八年级数学（下）学期 第18章 平行四边形 单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．如图，在中，，分别是，边的中点，若，则的长度是
A．6 B．5 C．4 D．3
2．如图，在中，，，的平分线交于点，则等于
A．2 B．3 C．4 D．5
3．矩形的一条边和一条对角线的夹角是，则两条对角线所夹的锐角等于
A． B． C． D．
4．在四边形中、相交于点，下列说法错误的是
A．，，则四边形是平行四边形
B．，且，则四边形是菱形
C．，则四边形是矩形
D．且，则则四边形是正方形
5．矩形的四个内角平分线围成的四边形
A．一定是正方形 B．是矩形
C．菱形 D．只能是平行四边形
6．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，菱形的边长为2，，，则这个菱形的面积是
A．4 B．8 C． D．
8．如图，已知四边形是正方形，是延长线上一点，且，则的度数是
A． B． C． D．
9．如图，是内一点，，、、、分别是边、、、的中点．若，，，则四边形的周长是
A．24 B．20 C．12 D．10
10．已知的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．平行四边形中，比小，那么 ．
12．在四边形中，对角线，交于点，，，添加一个条件使四边形是矩形，那么所添加的条件可以是 （写出一个即可）．
13．矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则对角线长为 ．
14．如图，四边形是菱形，对角线，，于点，则的长为 ．
15．如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，，为中点，连接并延长到点，使，过点作交的延长线于点．若，则的长为 ．
17．如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，点为四边形对角线交点，则线段的最小值为 ．
18．如图，边长为1的菱形中，．连结对角线，以为边作第二个菱形，使．连结，再以为边作第三个菱形使按此规律所作的第个菱形的边长是 ．
三．解答题（共7小题）
19．如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且．求证：．
20．如图，在边长12的正方形中，点是的中点，点在边上，且，连接，，，请判断的形状，并说明理由．
21．如图，在中，为边的中点，过点分别作交于点，交于点．
（1）证明：；
（2）请你给增加一个条件， 使四边形成为菱形（不添加其他辅助线，写出一个即可，不必证明）
22．已知：如图，在中，，，，分别为垂足．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是矩形．
23．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）证明四边形是菱形；
（3）若，，求菱形的面积．
24．如图，边长为8的正方形的対角线，交于点，是边上一动点，，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）连接，求的最小值．
25．如图所示，在矩形中，，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点，再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形依此类推．
（1）求矩形的面积；
（2）求第1个平行四边形的面积是
第2个平行四边形是
第3个平行四边形的面积是
（3）第个平行四边形的面积是 ．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．如图，在中，，分别是，边的中点，若，则的长度是
A．6 B．5 C．4 D．3
解：在中，，分别是，边的中点，
是的中位线，
，
的长度是：4．
故选：．
2．如图，在中，，，的平分线交于点，则等于
A．2 B．3 C．4 D．5
解：四边形为平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
．
故选：．
3．矩形的一条边和一条对角线的夹角是，则两条对角线所夹的锐角等于
A． B． C． D．
解：图形中，
矩形的性质对角线相等且互相平分，
，
是等腰三角形，
，则．
故选：．
4．在四边形中、相交于点，下列说法错误的是
A ．，，则四边形是平行四边形
B ．，且，则四边形是菱形
C ．，则四边形是矩形
D ．且，则则四边形是正方形
解：、四边形中，，则四边形是等腰梯形， 此选项错误；
、，且，则四边形是菱形， 此选项正确；
、，则四边形是矩形， 此选项正确；
、且，则则四边形是正方形， 此选项正确；
故选：．
5．矩形的四个内角平分线围成的四边形
A．一定是正方形 B．是矩形
C．菱形 D．只能是平行四边形
解：矩形的四个角平分线将矩形的四个角分成8个的角，因此形成的四边形每个角是．又知两条角平分线与矩形的一边构成等腰直角三角形，所以这个四边形邻边相等，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，得到该四边形是正方形，故选．
6．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为
A．3 B．4 C．5 D．6
解：是菱形，
，，，
，
，，
．
故选：．
7．如图，菱形的边长为2，，，则这个菱形的面积是
A．4 B．8 C． D．
解：菱形的边长为2，
，
，，
，
菱形的面积；
故选：．
8．如图，已知四边形是正方形，是延长线上一点，且，则的度数是
A． B． C． D．
解：，
，
．
故选：．
9．如图，是内一点，，、、、分别是边、、、的中点．若，，，则四边形的周长是
A．24 B．20 C．12 D．10
解：，，，
，
、、、分别是、、、的中点，
，，
四边形的周长，
又，
四边形的周长，
故选：．
10．已知的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为
A． B． C． D．
解：连接三边中点构成第二个三角形，
新三角形的三边与原三角形的三边的比值为，
它们相似，且相似比为，
同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为，
即第三个三角形与第一个三角形的相似比为：，
以此类推：第2012个三角形与原三角形的相似比为，
周长为1，
第2012个三角形的周长为．
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．平行四边形中，比小，那么 ．
解：四边形为平行四边形，
，
解得：，
．
故答案为：．
12．在四边形中，对角线，交于点，，，添加一个条件使四边形是矩形，那么所添加的条件可以是 或 （写出一个即可）．
解：添加的条件是：或；理由如下：
，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
当时，四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：或．
13．矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则对角线长为 24 ．
解：如图：，．
四边形是矩形，，是对角线．
．
在中，，．
，．
故答案为：24．
14．如图，四边形是菱形，对角线，，于点，则的长为 ．
解：四边形是菱形，
，，，
，
，
．
15．如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为 6 ．
解：四边形是矩形，
，；
又，
在和中，
，
，得，
；
，故．
故答案为6．
16．如图，，为中点，连接并延长到点，使，过点作交的延长线于点．若，则的长为 8 ．
解：点是的中点，，
是的中位线．
，
．
，
，解得．
是直角三角形，
．
故答案为：8．
17．如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，点为四边形对角线交点，则线段的最小值为 ．
解：连接、，
，且，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
当时，的值最小，
此时，的面积，
，
的最小值为，
点为四边形对角线交点，
；
故答案为：．
18．如图，边长为1的菱形中，．连结对角线，以为边作第二个菱形，使．连结，再以为边作第三个菱形使按此规律所作的第个菱形的边长是 ．
解：连接，
四边形是菱形，
．，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
同理可得，，
按此规律所作的第个菱形的边长为，
故答案为．
三．解答题（共7小题）
19．如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且．求证：．
【解答】证明：四边形是平行四边形
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
．
20．如图，在边长12的正方形中，点是的中点，点在边上，且，连接，，，请判断的形状，并说明理由．
解：是直角三角形，理由如下：
四边形是正方形，
．
点是的中点，
．
，
．
．
在中，由勾股定理可得，
在中，由勾股定理可得，
在中，由勾股定理可得，
，，
．
是直角三角形．
21．如图，在中，为边的中点，过点分别作交于点，交于点．
（1）证明：；
（2）请你给增加一个条件， （答案不唯一）． 使四边形成为菱形（不添加其他辅助线，写出一个即可，不必证明）
【解答】（1）证明：为边的中点，过点分别作交于点，交于点
，，，
；
（2）解：（答案不唯一）．
22．已知：如图，在中，，，，分别为垂足．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是矩形．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
在和中，，
；
（2）证明：，
，
，
四边形是矩形．
23．在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）证明四边形是菱形；
（3）若，，求菱形的面积．
【解答】（1）证明：①，
，
是的中点，是边上的中线，
，，
在和中，
，
；
（2）证明：由（1）知，，则．
，
．
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，是的中点，
，
四边形是菱形；
（3）连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
菱形．
24．如图，边长为8的正方形的対角线，交于点，是边上一动点，，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）连接，求的最小值．
解：（1），，
，，
正方形的対角线，交于点，
，
四边形为矩形；
（2）边长为8的正方形的対角线，交于点，
，
当在的中点时，有最小值，最小值．
25．如图所示，在矩形中，，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点，再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形依此类推．
（1）求矩形的面积；
（2）求第1个平行四边形的面积是 96
第2个平行四边形是
第3个平行四边形的面积是
（3）第个平行四边形的面积是 ．
解：（1）四边形矩形，
，，
，
矩形的面积；
（2）四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
，
是的中位线，
，
，
平行四边形四边形的面积；
故答案为：96；
根据题意得：四边形是矩形，
第2个平行四边形；
故答案为：48；
同理：第3个平行四边形的面积；
故答案为：24；
（3）由（2）得出规律，第个平行四边形的面积是；
故答案为．
八年级数学（下）学期 第 18 章 平行四边形 单元测试卷
一．选择题（共 10 小题）
1．如图，在 ?ABC中，D，E分别是 AB，AC 边的中点，若 DE ? 2，则 BC的长度是 ( )
A．6 B．5 C．4 D．3
2．如图，在?ABCD中，AB ? 4，BC ? 7，?ABC的平分线交 AD于点 E，则 ED等于 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．矩形的一条边和一条对角线的夹角是 40?，则两条对角线所夹的锐角等于 ( )
A． 50? B． 60? C． 70? D．80?
4．在四边形 ABCD中 AB、CD相交于点O，下列说法错误的是 ( )
A． AB / /CD， AD ? BC，则四边形 ABCD是平行四边形
B． AO ?CO，BO ? DO且 AC ? BD，则四边形 ABCD是菱形
C． AO ?OB ?OC ?OD，则四边形 ABCD是矩形
D．?A ? ?B ? ?C ? ?D且 AB ? BC，则则四边形 ABCD是正方形
5．矩形的四个内角平分线围成的四边形 ( )
A．一定是正方形 B．是矩形
C．菱形 D．只能是平行四边形
6．如图，菱形 ABCD的对角线 AC ，BD相交于点O，过点 A作 AH ? BC于点H ，连接OH ，
若OB ? 4， S
菱形ABCD ? 24，则OH 的长为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，菱形 ABCD的边长为 2，?B ? 45?， AE ? BC，则这个菱形的面积是 ( )
A．4 B．8 C． 2 2 D． 2
8．如图，已知四边形 ABCD是正方形， E是 AB延长线上一点，且 BE ? BD，则?BDE 的
度数是 ( )
A． 22.5? B． 30? C． 45? D． 67.5?
9．如图，D是?ABC内一点，BD ? CD，E、F 、G、H 分别是边 AB、BD、CD、 AC
的中点．若 AD ?10， BD ? 8，CD ? 6，则四边形 EFGH的周长是 ( )
A．24 B．20 C．12 D．10
10．已知?ABC的周长为 1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中
点构成第三个三角形，以此类推，则第 2012 个三角形的周长为 ( )
1 1 1 1
A． B． C．
2011 2012 22011
D．
22012
二．填空题（共 8小题）
11．平行四边形 ABCD中，?A比?B小 20?，那么?C ? ．
12．在四边形 ABCD中，对角线 AC ，BD交于点O，OA ? OC ，OB ? OD，添加一个条件
使四边形 ABCD是矩形，那么所添加的条件可以是 （写出一个即可）．
13．矩形的两条对角线的夹角为 60?，较短的边长为12cm，则对角线长为 cm．
14．如图，四边形 ABCD是菱形，对角线 AC ? 8cm，DB ? 6cm，DH ? AB于点H ，则DH
的长为 ．
15．如图矩形 ABCD的对角线 AC 和 BD相交于点O，过点O的直线分别交 AD和 BC于点
E， F ， AB ? 3， BC ? 4，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，?ACB ? 90?，D为 AB中点，连接DC 1并延长到点 E，使CE ? CD，过点 B作
4
BF / /DE交 AE的延长线于点 F ．若 BF ?10，则 AB的长为 ．
17．如图，在Rt?ABC中，?BAC ? 90?，且 BA ? 9， AC ?12，点D是斜边 BC上的一个动
点，过点D分别作 DE ? AB于点 E，DF ? AC 于点 F ，点G为四边形DEAF 对角线交点，
则线段GF 的最小值为 ．
18．如图，边长为 1 的菱形 ABCD中，?DAB ? 60?．连结对角线 AC，以 AC为边作第
二个菱形 ACEF，使?FAC ? 60?．连结 AE，再以 AE为边作第三个菱形 AEGH 使
?HAE ? 60??按此规律所作的第 n个菱形的边长是 ．
三．解答题（共 7小题）
19．如图，在平行四边形 ABCD中，点 E、 F 分别在 AD、 BC上，且 AE ? CF ．求证：
BE / /DF．
20．如图，在边长 12 的正方形 ABCD中，点 E是CD的中点，点 F 在边 AD上，且 AF ? 3DF ，
连接 BE ， BF， EF ，请判断 ?BEF的形状，并说明理由．
21．如图，在?ABC中， D为 BC边的中点，过D点分别作 DE / /AB交 AC于点 E，
DF / /AC交 AB于点 F ．
（1）证明：?BDF ? ?DCE；
（2）请你给?ABC增加一个条件， 使四边形 AFDE成为菱形（不添加其他辅助线，
写出一个即可，不必证明）
22．已知：如图，在?ABCD中， AE ? BC，CF ? AD， E， F 分别为垂足．
（1）求证： ?ABE ? ?CDF；
（2）求证：四边形 AECF 是矩形．
23．在Rt?ABC中，?BAC ? 90?，D是 BC的中点，E是 AD的中点，过点 A作 AF / /BC交
BE 的延长线于点 F ．
（1）求证： ?AEF ? ?DEB；
（2）证明四边形 ADCF 是菱形；
（3）若 AC ? 4， AB ? 5，求菱形 ADCF的面积．
24．如图，边长为 8的正方形 ABCD的対角线 AC ， BD交于点O，M 是 AB边上一动点，
ME ? AO，MF ? BO．
（1）求证：四边形OEMF 为矩形；
（2）连接 EF ，求 EF 的最小值．
25．如图所示，在矩形 ABCD中，AB ?12，AC ? 20，两条对角线相交于点O．以OB、OC
为邻边作第 1 个平行四边形OBB1C，对角线相交于点 A1，再以 A1B1、 A1C为邻边作第 2
个平行四边形 A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1、O1C1为邻边作第 3 个平行四边
形O1B1B2C1?依此类推．
（1）求矩形 ABCD的面积；
（2）求第 1 个平行四边形OBB1C的面积是
第 2 个平行四边形 A1B1C1C是
第 3 个平行四边形OB1B2C的面积是
（3）第 n个平行四边形的面积是 ．
参考答案
一．选择题（共 10 小题）
1．如图，在 ?ABC中，D，E分别是 AB，AC 边的中点，若 DE ? 2，则 BC的长度是 ( )
A．6 B．5 C．4 D．3
解：?在 ?ABC中， D， E分别是 AB， AC 边的中点，
?DE是 ?ABC的中位线，
?DE ? 2，
?BC 的长度是：4．
故选：C．
2．如图，在?ABCD中，AB ? 4，BC ? 7，?ABC的平分线交 AD于点 E，则 ED等于 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解：?四边形 ABCD为平行四边形，
? AD / /BC ， AD ? BC ? 7，
??AEB ? ?EBC ，
?BE平分?ABC，
??ABE ? ?EBC，
??AEB ? ?ABE ，
?AB ? AE ? 4，
?ED ? AD ? AE ? BC ? AE ? 7 ? 4 ? 3．
故选： B．
3．矩形的一条边和一条对角线的夹角是 40?，则两条对角线所夹的锐角等于 ( )
A． 50? B． 60? C． 70? D．80?
解：图形中?1 ? 40?，
?矩形的性质对角线相等且互相平分，
?OB ? OC ，
??BOC是等腰三角形，
??OBC ? ?1，则?AOB ? 2?1? 80?．
故选： D．
4．在四边形 ABCD中 AB、CD相交于点O，下列说法错误的是 ( )
A ． AB / /CD， AD ? BC，则四边形 ABCD是平行四边形
B ． AO ?CO， BO ? DO且 AC ? BD，则四边形 ABCD是菱形
C ． AO ?OB ?OC ?OD，则四边形 ABCD是矩形
D ．?A ? ?B ? ?C ? ?D且 AB ? BC，则则四边形 ABCD是正方形
解： A、四边形 ABCD中 AB / /CD， AD ? BC，则四边形 ABCD是等腰梯形， 此选项
错误；
B、 AO ?CO， BO ? DO且 AC ? BD，则四边形 ABCD是菱形， 此选项正确；
C、 AO ?OB ?OC ?OD，则四边形 ABCD是矩形， 此选项正确；
D、?A ? ?B ? ?C ? ?D且 AB ? BC，则则四边形 ABCD是正方形， 此选项正确；
故选： A．
5．矩形的四个内角平分线围成的四边形 ( )
A．一定是正方形 B．是矩形
C．菱形 D．只能是平行四边形
解：矩形的四个角平分线将矩形的四个角分成 8 个 45?的角，因此形成的四边形每个角是
90?．又知两条角平分线与矩形的一边构成等腰直角三角形，所以这个四边形邻边相等，
根据有一组邻边相等的矩形是正方形，得到该四边形是正方形，故选 A．
6．如图，菱形 ABCD的对角线 AC ，BD相交于点O，过点 A作 AH ? BC于点H ，连接OH ，
若OB ? 4， S ABCD ? 24，则OH 的长为 ( )菱形
A．3 B．4 C．5 D．6
解：? ABCD是菱形，
?BO DO 4 AC ? BD? ? ， AO ? CO， S ? ? 24，
菱形ABCD 2
? AC ? 6，
? AH ? BC ， AO ? CO ? 3，
?OH 1? AC ? 3．
2
故选： A．
7．如图，菱形 ABCD的边长为 2，?B ? 45?， AE ? BC，则这个菱形的面积是 ( )
A．4 B．8 C． 2 2 D． 2
解：?菱形 ABCD的边长为 2，
? AB ? BC ? 2，
??B ? 45?， AE ? BC，
?AE ? BE ? 2 ，
?菱形 ABCD的面积 ? BC?AE ? 2? 2 ? 2 2；
故选：C．
8．如图，已知四边形 ABCD是正方形， E是 AB延长线上一点，且 BE ? BD，则?BDE 的
度数是 ( )
A． 22.5? B． 30? C． 45? D． 67.5?
解：?BE ? DB，
??BDE ? ?E ，
??DBA ? ?BDE ? ?BED ? 45?
??BDE 1? ? 45? ? 22.5?．
2
故选： A．
9．如图，D是?ABC内一点，BD ? CD，E、F 、G、H 分别是边 AB、BD、CD、 AC
的中点．若 AD ?10， BD ? 8，CD ? 6，则四边形 EFGH的周长是 ( )
A．24 B．20 C．12 D．10
解：? BD ? CD， BD ? 8，CD ? 6，
?BC ? BD2 ?CD2 ? 82 ? 62 ?10，
?E 、 F 、G、H 分别是 AB、 AC 、CD、 BD的中点，
EH FG 1? ? ? BC， EF ?GH 1? AD，
2 2
?四边形 EFGH的周长 ? EH ?GH ? FG ? EF ? AD ? BC，
又? AD ?10，
?四边形 EFGH的周长 ? 10 ?10 ? 20，
故选： B．
10．已知?ABC的周长为 1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中
点构成第三个三角形，以此类推，则第 2012 个三角形的周长为 ( )
1 1 1 1
A． B． C． D．
2011 2012 22011 22012
解：?连接 ?ABC三边中点构成第二个三角形，
?新三角形的三边与原三角形的三边的比值为1: 2，
?它们相似，且相似比为1: 2，
同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为1: 2，
即第三个三角形与第一个三角形的相似比为：1: 22 ，
以此类推：第 2012 个三角形与原三角形的相似比为1: 22011，
??ABC周长为 1，
?第 2012 个三角形的周长为1: 22011．
故选：C．
二．填空题（共 8小题）
11．平行四边形 ABCD中，?A比?B小 20?，那么?C ? 80? ．
解：?四边形 ABCD为平行四边形，
??A? ?B ? 180?
? ? ，
??B ??A ? 20?
??A ? 80?
解得： ? ，
??B ?100?
??C ? ?A ? 80?．
故答案为：80?．
12．在四边形 ABCD中，对角线 AC ，BD交于点O，OA ? OC ，OB ? OD，添加一个条件
使四边形 ABCD是矩形，那么所添加的条件可以是 AC ? BD或?ABC ? 90? （写出一
个即可）．
解：添加的条件是： AC ? BD或?ABC ? 90?；理由如下：
?OA ?OC，OB ? OD，
?四边形 ABCD是平行四边形，
当 AC ? BD时，四边形 ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
当?ABC ? 90?时，四边形 ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为： AC ? BD或?ABC ? 90?．
13．矩形的两条对角线的夹角为 60?，较短的边长为12cm，则对角线长为 24 cm．
解：如图： AB ? 12cm，?AOB ? 60?．
?四边形是矩形， AC ， BD是对角线．
?OA ?OB ?OD ?OC 1 BD 1? ? AC．
2 2
在 ?AOB中，OA ?OB，?AOB ? 60?．
?OA ? OB ? AB ? 12cm， BD ? 2OB ? 2?12 ? 24cm．
故答案为：24．
14．如图，四边形 ABCD是菱形，对角线 AC ? 8cm，DB ? 6cm，DH ? AB于点H ，则DH
的长为 4.8cm ．
解：?四边形 ABCD是菱形，
AC BD OA OC 1? ? ， ? ? AC ? 4cm，OB ? OD ? 3cm，
2
?AB ? 5cm，
S 1? ABCD ? AC ? BD ? AB ?DH ，菱形 2
DH AC?BD? ? ? 4.8cm．
2AB
15．如图矩形 ABCD的对角线 AC 和 BD相交于点O，过点O的直线分别交 AD和 BC于点
E， F ， AB ? 3， BC ? 4，则图中阴影部分的面积为 6 ．
解：?四边形 ABCD是矩形，
?OA ?OC，?AEO ? ?CFO；
又??AOE ? ?COF ，
在 ?AOE和?COF中，
??AEO ? ?CFO
?
?OA ?OC ，
?
??AOE ? ?COF
??AOE ? ?COF ，得 S?AOE ? S?COF ，
?S阴影 ? S?AOE ? S?BOF ? S?COD ? S?AOE ? S?BOF ? S?COD ? S?BCD；
?S 1?BCD ? BC?CD ? 6，故 S2 阴影
? 6．
故答案为 6．
16．如图，?ACB ? 90?，D为 AB中点，连接DC并延长到点 E，使CE 1? CD，过点 B作
4
BF / /DE交 AE的延长线于点 F ．若 BF ?10，则 AB的长为 8 ．
解：?点 D是 AB的中点， BF / /DE，
?DE是 ?ABF的中位线．
?BF ? 10，
?DE 1? BF ? 5．
2
?CE 1? CD，
4
5
? CD ? 5，解得CD ? 4．
4
??ABC是直角三角形，
?AB ? 2CD ? 8．
故答案为：8．
17．如图，在Rt?ABC中，?BAC ? 90?，且 BA ? 9， AC ?12，点D是斜边 BC上的一个动
点，过点D分别作 DE ? AB于点 E，DF ? AC 于点 F ，点G为四边形DEAF 对角线交点，
18
则线段GF 的最小值为 ．
5
解：连接 AD、 EF ，
??BAC ? 90?，且 BA ? 9， AC ?12，
?BC ? 92 ?122 ?15，
?DE ? AB，DF ? AC ，
??DEA ? ?DFA ? ?BAC ? 90?，
?四边形 DEAF 是矩形，
?EF ? AD，
?当 AD ? BC时， AD的值最小，
ABC 1 AB AC 1此时， ? 的面积 ? ? ? BC ? AD，
2 2
AD AB? AC 9?12 36? ? ? ? ，
BC 15 5
36
?EF的最小值为 ，
5
?点G为四边形 DEAF 对角线交点，
GF 1 18? ? EF ? ；
2 5
18
故答案为： ．
5
18．如图，边长为 1 的菱形 ABCD中，?DAB ? 60?．连结对角线 AC，以 AC为边作第
二个菱形 ACEF，使?FAC ? 60?．连结 AE，再以 AE为边作第三个菱形 AEGH 使
?HAE ? 60??按此规律所作的第 n个菱形的边长是 ( 3)n?1 ．
解：连接DB，
?四边形 ABCD是菱形，
? AD ? AB． AC ? DB，
??DAB ? 60?，
??ADB是等边三角形，
?DB ? AD ?1，
?BM 1? ，
2
3
?AM ? ，
2
?AC ? 3，
同理可得 AE ? 3AC ? ( 3)2， AG ? 3AE ? 3 3 ? ( 3)3，
按此规律所作的第 n个菱形的边长为 ( 3)n?1，
故答案为 ( 3)n?1．
三．解答题（共 7小题）
19．如图，在平行四边形 ABCD中，点 E、 F 分别在 AD、 BC上，且 AE ? CF ．求证：
BE / /DF．
【解答】证明：?四边形 ABCD是平行四边形
? AD ? BC， AD / /BC ，
? AE ? CF，
?DE ? BF ，
又?DE / /BF ，
?四边形 BEDF 是平行四边形，
?BE / /DF ．
20．如图，在边长 12 的正方形 ABCD中，点 E是CD的中点，点 F 在边 AD上，且 AF ? 3DF ，
连接 BE ， BF， EF ，请判断 ?BEF的形状，并说明理由．
解： ?BEF是直角三角形，理由如下：
?四边形 ABCD是正方形，
??A ? ?C ? ?D ? 90?．
?点 E是CD的中点，
?DE ? CE 1? CD ? 6．
2
? AF ? 3DF ，
DF 1? ? AD ? 3．
4
? AF ? 3DF ? 9．
在Rt?ABF中，由勾股定理可得 BF 2 ? AB2 ? AF 2 ? 144? 81? 225 ，
在Rt?BCE中，由勾股定理可得 BE 2 ?CB2 ?CE 2 ? 144? 36 ? 180 ，
在Rt?DEF中，由勾股定理可得 EF 2 ? DF 2 ? DE 2 ? 9? 36 ? 45，
?BE 2 ? EF 2 ? 180? 45 ? 225， BF 2 ? 225，
?BE2 ? EF 2 ? BF 2 ．
??BEF 是直角三角形．
21．如图，在?ABC中， D为 BC边的中点，过D点分别作 DE / /AB交 AC于点 E，
DF / /AC交 AB于点 F ．
（1）证明：?BDF ? ?DCE；
（2）请你给?ABC增加一个条件， AF ? AE（答案不唯一）． 使四边形 AFDE成为
菱形（不添加其他辅助线，写出一个即可，不必证明）
【解答】（1）证明：?D为 BC边的中点，过D点分别作DE / /AB交 AC于点E，DF / /AC
交 AB于点 F
??FDB ??C， BD ?CD，?B ? ?CDE，
??BDF ? ?DCE；
（2）解： AF ? AE（答案不唯一）．
22．已知：如图，在?ABCD中， AE ? BC，CF ? AD， E， F 分别为垂足．
（1）求证： ?ABE ? ?CDF；
（2）求证：四边形 AECF 是矩形．
【解答】（1）证明：?四边形 ABCD是平行四边形，
??B ? ?D， AB ? CD， AD / /BC ，
? AE ? BC ，CF ? AD，
??AEB ? ?AEC ? ?CFD ? ?AFC ? 90?，
??B ? ?D
在 ?ABE ?和 ?CDF中， ??AEB ? ?CFD ，
?
?AB ? CD
??ABE ? ?CDF (AAS )；
（2）证明：? AD / /BC ，
??EAF ? ?AEB ? 90?，
??EAF ? ?AEC ? ?AFC ? 90?，
?四边形 AECF 是矩形．
23．在Rt?ABC中，?BAC ? 90?，D是 BC的中点，E是 AD的中点，过点 A作 AF / /BC交
BE 的延长线于点 F ．
（1）求证： ?AEF ? ?DEB；
（2）证明四边形 ADCF 是菱形；
（3）若 AC ? 4， AB ? 5，求菱形 ADCF的面积．
【解答】（1）证明：①? AF / /BC ，
??AFE ? ?DBE，
?E 是 AD的中点， AD是 BC边上的中线，
?AE ? DE， BD ? CD，
在 ?AFE和 ?DBE中，
??AFE ? ?DBE
?
??FEA ? ?BED ，
?
?AE ? DE
??AFE ? ?DBE (AAS )；
（2）证明：由（1）知， ?AFE ? ?DBE ，则 AF ? DB．
?DB ? DC ，
? AF ? CD．
? AF / /BC ，
?四边形 ADCF是平行四边形，
??BAC ? 90?，D是 BC的中点， E是 AD的中点，
1
?AD ? DC ? BC ，
2
?四边形 ADCF是菱形；
（3）连接DF，
? AF / /BD， AF ? BD，
?四边形 ABDF是平行四边形，
?DF ? AB ? 5，
?四边形 ADCF是菱形，
1
?S 菱形 ADCF ? AC ?DF 1? ? 4?5 ?10．
2 2
24．如图，边长为 8的正方形 ABCD的対角线 AC ， BD交于点O，M 是 AB边上一动点，
ME ? AO，MF ? BO．
（1）求证：四边形OEMF 为矩形；
（2）连接 EF ，求 EF 的最小值．
解：（1）?ME ? AO，MF ? BO，
??MEO ? 90?，?MFO ? 90?，
?正方形 ABCD的対角线 AC ， BD交于点O，
??EOF ? 90?，
?四边形OEMF 为矩形；
（2）?边长为 8 的正方形 ABCD的対角线 AC ， BD交于点O，
?OA ?OB ? 4 2，
当M 在 AB的中点时， EF 有最小值，最小值 ? OE 2 ?OF 2 ? (2 2)2 ? (2 2)2 ? 4．
25．如图所示，在矩形 ABCD中，AB ?12，AC ? 20，两条对角线相交于点O．以OB、OC
为邻边作第 1 个平行四边形OBB1C，对角线相交于点 A1，再以 A1B1、 A1C为邻边作第 2
个平行四边形 A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1、O1C1为邻边作第 3 个平行四边
形O1B1B2C1?依此类推．
（1）求矩形 ABCD的面积；
（2）求第 1 个平行四边形OBB1C的面积是 96
第 2 个平行四边形 A1B1C1C是
第 3 个平行四边形OB1B2C的面积是
（3）第 n个平行四边形的面积是 ．
解：（1）?四边形 ABCD矩形，
??ABC ? 90?，OB ? OC，
?BC ? AC2 ? AB2 ? 202 ?122 ?16，
?矩形 ABCD的面积 ? 12?16 ? 192；
（2）?四边形OBB1C是平行四边形，OB ? OC，
?四边形OBB1C是菱形，
?BA1 ? CA1 ? 8，
?OA1是 ?ABC的中位线，
1
?OA1 ? AB ? 6，2
?OB1 ? 2OA1 ?12，
?平行四边形四边形OBB1C
1
的面积 ? ?12?16 ? 96；
2
故答案为：96；
根据题意得：四边形 A1B1C1C是矩形，
?第 2 个平行四边形 A1B1C1C ? A1C ? A1B1 ? 8? 6 ? 48；
故答案为：48；
1
同理：第 3个平行四边形OB1B2C的面积 ? ?8? 6 ? 24；2
故答案为：24；
1
（3）由（2）得出规律，第 n个平行四边形的面积是 ( )n?1 ?96；
2
故答案为 (1)n?1 ?96．
2
