沪教版数学高一下春季班：第十五讲 数列通项公式 同步学案 （教师版）

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沪教版数学高一下春季班第十五讲
课题 数列通项 单元 第章 学科 数学 年级 十
学习 目标 1．掌握由常见数列递推关系式求通项公式的方法；2．由数列递推关系式的特点，选择合适的方法
重点 几种常见的求通项的方法．
难点 几种常见的求通项的方法．

教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30




一、用数列通项公式：等差数列、等比数列;
1.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d
2.等比数列的通项公式：an= a1 qn-1
3.用观察法（不完全归纳法）求数列的通项。
4.题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。

二、求数列通项式的常用方法：
（一）根据递推关系求通项
1、累加法
形如或，且不为常数，则求可用累加法。
① 若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③ 若是关于的分式函数，累加后可裂项求和。
2、累乘法
形如或，且不为常数，求用累乘法。
3、待定系数法
形如,其中)型
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2） 若时，数列{}为等比数列；
（3） 若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。
方法如下：设，比较系数得。
4、倒数法
形如型，取倒数变成 的形式的方法叫倒数变换.取倒数后有两种类型：一是直接转化为等差数列；二是再借助于待定系数法去求解.

5、对数变换法
形如
这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。

（二）和有关的求通项的方法
已知数列前项和，则用公式（注意：不能忘记讨论）。

（三）形如型和型
1、形如型
（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，分奇偶项来分求通项.
2、形如型
（1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.

一、累加法、累乘法求通项
1、累加法
【例1】已知数列中，，求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】

【例2】在数列中，，,则=__________．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】∵ 时,
以上个等式累加得.
故且也满足该式 ∴ ()。

【例3】已知数列满足，，则= ．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】由条件知：
利用累加法得
，


【例4】已知数列满足，则数列的通项公式为 ．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】：由，得，且。
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴。把代入，得

。


【巩固训练】
1．已知数列满足,求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】

2．已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】

3．已知数列满足：. 求数列的通项．
【难度】★★
【答案】
4．已知数列满足，，求此数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】


2、累乘法
【例5】在数列中，,，求的表达式．
【难度】★★
【答案】

【例6】设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式an＝________．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】　∵(n＋1)a＋an＋1·an－na＝0，
∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0，
又an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
即＝，∴····…·＝××××…×，∴an＝. 答案　

【例7】已知数列满足，则数列{}的通项公式为 ．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】由题可得，
利用累乘法，得
,
又

【例8】已知数列中，，，求通项公式．
【难度】★★
【答案】由得，∴ ，
　　　　　　 ∴，
　　　　　 　∴当时，
　　　　　 　
　　　　　　　
　　　　　　当时，符合上式
　　　　　　∴

【例9】在数列中，，，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若对于一切的自然数，不等式恒成立，试求实数的取值范围．
【难度】★★
【答案】（Ⅰ）因为，，，所以.
所以. 所以. 而，所以.
（Ⅱ）设，
由（Ⅰ）知，所以，所以
，所以
.
所以数列是单调递增数列.
所以当时，的最小值为. 所以要使对于一切的自然数，不等式恒成立，则需且只需，则. 所以，解之得.
故所求实数的取值范围为.


【巩固训练】
1．求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】

2．在数列中，，，求．
【难度】★★
【答案】
3．在数列中，,，求的表达式．
【难度】★★
【答案】

4．在数列中，，（），求通项．
【难度】★★
【答案】由已知，，，…，，又，
所以=…=…=


二、构造等差、等比数列求通项
1、待定系数法
【例10】已知数列中，，求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】，
是以为公比的等比数列，其首项为


【例11】已知数列中，，求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】


【例12】已知数列满足，求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】解法一（待定系数法）：设，比较系数得，
则数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，即
解法二（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略
解法三（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略

【例13】已知数列中，，求数列的通项公式．
【难度】★★★
【答案】令
由或，
数列是等比数列，

.

【例14】已知数列满足，且，则通项公式为 ．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】把原式变形成,两边同除以得……⑴
，构造新数列，使其成为公比q=的等比数列
整理得： 使之满足⑴式 则 ∴
∴数列是首项为，的等比数列
∴ ，∴.

【例15】已知数列满足，求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】解法一：由得则
所以


【巩固训练】
1．已知数的递推关系为，且，并求出的通项公式．
【难度】★★
【答案】
2．已知数列中，,,，求．
【难度】★★
【答案】。

3．已知数列中，，求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】，，令
数列是等差数列，，.

4．已知数列中，，则数列的通项公式为 ．
【难度】★★
【答案】在中两边同除以得: ，即
令得：，变形为：
所以是以公比为、首项为的等比数列，
则， 所以，故，
∴

5．在数列中，，，．
（Ⅰ）证明数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】（1）证明略；（2）

6．在数列中，求通项.（逐项相减法）
【难度】★★★
【答案】 ①
时，，
两式相减得 .令,则
利用类型5的方法知 即 ②
再由累加法可得. 亦可联立 ① ②解出.

7．在数列中，,求通项.（待定系数法）
【难度】★★★
【答案】原递推式可化为
比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为
所以是一个等比数列，首项,公比为. 即：
故.


2、倒数法
【例16】 已知数列中, ,,求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】将取倒数得: ,,是以为首项,公差为2的等差数列. ,.

【例17】数列中，，求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】，，.
数列是以2为公比的等比数列，其首项为


【例18】数列中，,，求．
【难度】★★
【答案】.

【例19】数列中，，，则=_____．
【难度】★★
【答案】解出，两边同时取倒数，得
数列是首项为1，公差为3的等差数列，


【例20】已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝2，则数列{an}的通项公式为 ．
【难度】★★
【答案】已知递推可化为－＝，
∴－＝，－＝，－＝，…，－＝
将以上(n－1)个式子相加得－＝＋＋＋…＋，
∴＝＝1－. ∴an＝.

【例21】已知各项均为正数的数列中，当时，则= ．
【难度】★★
【答案】∵，两边取倒数得.
可化为等差数列关系式. ，∴
故，解关于的方程得。

【巩固训练】
1．数列中，，，求．
【难度】★★
【答案】

2．已知数列中, ,, 求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】

3．数列中，,，求．
【难度】★★
【答案】∵，∴两边同除以得，
　　　　　∴成等差数列，公差为d=5，首项，
　　　　　∴，
　　　　　∴.

4．已知，，求．
【难度】★★
【答案】两边取倒数得：，设则；
令；展开后得，；；
是以为首项，为公比的等比数列。
；即，得；

5．已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】∵，∴
　　　　　　设，则，即，
　　　　　　∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，
　　　　　　∴，∴.
　　　　 　 ∴.

6．已知数列满足：，求的通项公式．
【难度】★★
【答案】原式两边取倒数得：

是为首项，公差的等差数列，

即
3、对数变换法
【例22】已知数列｛｝中，，求数列的通项公式．
【难度】★★★
【答案】由两边取对数得，
令，则，再利用待定系数法解得：。

【例23】设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式．
【难度】★★★
【答案】

【例24】数列中，，（n≥2），求数列的通项公式．
【难度】★★★
【答案】

【例25】已知数列满足，，求数列的通项公式．
【难度】★★★
【答案】解：因为，所以。
两边取常用对数得
设
比较系数得，
由，得，
所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此
则。


【巩固训练】
1．数列中，，则数列通项公式为 ．
【难度】★★
【答案】 由，得，
，

2．若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=_____．
【难度】★★★
【答案】 由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列， ，即.


4、辅助数列法
【例26】已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N*．
（1）令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列．
（2）求{an}的通项公式．
【难度】★★
【答案】（1）略；（2）．

【例27】数列满足，求．
【难度】★★★
【答案】
【解析】通过整理得，，令，从而构建一个新的数列，，然后用累加法解出 .

【例28】数列满足求．
【难度】★★★
【答案】
【解析】该题为已知二阶线性递推关系式求通项的问题，整体思路还是通过待定系数法构造新的数列将二阶线性递推关系式转化成一阶线性递推关系式. 设，得出
.


【巩固训练】
1.数列满足，其中是给定的实数，是正整数，试求的值，使得的值最小．
【难度】★★★
【答案】n=40时，的值最小.

三、由前n项和与通项的关系求通项
【例29】已知为数列的前项和，求下列数列的通项公式：
⑴ ； ⑵．
【难度】★★
【答案】⑴当时，，
当时，.
而时，，.
⑵当时，，
当时，.
而时，，.

【例30】在数列中，﹥0，是它的前n项和，且，则它的通项
__________．
【难度】★★
【答案】

【例31】已知数列中，，，求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】

【例32】已知下列两数列的前项和的公式，求的通项公式．
（1） （2）
【难度】★★
【答案】（1）时
时，对时也成立，
所以
（2）时
时，对时不成立，
所以

【例33】已知数列{an}的前n项和Sn满足log2（Sn+1）=n+1，求数列{an}的通项公式．
【难度】★★
【答案】

【例34】设数列的前项和为．已知，，．求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】依题意，，即，
由此得．因此，所求通项公式为
，．，，
于是，当时：
，

【例35】已知为数列的前项和，，，求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】，，当时，
.


【例36】已知为数列的前项和， ，求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】当时，，
当时，.
是以为公比的等比数列，其首项为，

【例37】已知数列的各项都是正数，且，则数列的通项公式为 ．
【难度】★★
【答案】由……（1）得：……（2）
把代入（2）得：
整理得：,由此可知：数列是以为首项，1为公差的等差数列。
由知，当n=1时易求得S1=1, 故，
即
而且n=1时，也满足上式。
∴对一切的，都有。

【例38】设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列，则数列的通项公式为 ．（用表示）
【难度】★★
【答案】∵
当时，


由，得，解得.
故当时，
又，也适合，∴通项公式为
【例39】已知数列满足，且，则通项公式为 ．
【难度】★★
【答案】把原式变形成,两边同除以得……⑴
，构造新数列，使其成为公比q=的等比数列
整理得： 使之满足⑴式 则 ∴
∴数列是首项为，的等比数列
∴ ，∴.

【例40】已知数列，且，它的前n项的和为，如果是首项为3，公差为1的等差数列．
（1）求数列的通项公式；（2）问数列是递增数列还是递减数列，说明理由．
【难度】★★
【答案】（1）由已知可得到，因为且，所以，，当时，，综上
（2）当时，，因为，即，而，所以数列是递减数列。

【巩固训练】
1．已知数列的前项和为，并且，求的通项公式．
【难度】★★
【答案】 ， ， ，又，
.

2．若数列的前项和，则其通项公式___________．
【难度】★★
【答案】

3．数列满足，求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】解：，





4．数列满足：，求．
【难度】★★
【答案】

5．设数列的前n项和为，已知，，求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】

6．设数列的前n项和为，对任意的正整数n，都有成立，求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】由已知，易得，∴

7．已知为数列的前项和，，．求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】当时，
，且，是以为公差的等差数列，其首项为.

当时，
当时，，
；


四、形如型和型
【例41】数列满足,，求数列的通项公式．
【难度】★★★
【答案】
时，，
两式相减得：.
构成以,为首项，以2为公差的等差数列;
构成以,为首项，以2为公差的等差数列

.


【例42】设，，当时，等于的个位数，则数列的第项是 ．
【难度】★★
【答案】3

【例43】已知数列满足，
（1）若数列是等差数列，求的值；
（2）当时，求数列的前n项和；
（3）若对任意都有成立，求的取值范围．
【难度】★★★
【答案】（1）若数列是等差数列，则
由得即
解得，……………………4分
（2）由得
两式相减，得
所以数列{a2n－1}是首项为，公差为4的等差数．
数列{a2n}是首项为，公差为4的等差数列，
由a2＋a1＝1，a1＝2，得a2＝－1
所以……………………6分
①当



……………………8分
②当为偶数时，


……………………10分
（3）由（2）知，
①当为奇数时，
由
令
当
解得……………………13分
②当为偶数时，
由
令
当时，
解得
综上，的取值范围是


【巩固训练】
1．已知数列,求此数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】

2．已知数列{an}的前n项和Sn满足求数列{an}的通项公式．
【难度】★★★
【答案】

3．对于给定数列，如果存在实常数使得对于任意都成立，我们称数列是 “M类数列”．
（1）若，，，数列、是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；
（2）证明：若数列是“M类数列”，则数列也是“M类数列”；
（3）若数列满足，，为常数．求数列前项的和．并判断是否为“M类数列”，说明理由；
【难度】★★★
【答案】（1）因为则有
故数列是“M类数列”， 对应的实常数分别为．………………2分
因为，则有
故数列是“M类数列”， 对应的实常数分别为．………………4分
（2）证明：若数列是“M类数列”， 则存在实常数，
使得对于任意都成立，
且有对于任意都成立，…………………………6分
因此对于任意都成立，
故数列也是“M类数列”．……………………………………8分
对应的实常数分别为．……………………………………………9分
（3）因为 则有，，
，
故数列前项的和
++++
………11分
若数列是“M类数列”， 则存在实常数
使得对于任意都成立，
且有对于任意都成立，
因此对于任意都成立，
而，且
则有对于任意都成立，可以得到，
（1）当时，，，，经检验满足条件。
（2）当 时，，，经检验满足条件。
因此当且仅当或，时，数列也是“M类数列”。
对应的实常数分别为, 或．………14分


熟练掌握由常见数列递推关系式求通项公式的方法，根据数列递推关系式的特点，选择合适的方法进行解题。

1．已知为数列的前项和， ，求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】当时，，
当时，.
是以为公比的等比数列，其首项为，

2．已知数列中，，求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】由得，
.

3．已知数列中，，求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】，；

4．已知下列两数列的前项和的公式，求的通项公式．
（1） （2）
【难度】★★
【答案】（1）
（2）

5．已知数列满足，，求出的通项公式．
【难度】★★
【答案】

6．已知数列中且，求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】因为，所以，所以是等差数列
所以，进而

7．已知，且满足，求的通项公式．
【难度】★★★
【答案】

8．设二次方程有两根，满足，求证：是等比数列．
【难度】★★★
【答案】证：依题意，由韦达定理可知
又


9．数列满足，
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前n项和．
【难度】★★
【答案】（1），所以是等差数列
由（1），
累加法可求得
所以

10．已知函数，数列满足，,
（1） 求，，的值；
（2） 求证：数列是等差数列，并求出的通项公式．
【难度】★★
【答案】（1），，，
由（1）有，所以是等差数列
，

11．已知数列中，，求数列的通项公式．
【难度】★★★
【答案】，.
数列是以3为公比的等比数列，其首项为
，.
令，则 ，

，.

12．已知点(1，）是函数且)的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足．求数列和的通项公式．
【难度】★★★
【答案】，
，
,
.
又数列成等比数列， ，所以 ；
又公比，所以 ；

又,, ；
数列构成一个首项为1公差为1的等差数列，
∴ ，∴
当， ；
()；











知识梳理

例题解析

反思总结

课后练习






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