法；


等差、等比数列综合题是数列中的重要考点.将两种数列通过组合以及两种数列的关系是常见的考点，解决此类问题关键要设出通项，抓住两个数列的公差、公比之间的关系.
数阵问题是数列的图形化，其中往往包含有我们常见的等差和等比数列，解题时关注这些数列的首项、公差和公比，就能准确地求出数阵中的各项，求出了通项其他问题便迎刃而解.




1．已知等差数列的前项和为，用类比的方法，写出等比数列的前项积的表达式______________．
【难度】★★
【答案】

2．等差数列有如下性质：若数列为等差数列，则当时，数列也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列是正项等比数列，当____________时，数列也是等比数列．
【难度】★★
【答案】

3．n2（n≥4）个正数排成n行n列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．其中表示第行第列的数，已知a24=1，，行各数的和为，则=__________．
【难度】★★
【答案】

4．将正奇数排成下图所示的三角形数表：

，
，，
，，，
……
其中第行第个数记为（、），例如，若，则________．
【难度】★★
【答案】61

5．已知数列中，，把它的学各项依次排列成右图所示的三角形状
第1行
第2行
第3行
…………………………
（第一行1项，第二行3项，第三行5项……每行依次比上一行多两项）. 若被排在第行的第项（从左到右）的位置，则
【难度】★★
【答案】

6．右数表为一组等式，如果能够猜测，则____．
【难度】★★
【答案】4

7．已知数列中，，，若是5的倍数，且，则__________．
【难度】★★
【答案】

8．对于数列，如果存在最小的一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列是周期为的周期数列. 设，数列前项的和分别记为，则三者的关系式________________．
【难度】★★
【答案】
【解析】数列是周期为的周期数列，，



9．已知等差数列的首项，公差，数列是等比数列，且满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列对均有，求的值．
【难度】★★
【答案】由已知可得：
所以 由此解得 因此
因为 所以数列以1为首项，3为公比的等比数列
由此解得
（2） 当时 所以
当时 所以
所以


10．已知数列满足（）．
（1）若数列是等差数列，求它的首项和公差；
（2）证明：数列不可能是等比数列．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】解：（1）解法一：由已知，，……（1分）
若是等差数列，则，即，……（1分）
得，，故．……………………（1分）
所以，数列的首项为，公差为．………………（1分）
解法二：因为数列是等差数列，设公差为，则，
故，……（1分）
，又，所以有，…………（1分）
又，从而．…………（1分）
所以，数列的首项为，公差为．…………（1分）
（2）假设数列是等比数列，则有，
即，………………（1分）
解得，从而，，…………（1分）
又．…………（2分）
因为，，，不成等比数列，与假设矛盾，
所以数列不是等比数列．………………（2分）

11．对数列和，若对任意正整数，恒有，则称数列是数列的“下界数列”．
（1）设数列，请写出一个公比不为的等比数列，使数列是数列的“下界数列”；
（2）设数列，求证数列是数列的“下界数列”；
（3）设数列，，构造
，求使对恒成立的的最小值．
【难度】★★★
【答案】（1）等，答案不唯一；
（2），当时最小值为9，
，则，，
因此，时，最大值为6，
所以，，数列是数列的“下界数列”；
（3），，
不等式为，，，
设，则，
当时，单调递增，时，取得最小值，因此，
的最小值为．

12．观察数列：
①；②正整数依次被4除所得余数构成的数列；
③
（1）对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列，如果________________________，对于一切正整数都满足___________________________成立，则称数列是以为周期的周期数列；
（2）若数列满足为的前项和，且，证明为周期数列，并求；
（3）若数列的首项，且，判断数列是否为周期数列，并证明你的结论.
【难度】★★★
【答案】（1）存在正整数；
（2）证明：由
所以数列是以为周期的周期数列
由
于是
又，所以，
（3）当时，是周期数列，因为此时为常数列，所以对任意给定的正整数及任意正整数，都有，符合周期数列的定义．
当时，是递增数列，不是周期数列．
下面用数学归纳法进行证明：
①当时，因为
所以，
且
所以
②假设当时，结论成立，即，
则即
所以当时，结论也成立．
根据①、②可知，是递增数列，不是周期数列．

13．已知数列 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)， (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)满足： (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)．
（1）若 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)，求数列 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)的通项公式；
（2）若 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)，且 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)．记 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)，求证：数列 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)为等差数列．
【难度】★★★
【答案】（1）当 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)时，有
(?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)．
又 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)也满足上式，所以数列 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)的通项公式是 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)．
（2）因为对任意的 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)，有 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)，所以，
(?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)，
所以，数列 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)为等差数列．
设 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)（其中 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)为常数且 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)，
所以， (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)，
即数列 (?http:?/??/?www.zxsx.com?/??)均为以7为公差的等差数列．













知识梳理

例题解析



反思总结

课后练习






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