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八年级数学（下）学期 第18章 平行四边形 单元测试卷
一、选择题（共10小题）
1．在中，，则为
A． B． C． D．无法确定
2．下列判断错误的是
A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形
D．四条边都相等的四边形是菱形
3．顺次连接等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连接所得四边形四边的中点得到的图形是
A．等腰梯形 B．直角梯形 C．菱形 D．矩形
4．如图，在中，下列结论错误的是
A． B． C． D．
5．如图，四边形的对角线交于点，下列哪组条件不能判断四边形是平行四边形
A．， B．，
C．， D．，
6．如图，已知菱形的对角线交于点，，，则菱形的面积为
A．20 B．24 C．30 D．36
7．如图，为的中位线，若，则的长为
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则矩形的面积为
A． B． C． D．
9．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为
A． B． C． D．
10．如图，正方形的边长为4，点在对角线上，且，，垂足为点，则的长为
A．1 B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．如图，在中，添加一个条件可以使它成为矩形，你添加的条件是 ．
12．如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，那么平行四边形的周长是 ．
13．如图，在中，，点，，分别为，，的中点．若，则的长为 ．
14．已知：如图，矩形的对角线相交于，平分交于，，则 ．
15．在矩形中中，，，对角线与相交于点，是经过点分别与、相交于点、的直线，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高 ．
17．如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在 点．
18．如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为 ．
三．解答题（共7小题）
19．如图，在中，，点、点分别为、的中点，连接，将绕点旋转，得到．试判断四边形的形状，并说明理由．
20．如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的度数．
21．如图，在中，是边的中点，、分别在及其延长线上，，连接、．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是菱形．
22．如图，在中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接．
（1）求证：；
（2）当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．
23．如图，中，，点，分别是，的中点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形面积．
24．已知：是正方形对角线上一点，，，、分别为垂足，
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
25．已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为．
（1）如图1，连接、．求证：四边形为菱形．
（2）如图1，求的长．
（3）如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中，点的速度为每秒，设运动时间为秒．
①问在运动的过程中，以、、、四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间和点的速度；若不可能，请说明理由．
②若点的速度为每秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．在中，，则为
A． B． C． D．无法确定
【分析】由平行四边形的性质：对角相等，得出．
解：四边形是平行四边形，
．
故选：．
2．下列判断错误的是
A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形
D．四条边都相等的四边形是菱形
【分析】利用平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定判断即可求解．
解：、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
、四个内角都相等的四边形是矩形，故选项不符合题意；
、一组对边平行且对角线相等的四边形不一定是矩形，故选项符合题意；
、四条边都相等的四边形是菱形，故选项不符合题意；
故选：．
3．顺次连接等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连接所得四边形四边的中点得到的图形是
A．等腰梯形 B．直角梯形 C．菱形 D．矩形
【分析】首先作出图形，根据三角形的中位线定理，可以得到，，，．再根据等腰梯形的对角线相等，即可证得四边形的四边相等，即可证得是菱形，然后根据三角形中位线定理即可证得四边形的一组对边平行且相等，则是平行四边形，在根据菱形的对角线互相垂直，即可证得平行四边形的一组临边互相垂直，即可证得四边形是矩形．
解：连接，．
，是，的中点，即是的中位线．
，
同理：，，．
又等腰梯形中，．
．
四边形是菱形．
是的中位线，
，，
同理，，
，
四边形是平行四边形．
，，
又菱形中，，
平行四边形是矩形．
故选：．
4．如图，在中，下列结论错误的是
A． B． C． D．
解：四边形是平行四边形，
，，（平行四边形的对边相等，对角相等）故、正确．
四边形是平行四边形，
，
，故正确，
故选：．
5．如图，四边形的对角线交于点，下列哪组条件不能判断四边形是平行四边形
A．， B．，
C．， D．，
解：、根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，故此选项可以证明四边形是平行四边形；
、根据可得：，，又由可得：，根据两组对角对应相等的四边形是平行四边形可以判定；
、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形是平行四边形；
、，不能证明四边形是平行四边形．
故选：．
6．如图，已知菱形的对角线交于点，，，则菱形的面积为
A．20 B．24 C．30 D．36
【分析】由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，由菱形的面积公式可求解．
解：四边形是菱形，
，，，
，
，
菱形的面积，
故选：．
7．如图，为的中位线，若，则的长为
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据三角形的中位线的性质即可得到结论．
解：为的中位线，若，
，
故选：．
8．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则矩形的面积为
A． B． C． D．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得，由，判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，进而利用勾股定理得出，利用矩形的面积公式解答即可．
解：四边形是矩形，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
矩形的面积，
故选：．
9．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为
A． B． C． D．
【分析】根据菱形的性质和三角形的内角和解答即可．
解：菱形，，
，
，
，
，
故选：．
10．如图，正方形的边长为4，点在对角线上，且，，垂足为点，则的长为
A．1 B． C． D．
解：如图，在上取，连接，
，
是等腰直角三角形，
，，
由三角形的外角性质得，，
，，
，
，
在正方形中，，
是等腰直角三角形，
，
设，，
，
解得．
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．如图，在中，添加一个条件可以使它成为矩形，你添加的条件是 ．
解：条件是，
理由是：四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，
故答案为：．
12．如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，那么平行四边形的周长是 48 ．
【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行内错角相等的性质证明得到，再根据等角对等边的性质得到，然后求出平行四边形的邻边、的长度，再根据平行四边形的周长公式列式计算即可得解．
解：是的平分线，
，
在中，，
，
，
，
，，
，，
的周长．
故答案为：48．
13．如图，在中，，点，，分别为，，的中点．若，则的长为 5 ．
【分析】已知是斜边的中线，那么；是的中位线，则应等于的一半．
解：是直角三角形，是斜边的中线，
，
又是的中位线，
，
．
故答案为：5．
14．已知：如图，矩形的对角线相交于，平分交于，，则 75 ．
【分析】先根据平分交于可得，再根据三角形的外角性质求出，然后判断出是等边三角形，从而可以得出是等腰三角形，然后根据三角形的内角和是进行求解即可．
解：平分交于，
，，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
即，
是等腰三角形，且，
．
故答案为：75．
15．在矩形中中，，，对角线与相交于点，是经过点分别与、相交于点、的直线，则图中阴影部分的面积为 3 ．
【分析】根据矩形的性质得到，，推出，，证，求出的面积等于的面积，求出的面积即可．
解：矩形，
，，
，，
，
的面积等于的面积，
图中阴影部分的面积的面积，
，，
矩形的面积是，
图中阴影部分的面积，
故答案为3．
16．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高 9.6 ．
【分析】根据菱形性质得出，，，根据勾股定理求出，根据菱形的面积得出，代入求出即可．
解：四边形是菱形，，，
，，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
故答案为9.6．
17．如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在 点．
【分析】根据题意可求得其每走一个循环是8米，从而可求得其行走2009米走了几个循环，即可得到其停在哪点．
解：根据“由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动”可得出，每经过8米完成一个循环，
余1，
行走2009米停下，即是在第251个循环中行走了一米，即停到了点．
故答案为．
18．如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为 ．
【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
解：，且，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
当时，的值最小，
此时，的面积，
，
的最小值为；
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
19．如图，在中，，点、点分别为、的中点，连接，将绕点旋转，得到．试判断四边形的形状，并说明理由．
【分析】四边形应该是菱形，要证四边形是菱形，只需通过定义证明它是一组邻边相等的平行四边形即可，此题实际是对判定菱形的方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的证明．
解：四边形是菱形，理由如下：
点、点分别是、的中点，
，，
又是由旋转而得，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，且点为的中点，
，
是菱形．
20．如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的度数．
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据三角形的外角的性质得到，求得，推出，于是得到四边形是矩形；
（2）根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角得到，于是得到结论．
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
．
21．如图，在中，是边的中点，、分别在及其延长线上，，连接、．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是菱形．
【分析】（1）由、的内错角相等，可得出和的两组对应角相等；已知是的中点，即，由即可证得两三角形全等；
（2）若，则是等腰三角形，而是底边的中点，根据等腰三角形三线合一的性质可证得；由（1）的全等三角形，易证得四边形的对角线互相平分；根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可判定四边形是菱形．
【解答】证明：（1），
，；
又是的中点，即，
；
（2），
是等腰三角形；
又，（三线合一），
由（1）知：，
则，；
四边形是菱形（对角线互相平分且互相垂直的四边形为菱形）．
22．如图，在中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接．
（1）求证：；
（2）当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，，，由平行线的性质得出，证出，由证明即可；
（2）证出，由等腰三角形的性质得出，，同理：，得出，证出，得出四边形是平行四边形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，
点，分别为，的中点，
，，
，
在和中，，
；
（2）解：当时，四边形是矩形；理由如下：
，，
，
是的中点，
，
，
同理：，
，
，
由（1）得：，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
23．如图，中，，点，分别是，的中点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形面积．
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理首先推知四边形为平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到其邻边相等：，得证；
（2）由三角形中位线定理和勾股定理求得边的长度，然后根据菱形的性质和三角形的面积公式进行解答．
【解答】（1）证明：，，
四边形为平行四边形．
又中，，点是的中点，
，
平行四边形是菱形；
（2）点，分别是，的中点，，，
是的中位线，，
．
又，
．
平行四边形是菱形，
．
24．已知：是正方形对角线上一点，，，、分别为垂足，
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【分析】（1）连接，证四边形是矩形，求出，证，推出即可；
（2）先根据得出，，再证是等腰直角三角形，求出的长度，再根据直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接，
是正方形，
，
，，
四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（2）解：由（1）知，
，
，
四边形是正方形，是对角线，
，
，
，
，
，
，
由（1）知，
．
25．已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为．
（1）如图1，连接、．求证：四边形为菱形．
（2）如图1，求的长．
（3）如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中，点的速度为每秒，设运动时间为秒．
①问在运动的过程中，以、、、四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间和点的速度；若不可能，请说明理由．
②若点的速度为每秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
【分析】（1）证，推出，根据平行四边形和菱形的判定推出即可；
（2）设，根据勾股定理得出关于的方程，求出即可；
（3）①只有当运动到点，运动到点时，以、、、四点为顶点的四边形有可能是矩形，求出时间，即可求出答案；②分为三种情况，在上，在上，在上，根据平行四边形的性质求出即可．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
的垂直平分线，
，，
在和中
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：设，
四边形是菱形，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即；
（3）解：①在运动过程中，以、、、四点为顶点的四边形有可能是矩形，
只有当运动到点，运动到点时，以、、、四点为顶点的四边形有可能是矩形，
点运动的时间是：，
的速度是：，
即的速度是；
②分为三种情况：第一、在上，
的速度是，而的速度是，
只能在上，此时当、、、四点为顶点的四边形不是平行四边形；
第二、当在上时，在上，如图，
，，
，
，
第三情况：当在上时，在或上，此时当、、、四点为顶点的四边形不是平行四边形；
即．
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八年级数学（下）学期 第 18章 平行四边形 单元测试卷
一、选择题（共 10小题）
1．在?ABCD中，?A ? 50?，则?C为 ( )
A． 40? B． 50? C．130? D．无法确定
2．下列判断错误的是 ( )
A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形
D．四条边都相等的四边形是菱形
3．顺次连接等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连接所得四边形四边的中点得到的图形是 (
)
A．等腰梯形 B．直角梯形 C．菱形 D．矩形
4．如图，在?ABCD中，下列结论错误的是 ( )
A．?1? ?2 B．?1? ?3 C． AB ? CD D．?BAD ? ?BCD
5．如图，四边形 ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD是平行四边形 (
)
A．OA ? OC ，OB ? OD B．?BAD ? ?BCD， AB / /CD
C． AD / /BC ， AD ? BC D． AB ? CD， AO ? CO
6．如图，已知菱形 ABCD的对角线交于点O，DB ? 6， AD ? 5，则菱形 ABCD的面积为 ( )
A．20 B．24 C．30 D．36
7．如图， EF 为 ?ABC的中位线，若 AB ? 6，则 EF 的长为 ( )
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A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC ，BD相交于点O，?AOB ? 60?， AC ? 4cm，则矩形 ABCD
的面积为 ( )
A．12cm2 B． 4 3cm2 C．8cm2 D． 6 3cm2
9．如图，菱形 ABCD中，过顶点C 作CE ? BC 交对角线 BD于 E点，已知?A ?134?，则?BEC的
大小为 ( )
A． 23? B． 28? C． 62? D． 67?
10．如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E在对角线 BD上，且?BAE ? 22.5?，EF ? AB，垂足为点
F ，则 EF 的长为 ( )
A．1 B． 4 ? 2 2 C． 2 D． 3 2 ? 4
二．填空题（共 8小题）
11．如图，在?ABCD中，添加一个条件可以使它成为矩形，你添加的条件是 ．
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12．如图，在平行四边形 ABCD中，?B的平分线交 AD于 E， AE ?10， ED ? 4，那么平行四边形
ABCD的周长是 ．
13．如图，在Rt?ABC中，?ACB ? 90?，点 D， E， F 分别为 AB， AC ， BC的中点．若CD ? 5，
则 EF 的长为 ．
14．已知：如图，矩形 ABCD的对角线相交于O，AE平分?BAD交 BC于 E，?CAE ? 15?，则?BOE ?
?．
15．在矩形中 ABCD中，AB ? 3，AD ? 4，对角线 AC 与 BD相交于点O，EF 是经过点O分别与 AB、
CD相交于点 E、 F 的直线，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC 与 BD相交于点O，且 AC ?16，BD ?12，则菱形 ABCD的
高 DH ? ．
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17 ． 如 图 所 示 ， 两 个 全 等 菱 形 的 边 长 为 1 米 ， 一 个 微 型 机 器 人 由 A 点 开 始 按
A? ? B? ? C? ? D? ? E? ? F? ? C? ?G? ? A的顺序沿菱形的边循环运动，行走 2009米停下，则这个
微型机器人停在 点．
18．如图，在Rt?ABC中，?BAC ? 90?，且 BA ? 3， AC ? 4，点D是斜边 BC上的一个动点，过点
D分别作DM ? AB于点M ，DN ? AC 于点 N，连接MN ，则线段MN 的最小值为 ．
三．解答题（共 7小题）
19．如图，在 ?ABC中， AB ? 2BC，点D、点 E分别为 AB、 AC 的中点，连接DE，将 ?ADE绕点
E旋转180?，得到 ?CFE．试判断四边形 BCFD的形状，并说明理由．
20．如图，四边形 ABCD中，对角线 AC 、BD相交于点O，AO ? OC，BO ? OD，且?AOB ? 2?OAD．
（1）求证：四边形 ABCD是矩形；
（2）若?AOB :?ODC ? 4 : 3，求?ADO的度数．
21．如图，在 ?ABC中，D是 BC边的中点，E、F 分别在 AD及其延长线上，CE / /BF ，连接 BE 、
CF ．
（1）求证： ?BDF ? ?CDE；
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（2）若 AB ? AC，求证：四边形 BFCE是菱形．
22．如图，在?ABCD中，对角线 AC 与 BD相交于点O，点 E，F 分别为OB，OD的中点，延长 AE
至G，使 EG ? AE，连接CG ．
（1）求证： ?ABE ? ?CDF；
（2）当 AB与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由．
23．如图，Rt?ABC中，?ABC ? 90?，点D， F 分别是 AC ， AB的中点，CE / /DB， BE / /DC．
（1）求证：四边形 DBEC是菱形；
（2）若 AD ? 3，DF ?1，求四边形 DBEC面积．
24．已知： P是正方形 ABCD对角线 BD上一点， PE ? DC， PF ? BC， E、 F 分别为垂足，
（1）求证： AP ? EF ．
（2）若?BAP ? 60?， PD ? 2，求 EF 的长．
25．已知，矩形 ABCD中， AB ? 4cm， BC ? 8cm， AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD、 BC于点 E、
F ，垂足为O．
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（1）如图 1，连接 AF 、CE ．求证：四边形 AFCE为菱形．
（2）如图 1，求 AF 的长．
（3）如图 2，动点 P、Q分别从 A、C 两点同时出发，沿 ?AFB和 ?CDE各边匀速运动一周．即点 P
自 A? F ? B? A停止，点Q自C? D? E?C停止．在运动过程中，点 P的速度为每秒1cm，设
运动时间为 t秒．
①问在运动的过程中，以 A、 P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出
运动时间 t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．
②若点Q的速度为每秒 0.8cm，当 A、 P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求 t的值．
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参考答案
一．选择题（共 10小题）
1．在?ABCD中，?A ? 50?，则?C为 ( )
A． 40? B． 50? C．130? D．无法确定
【分析】由平行四边形的性质：对角相等，得出?C ? ?A．
解：?四边形 ABCD是平行四边形，
??C ? ?A ? 50?．
故选： B．
2．下列判断错误的是 ( )
A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形
D．四条边都相等的四边形是菱形
【分析】利用平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定判断即可求解．
解： A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故 A选项不符合题意；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，故 B选项不符合题意；
C、一组对边平行且对角线相等的四边形不一定是矩形，故C 选项符合题意；
D、四条边都相等的四边形是菱形，故D选项不符合题意；
故选：C．
3．顺次连接等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连接所得四边形四边的中点得到的图形是 (
)
A．等腰梯形 B．直角梯形 C．菱形 D．矩形
1 1 1
【分析】首先作出图形，根据三角形的中位线定理，可以得到 EF ? BD，GH ? BD，EH ? AC，
2 2 2
FG 1? AC．再根据等腰梯形的对角线相等，即可证得四边形 EFGH 的四边相等，即可证得是菱
2
形，然后根据三角形中位线定理即可证得四边形OPMN的一组对边平行且相等，则是平行四边形，
在根据菱形的对角线互相垂直，即可证得平行四边形的一组临边互相垂直，即可证得四边形
OPMN是矩形．
解：连接 AC ， BD．
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?E ， F 是 AB， AD的中点，即 EF 是 ?ABD的中位线．
1
?EF ? BD，
2
1
同理：GH ? BD 1 1， EH ? AC， FG ? AC．
2 2 2
又?等腰梯形 ABCD中， AC ? BD．
?EF ? FG ?GH ? EH ．
?四边形 EFGH 是菱形．
?OP是 ?EFG的中位线，
/ /
?EF ?EG， PM / /FH ，
/ /
同理， NM ?EG，
/ /
?EF ?NM ，
?四边形OPMN是平行四边形．
? PM / /FH ，OP / /EG，
又?菱形 EFGH 中， EG ? FH ，
?OP ? PM
?平行四边形OPMN是矩形．
故选：D．
4．如图，在?ABCD中，下列结论错误的是 ( )
A．?1? ?2 B．?1? ?3 C． AB ? CD D．?BAD ? ?BCD
解：?四边形 ABCD是平行四边形，
?AB ? CD，?BAD ? ?BCD，（平行四边形的对边相等，对角相等）故C、 D正确．
?四边形 ABCD是平行四边形，
? AB / /BC ，
?1? ?2，故 A正确，
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故选： B．
5．如图，四边形 ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD是平行四边形 (
)
A．OA ? OC ，OB ? OD B．?BAD ? ?BCD， AB / /CD
C． AD / /BC ， AD ? BC D． AB ? CD， AO ? CO
解： A、根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，故此选项可以证明四边形 ABCD是平行
四边形；
B、根据 AB / /CD可得：?ABC ? ?BCD ? 180?，?BAD ? ?ADC ? 180?，又由?BAD ? ?BCD可得：
?ABC ? ?ADC，根据两组对角对应相等的四边形是平行四边形可以判定；
C、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形 ABCD是平行四边形；
D、 AB ? CD， AO ? CO不能证明四边形 ABCD是平行四边形．
故选：D．
6．如图，已知菱形 ABCD的对角线交于点O，DB ? 6， AD ? 5，则菱形 ABCD的面积为 ( )
A．20 B．24 C．30 D．36
【分析】由菱形的性质可得 AO ? CO 1? AC ，BO ? DO 1? BD ? 3，AC ? BD，由勾股定理可求 AO
2 2
的长，由菱形的面积公式可求解．
解：?四边形 ABCD是菱形，
? AO ? CO 1 1? AC， BO ? DO ? BD ? 3， AC ? BD，
2 2
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?AO ? AD2 ?DO2 ? 25? 9 ? 4，
?AC ? 8，
1
?菱形 ABCD的面积 ? ? AC ? BD ? 24，
2
故选： B．
7．如图， EF 为 ?ABC的中位线，若 AB ? 6，则 EF 的长为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据三角形的中位线的性质即可得到结论．
解：?EF为 ?ABC的中位线，若 AB ? 6，
?EF 1? AB ? 3，
2
故选： B．
8．如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC ，BD相交于点O，?AOB ? 60?， AC ? 4cm，则矩形 ABCD
的面积为 ( )
A．12cm2 B． 4 3cm2 C．8cm2 D． 6 3cm2
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA ?OB ?OD ?OC，由?AOB ? 60?，判断出 ?AOB
是等边三角形，根据等边三角形的性质求出 AB，进而利用勾股定理得出 BC，利用矩形的面积公
式解答即可．
解：?四边形 ABCD是矩形，
?OA ?OC ?OB ?OD ? 2cm，
??AOB ? 60?，
??AOB是等边三角形，
?AB ?OA ? 2cm，
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在Rt?ABC中， BC ? 2 3cm，
?矩形 ABCD的面积 ? 2? 2 3 ? 4 3cm2 ，
故选： B．
9．如图，菱形 ABCD中，过顶点C 作CE ? BC 交对角线 BD于 E点，已知?A ?134?，则?BEC的
大小为 ( )
A． 23? B． 28? C． 62? D． 67?
【分析】根据菱形的性质和三角形的内角和解答即可．
解：?菱形 ABCD，?A ?134?，
??ABC ?180? ?134? ? 46?，
??DBC 1 1? ?ABC ? ? 46? ? 23?，
2 2
?CE ? BC，
??BEC ? 90? ? 23? ? 67?，
故选：D．
10．如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E在对角线 BD上，且?BAE ? 22.5?，EF ? AB，垂足为点
F ，则 EF 的长为 ( )
A．1 B． 4 ? 2 2 C． 2 D． 3 2 ? 4
解：如图，在 AF 上取 FG ? EF ，连接GE，
?EF ? AB，
??EFG是等腰直角三角形，
?EG ? 2EF，?EGF ? 45?，
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由三角形的外角性质得，?BAE ? ?AEG ? ?EGF ，
??BAE ? 22.5?，?EGF ? 45?，
??BAE ? ?AEG ? 22.5?，
? AG ? EG，
在正方形 ABCD中，?ABD ? 45?，
??BEF 是等腰直角三角形，
?BF ? EF ，
设 EF ? x，? AB ? AG ? FG ? BF ，
?4 ? 2x ? x ? x，
解得 x ? 2(2 ? 2) ? 4 ? 2 2 ．
故选： B．
二．填空题（共 8小题）
11．如图，在?ABCD中，添加一个条件可以使它成为矩形，你添加的条件是 AC ? BD ．
解：条件是 AC ? BD，
理由是：?四边形 ABCD是平行四边形， AC ? BD，
?平行四边形 ABCD是矩形，
故答案为： AC ? BD．
12．如图，在平行四边形 ABCD中，?B的平分线交 AD于 E， AE ?10， ED ? 4，那么平行四边形
ABCD的周长是 48 ．
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【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行内错角相等的性质证明得到?ABE ? ?AEB，再根据等
角对等边的性质得到 AB ? AE，然后求出平行四边形的邻边 AB、AD的长度，再根据平行四边形
的周长公式列式计算即可得解．
解：?BE是?ABC的平分线，
??ABE ? ?CBE，
在?ABCD中， BC / /AD，
??CBE ? ?AEB，
??ABE ? ?AEB，
?AB ? AE，
? AE ? 10， ED ? 4，
? AB ? 10， AD ? 10 ? 4 ? 14，
?ABCD的周长 ? 2(AB ? AD) ? 2(10 ?14) ? 48．
故答案为：48．
13．如图，在Rt?ABC中，?ACB ? 90?，点 D， E， F 分别为 AB， AC ， BC的中点．若CD ? 5，
则 EF 的长为 5 ．
【分析】已知CD是 Rt?ABC斜边 AB的中线，那么 AB ? 2CD； EF 是 ?ABC 的中位线，则 EF 应等
于 AB的一半．
解：??ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，
1
?CD ? AB，
2
又?EF是 ?ABC的中位线，
?AB ? 2CD ? 2?5 ?10cm，
?EF 1? ?10 ? 5cm．
2
故答案为：5．
14．已知：如图，矩形 ABCD的对角线相交于O，AE平分?BAD交 BC于 E，?CAE ? 15?，则?BOE ?
75 ?．
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【分析】先根据 AE 平分 ?BAD 交 BC 于 E 可得 ?AEB ? 45? ，再根据三角形的外角性质求出
?ACB ? 30?，然后判断出 ?AOB是等边三角形，从而可以得出 ?BOE是等腰三角形，然后根据三
角形的内角和是180?进行求解即可．
解：? AE平分?BAD交 BC于 E，
??AEB ? 45?， AB ? BE，
??CAE ? 15?，
??ACB ? ?AEB ??CAE ? 45? ?15? ? 30?，
??BAO ? 60?，
又?OA ? OB，
??BOA是等边三角形，
?OA ?OB ? AB，
即OB ? AB ? BE ，
??BOE 是等腰三角形，且?OBE ? ?OCB ? 30?，
??BOE 1? (180? ? 30?) ? 75?．
2
故答案为：75．
15．在矩形中 ABCD中，AB ? 3，AD ? 4，对角线 AC 与 BD相交于点O，EF 是经过点O分别与 AB、
CD相交于点 E、 F 的直线，则图中阴影部分的面积为 3 ．
【分析】根据矩形的性质得到 OA ? OC ， AB / /DC ，推出 ?DCA ? ?CAB ， ?CFE ? ?AEF ，证
?CFO ? ?AEO，求出 ?CFO的面积等于 ?AEO的面积，求出 ?ODC的面积即可．
解：?矩形 ABCD，
?OA ?OC， AB / /DC ，
??DCA ? ?CAB，?CFE ? ?AEF ，
??CFO ? ?AEO，
??CFO的面积等于 ?AEO的面积，
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?图中阴影部分的面积 ? ?ODC的面积，
? AB ? 3， AD ? 4，
?矩形 ABCD的面积是 4?3 ?12，
1
?图中阴影部分的面积 ? ?12 ? 3，
4
故答案为 3．
16．如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC 与 BD相交于点O，且 AC ?16，BD ?12，则菱形 ABCD的
高 DH ? 9.6 ．
【分析】根据菱形性质得出 AC ? BD， AO ?OC ? 8， BO ? BD ? 6，根据勾股定理求出 AB，根据
1
菱形的面积得出 S ABCD ? ? AC ? BD ? AB?DH ，代入求出即可．菱形 2
解：?四边形 ABCD是菱形， AC ?16， BD ?12，
? AC ? BD， AO ?OC 1? AC ? 8， BO 1? BD ? BD ? 6，
2 2
在Rt?AOB中，由勾股定理得： AB ?10，
?S 1ABCD ? ? AC ? BD ? AB?DH ，菱形 2
1
? ?16?12 ?10DH ，
2
?DH ? 9.6，
故答案为 9.6．
17 ． 如 图 所 示 ， 两 个 全 等 菱 形 的 边 长 为 1 米 ， 一 个 微 型 机 器 人 由 A 点 开 始 按
A? ? B? ? C? ? D? ? E? ? F? ? C? ?G? ? A的顺序沿菱形的边循环运动，行走 2009米停下，则这个
微型机器人停在 B 点．
【分析】根据题意可求得其每走一个循环是 8 米，从而可求得其行走 2009米走了几个循环，即可得
到其停在哪点．
解：根据“由 A点开始按 A? ? B? ? C? ? D? ? E? ? F? ? C? ?G? ? A的顺序沿菱形的边循环运动”
可得出，每经过 8米完成一个循环，
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?2009 ? 8 ? 251余 1，
?行走 2009米停下，即是在第 251个循环中行走了一米，即停到了 B点．
故答案为 B．
18．如图，在Rt?ABC中，?BAC ? 90?，且 BA ? 3， AC ? 4，点D是斜边 BC上的一个动点，过点
D DM AB M DN 12分别作 ? 于点 ， ? AC 于点 N，连接MN ，则线段MN 的最小值为 ．
5
【分析】由勾股定理求出 BC的长，再证明四边形 DMAN 是矩形，可得MN ? AD，根据垂线段最短
和三角形面积即可解决问题．
解：??BAC ? 90?，且 BA ? 3， AC ? 4，
?BC ? BA2 ? AC2 ? 5，
?DM ? AB， DN ? AC ，
??DMA ? ?DNA ? ?BAC ? 90?，
?四边形DMAN 是矩形，
?MN ? AD，
?当 AD ? BC时， AD的值最小，
此时，?ABC 1 1的面积 ? AB? AC ? BC ? AD，
2 2
AD AB? AC 12? ? ? ，
BC 5
?MN 12的最小值为 ；
5
12
故答案为： ．
5
三．解答题（共 7小题）
19．如图，在 ?ABC中， AB ? 2BC，点D、点 E分别为 AB、 AC 的中点，连接DE，将 ?ADE绕点
E旋转180?，得到 ?CFE．试判断四边形 BCFD的形状，并说明理由．
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【分析】四边形 BCFD应该是菱形，要证四边形 AFCE是菱形，只需通过定义证明它是一组邻边相
等的平行四边形即可，此题实际是对判定菱形的方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的证
明．
解：四边形 BCFD是菱形，理由如下：
?点D、点 E分别是 AB、 AC 的中点，
?DE / /BC ，DE 1? BC，
2
又??CFE是由 ?ADE旋转而得，
?DE ? EF ，
?DF / /BC， DF ? BC，
?四边形 BCFD是平行四边形，
又? AB ? 2BC ，且点 D为 AB的中点，
?BD ? BC ，
?BCFD是菱形．
20．如图，四边形 ABCD中，对角线 AC 、BD相交于点O，AO ? OC，BO ? OD，且?AOB ? 2?OAD．
（1）求证：四边形 ABCD是矩形；
（2）若?AOB :?ODC ? 4 : 3，求?ADO的度数．
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【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形 ABCD是平行四边形，根据三角形的外角的性
质得到?AOB ? ?DAO ? ?ADO ? 2?OAD，求得?DAO ? ?ADO ，推出 AC ? BD，于是得到四边形
ABCD是矩形；
（2）根据矩形的性质得到 AB / /CD，根据平行线的性质得到?ABO ? ?CDO，根据三角形的内角得
到?ABO ? 54?，于是得到结论．
【解答】（1）证明：? AO ? OC ， BO ? OD，
?四边形 ABCD是平行四边形，
??AOB ? ?DAO ? ?ADO ? 2?OAD，
??DAO ? ?ADO，
?AO ? DO，
? AC ? BD，
?四边形 ABCD是矩形；
（2）解：?四边形 ABCD是矩形，
? AB / /CD，
??ABO ? ?CDO，
??AOB :?ODC ? 4 : 3，
??AOB :?ABO ? 4 : 3，
??BAO :?AOB :?ABO ? 3 : 4 : 3，
??ABO ? 54?，
??BAD ? 90?，
??ADO ? 90? ? 54? ? 36?．
21．如图，在 ?ABC中，D是 BC边的中点，E、F 分别在 AD及其延长线上，CE / /BF ，连接 BE 、
CF ．
（1）求证： ?BDF ? ?CDE；
（2）若 AB ? AC，求证：四边形 BFCE是菱形．
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【分析】（1）由CE 、 BF 的内错角相等，可得出 ?CED和 ?BFD的两组对应角相等；已知 D是 BC
的中点，即 BD ? DC ，由 AAS 即可证得两三角形全等；
（2）若 AB ? AC，则 ?ABC 是等腰三角形，而 D是底边 BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性
质可证得 AD ? BC；由（1）的全等三角形，易证得四边形 BFCE的对角线互相平分；根据对角
线互相垂直平分的四边形是菱形即可判定四边形 BFCE是菱形．
【解答】证明：（1）?CE / /BF ，
??ECD ? ?FBD，?DEC ? ?DFB；
又?D是 BC的中点，即 BD ? DC ，
??BDF ? ?EDC； (AAS)
（2）? AB ? AC ，
??ABC是等腰三角形；
又? BD ? DC ，? AD ? BC（三线合一），
由（1）知： ?BDF ? ?EDC，
则DE ? DF ， DB ? DC ；
?四边形 BFCE是菱形（对角线互相平分且互相垂直的四边形为菱形）．
22．如图，在?ABCD中，对角线 AC 与 BD相交于点O，点 E，F 分别为OB，OD的中点，延长 AE
至G，使 EG ? AE，连接CG ．
（1）求证： ?ABE ? ?CDF；
（2）当 AB与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出 AB ? CD， AB / /CD，OB ? OD，OA ? OC ，由平行线的性
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质得出?ABE ? ?CDF ，证出 BE ? DF ，由 SAS 证明 ?ABE ? ?CDF即可；
（2）证出 AB ?OA，由等腰三角形的性质得出 AG ?OB，?OEG ? 90? ，同理：CF ?OD，得出
EG / /CF，证出 EG ? CF，得出四边形 EGCF 是平行四边形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：?四边形 ABCD是平行四边形，
?AB ? CD， AB / /CD，OB ? OD，OA ? OC ，
??ABE ? ?CDF ，
?点 E， F 分别为OB，OD的中点，
BE 1OB DF 1? ? ， ? OD，
2 2
?BE ? DF ，
?AB ? CD
在?ABE和 ?CDF ?中， ??ABE ? ?CDF ，
?
?BE ? DF
??ABE ? ?CDF (SAS )；
（2）解：当 AC ? 2AB时，四边形 EGCF 是矩形；理由如下：
? AC ? 2OA， AC ? 2AB，
? AB ? OA，
?E 是OB的中点，
? AG ? OB，
??OEG ? 90?，
同理：CF ?OD，
? AG / /CF ，
?EG / /CF ，
由（1）得： ?ABE ? ?CDF，
?AE ? CF，
?EG ? AE ，
?EG ? CF ，
?四边形 EGCF 是平行四边形，
??OEG ? 90?，
?四边形 EGCF 是矩形．
23．如图，Rt?ABC中，?ABC ? 90?，点D， F 分别是 AC ， AB的中点，CE / /DB， BE / /DC．
（1）求证：四边形 DBEC是菱形；
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（2）若 AD ? 3，DF ?1，求四边形 DBEC面积．
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理首先推知四边形 DBEC为平行四边形，然后由直角三角形
斜边上的中线等于斜边的一半得到其邻边相等：CD ? BD，得证；
（2）由三角形中位线定理和勾股定理求得 AB边的长度，然后根据菱形的性质和三角形的面积公式
进行解答．
【解答】（1）证明：?CE / /DB， BE / /DC，
?四边形DBEC为平行四边形．
又?Rt?ABC中，?ABC ? 90?，点 D是 AC 的中点，
1
?CD ? BD ? AC，
2
?平行四边形 DBEC是菱形；
（2）?点 D， F 分别是 AC ， AB的中点， AD ? 3，DF ?1，
?DF 是?ABC 1的中位线， AC ? 2AD ? 6， S?BCD ? S2 ?ABC
?BC ? 2DF ? 2．
又??ABC ? 90?，
?AB ? AC2 ? BC2 ? 62 ? 22 ? 4 2．
?平行四边形 DBEC是菱形，
?S 1 1四边形DBEC ? 2S?BCD ? S?ABC ? AB ? BC ? ? 4 2 ? 2 ? 4 2．2 2
24．已知： P是正方形 ABCD对角线 BD上一点， PE ? DC， PF ? BC， E、 F 分别为垂足，
（1）求证： AP ? EF ．
（2）若?BAP ? 60?， PD ? 2，求 EF 的长．
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【分析】（1）连接CP，证四边形 EPFC是矩形，求出 EF ? PC ，证 ?ABP ? ?CBP，推出 AP ? CP即
可；
（2）先根据 ?ABP ? ?CBP得出?BAP ? ?BCP ? 60?，?PCE ? 30?，再证 ?PFB是等腰直角三角形，
求出 PE 的长度，再根据直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接 PC，
? ABCD是正方形，
??C ? 90?，
?PE ? CD， PF ? BC，
?四边形 PFCE是矩形，
?EF ? PC，
在?ABP和 ?CBP中，
?AB ? BC
?
??ABP ? ?CBP，
?
?BP ? BP
??ABP ? ?CBP(SAS )，
? AP ? CP，
? EF ? CP，
?AP ? EF ．
（2）解：?由（1）知 ?ABP ? ?CBP，
??BAP ? ?BCP ? 60?，
??PCE ? 30?，
?四边形 ABCD是正方形， BD是对角线，
??PDE ? 45?，
?PE ? CD，
?DE ? PE ，
?PD ? 2 ，
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?PE ?1，
?PC ? 2PE ? 2，
?由（1）知 EF ? PC，
?EF ? 2．
25．已知，矩形 ABCD中， AB ? 4cm， BC ? 8cm， AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD、 BC于点 E、
F ，垂足为O．
（1）如图 1，连接 AF 、CE ．求证：四边形 AFCE为菱形．
（2）如图 1，求 AF 的长．
（3）如图 2，动点 P、Q分别从 A、C 两点同时出发，沿 ?AFB和 ?CDE各边匀速运动一周．即点 P
自 A? F ? B? A停止，点Q自C? D? E?C停止．在运动过程中，点 P的速度为每秒1cm，设
运动时间为 t秒．
①问在运动的过程中，以 A、 P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出
运动时间 t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．
②若点Q的速度为每秒 0.8cm，当 A、 P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求 t的值．
【分析】（1）证?AEO ? ?CFO，推出OE ? OF，根据平行四边形和菱形的判定推出即可；
（2）设 AF ? CF ? a，根据勾股定理得出关于 a的方程，求出即可；
（3）①只有当 P运动到 B点，Q运动到 D点时，以 A、 P、C 、Q四点为顶点的四边形有可能是
矩形，求出时间 t，即可求出答案；②分为三种情况， P在 AF 上， P在 BF 上， P在 AB上，根据
平行四边形的性质求出即可．
【解答】（1）证明：?四边形 ABCD是矩形，
? AD / /BC，
??AEO ? ?CFO，
? AC的垂直平分线 EF ，
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? AO ? OC ， AC ? EF ，
在?AEO和 ?CFO中
??AEO ? ?CFO
? ???AOE ? ?COF ，
?
?AO ?OC
??AEO ? ?CFO(AAS )，
?OE ? OF ，
?OA ?OC，
?四边形 AECF 是平行四边形，
? AC ? EF ，
?平行四边形 AECF 是菱形；
（2）解：设 AF ? acm，
?四边形 AECF 是菱形，
? AF ? CF ? acm，
?BC ? 8cm，
?BF ? (8? a)cm ，
在Rt?ABF中，由勾股定理得： 42 ? (8? a)2 ? a2，
a ? 5，
即 AF ? 5cm；
（3）解：①在运动过程中，以 A、 P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，
只有当 P运动到 B点，Q运动到 D点时，以 A、 P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，
P点运动的时间是： (5 ? 3) ?1? 8，
Q的速度是： 4 ?8 ? 0.5，
即Q的速度是 0.5cm / s；
②分为三种情况：第一、 P在 AF 上，
?P的速度是1cm / s，而Q的速度是 0.8cm / s，
?Q只能在CD上，此时当 A、 P、C 、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；
第二、当 P在 BF 上时，Q在DE上，如图，
? AQ ? 8 ? (0.8t ? 4)，CP ? 5? (t ? 5) ，
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?8? (0.8t ? 4) ? 5? (t ? 5) ，
t 20? ，
3
第三情况：当 P在 AB上时，Q在 DE或CE 上，此时当 A、 P、C、Q四点为顶点的四边形不是平
行四边形；
即 t 20? ．
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