高中数学人教A版：6.3平面向量的正交分解及坐标表示 课件（171张ppt）

(共171张PPT)
高一年级 数学
平面向量的正交分解及坐标表示
一、复习回顾
1.平面向量基本定理
一、复习回顾
1.平面向量基本定理
一、复习回顾
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 .不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底{e1，e2}.
平面向量
基本定理

几何图形
平面向量
基本定理

几何图形

代数表达
平面向量
基本定理
1.平面向量基本定理
2.平面向量基本定理的作用
一、复习回顾
二、课堂导入
二、课堂导入
问题1 平面向量基底的唯一要求就是不共线，因此平面向量有无数个基底.那么选什么样的基底能够更好地解决问题？
问题2 如果物体在斜面上静止不动，一般将重力分解为：沿斜面向下和垂直于斜面的互相垂直的两个分力，即进行了正交分解.


O
G
F1
F2
问题2 如果物体在斜面上静止不动，我们可以使用正交分解，其它分解方法可以吗？


O
G
F1
F2
问题2 如果物体在斜面上静止不动，我们可以使用正交分解，其它分解方法可以吗？


O
G


O
F1
G
F2
F1
F2
问题2 如果物体在斜面上静止不动，我们可以使用正交分解，还可以有其它很多分解方法，哪种分解方法更好？


O
F1
F2
G


O
F1
G
F2
问题2 如果物体在斜面上静止不动，物理上，我们一般将重力进行了正交分解.这对我们研究平面向量基底的选择有什么启示?


O
G
F1
F2
结论：互相垂直的两个向量作为平面内所有向量的一个基底.
问题2 如果物体在斜面上静止不动，物理上，我们一般将重力进行了正交分解.这对我们研究平面向量基底的选择有什么启示?


O
G
F1
F2
三、新课讲解
三、新课讲解
1.定义：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
问题3 在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数表示（即它的坐标），那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量？

如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?
如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?
2.平面向量的坐标表示.
a
2.平面向量的坐标表示.
y
x
O
a

2.1 在平面直角坐标系中，

2.1 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，

2.平面向量的坐标表示.
y
x
O
a
i
j
2.1 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i,j}作为基底.
2.平面向量的坐标表示.
y
x
O
a
i
j
2.1 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i,j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，


2.平面向量的坐标表示.
y
x
O
a
i
j
2.1 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i,j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj.


2.平面向量的坐标表示.
y
x
O
a
i
j
2.1 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i,j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj.


2.平面向量的坐标表示.
y
x
O
a
i
j
我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标，
2.1 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i,j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj.


2.平面向量的坐标表示.
y
x
O
a
i
j
我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标，
记作a=(x,y).
2.2. 特殊向量的坐标表示


O
x
y


j
i
2.2. 特殊向量的坐标表示
因为 i=i+0· j，

所以 i=(1,0).




O
x
y


j
i
2.2. 特殊向量的坐标表示
i=(1,0)，







O
x
y


j
i
2.2. 特殊向量的坐标表示
i=(1,0)，

j=(0,1)，





O
x
y


j
i
2.2. 特殊向量的坐标表示
i=(1,0)，

j=(0,1)，

0=(0,0).



O
x
y


j
i
例 如图所示，向量i ,j作为基底{i，j} ，O为坐标原点，A(2,3)，则 的坐标为多少？
x
y
i
j
解：因为
=2i+3j,
x
y
i
j
例 如图所示，向量i ,j作为基底{i，j} ，O为坐标原点，A(2,3)，则 的坐标为多少？
解：因为
=2i+3j,
x
y
i
j
所以 =(2,3).
例 如图所示，向量i ,j作为基底{i，j} ，O为坐标原点，A(2,3)，则 的坐标为多少？

点的坐标

起点在坐标
原点的向量

代数表达
几何表达
代数表达
几何表达

正交分解
问题4 一般地，用单位向量i ,j作为基底{i，j} ，O为坐标原点，点A的坐标与 的坐标
有什么关系？

x
y
i
j


O
x
y
A




2.3猜想：用单位向量i ,j作为基底{i，j} ，当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标？



j
i
a


O
x
y
A




2.3猜想：用单位向量i ,j作为基底{i，j} ，当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标？



j
i
a


O
x
y
A




2.3猜想：用单位向量i ,j作为基底{i，j} ，当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标？



j
i
a
=xi+yj ,


O
x
y
A




2.3猜想：用单位向量i ,j作为基底{i，j} ，当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标？



j
i
a
=xi+yj ,
=(x,y).


O
x
y
A




2.3猜想：用单位向量i ,j作为基底{i，j} ，当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标？



j
i
a
=xi+yj ,
=(x,y).
A(x,y ).


O
x
y
A




2.3用单位向量i ,j作为基底{i，j} ，当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标？



j
i
a
=xi+yj ,
=(x,y).
A(x,y ).
问题5 在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(3,2)，点A位置确定了吗？给定向量a的坐标为a=(3,2)，向量a的位置确定了吗？


O
x
y


=3i+2j
j
i
a
a
3
2

对于点A，若给定坐标为A(3,2)，则点A位置确定.


A


O
x
y


=3i+2j
j
i
a
a
3
2

对于点A，若给定坐标为A(3,2)，则点A位置确定.
对于向量a，给定a的坐标为a＝(3,2)，

A


O
x
y


=3i+2j
j
i
a
a
3
2

对于点A，若给定坐标为A(3,2)，则点A位置确定.
对于向量a，给定a的坐标为a＝(3,2)，此时给出了a的方向和大小，


A


O
x
y


=3i+2j
j
i
a
a
3
2

对于点A，若给定坐标为A(3,2)，则点A位置确定.
对于向量a，给定a的坐标为a＝(3,2)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，


A


O
x
y


=3i+2j
j
i
a
a
3
2

对于点A，若给定坐标为A(3,2)，则点A位置确定.
对于向量a，给定a的坐标为a＝(3,2)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以自由平移，



A


O
x
y


=3i+2j
j
i
a
a
3
2

对于点A，若给定坐标为A(3,2)，则点A位置确定.
对于向量a，给定a的坐标为a＝(3,2)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以自由平移，因此，a的位置还与其起点有关.


A

点

向量
位置
坐标
确 定
确 定

点
位置
坐标
确 定
确 定

点

向量
位置
坐标
确 定
确 定
位置

点

向量
位置
坐标
确 定
确 定
位置
坐标

点

向量
位置
坐标
确 定
确 定
位置
坐标
确 定

点

向量
位置
坐标
确 定
确 定
位置
坐标
确 定
不 定

点

向量
平面内的
任意向量
平面内的
任意向量

x
y
i
j
O
a=xi+yj

=xi+yj
a
x
y
i
j
O
平面内的
任意向量

x
y
i
j
O
a=xi+yj
x

=xi+yj
a
x
y
i
j
O
平面内的
任意向量
起点在
原点的向量
对应
唯一

x
y
i
j
O
a=xi+yj


=xi+yj
a
x
y
i
j
O
平面内的
任意向量
起点在
原点的向量
a=(x,y).
对应
唯一
对应
一一
例 如图，用单位向量i ,j作为基底{i，j} ，
A(2,2),B(3,4),求 的坐标.
A
B
2
2

3
4


j
i
解：因为 A(2,2),B(3,4),

A
B
2
2

3
4


j
i
例 如图，用单位向量i ,j作为基底{i，j} ，
A(2,2),B(3,4),求 的坐标.
解：因为 A(2,2),B(3,4),
所以 =i+2j.
A
B
2
2

3
4


j
i
例 如图，用单位向量i ,j作为基底{i，j} ，
A(2,2),B(3,4),求 的坐标.
A
B
2
2

3
4


j
i
解：因为 A(2,2),B(3,4),
所以 =i+2j.
所以 =(1,2).
例 如图，用单位向量i ,j作为基底{i，j} ，
A(2,2),B(3,4),求 的坐标.
起点在坐标原点的向量
起点在坐标原点的向量
正交分解
起点在坐标原点的向量
向量终点的坐标
正交分解
一一对应
2.4 两个向量相等的坐标表示
2.4 两个向量相等的坐标表示
设i，j是与x轴、y轴同向的两个单位正交向量，
2.4 两个向量相等的坐标表示
设i，j是与x轴、y轴同向的两个单位正交向量，
若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
2.4 两个向量相等的坐标表示
设i，j是与x轴、y轴同向的两个单位正交向量，
若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
2.4 两个向量相等的坐标表示
设i，j是与x轴、y轴同向的两个单位正交向量，
若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
由平面向量基本定理可得a=b
2.4 两个向量相等的坐标表示
设i，j是与x轴、y轴同向的两个单位正交向量，
若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
由平面向量基本定理可得a=b
2.5 点的坐标与向量坐标的联系与区别
2.5 点的坐标与向量坐标的联系与区别
区别


联系
2.5 点的坐标与向量坐标的联系与区别
区别 表示形式
意
义

联系
2.5 点的坐标与向量坐标的联系与区别
区别 表示形式 向量a=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号.
意
义

联系
2.5 点的坐标与向量坐标的联系与区别
区别 表示形式 向量a=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号.
意
义 点A(x,y)的坐标(x,y)，表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a=(x,y)的坐标(x,y)，既表示向量的大小，又表示向量的方向.

联系
2.5 点的坐标与向量坐标的联系与区别
区别 表示形式 向量a=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号.
意
义 点A(x,y)的坐标(x,y)，表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a=(x,y)的坐标(x,y)，既表示向量的大小，又表示向量的方向.
(x,y)即可以表示点，又可以表示向量，叙述时要指明点(x,y)或向量(x,y).
联系
2.5 点的坐标与向量坐标的联系与区别
区别 表示形式 向量a=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号.
意
义 点A(x,y)的坐标(x,y)，表示点A在平面直角坐标系中的位置；向量a=(x,y)的坐标(x,y)，既表示向量的大小，又表示向量的方向.
(x,y)即可以表示点，又可以表示向量，叙述时要指明点(x,y)或向量(x,y).
联系 当平面向量的起点在坐标原点时，
平面向量的坐标与向量终点的坐标相等.
任一向量
向量坐标
单位正交分解
任一向量
向量坐标
单位正交分解
几何图形
任一向量
向量坐标
单位正交分解
几何图形
代数运算
任一向量
向量坐标
单位正交分解
几何图形
代数运算
坐标运算
任一向量
向量坐标
单位正交分解
几何图形
代数运算
坐标运算
任一向量
向量坐标
单位正交分解
几何图形
代数运算
坐标运算
例3 如图，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标.






2
3
解：将各向量按i，j的方向进行分解
2
3
因为 a=
=2i+3j，

解：将各向量按i，j的方向进行分解
2
3
解：将各向量按i，j的方向进行分解
因为 a=2i+3j，
所以 a=(2,3)；
2
3
解：将各向量按i，j的方向进行分解
因为 a=2i+3j，
所以 a=(2,3)；
同理b=2i+3j，
b=(2,3)；






2
3
解：将各向量按i，j的方向进行分解
因为 a=2i+3j，
所以 a=(2,3)；
同理 b=2i+3j，
b=(2,3)；
c=2i3j，
c=(2,3)；




2
3
解：将各向量按i，j的方向进行分解
因为 a=2i+3j，
所以 a=(2,3)；
同理 b=2i+3j，
b=(2,3)；
c=2i3j，
c=(2,3)；
d=2i3j，
d=(2,3).


2
3
图形的对称
坐标的特殊关系
对应
向量
坐标
平面向量基本定理
平面向量基本定理
正交分解
平面向量基本定理
正交分解
把一个向量分解为两个垂直的向量.
平面向量基本定理
正交分解
单位正交基底
把一个向量分解为两个垂直的向量.
平面向量基本定理
正交分解
单位正交基底
把一个向量分解为两个垂直的向量.
分别取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j.
平面向量基本定理
正交分解
单位正交基底
向量坐标
把一个向量分解为两个垂直的向量.
分别取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j.
平面向量基本定理
正交分解
单位正交基底
向量坐标
把一个向量分解为两个垂直的向量.
分别取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j.
向量a=xi+yj,有序数对(x,y),叫做向量a的坐标.
平面向量基本定理
正交分解
单位正交基底
向量坐标
向量表示
把一个向量分解为两个垂直的向量.
分别取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j.
向量a=xi+yj有序数对(x,y)叫做向量a的坐标.
平面向量基本定理
正交分解
单位正交基底
向量坐标
向量表示
把一个向量分解为两个垂直的向量.
分别取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j.
a=(x,y)
i=(1,0)
j=(0,1)
0=(0,0)
向量a=xi+yj有序数对(x,y)叫做向量a的坐标.
四、课堂练习
(2)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标. ( )
1.判断下列命题是否正确 (正确的写T，错误的写F) .
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同. ( )
(3)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化. ( )
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同. ( )

1.判断下列命题是否正确 (正确的写T，错误的写F) .
解：例如A(3,1),B(7,6),

C(0,0),D(4,5),


B
x
y
i
j
C
A
D
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同. ( F )

1.判断下列命题是否正确 (正确的写T，错误的写F) .
解：例如A(3,1),B(7,6),

C(0,0),D(4,5),


B
x
y
i
j
C
A
D
(2)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标. ( )
1.判断下列命题是否正确 (正确的写T，错误的写F) .
(2)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标. ( )
1.判断下列命题是否正确 (正确的写T，错误的写F) .
解：符合向量坐标的性质，正确.
(2)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标. ( T )
1.判断下列命题是否正确 (正确的写T，错误的写F) .
(3)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化. ( )
1.判断下列命题是否正确 (正确的写T，错误的写F) .
解：例如A(3,1),B(7,6),

C(0,0),D(4,5),


B
x
y
i
j
C
A
D
(2)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标. ( T )
1.判断下列命题是否正确 (正确的写T，错误的写F) .
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同. ( F )
(3)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化. ( F )
(2)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标. ( T )
1.判断下列命题是否正确 (正确的写T，错误的写F) .
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同. ( F )
(3)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化. ( F )
小结：重视对定义、概念的理解.
任一向量
向量坐标
对应
A
B
2
2

3
4


j
i
解：因为不知道向量 的起点，所以选项A，B都不正确.

A
B
2
2

3
4


j
i
解：因为不知道向量 的起点，所以选项A，B都不正确.
当B是原点时，A点的坐标是(-1,-2)，所以选项C不正确.

A
B
2
2

3
4


j
i
解：因为不知道向量 的起点，所以选项A，B都不正确.
当B是原点时，A点的坐标是(-1,-2)，所以选项C不正确.

A
B
2
2

3
4


j
i
当A是原点时，B点的坐标是(1,2)，选项D正确.
解：因为不知道向量 的起点，所以选项A，B都不正确.
当B是原点时，A点的坐标是(-1,-2)，所以选项C不正确.

A
B
2
2

3
4


j
i
当A是原点时，B点的坐标是(1,2)，选项D正确.
D
向量
的位置
向量
的坐标
确定
不定
解：a=3i+4j=(3,4),



解：a=3i+4j=(3,4),

b=i+j=(1,1).

4. 如图，向量a,b,c的坐标为___,___,___.
解：将各向量按i，j的方向进行分解
解：将各向量按i，j的方向进行分解
因为 a= i，所以a=( ,0)；
解：将各向量按i，j的方向进行分解
因为 a= i，所以a=( ,0)；
因为 b=6j，所以b=(0,6)；
解：将各向量按i，j的方向进行分解
因为 a= i，所以a=( ,0)；
因为 b=6j，所以b=(0,6)；
因为 c= i j，
解：将各向量按i，j的方向进行分解
因为 a= i，所以a=( ,0)；
因为 b=6j，所以b=(0,6)；
因为 c= i j，
所以c=( ).
平面向量的表示
小 结

M
解:作AM⊥x轴于点M，
则OM=OA·cos45°
解:作AM⊥x轴于点M，
则OM=OA·cos45°
解:作AM⊥x轴于点M，
AM＝OA·sin 45°
则OM=OA·cos45°
解:作AM⊥x轴于点M，
AM＝OA·sin 45°
所以 ∠AOC=

所以 ∠AOC=
∠AON=45°.

所以 ∠AOC=
∠AON=45°.
所以 ∠CON=30°.
因为 OC=AB=3,
所以
因为 OC=AB=3,
所以
所以
因为 OC=AB=3,
所以 b
所以
所以
因为 OC=AB=3,
小 结
向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化.

五、课堂小结
五、课堂小结
1. 为什么要研究平面向量的正交分解及坐标表示？
几何
图形
几何
图形
平面向量
几何
图形
平面向量
正交分解及
坐标表示
几何
图形
代数
运算
平面向量
正交分解及
坐标表示
五、课堂小结
1. 为什么要研究平面向量的正交分解及坐标表示？
2. 怎样研究平面向量的正交分解及坐标表示？
五、课堂小结
1. 为什么要研究平面向量的正交分解及坐标表示？
2. 怎样研究平面向量的正交分解及坐标表示？
类比的方法
五、课堂小结
1. 为什么要研究平面向量的正交分解及坐标表示？
2. 怎样研究平面向量的正交分解及坐标表示？
类比的方法
抽象 概括
五、课堂小结
1. 为什么要研究平面向量的正交分解及坐标表示？
2. 怎样研究平面向量的正交分解及坐标表示？
3. 体现了用代数的方法解决几何问题的策略
六、课后作业
如图，用单位正交向量i ,j作为基底{i，j}，表示向量a,b,c,d ,并求出它们的坐标.
x
y
O
a
b
c
d
感谢大家观看！

再见！