2020年春季学期延期初中数学 “空中课堂”
学习经历案
一、目标引领
课题名称：北师大版 八年级 下册 数学 第一章 1.2直角三角形（第2课时）
达成目标： 根据已知条件运用尺规作出规范图形。 经历探索、猜测、证明的过程，能够证明直角三角形全等“HL”判定定理。 会熟练应用“ＨＬ”解决相关的实际问题。
课前准备建议： 复习一般三角形全等的判定方法 复习直角三角形的性质和判定定理，勾股定理。
二、学习指导
录像课 学习经历案（简要把教学过程呈现就行）
（一）温故知新。（前2分钟） 复习提问形式，学生思考。 （二）探索发现（3-7分钟） 1.思考两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等的原因 2.结合老师的问题进行猜想：如果其中一边的所对的角是直角，两个三角形是否全等 3.和家长一起运用尺规作图作一个直角三角形 4.验证父母和自己一起作的直角三角形是否全等 5.学生分清结论的条件和结论 （三）定理证明（7-11） 1.转化为一般三角形全等的证明 2.学生明确直角三角形全等的判定定理及其三种语言 3.定理应用 感受合情推理和演绎推理，分类讨论 （四）巩固与与应用（12-22分钟） 认真读题，试着独立完成，结合老师的视频，提炼方法。 最后，综合所学的知识进行提升，总结知识和学习方法。 （五）归纳总结（22-24） （六）随堂练习 温故知新： 1.一般三角形全等的判定方法。 2.思考两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等? 探索发现： 1.命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等. 证明:这是一个假命题,只要举一个反例即可.如图: 2.猜想其中一边的所对的角是直角，两个三角形是否全等 3.尺规作图： 利用尺规作一个RtΔABC，∠C=90°, AB=5cm, CB=3cm. 4.邀请你的父母和你一起按刚才的方式做一个三角形，把我们刚画好的直角三角形剪下来，和父母的比比看，这些直角三角形有怎样的关系呢？ 5.有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 1.定理证明： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”. 已知:如图所示,在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'. 求证：△ABC≌△A'B'C'. 证明:在△ABC中,∵∠C=90°, ∴BC2=AB2-AC2(勾股定理). 同理,B'C'2=A'B'2-A'C'2 . ∵AB=A'B',AC=A'C', ∴BC=B'C'. ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS). 2. 三种语言描述判定定理 3.定理应用： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么? （1）一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形 （2）一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三（3）角形一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形 （4）两直角边对应相等的两个直角三角形 巩固与应用： 1.如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB ≌ △ BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来． 注意分类讨论 从添加角来说，可以添加∠CBA=∠DAB或∠CAB=∠DBA； 从添加边来说，可以是AC=BD，也可以是BC=AD． 2．已知：如图,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC, AD⊥BD, 垂足分别为C,D,AD=BC,求证： △ABC≌△BAD. 3.如图，在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'． 求证：△ABC≌△A'B'C'． 4.如图所示,有两个长度相等的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系? 解:根据题意,可知: ∠BAC=∠EDF=90°, BC= EF,AC=DF, ∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL). ∴∠ABC =∠DEF(全等三角形的对应角相等). ∵∠DEF+∠DFE = 90°(直角三角形的两锐角互余), ∴∠ABC +∠DFE = 90°. 归纳总结 直角三角形全等的判定方法: （HL）.（SSS）.（SAS）.（ASA）.（AAS）. 综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为: 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两边对应相等的两个直角三角形全等; 切记!!!命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 随堂练习 完成习题1.6 结合今天所学，提升认识，进行知识和方法的总结。
三、当堂检测
1.下列条件中能判定两个直角三角形全等的有 ( ) ①有两条直角边对应相等;②有两个锐角对应相等;③有斜边和一条直角边对应相等;④有一条直角边和一个锐角对应相等;⑤有斜边和一个锐角对应相等;⑥有两条边相等. A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 2.如图所示,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是 ( ) A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D =90° 3.如图所示,AB∥EF∥DC,∠ABC=90° ,AB=DC,那么图中共有全等三角形 ( ) A.5对 B.4对 C.3对 D.2对 4.如图所示,长方形ABCD中,E为CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,连接BD,DF,则图中全等的直角三角形共有 ( ) A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
四、作业布置
知识点： HL 1.如图,在△ABC与△ABD中,∠C=∠D=90°,要使△ABC≌△ABD( HL )成立,还需要添加的条件是( ) A.∠BAC=∠BAD B.BC=BD或AC=AD C.∠ABC=∠ABD D.AB为公共边 2.如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.求证:Rt△ABE≌Rt△CBF. 知识点： HL与其他方法的综合应用 3.下列命题中,是假命题的是( ) A.一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形 B.一个直角三角形必能分成两个直角三角形 C.两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形 D.两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形 综合能力提升练 4.如图,在△ABC和△EDF中,∠B=∠D=90°,∠A=∠E,点B,F,C,D在同一条直线上,再增加一个条件,不能判定△ABC≌△EDF的是( ) A.AB=ED B.AC=EF C.AC∥EF D.BF=DC 5.下列命题中,是假命题的是( ) A.两直角边对应相等的两个直角三角形全等 B.两锐角对应相等的两个直角三角形全等 C.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 D.一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等 6.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是角平分线,BE=CF,则下列说法正确的有( ) ①AD平分∠EDF;②△EBD≌△FCD;③BD=CD;④AD⊥BC. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等,则下列四个命题中,真命题的个数是( ) ①这两个三角形全等;②相等的角为锐角时全等;③相等的角为钝角时全等;④相等的角为直角时全等. A.0 B.1 C.2 D.3 8.已知D是△ABC的边BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且BE=CF.求证:AE=AF. 拓展探究突破练 9.公路上A,B两站相距25 km,C,D为两所学校,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B.如图,已知DA=15 km,现要在公路AB上建一座报亭H,要使C,D两所学校到报亭H的距离相等,且∠DHC=90°,则报亭H应建在距离A站多远处?学校C到公路的距离是多少?
五、总结反思（学生填写）
六、错题纠正（学生填写）
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2020年春季学期延期初中数学 “空中课堂”
学习经历案
一、目标引领
课题名称：北师大版 八年级 下册 数学 第一章 1.2直角三角形（第1课时）
达成目标： 进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。 结合具体例子了解逆命题的的概念，会识别两个互逆命题。
课前准备建议： 复习直角三角形的性质和判定定理。 复习命题和定理的概念及相关知识。
二、学习指导
录像课 学习经历案（简要把教学过程呈现就行）
（一）回顾知识。（前2分钟） 借助三角板回忆直角三角形的知识。 （二）演绎推理（3-7分钟） 结合老师的问题进行思考，对比视频中的解题步骤，进行总结和归纳。 （三）归纳总结（7-14分钟） 结合具体例子，进行类比学习，完成练习，进行归纳。 （四）应用提升（14-22分钟） 认真读题，试着独立完成，结合老师的视频，提炼方法。 最后，综合所学的知识进行提升，总结知识和学习方法。 回顾知识： 1.直角三角形的定义。 2.直角三角形的性质定理和判定定理。 通过三角板，回忆直角三角形的知识。 定理：在直角三角形中两个锐角互余。 把文字叙述转化成数学语言，已知、求证和图形，进行证明。 介绍演绎推理的三段论。 介绍勾股定理的一些著名证法： 赵爽弦图、欧几里得的证法、青朱出入图。 证明勾股定理逆定理，分析“构造法”。 归纳总结：演绎推理的一般要求和特点。 观察命题的条件和结论 形成概念：逆命题、互逆命题、逆定理、互逆定理 练习 1，给一个命题，一定能写出它的逆命题。（ ） 2，原命题正确，它的逆命题一定正确。（ ） 3，“四边形是多边形” ，它的逆命题是________________， 这是一个_______________。 4，一个定理一定存在对应的逆定理。（ ） 5，逆定理一定是真命题。（ ） 归纳总结：互逆命题和互逆定理的特点。 随堂练习 已知，在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm. 求证：AB=AC. 知识技能 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，E为BC上的一点，且 ∠BAE=25°，∠CDE=65°，AE=2，DE=3.求AD的长. 问题解决 如图，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为8cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱侧面到点C1处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？ 结合今天所学，提升认识，进行知识和方法的总结。
三、当堂检测
1.判断（1）每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理。（ ） （2）原命题正确时其逆命题也正确。（ ） （3）直角三角形两边分别是3、4，则第三边为5。（ ） 2.下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（ ） ①8、15、17 ②4、5、6、 ③7.5、4、8.5 ④ 24、25、7 ⑤ 5、8、10 A ①②④ B ②④⑤ C ①③⑤ D ①③④ 3. 找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它写出来。 （1）对顶角相等 （2）同旁内角相等，两直线平行 （3）如果，则 （4）全等三角形对应边相等 4.公园中景点A、B间相距50m，景点A、C间相距40m，景点B、C间相距30m，由这三个景点构成的三角形一定是直角三角形吗？为什么？
四、作业布置
一．选择题 1．下列四组线段中,可以构成直角三角形的是 ( ) A.4,5,6 B.1.5,2,2.5 C.2,3,4 D.1,,3 2．以下命题的逆命题属于假命题的是（ ） A 两底角相等的两个三角形是等腰三角形。 B 全等三角形的对应角相等。 C 两直线平行，同位角相等。 D 直角三角形两锐角互余。 二．填空题 3.已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为________，斜边上的高为_________。 4.写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： （1）五边形是多边形。 （2）两直线平行，同位角相等。： （3）如果两个角是对顶角，那么它们相等。 （4）如果AB=0，那么A=0，B=0。 三．解答题 5．已知：如图，BA⊥DA于A，AD = 12，DC = 9，CA = 15， 求证：BA∥DC. 6.如果大家感兴趣，可以查阅资料，看看勾股定理的证明方法都有哪些。
五、总结反思（学生填写）
六、错题纠正（学生填写）
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